f x n ) 2 1 Gleichung (*) f' x 1 f'' x 1
|
|
- Reiner Michel
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Das Newtonsche Näherungsverfahren, Teil Theorie - Konvergenzkriterium f x n Allgemeine Lösung: x n = x n f' x f' x n n 0 Nach er Fachliteratur (Bronstein/Semenjajew) arf man hier von einer Cauchy-Folge sprechen. Der Algorithmus wir als Funktion h aufgefasst. Umbenennung: x n = hx ( ) x n = x hx ( ) = x f( x) f' ( x) Berechnung er Ableitungsfunktion: h' ( x) = f' ( x) f' ( x) f( x) f'' ( x) ) Vereinfachungen: h' ( x) = f( x) f'' ( x) ) h' ( x) = f( x) f'' ( x) ) Konvergenz (nach Cauchy) liegt vor, wenn Folgenes gilt: h' ( x) f( x) f'' ( x) ) Gleichung (*) Falls x eine einfache Nullstelle ist, so gilt: f' x 0 h' x 0 Multiplizieren von (*) führt zu: f( x) f'' ( x) ) Für en Startwert x muss also gelten: Konvergenzbeingung: f x f'' x f' x Bemerkungen Das Verfahren kann immer ann angewenet weren, wenn er Nenner er Rekursions formel ungleich Null ist, also keine horizontalen Tangenten vorliegen. Das Newtonsche Verfahren versagt in er Regel, wenn ie Tangente an en Graphen er Funktion f in er Nähe er Nullstelle nahezu parallel zur x-achse verläuft. Das gilt auch ann, wenn nahe er Nullstelle eine Extremstelle oer eine Wenestelle mit nahezu horizontaler Wenetangente liegt. Außerem arf ie Nullstelle vom Startwert nicht zu weit entfernt sein. Newton-Verfahren, Teil Seite von 6
2 Aufgabe Gegeben ist er Funktionsterm f( x) 0 x3 x mit x IR. Zeigen Sie mit Begrünung, ass für en Startwert x 3 as Konvergenzkriterium erfüllt ist, agegen nicht für en Startwert x.. Ableitung: f' ( x) x f( x) 3x 0. Ableitung: f'' ( x) x f' ( x) 3x Startwert: x 3 linke Seite: f x f'' x.88 rechte Seite: f' x 6. Kriterium "erfüllt" Startwert: x linke Seite: f x f'' x 0.4 rechte Seite: f' x 0.0 Kriterium "nicht erfüllt" Starwert in er Umgebung er horizontalen Tangente. Ergebnis Das Newton'sche Näherungsverfahren muss nicht notwenigerweise zum Erfolg führen. Oft genügt jeoch eine anere, günstigere Wahl es Startwertes. Newton-Verfahren, Teil Seite von 6
3 Aufgabe Gegeben ist er Funktionsterm f( x) 0 8x3 0x 34x mit x IR. a) Zeigen Sie, ass es im Intervall ] 0 ; [ eine Nullstelle gibt. b) Zeigen Sie, ass, ausgehen vom Startwert x =, iese Nullstelle nicht bestimmt weren kann. c) Zeigen Sie, ass er Startwert x = geeignet ist un bestimmen Sie ie Nullstelle. Teilaufgabe a) f( 0).0 f (.8).97 Vorzeichenwechsel, also existiert nach em Nullstellensatz eine Nullstelle. Teilaufgabe b) f' ( x) x f( x) 6x x 7 0 Startwert wählen: Berechnung er falschen NS 3 Iteration: x x x i y-achse x-achse Lage er Nullstelle: x N.000 Ergebnis Beim Startwert x verläuft ie Kurve zu sehr in er Nähe er horizontalen Tangente. Daurch führt ie Nullstelle x er Tangente zu weit von er gesuchten Nullstelle weg un er Algorithmus bestimmt eine Nullstelle, ie man gar nicht wollte. Newton-Verfahren, Teil Seite 3 von 6
