5. Reihen. k=1 x k = s. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k =0oder einem anderen Wert. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied.

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1 5 5. Reihen Im Folgenden sei X K n oder ein beliebiger K-Vektorraum mit Norm. 5.. Definition. Es sei (x k ) Folge in X. DieFolge n s n x k n,,... der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe und wird mit x k bezeichnet. Konvergiert die Folge (s k ) in X gegen s, sonenntmandiereihekonvergentgegens und schreibt x k s. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k 0oder einem anderen Wert. Für Konvergenzfragen macht das keinen Unterschied. 5.. Satz. Seien x k und y k konvergent in X. Dannkonvergiertauch (x k +y k ) gegen x k + y k.fürallec K konvergiert die Reihe (cx k) gegen c x k. Die konvergenten Reihen bilden also einen Vektorraum. Beweis. Folgtsofortaus4.6, Kriterium. Für eine Reihe in X gilt stets ( n x k konvergiert x k) n ist eine Cauchy Folge def M ε>0 n 0 : x k <ε N,M n 0 Ist X zusätzlich vollständig, d.h. ein Banachraum (z.b. X K n ), so gilt auch die Umkehrung und liefert uns ein wichtiges Kriterium für die Reihenkonvergenz: BANACHRAUM M x k konvergiert ε>0 n 0 : x k <ε N,M n Definition. Eine Reihe x k in X heißt absolut konvergent, falls x k konvergiert Satz. Absolut konvergente Reihen in Banachräumen (z. B. in R, C, R n, C n )sindkonvergent. Achtung: Nicht jede konvergente Reihe ist absolut konvergent ( alternierende harmonische Reihe)! Beweis. WendedasKriteriumaus5.3an;benutze,dass M x k kn kn M Definition. Ist π : N N eine Bijektion, so nennt man die Reihe x π(k) eine Umordnung der Reihe x k Satz. Ist x k eine absolut konvergente Reihe in einem Banachraum, so ist auch jede Umordnung absolut konvergent und hat denselben Grenzwert. kn kn

2 6 Beweis. Essei x k x und ε>0 vorgelegt. Wir finden ein n so, dass m kn x k <ε/ für alle m n n und x n x k <ε/ für n n. Da π surjektiv ist, gibt es ein M mit der Eigenschaft, dass {π(),...,π(m)} {,...,n }.Dann ist M n und π(k) >n für alle k>m,daπ injektiv ist. Es sei nun K M. Wirsetzen m max{π(k) :k K} und schätzen ab: x K n x π(k) x x k {k: k K und π(k)>n } n x π(k) x x k + m kn + <ε. Damit konvergiert die umgeordnete Summe gegen x Satz. Die Glieder einer konvergenten Reihe bilden eine Nullfolge: Ist n x k konvergent in X, sogiltx k 0. (DieUmkehrunggiltnicht;siehe5..) Beweis. DiePartialsummenfolge(s n ) ist eine Cauchy-Folge nach 4.8. Zu ε>0 existiert also ein n 0 mit s n s m <εfür n, m n 0 ;folglichist x n s n s n <εfür n>n Bemerkung. Für die Frage, ob eine Reihe konvergent bzw. absolut konvergent ist, spielen alle Veränderungen, die an lediglich endlich vielen Gliedern vorgenommen werden keine Rolle (für den Wert allerdings schon). Wenn man endlich viele Glieder einer konvergenten Reihe umordnet, ändert sich der Wert der Reihe nicht. Wenn man unendlich viele Glieder umordnet, stimmt das im Allgemeinen nicht: 5.0. Riemannscher Umordnungssatz. Es sei (x k ) eine Folge reeller Zahlen; x k sei konvergent, aber nicht absolut konvergent. Dann existiert zu jeder Zahl r R eine Umordnung π von N (abhängig von r) derart,dassdieumgeordnetereihe x π(k) gegen r konvergiert. Beweis. (Skizze) Wir schreiben (unter Berücksichtigung der Reihenfolge) p,p,... für die nichtnegativen Glieder der Folge (x k ) und q,q,... für die negativen. Dann ist (weil die Summe konvergent, aber nicht absolut konvergent ist) {k:x k 0} x k p k + und {k:x k <0} x k qk. Wir wählen zuerst ein minimales n so, dass n p k >r.anschließendwählenwireinminimales m so, dass n p k + m q k <r.sindn j und m j bestimmt, so wähle n j+ und m j+ minimal mit der Eigenschaft, dass n p k + m q k +... n j+ kn j + p k >rund n p k + m q k +... n j+ kn j + p k + m j+ km j + q k <r. Dann ist die Folge p,...,p n,q,...,q m,p n +,...,p n,q m +,... eine Umordnung von (x k ),derenpartialsummenfolge(weillim p k limq k 0)gegenr konvergiert. 5.. Beispiele. ( )k ist nicht konvergent, da (( ) k ) keine Nullfolge ist.

