Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 13. DAS NEWTONsche NÄHERUNGSVERFAHREN
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- Falko Fürst
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1 Mathematik: Mag. Schmi Wolgag Arbeitsblatt 3 6. Semester ARBEITSBLATT 3 DAS NEWTONsche NÄHERUNGSVERFAHREN Mit em Itervallschachtelugsverahre Siehe Arbeitsblatt habe wir bereits ei Verahre kee gelert, mit em ma eie Gleichug mit irratioale Lösuge beliebig geau löse ka. Ei zweites solches Verahre ist u as Newtosche Näherugsverahre. Ich zeige zuerst eimal as Gruprizip ieses Verahres am Problem es Ermittels er Nullstelle eier Fuktio au. Nehme wir a wir habe eie beliebige Fuktio gegebe: Wir ehme u eie beliebige Stelle au er -Achse u suche us e azugehörige Pukt P au er Fuktio: P I iesem Pukt P lege wir u ie Tagete a ie Fuktio:
2 Mathematik: Mag. Schmi Wolgag Arbeitsblatt 3 6. Semester P Der Schittpukt er Tagete mit er -Achse lieert us usere Näherug. A ieser Stelle suche wir us wieer e azugehörige Pukt au er Fuktio P : P P I iesem Pukt lege wir u wieer ie Tagete a ie Fuktio. We wir iese mit er -Achse scheie erhalte wir ie Näherug : P P
3 Mathematik: Mag. Schmi Wolgag Arbeitsblatt 3 6. Semester Sie erkee, ass wir so er tatsächliche Nullstelle immer äher komme. Nu leite wir us eie allgemeie Formel zur Durchührug ieses Weges her. User Ausgagswert sei, h. User erster Pukt P hat ie Kooriate: P Die Steigug er Fuktio i iesem Pukt ist ie. Ableitug ieser Fuktio: k Da eie Tagete eie Gerae ist muss sie er Form k etspreche. Zur Berechug vo setze wir k u e Pukt P ei: Somit lautet also ie Tagete i P : : t Aus em. u 3. Ausruck köe wir heraushebe: : t Nu scheie wir iese Tagete mit er -Achse: : Dies ist user Näherugswert : We wir ieselbe Operatio u ür e ächste Pukt urchühre würe, erhielte wir: P usw. Folglich erhalte wir also geerell: Sehe wir us u ie praktische Umsetzug es Verahres a eiem Beispiel a: Beispiel: Löse ie Gleichug Lösug:.Schritt: Alege eier gazzahlige Wertetabelle zum Ermittel er ugeähre Lage er Lösuge: Wir verwee azu ie etsprechee Fuktio
4 Mathematik: Mag. Schmi Wolgag Arbeitsblatt 3 6. Semester - -. Nullstelle 4. Nullstelle Nullstelle 4 4 Immer we ie -Werte vo eiem positive Wert au eie egative Wert oer umgekehrt wechsel, muss azwische logischerweise eie Nullstelle liege. Wime wir us zuächst er Ermittlug er Nullstelle zwische - u..schritt: Wir verwee u ie Newtosche Näherugsormel: Wir müsse u eie geeigete Startwert ie. Da er -Wert bei - äher bei Null liegt als bei muss ie Nullstelle äher bei liege. Ich wähle als Startwert -,7. 3.Schritt: Nu wee wir as Näherugsverahre a. Dazu erstelle wir us am beste eie Tabelle, bei er alle beötigte Werte vorkomme. Da wir auch ie. Ableitug beötige, ertige wir auch iese a: Nu setze wir usere Startwert 7 als ei u bereche us a ie etsprechee Werte er Zeile: -,7,697 7,7,697,4 7,7,7,4,94 Der Ewert ist u usere ächstes ei. Daach ühre wir ie gleiche Operatio beliebig ot urch: -,7,697 7,7,697,4 7,7,7,4,94 4
5 Mathematik: Mag. Schmi Wolgag Arbeitsblatt 3 6. Semester -,94 -,3657,79,3657,94,359, 949,359,79 -,949 -,85 9, ,88 -,93 We ma ie gewüschte Geauigkeit erreicht hat, ka ma auhöre. Bei us lautet ie. Lösug, 9 Deselbe Weg wee wir u zur Ermittlug er. Nullstelle a, ie zwische u liege muss. Am -Wert erkee wir, ass ie Lösug äher bei liege muss. Ich wähle als Startwert,:, -,3-5,8,66,9394,9394 -, -5,754,4,9394 Die. Lösug lautet also, 9. Die ritte Lösug liegt zwische 3 u 4, etwas äher bei 4. Ich wähle e Startwert 3,6: 3,6 -,84,8 -,746 3,7746 3,7746,9544,7885,84 3,793 3,793,5,66,4 3,798 Die 3. Lösug lautet also 3 3, 7. Ob Sie zum Löse ieser Gleichuge ie Itervallschachtelug oer Newto verwee bleibt später ihe überlasse. Das Newtosche Näherugsverahre hat e Vorteil, ass es sich sehr schell a e gesuchte Wert aähert. Ei Nachteil ist as Fie eies gesuchte Startwertes. Nimmt ma eie ugüstige Wert Zu weit vo er Lösug etert!!, so ka es passiere, ass as Newtosche Näherugsverahre icht uktioiert. Übug: Übugsblatt 3; Augabe 65 5
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