4 . Ableitung: f' ( x) x f( x) 6x x 7 0. Ableitung: f'' ( x) x f' ( x) x Startwert: x linke Seite: f x f'' x 8.8 rechte Seite: f' x 0.8 Kriterium "nicht erfüllt" Teilaufgabe c) Startwert: x linke Seite: f x f'' x 0. rechte Seite: f' x 6. Kriterium "erfüllt" f x i x i x i f' x i Iteration: Lage er Nullstelle: x i x N Newton-Verfahren, Teil Seite 4 von 6
5 Aufgabe 3 Gegeben ist er Funktionsterm f( x) x if x 0 mit x IR. x otherwise Zeigen Sie, ass as Konvergenzkriterium für keinen Startwert x erfüllt ist. Startwert wählen: Zyklisches Newton-Verfahren 4 x x 3 y-achse Ergebnis: x i x-achse Ergebnis Hier liegt ein zyklisches Newton-Verfahren vor. Man kann en Startwert beliebig wählen, urch ie Punktsymmetrie verläuft ie Rechnung immer im Kreis. Hier hilft auch nicht eine anere Wahl es Startwertes. Durch ie Punktsymmetrie bleibt as Verfahren immer zyklisch un konvergiert nicht. Konkret: x.8 linke Seite: f x f'' x 0.6 rechte Seite: f' x 0.6 Newton-Verfahren, Teil Seite von 6
6 Kriterium "nicht erfüllt" Allgemein: Sei x 0 0 Fx ( ) x F' ( x) x F'' ( x) 3 4x F'' x 0 linke Seite: Fx 0 annehmen x 0 0 rechte Seite: F' x 0 x 0 x 0 Kriterium nicht erfüllbar, enn beie Seiten sin ientisch. Newton-Verfahren, Teil Seite 6 von 6
mathphys-online Aufgaben zur Differentialrechnung - Lösung Tangentenaufgaben Aufgabe 1 Definition des Feldindex in Vektoren und Matrizen: ORIGIN 1
Aufgaben zur Differentialrechnung - Lösung Tangentenaufgaben Definition es Felinex in Vektoren un Matrizen: ORIGIN Aufgabe Gegeben ist ie Funktion f mit em Funktionsterm f( x) = x x, wobei x IR. a) Bestimmen
Mehrhat. Dann hat zumindest die dritte Ableitung ebenfalls die Nullstelle x 0.
Differentialrechnung Graphen mit Flachpunkt un Wenepunkt Quelle: Akaemiebericht Theorie Es gibt Funktionen, eren zweite Ableitung eine mehrfache Nullstelle x 0 hat. Dann hat zuminest ie ritte Ableitung
MehrTheorie 3: Graphische Veranschaulichung der Fallunterscheidung
Die Formel von Cardano - mit grahischer Lösung Theorie : Grahische Veranschaulichung der Fallunterscheidung Gegeben ist eine kubische Gleichung in reduzierter Form: x x = 0 mit 0 IR. Definieren Sie einen
MehrDas Newton-Verfahren
1/14 Das Newton-Verfahren 11./12. Jgst. Bayern Doris Behrendt Gymnasium Marktbreit Stand: 12. März 2016 2/14 Formelsammlung Seite 72 oben, vierter Punkt: Newton-Iterationsformel: x n+1 = x n f(x n) f (x
Mehrmathphys-online Umkehrfunktionen Aufgabe 1 1 Gegeben ist die Funktion f mit f( x) 2 x 1 und x [ 0.5 ; 4 [.