3 7 k ist nicht konvergent, obwohl ( k ) eine Nullfolge ist! Wir betrachten die Partialsummen s s + s }{{} 3 4 > + + > 4 (d) s > Mit Induktion: s k + k,alsonichtkonvergent. Es sei z C, z <. Dannist z k z, weil (endliche geometrisch Reihe,.3) n z k zn+ z und lim n z n+ 0ist (4.9). k(k+),denn k(k+) k k+.alsoist n k(k +) n(n +) n n + n Satz (Cauchy-Produkt). Es seien x k und y k absolut konvergente Reihen in C. DannistdieReihe ( k j0 x k jy j ) absolut konvergent, und ( ) k x k y j x k j y j. j0 Veranschaulichung: Es werden erst die Werte entlang der Diagonalen multipliziert und addiert; dann werden diese aufaddiert. j0 x 0 y 0 }{{} + x y 0 + x 0 y }{{} + x y 0 + x y + x 0 y }{{} k +... Beweis. Es seien s n, s + n, t n, t + n und c n die Partialsummenfolgen für x k, x k, y k, y k und das Cauchy-Produkt. Wir müssen zeigen lim s n lim t n limc n.

4 8 Wissen: lim s n lim t n lim(s n t n ). Bleibt zu zeigen: s n t n c n 0. Nunwerdenins n t n alle Produkte aufsummiert, deren maximaler Index n ist. In dem Cauchy-Partial-Produkt c n werden alle Produkte aufsummiert, deren Indexsumme n ist. Darin sind alle Produkte enthalten, deren maximaler Index n/ ist; umgekehrt kommen die Produkte in c n unter denen von s n t n vor. Die Differenz s n t n c n ist also höchstens so groß wie die Summe der Absolutbeträge aller Produkte, die in s n t n,abernichtins [n/] t [n/] liegen. Dabei ist [n/] die größte ganze Zahl n/. Mit anderen Worten s n t n c n s + n t + n s + [n/] t+ [n/], und dieser Ausdruck konvergiert gegen Null, weil s + n t+ n eine Cauchyfolge ist. Im folgenden einige Kriterien zur Konvergenz von Reihen. Das ersteistsehrspeziellundbetrifft die Konvergenz in R: 5.3. Satz (Leibniz-Kriterium). Es sei (x n ) eine monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen. Dann ist ( )k x k konvergent. Beweis. Setzes n n ( )k x k.danngilt s n+ s n x n+ + x n+ 0 s n+3 s n+ +x n+ x n+3 0. Man sieht: () (s n ) ist monoton fallend und nach unten beschränkt, da s n s für alle n, hatalsoeinen Grenzwert s nach 4.. () (s n+ ) ist monoton wachsend und nach oben beschränkt: s n+ s n s ;hatalsoeinen Grenzwert s. Wir zeigen s s :Istε>0 vorgelegt, so existiert n 0 mit s n s < ε 3 s n+ s < ε 3 x n+ < ε 3 für n n 0.Esfolgt s s s s n + s n s n+ + s }{{} n+ s x n+ < ε 3 + ε 3 + ε 3 ε. Folglich ist s s,unddiereihekonvergiert. konvergiert nach dem Leib Beispiel. Die alternierende harmonische Reihe nizkriterium. ( )k k 5.5. Satz (Vergleichskriterium/Majorantenkriterium). Es sei (r k ) eine Folge reeller Zahlen, r k 0 und r k konvergent. Ferner sei (x k ) Folge in einem Banachraum mit Dann ist x k absolut konvergent. r k für alle k k 0.

