f x n ) 2 1 Gleichung (*) f' x 1 f'' x 1

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1 Das Newtonsche Näherungsverfahren, Teil Theorie - Konvergenzkriterium f x n Allgemeine Lösung: x n = x n f' x f' x n n 0 Nach er Fachliteratur (Bronstein/Semenjajew) arf man hier von einer Cauchy-Folge sprechen. Der Algorithmus wir als Funktion h aufgefasst. Umbenennung: x n = hx ( ) x n = x hx ( ) = x f( x) f' ( x) Berechnung er Ableitungsfunktion: h' ( x) = f' ( x) f' ( x) f( x) f'' ( x) ) Vereinfachungen: h' ( x) = f( x) f'' ( x) ) h' ( x) = f( x) f'' ( x) ) Konvergenz (nach Cauchy) liegt vor, wenn Folgenes gilt: h' ( x) f( x) f'' ( x) ) Gleichung (*) Falls x eine einfache Nullstelle ist, so gilt: f' x 0 h' x 0 Multiplizieren von (*) führt zu: f( x) f'' ( x) ) Für en Startwert x muss also gelten: Konvergenzbeingung: f x f'' x f' x Bemerkungen Das Verfahren kann immer ann angewenet weren, wenn er Nenner er Rekursions formel ungleich Null ist, also keine horizontalen Tangenten vorliegen. Das Newtonsche Verfahren versagt in er Regel, wenn ie Tangente an en Graphen er Funktion f in er Nähe er Nullstelle nahezu parallel zur x-achse verläuft. Das gilt auch ann, wenn nahe er Nullstelle eine Extremstelle oer eine Wenestelle mit nahezu horizontaler Wenetangente liegt. Außerem arf ie Nullstelle vom Startwert nicht zu weit entfernt sein. Newton-Verfahren, Teil Seite von 6

2 Aufgabe Gegeben ist er Funktionsterm f( x) 0 x3 x mit x IR. Zeigen Sie mit Begrünung, ass für en Startwert x 3 as Konvergenzkriterium erfüllt ist, agegen nicht für en Startwert x.. Ableitung: f' ( x) x f( x) 3x 0. Ableitung: f'' ( x) x f' ( x) 3x Startwert: x 3 linke Seite: f x f'' x.88 rechte Seite: f' x 6. Kriterium "erfüllt" Startwert: x linke Seite: f x f'' x 0.4 rechte Seite: f' x 0.0 Kriterium "nicht erfüllt" Starwert in er Umgebung er horizontalen Tangente. Ergebnis Das Newton'sche Näherungsverfahren muss nicht notwenigerweise zum Erfolg führen. Oft genügt jeoch eine anere, günstigere Wahl es Startwertes. Newton-Verfahren, Teil Seite von 6

3 Aufgabe Gegeben ist er Funktionsterm f( x) 0 8x3 0x 34x mit x IR. a) Zeigen Sie, ass es im Intervall ] 0 ; [ eine Nullstelle gibt. b) Zeigen Sie, ass, ausgehen vom Startwert x =, iese Nullstelle nicht bestimmt weren kann. c) Zeigen Sie, ass er Startwert x = geeignet ist un bestimmen Sie ie Nullstelle. Teilaufgabe a) f( 0).0 f (.8).97 Vorzeichenwechsel, also existiert nach em Nullstellensatz eine Nullstelle. Teilaufgabe b) f' ( x) x f( x) 6x x 7 0 Startwert wählen: Berechnung er falschen NS 3 Iteration: x x x i y-achse x-achse Lage er Nullstelle: x N.000 Ergebnis Beim Startwert x verläuft ie Kurve zu sehr in er Nähe er horizontalen Tangente. Daurch führt ie Nullstelle x er Tangente zu weit von er gesuchten Nullstelle weg un er Algorithmus bestimmt eine Nullstelle, ie man gar nicht wollte. Newton-Verfahren, Teil Seite 3 von 6

4 . Ableitung: f' ( x) x f( x) 6x x 7 0. Ableitung: f'' ( x) x f' ( x) x Startwert: x linke Seite: f x f'' x 8.8 rechte Seite: f' x 0.8 Kriterium "nicht erfüllt" Teilaufgabe c) Startwert: x linke Seite: f x f'' x 0. rechte Seite: f' x 6. Kriterium "erfüllt" f x i x i x i f' x i Iteration: Lage er Nullstelle: x i x N Newton-Verfahren, Teil Seite 4 von 6

5 Aufgabe 3 Gegeben ist er Funktionsterm f( x) x if x 0 mit x IR. x otherwise Zeigen Sie, ass as Konvergenzkriterium für keinen Startwert x erfüllt ist. Startwert wählen: Zyklisches Newton-Verfahren 4 x x 3 y-achse Ergebnis: x i x-achse Ergebnis Hier liegt ein zyklisches Newton-Verfahren vor. Man kann en Startwert beliebig wählen, urch ie Punktsymmetrie verläuft ie Rechnung immer im Kreis. Hier hilft auch nicht eine anere Wahl es Startwertes. Durch ie Punktsymmetrie bleibt as Verfahren immer zyklisch un konvergiert nicht. Konkret: x.8 linke Seite: f x f'' x 0.6 rechte Seite: f' x 0.6 Newton-Verfahren, Teil Seite von 6

6 Kriterium "nicht erfüllt" Allgemein: Sei x 0 0 Fx ( ) x F' ( x) x F'' ( x) 3 4x F'' x 0 linke Seite: Fx 0 annehmen x 0 0 rechte Seite: F' x 0 x 0 x 0 Kriterium nicht erfüllbar, enn beie Seiten sin ientisch. Newton-Verfahren, Teil Seite 6 von 6

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