Umkehrfunktionen Aufgabe Gegeben ist ie Funktion f mit f( ) un [ 0. ; [. a) Bestimmen Sie ie Wertemenge un tragen Sie en Graphen von f in as Koorinatensystem ein. Kennzeichnen Sie Definitionsmenge (grün)
MehrDifferentialrechnung
Differentialrechnung Um Funktionen genauer zu untersuchen bzw. sie zu analysieren, ist es notwenig, etwas über ihren Verlauf, as qualitative Verhalten er Funktion, sagen zu können. Das heisst, wir suchen
MehrDifferential- und Integralrechnung
Universität Paerborn, en 16.07.2007 Differential- un Integralrechnung Ein Repetitorium vor er Klausur Kai Gehrs 1 Übersicht Inhaltlicher Überblick: I. Differentialrechnung I.1. Differenzierbarkeit un er
MehrÜbungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei
Übungsaufgaben Analysis hilfsmittelfrei Aufgabe 1 Der Graph der Funktion f (x) = 0,5x3+ 1,5x2+ 4,5x 3,5 hat im Punkt T( 1 6) einen relativen (lokalen) Tiefpunkt und im Punkt H(3 10) einen relativen (lokalen)
MehrAbitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 213 Mathematik Infinitesimalrechnung II Teilaufgabe Teil 1 1 (5 BE) Geben Sie für die Funktion f mit f(x) = ln(213 x) den maximalen Definitionsbereich
MehrAbiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen
Abiturprüfung Mathematik 202 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de Pflichtteil 202 2 Aufgabe : Bilden Sie die erste Ableitung
MehrImplizite Differentiation
Implizite Differentiation -E -E Implizite Darstellung Eine Funktion ist in impliziter Form gegeben, wenn ie Funktionsgleichung nach keiner er beien Variablen x un y aufgelöst ist. Beispielsweise x y =
Mehrund geben Sie die Gleichungen und Art aller Asymptoten an. an, bestimmen Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von G f auflösen x x 2 2 ( 2/ 0)
Abiturprüfung Berufliche Oberschule Mathematik Nichttechnik - A II - Lösung Teilaufgabe. x Gegeben ist die Funktion f( x) ( x ) in ihrer maximalen Definitionsmenge D f IR. Der zugehörige Graph heißt. Teilaufgabe.
MehrAbitur 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 215 Mathematik Infinitesimalrechnung I Gegeben ist die Funktion f : x ( x 3 8 ) (2 + ln x) mit maximalem Definitionsbereich D. Teilaufgabe Teil A 1a (1
MehrPflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz. Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 016 1 Übungsaufgaben: Ü1: Die Abbildung zeigt
MehrExplizite und Implizite Darstellung einer Funktion
Eplizite un Implizite Darstellung einer Funktion Für ie implizite Differentiation weren ie Begriffe implizite un eplizite Darstellung von Funktionen benötigt. Bisher haben wir eine Funktion (Zusammenhang
MehrPolynomfunktionen - Fundamentalsatz der Algebra
Schule / Institution Titel Seite 1 von 7 Peter Schüller peter.schueller@bmbwk.gv.at Polynomfunktionen - Funamentalsatz er Algebra Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Polynomfunktionen, Funamentalsatz
MehrArbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.
Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der
MehrAnalysis: Klausur Analysis
Analysis Klausur zu Extrempunkten, Interpretation von Graphen von Ableitungsfunktionen, Tangenten und Normalen, Extremwertaufgaben (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
MehrNumerisches Lösen von Gleichungen
Numerisches Gesucht ist eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Das sverfahren ist eine numerische Methode zur Bestimmung einer Nullstelle. Es basiert auf dem Zwischenwertsatz: Satz (1.1.1) Zwischenwertsatz:
MehrZusammenfassung der Kurvendiskussion
Zusammenfassung der Kurvendiskussion Diskussionspunkte 1 Größtmögliche Definitionsmenge D f 2 Symmetrieeigenschaften des Graphen G f 3 Nullstellen, Polstellen, Schnittpunkte mit der y-achse, Vielfachheit
MehrDer Taschenrechner CAS: TI Inspire (Texas Instruments)
Der Taschenrechner (Texas Instruments) Übersicht: 1. Katalog (wichtige Funktionen un wie man sie aufruft) 2. Funktionen efinieren (einspeichern mit un ohne Parameter) 3. Nullstellen 4. Gleichungen lösen
MehrAbiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A Für jedes a > ist eine Funktion f a definiert durch fa (x) = x (x a) mit x R a Das Schaubild von f
Mehr8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren
09.2.202 8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren Beispiel: + 2 e Diese Gleichung kann nicht nach aufgelöst werden, da die beiden nicht zusammengefasst werden können. e - - 2 0 Die gesuchten