5 Beweis. MitCauchy-Kriterium5.3:FürK, L k 0 ist L L r k. kk kk 5.6. Beispiel. Die Reihe k konvergiert, weil k(k+) konvergiert und k k(k+) Satz (Quotientenkriterium). Es sei (x k ) Folge in einem Banachraum; x k 0für k k 0.Istlim sup x k+ <, soistdiereihe x k absolut konvergent. 9 Beweis. WähleC mit lim sup x k+ <C<. Dannexistierteinn 0 mit x k+ k n 0.VollständigeInduktionzeigt,dass () C k n 0 x n0, k n 0. Nun folgt die Konvergenz aus dem Vergleichskriterium, denn C k n0 x n0 x n0 C n0 C k x n 0 C C n 0 kn 0 ist als Vielfaches der geometrischen Reihe konvergent. C< für alle Beachte: Dies liefert Abschätzung für den Fehler beim Abbruch der Reihe. Siehe Bemerkung. Ist lim inf x k+ >, soistdiereihedivergent,dadiex k dann keine Nullfolge bilden: x k+ > für große k. Ist lim sup x k+,sokannmankeinekonvergenzaussagemachen(harmonische/alternierende harmonische Reihe) 5.9. Satz (Wurzelkriterium). Es sei (x k ) Folge in einem Banachraum mit Dann ist x k absolut konvergent. lim sup k <. Beweis. WähleC mit lim sup k <C<. Dannexistierteinn 0 mit k xk C<für alle k n 0 bzw. C k für alle k n 0 Wieder folgt die Konvergenz aus dem Vergleichskriterium, weil C k konvergiert Bemerkung. (d) Ist lim sup k >, so existiert ein C > und eine Teilfolge (x kj ) von (x k ) mit x kj C k j.damitist(x k ) keine Nullfolge, und die Reihe divergiert. Für lim sup k lässt sich keine Konvergenzaussage machen. Das Wurzelkriterium ist schärfer als das Quotientenkriterium: Ist das Quotientenkriterium erfüllt, so ist auch das Wurzelkriterium erfüllt, s. 5.7(). Betrachten Sie zum besseren Verständnis die Folge x k k für gerades k und x k x k für ungerades k und die zugehörige Reihe. 5.. Die Exponentialfunktion. Sinus. Cosinus.

6 30 Die Reihe zk k! : ez (auch exp z) konvergiertfürallez C nach dem Quotientenkriterium, da z k+ (k +)! zk k! z k + 0. Man setzt e : e. ( )k (k)! zk : cos z konvergiert für alle z C (Quotientenkriterium). ( )k (k zk+ : sin z konvergiert für alle z C (Quotientenkriterium). +)! 5.. Satz. e(0) e z e w e z+w.insbesondere:e z 0 z C, dae z e z e 0. e iz cosz + i sin z,z C (Eulersche Formel). Speziell für x R folgt cos x Ree ix, sin x Ime ix. (d) cos( z) cosz, sin( z) sin z, z C. (e) cos z eiz + e iz, sin z eiz e iz, z C. i (f) e ix für x R, insbesondere (g) (h) Beweis. cos x, sin x für x R (auf C sind beide Funktionen unbeschränkt). e z e z cos(w + z) cosw cos z sin w sin z sin(w + z) sinw cos z +coswsin z, w, z C. klar e z e w Cauchy Produkt BIN LS e iz 5. k j0 (iz) k k! z j j! w k j (k j)! k! (z + w)k e z+w. 5. l0 (iz) l (l)! + k j0 k! (iz) l+ (l +)! ( ) l z l (l)! + i ( ) l z l+ (l +)! l0 cosz + i sin z Speziell für x R gilt cos x R, sin x R, also l0 cos x Ree ix und sin x Ime ix. ( ) k z j w k j j

7 3 (d) Einsetzen in 5.,. (e) folgt aus. (f) e ix cosx isin x cos( x)+isin( x) e ix e ix e ix e ix e 0. Da e ix cos x +sin x folgt Aussage über sin, cos. (g) Schreibe z x + iy, e z e x iy e x (cos( y)+isin( y)) e x (cos y i sin y) e x (cos y i sin y) e z. (h) Einsetzen von (e) und Satz. Restgliedabschätzungen. Es sei z C. e z N zk k! + r N+(z), wobei r N+ z N+ (N +)! cos z N zk ( )k z < N +3. sin z N zk+ ( )k z < Beweis. N +4 kn+ n +. z k k! für z N +. z N+ (k)! + r N+(z) mit r N+ (z) 4 3 (N +)! x N+3 (k +)! + r N+3(z) mit r N+3 (z) 4 3 (N +3)! für ( z N+ + z (N +)! (N +) + z ) (N +)(N +3) Ist z < N+,soistderKlammerterm , analog. für