MehrSerie 6 - Funktionen II + Differentialrechnung
Analysis D-BAUG Dr. Meike Akvel HS 05 Serie 6 - Funktionen II + Differentialrechnung. a) Sei Lösung 3, falls < 0, f : R R, f) c +, falls 0, + 8, falls >. Bestimmen Sie c R un R, so ass f überall stetig
MehrFunktionen untersuchen
Funktionen untersuchen Mögliche Fragestellungen Definition: lokale und globale Extrema Monotonie und Extrema Notwendige Bedingung für Extrema Hinreichende Kriterien, Vergleich Krümmungsverhalten Neumann/Rodner
MehrKurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung
Kurvendiskussion Gesetzmäßigkeiten Lineare Funktionen Funktionsgleichung y = mx + c m: Steigung c: y-achsenabschnitt (Funktionswert für y, bei dem der Graph die y-achse schneidet Beispiel : y = x 3 mit
Mehr( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( )
64 Die Tangente in x 0 eignet sich also als lokale (lineare) Näherung der Funktion in der Nähe des Punktes P. Oder gibt es eine noch besser approximierende Gerade? Satz 4.9 Unter allen Geraden durch den
Mehr1. Tangente, Ableitung, Dierential
1. Tangente, Ableitung, Dierential Variablen un Funktionen 1.1. Verallgemeinern Sie ie folgenen Gruppen von Gleichungen mithilfe von Variablen. (1) 5 + 3 = 3 + 5, 1 2 = 2 + 1. (2) 3 2 + 5 2 = (3 + 5) 2,
MehrAufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.
I. Nullstellen Arbeitsblatt I.1 Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird, sonst nicht. Beispiele:
Mehr2. Umkehrfunktionen und ihre Ableitung, Hyperbelfunktionen 2.1. Höhere Ableitungen. Die Ableitung der Ableitung von f bezeichnet man, x 2, fur x < 0,
. Umkehrfunktionen un ihre Ableitung, Hyperbelfunktionen.. Höhere Ableitungen. Die Ableitung er Ableitung von f bezeichnet man, falls sie existiert, mit f x) oer f ) x) oer fx)) oer fx) bzw. allgemein
MehrEinführung in die theoretische Physik 1
Mathey Einführung in ie theor. Physik 1 Einführung in ie theoretische Physik 1 Prof. Dr. L. Mathey Dienstag 15:45 16:45 un Donnerstag 1:45 12: Beginn: 23.1.12 Jungius 9, Hörs 2 1 Mathey Einführung in ie
MehrSerie 4: Flächeninhalt und Integration
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Flächeninhalt und Integration Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom. und 4. Oktober.. Das Bild zeigt
MehrEinführung in die Chaostheorie
Einführung in ie Chaostheorie Die sogenannte Chaostheorie befasst sich mit er Erforschung nichtlinearer ynamischer Systeme, ie chaotisches Verhalten zeigen können. Chaotisches Verhalten liegt u.a. ann
MehrKurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4
Mag. Mone Denninger 10. Oktober 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionsmenge 2 1.1 Verhalten am Rand und an den Lücken des Definitionsbereichs............................ 2 2 Nullstellen 2 3 Extremwerte
Mehr3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte
166 FUNKTIONSUNTERSUCHUNGEN 3.3 Linkskurve, Rechtskurve Wendepunkte Einführung (1) Anschauliche Erklärung des Begriffs Wendepunkt Bei Motorradrennen lässt sich beobachten, wie sich die Motorradfahrer beim
MehrBayern Musterlösung zu Klausur Analysis, Aufgabengruppe I
Diese Lösung wurde erstellt von Tanja Reimbold. Sie ist keine offizielle Lösung des Bayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus. Teil 1 Aufgabe 1 Definitionsbereich: Bestimmung der Nullstelle
Mehr1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13
Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL A. Geben Sie Lage und Art der Nullstellen der Funktion f mit f( x) ( x ) ( x ) ; x IR an.. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P( f ())
MehrAbiturprüfung Mathematik 006 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x) sin(4x ). Aufgabe : ( VP) Geben Sie eine Stammfunktion
MehrAnalysis: Klausur Analysis
Analysis Klausur zu Ableitung, Extrem- und Wendepunkten, Interpretation von Graphen von Ableitungsfunktionen, Tangenten und Normalen (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SS 2012 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Alexander Breuer Dipl.-Math. Dipl.-Inf. Jürgen Bräckle Dr.-Ing. Markus
MehrAufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt
Aufgaben für Analysis in der Oberstufe Robert Rothhardt 14. Juni 2011 2 Inhaltsverzeichnis 1 Modellierungsaufgaben 5 1.1 Musterabitur S60................................ 5 1.2 Musterabitur 3.1.4 B / S61..........................
MehrÜbungsaufgaben zur Kurvendiskussion
SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen
MehrRegula Falsi Die folgende Abbildung beschreibt das Näherungsverfahren regula falsi zur Berechnung von Nullstellen:
BspNr: J0010 Themenbereich Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung (Regula falsi) Ziele Probleme, die bei der näherungsweisen Nullstellenberechnung auftreten können, erkennen. Analoge Aufgabenstellungen
MehrModul Grundbildung Analysis WiSe 10/11. A.: Wurde in diesem Kapitel behandelt. C.: Weitere Fragen (Nicht nur für die Klausur interessant)
Modul Grundbildung Analysis WiSe 10/11 Im Folgenden bedeutet A: Wurde in diesem Kapitel behandelt B: Interessante Aufgaben C: Weitere Fragen (Nicht nur für die Klausur interessant) V1 Konvergenz, Grenzwert
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 2. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.e Department Biologie II Telefon: 089-80-74800 Großhaernerstr. Fa:
MehrM I N I S T E R I U M F Ü R K U L T U S, J U G E N D U N D S P O R T. Berufsoberschule (BOS) SO/TO/WO. 2 2x
Mathematik (43) Musteraufgabe Gruppe I: Analysis ohne Hilfsmittel ab 07 Seite /3 Gegeben ist die Funktion f mit 4 3 f(x) x x 3x 4x ; xir. 6 Bestimmen Sie den Bereich, in dem das Schaubild von f rechtsgekrümmt
MehrAus meiner Skriptenreihe: "Keine Angst vor "
Dipl.-Kaufm. Wolfgang Schmitt Aus meiner Skriptenreihe: "Keine Angst vor " Verfahren der Nullstellenberechnung der Funktionen n n 1 n 2 n i 1 f x ax a x a x... ax... a x 0 1 2 3 i n für n > 1 http://www.nf-lernen.de
MehrMathematik 1 -Arbeitsblatt 1-9: Multiplizieren mehrgliedriger Termee. 1F Wintersemester 2012/2013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB
Schule Thema Personen Bunesgymnasium für Berufstätige Salzburg Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1-9: Multiplizieren mehrglieriger Termee 1F Wintersemester 01/013 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB Ein neues Problem
Mehr1. Probeklausur. φ = 2x 2 y(z 1).
Übungen zur T: Theoretische Mechanik, SoSe04 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45. Probeklausur Dr. Reinke Sven Isermann Reinke.Isermann@lmu.e Übung.: Gegeben sei ie Funktion φ = x y z. a Berechnen
MehrDemo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002
Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von
MehrDeterminanten. a e b f a c b d. b) x = , y = c) zu einem Spaltenvektor das Vielfache des anderen Spaltenvektors addiert wird,
Determinanten Wir entwickeln eine Lösungsformel für Gleichungssysteme mit zwei Variablen. ax + cy = e b bx + y = f a } abx bcy = be + abx + ay = af ya bc = af be Man schreibt y = af be a bc = a e b f analog
MehrI. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen:
I. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen: 1. Definitionslücken bestimmen: Nenner wird gleich 0 gesetzt! 2. Prüfung ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt: Eine hebbare Definitionslücke liegt
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Baden-Württemberg: Abitur 01 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 01 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
Mehr6 Lineare Kongruenzen
6 Lineare Kongruenzen Sei m > 0 un a, b beliebig. Wir wollen ie Frage untersuchen, unter welchen Beingungen an a, b un m eine Zahl x 0 existiert, so aß ax 0 b mo m. Wenn ein solches x 0 existiert, sagen
MehrCluster 1: Kabelverlauf
Teil B Seite 1 / 6 Doris Schönorfer Cluster 1: Kabelverlauf zum Menü Hinweis: Cluster 1 bezieht sich auf Höhere Technische Lehranstalten (HTL) für ie Ausbilungsrichtungen Bautechnik, Holztechnik & Innenraumgestaltung
MehrAufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen
Grundlagenwissen: Ableitungen, Flächen unter Kurven, Nullstellen, Etremwerte, Wendepunkte.. Bestimmen Sie die Stammfunktion F() der folgenden Funktionen. Die Konstante C darf weggelassen werden. a) f()
Mehr3 Nichtlineare Gleichungssysteme
3 Nichtlineare Gleichungsssteme 3.1 Eine Gleichung in einer Unbekannten Problemstellung: Gegeben sei die stetige Funktion f(). Gesucht ist die Lösung der Gleichung f() = 0. f() f() a) f ( ) 0 b) f ( )
MehrNullstellen von algebraischen Gleichungen
Kapitel 2 Nullstellen von algebraischen Gleichungen 2.1 Vorbemerkungen Suche Lösung der Gleichung f(x) = 0 (2.1) Dies ist die Standardform für eine Dimension. - typisch nichtlineare Gleichung, sonst elementar
Mehr( 0 ( x) d) Die Funktionsgleichung der Funktion 1 lautet: f( Für x 2 = 0 : Wähle die Werte -1 und 1. Überprüfe x1 = 1,
Differentialrechnung IV (Wendepunkte) (Kap 7) (Haben Sie Probleme bei der Bearbeitung dieser Aufgaben versuchen Sie diese in Ihrer Kleingruppe mit Hilfe des Arbeitsbuchs Mathematik zu klären Führt dies
MehrSkripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x.
Skripten für die Oberstufe Kurvendiskussion x 3 f (x) x f (x)dx = e x H. Drothler 0 www.drothler.net Kurvendiskussion Zusammenfassung Seite Um Funktionsgraphen möglichst genau zeichnen zu können, werden
Mehr3 Differenzialrechnung
Differenzialrechnung 3 Differenzialrechnung 3.1 Ableitungsregeln Übersicht Beispiel Vorgehen Potenzfunktionen f(x) = x 4 f (x) = 4 x 3 f(x) = x f (x) = 1 x 0 = 1 f(x) = x Hochzahl f (x) = Hochzahl x Hochzahl
MehrPflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...
Pflichtteil... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis 3... 5 Wahlteil Analytische Geometrie... Wahlteil Analytische Geometrie... Lösungen: 00 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 00: Pflichtteil
MehrBeispielklausur für zentrale Klausuren
Seite von 5 Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Aufgabenstellung Gegeben ist die Funktion f mit f ( = 0,5 x 4,5 x + x 9. Die Abbildung zeigt den zu f gehörigen Graphen. Abbildung a) Ermitteln
MehrAbiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (8 Punkte) Das Schaubild einer Polynomfunktion. Grades geht durch den Punkt S(0/) und hat den 3 Wendepunkt
MehrStetigkeit und Differenzierbarkeit
Kapitel 5 Stetigkeit un Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit Unstrenge Definitionen : Eine Funktion heißt stetig, wenn - man ihren Graphen mit em Bleistift ohne Absetzen zeichnen kann; - kleine Änerungen
MehrKlausur Nr. 2. Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper. keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.
Klausur Nr. 2 Produkt- und Kettenregel, Rotationskörper Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche
MehrNewton-Verfahren für ein Skalarfunktion
Newton-Verfahren für ein Skalarfunktion Für eine Näherungsberechnung von Nullstellen einer reellen Funktion f(x) : R R benutzt man das Newton-Verfahren: x (n+1) = x (n) f(x (n) )/f (x (n) ). Das Newton-Verfahren
Mehr8.1. Das unbestimmte Integral
8 Das unbestimmte Integral So wie ie Bilung von Reihen, also Summenfolgen, ein zur Bilung er Differenzenfolgen inverser Prozess ist, kann man ie Integration als Umkehrung er Differentiation ansehen Stammfunktionen
MehrThemenkatalog. Mathe-Party Fulda 1 Wintersemester 2016/17
Themenkatalog Mengenlehre Aussagenlogik Relationen Funktionen Vollstänige Inuktion Folgen Reihen Grenzwerte Funktionseigenschaften Differentialrechnung Integralrechnung Mathe-Party Fula Wintersemester
Mehr5 Numerische Mathematik
6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul
MehrWurzelfunktionen Aufgaben
Wurzelfunktionen Aufgaben. Für jedes k (k > 0) ist die Funktion f k (x) = 8 (x k ) kx, 0 x gegeben. a) Untersuchen Sie die Funktion f k auf Nullstellen und Extrema. Ermitteln Sie lim f k(x) sowie für 0
MehrNäherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen. Das Newtonsche Iterationsverahren
Näherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen Das Newtonsche Iterationsverahren. Dieses Verfahren der Nullstellenanäherung macht von der Tatsache Gebrauch, dass der Funktionsgraph einer differenzierbaren
Mehr6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme
6 Iterationsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme 6.1 Nullstellen reeller Funktionen Bemerkung 6.1 (Problemstellung) geg.: f C[a, b] ges.: x [a, b] mit f(x ) = 0 Lösungstheorie f linear
MehrArbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Extremstellen-Bedingungen
Arbeitsblatt 4: Kurvendiskussion - Von Skizzen zu Etremstellen-Bedingungen Häufig sind Ableitungsfunktionsterme leichter zu handhaben als die Terme der Ausgangsfunktonen, weil sie niedrigere Eponenten
MehrEinführungsphase Mathematik. Thema: Quadratische Funktionen. quadratische Gleichungen
Thema: Quadratische Funktionen quadratische Gleichungen Normalform einer linearen Funktion Normalform einer quadratischen Funktion Handelt es sich um quadratische Funktionen??? Ja, denn a = 3, b = 0, c
MehrPflichtteil - Exponentialfunktion
Pflichtteil - Eponentialfunktion Aufgabe (Ableiten) Bestimme die. und. Ableitung der folgenden Funktionen: a) f() = ln() + b) g() = e Aufgabe (Integrieren) Berechnen Sie die Integrale: a) e d b) c) h()
MehrKapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
MehrZum Schluss berechnen wir die Steigung, indem wir
Einführung Grafisches Differenzieren (auch grafische Ableitung genannt) gibt uns zum einen die Möglichkeit, die Steigung des Graphen einer Funktion in einem bestimmten Punkt zu ermitteln, ohne dass wir
MehrGebrochen-Rationale Funktionen
Gebrochen-Rationale Funktionen Bernhard Scheideler Albrecht-Dürer-Gymnasium Hagen Hilfen zur Analysis (Q1) 20. Januar 2012 Inhalt: Die Diskussion einer gebrochen-rationalen Funktion wird an einem Beispiel
Mehr6 Die Bedeutung der Ableitung
6 Die Bedeutung der Ableitung 24 6 Die Bedeutung der Ableitung Wir wollen in diesem Kapitel diskutieren, inwieweit man aus der Kenntnis der Ableitung Rückschlüsse über die Funktion f ziehen kann Zunächst
MehrAbitur Mathematik Baden-Württemberg 2012
Abitur Mathematik: Baden-Württemberg 2012 Im sind keine Hilfsmittel zugelassen. Aufgabe 1 1. SCHRITT: STRUKTUR DER FUNKTION BESCHREIBEN Der Funktionsterm von f ist die Verkettung der Potenzfunktion g(x)
MehrÜbungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 2008/09
1 Übungsklausur Lineare Algebra I - Wintersemester 008/09 Teil 1: Multiple Choice (1 Punkte Für ie ganze Klausur bezeichne K einen beliebigen Körper. 1. Welche er folgenen Aussagen sin ann un nur ann erfüllt,
MehrNumerische Ableitung
Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:
MehrMathematik GK 11 m3, AB 07 Hochwasser Lösung
Aufgabe 1: Hochwasserwelle Während einer Hochwasserwelle wurde in einer Stadt der Wasserstand h des Flusses in Abhängigkeit von der Zeit t gemessen. Der Funktionsterm der Funktion, die den dargestellten
MehrLösungshinweise zu den Hausaufgaben:
P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 4. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 9 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu en Hausaufgaben: Aufgabe H. a)
MehrAbschlussaufgabe Nichttechnik - Analysis II
Analysis NT GS - 0.06.06 - m06_ntalsg_gs.mcd Abschlussaufgabe 006 - Nichttechnik - Analysis II.0 Gegeben sind die reellen Funktionen fx ( ) mit ID f = ID g = IR. ( ) = x und gx ( ) = fx ( ) +. Zeigen Sie,
MehrZiel: Iterative Lösung der (nichtlinearen) Gleichung f(x) = 0.
6.4 Fixpunkt-Iteration Ziel: Iterative Lösung der (nichtlinearen) Gleichung f(x) = 0. Möglichkeiten: Bisektionsverfahren (Intervallhalbierung) Newton-Verfahren, x k+1 = x k f(x k) f (x k ) für k = 0, 1,
Mehrur Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk
Mathematik f ur Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk www.math.uni-wuppertal.de/ herbort SoSe16 Arbeitsheft Blatt 1 Tutorium Hinweis:
MehrDierentialrechnung mit einer Veränderlichen
Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben
Mehr1 x x2 3 mit D f = IR. Teilaufgabe 1.1 (5 BE) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und geben Sie das Symmetrieverhalten von G f.
Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 0 Mathematik Nichttechnik - A II - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f( x) x x mit D f = IR. Teilaufgabe. (5 BE) Berechnen Sie die Nullstellen
MehrMathe - Lernzettel: Nullstellen, Monotonie und Ableitungen
Mathe - Lernzettel: Nullstellen, Monotonie und Ableitungen Leun4m 29. April 2015 Version: 0 Ich kann nicht für Richtigkeit garantieren! Inhaltsverzeichnis 1 Themenübersicht 1 2 Funktionen und Graphen 2
Mehr2. Symmetrie f(x) hat sowohl gerade als auch ungerade Exponenten, daher besitzt er weder eine Punktnoch eine Achsensymmetrie.
Mathematik Stufe 11, Boll, Fischer Eichendorffschule 05/009 Lösungen zu den Wochenplanaufgaben Tangenten zu Wendestellen, Kurvendiskussion und 1. Führe eine vollständige Funktionsuntersuchung ( Kurvendiskussion)
MehrEinführung des Differentialquotienten aus: Fokus Mathematik 11 (Cornelsen), Kapitel 9.1
Einführung des Differentialquotienten aus: Fokus Mathematik 11 (Cornelsen), Kapitel 9.1 Diese umfangreichere Aufgabe geht aus von mittleren Steigungen und führt dann hin zur mittleren Steigung. Zunächst
MehrAbschlussprüfung Fachoberschule 2014 Mathematik
Abschlussprüfung Fachoberschule 04 Aufgabenvorschlag A Funktionsuntersuchung /8 Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f( x) = x x+ ; x. 8. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen
MehrHinweis: Dieses Aufgabeblatt enthält auch Teilaufgaben zum grafischen Integrieren. Tipp: NEW-Regel anwenden für alle Aufgaben.
Dokument mit 33 Aufgaben Hinweis: Dieses Aufgabeblatt enthält auch Teilaufgaben zum grafischen Integrieren. Tipp: NEW-Regel anwenden für alle Aufgaben. Aufgabe A1 gegründet Stellung. (1) besitzt im Intervall
MehrÜber die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert.
Lineare Funktionen - Term - Grundwissen Woran erkennt man, ob ein Funktionsterm zu einer Linearen Funktion gehört? oder Wie kann der Funktionsterm einer Linearen Funktion aussehen? Der Funktionsterm einer
Mehr1. Aufgabe Niederschlag Diagramm I
1. Aufgabe Niederschlag Diagramm I a) Die Gesamtmenge entspricht der Fläche zwischen Graphen und x-achse. Diese kann durch entweder durch Kästchenzählen ermittelt werden oder durch ein Dreieck angenähert
MehrRechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration.
Rechenoperationen mit Folgen. Die Menge aller Folgen in V bildet einen Vektorraum, V N, für den die Addition und skalare Multiplikation wie folgt definiert sind. (a n ) n N + (b n ) n N := (a n + b n )
MehrMathematik III. Vorlesung 87. Die äußere Ableitung
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2010/2011 Mathematik III Vorlesung 87 Die äußere Ableitung In ieser Vorlesung weren wir ein neuartiges mathematisches Objekt kennenlernen, ie sogenannte äußere Ableitung.
Mehr