Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

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1 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Seminar Hallo Welt für Fortgeschrittene 2008 Matthias Niessner June 20, 2008 Erlangen 1 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

2 Übersicht 1 Modulare Arithmetik Rechenregeln Schnelle Exponentiation 2 Euklid und Bézout Größter gemeinsamer Teiler Lemma von Bézout Erweiterter Euklid Diophantische Gleichungen 3 Primzahlen Einführung Primzahlentests 4 Chinesischer Restsatz Simultane Kongruenzen 5 Ausklang 2 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

3 Modulare Arithmetik Modulare Arithmetik - Motivation Wozu??? Anwendungen in der Kryptographie speziell RSA oder Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Zum Quälen der Studenten in der theoretischen Informatik Natürlich auch für Programmierwettbewerbe wie den ICPC 3 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

4 Modulare Arithmetik Modulare Arithmetik Kongruenzen Grundlagen: a b (mod n) n (a b) Es gibt also unendlich viele Elemente einer Restklasse, die kongruent zueinander sind Daher ist a mod n = b mit 0 <= b < n ein Vertreter der Klasse, der sie quasi repräsentiert. Folglich gelten innerhalb einer Restklasse gewisse Rechenregeln 4 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

5 Modulare Arithmetik Rechenregeln Rechenregeln Addition: a + b c (mod n) (a mod n) + (b mod n) c (mod n) Subtraktion: a b c (mod n) (a mod n) (b mod n) c (mod n) Multiplikation: a b c (mod n) (a mod n) (b mod n) c (mod n) Division: Multiplikation mit dem modularen Inversen; mehr dazu später 5 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

6 Modulare Arithmetik Rechenregeln Exponentiation: Ist eine Folge von Multiplikationen a b c (mod n) (a mod n) b c (mod n) Naiver Ansatz hat Komplexität O(n) Optimierung: fast exponentiation bzw. square & multiply Benötigt nur noch O(log(n)) 6 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

7 Modulare Arithmetik Schnelle Exponentiation square & multiply 1 i n t f a s t e x p ( i n t base, i n t exponent, i n t module ) { 2 i n t r e s u l t ; 3 f o r ( r e s u l t = 1; exponent ; ) { 4 i f ( exponent & 0x1 ) { 5 r e s u l t = base ; 6 r e s u l t %= module ; 7 exponent ; 8 } else { 9 base = base ; 10 base %= module ; 11 exponent >>= 0x1 ; 12 } 13 } 14 r e t u r n r e s u l t ; 15 } 7 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

8 Modulare Arithmetik Schnelle Exponentiation square & multiply Beispiel: (mod 7) = (mod 7) = (mod 7) (mod 7) = (mod 7) = (mod 7) (mod 7) = (mod 7) = (mod 7) (mod 7) = (mod 7) = (mod 7) (mod 7) = (mod 7) = (mod 7) (mod 7) = (mod 7) = 5 (mod 7) Hinweis: Die Rechenregeln sind wichtig, damit keine Überläufe entstehen. Bei den ZAA-Aufgaben wird man dies sehr schnell merken ;) 8 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

9 Euklid und Bézout Größter gemeinsamer Teiler Teiler und Größter gemeinsamer Teiler Definition Gemeinsamer Teiler: gt(a,b) ist natürliche Zahl die sowohl a als auch b teilt x gt(a, b) : x a x b Definition Größter gemeinsamer Teiler: ggt(a,b) ist die größte natürliche Zahl die sowohl a als auch b teilt ggt(a, b) = max{gt(a, b)} 9 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

10 Euklid und Bézout Größter gemeinsamer Teiler Euklidscher Algorithmus Wie findet man - effizient - den ggt zweier Zahlen? Es gilt folgender Satz Theorem ggt (a, b) = ggt (b, a mod b) Daraus ergibt sich der Algorithmus von Euklid: 1 i n t ggt ( i n t a, i n t b ) { 2 i f ( b ) r e t u r n ggt ( b, a%b ) ; 3 else r e t u r n a ; 4 } 10 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

11 Euklid und Bézout Lemma von Bézout Lemma von Bézout Theorem Lemma von Bézout: a, b N d, e Z ggt (a, b) = d a + e b Hinweis: Das Lemma wird auch Vielfachsummendarstellung genannt. Gleichzeitig ergibt sich das modulare Inverse: Theorem Modulares Inverses: d, n N ggt (d, n) = 1 d, x Z 1 = e d + x n Es gilt: d e 1 (mod n) Daher ist e das modulare Inverse zu d 11 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

12 Euklid und Bézout Erweiterter Euklid Erweiterter Euklid Berechnung der Bézout-Koeffizienten mit Hilfe des Algorithmus von Euklid von a, b N Idee: Protokollieren der Koeffizienten während der Berechnung Seien q i = a i 1 b i 1 und x i, y i die Koeffizienten x i = x i 2 x i 1 q i y i = y i 2 y i 1 q i w i = w i 2 mod w i 1 Starte mit x 0 = 1 y 0 = 0 x 1 = 0 y 1 = 1 w 0 = a w 1 = b Wenn w i = ggt (a, b) ist das Ziel erreicht 12 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

13 Euklid und Bézout Erweiterter Euklid Erweiterter Euklid Beispiel: w i x i y i q i ggt (792, 75) = 3 = ( 95) von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

14 Euklid und Bézout Erweiterter Euklid Erweiterter Euklid 1 void ew eukl ( i n t a, i n t b ) { 2 i n t x a l t =1, x neu =0, y a l t =0, y neu =1; 3 i n t w a l t =a, w neu=b, q=0, tmp x, tmp y, tmp w ; 4 while ( w neu ) { 5 q = w a l t / w neu ; tmp w = w neu ; 6 w neu = w a l t % w neu ; 7 w a l t = tmp w ; 8 tmp x = x neu ; tmp y = y neu ; 9 x neu = x a l t x neu q ; 10 y neu = y a l t y neu q ; 11 x a l t = tmp x ; y a l t = tmp y ; 12 } 13 p r i n t f ( "%d = %d*%d + %d*%d\n", 14 w alt, a, x a l t, b, y a l t ) ; 15 } 14 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

15 Euklid und Bézout Diophantische Gleichungen Diophantische Gleichungen Eine diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form f(x 1, x 2,..., x n ) = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten und Lösungen. Theorem Die Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung ist unentscheidbar (Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch). Eine lineare diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c ebenfalls mit ganzzahligen Koeffizienten und Lösungen. Theorem Eine lineare diophantische Gleichung ist genau dann lösbar, wenn der ggt aller a i ein Teiler von c ist. 15 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

16 Euklid und Bézout Diophantische Gleichungen Lineare diophantische Gleichungen Betrachte lineare diophantische Gleichung mit n = 2, also der Form ax + by = c, wobei ggt(a, b) c Dies lässt sich mit Hilfe des erweiterten Euklids recht einfach lösen: Berechne au + bv = ggt(a, b) Setze x = u c ggt(a,b) bzw. y = v voilá und man hat die richtige Lösung ; ) c ggt(a,b) 16 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

17 Primzahlen Einführung Was sind Primzahlen? Definition p N heißt prim, wenn : p = 2 p > 2 ggt(p, n) = 1 n N n [2, p 1] Theorem Es gibt unendlich viele Primzahlen! Seien p 1...p n prim p new = ( N i=1 p i) 1 Entweder p new ist prim oder besitzt einen neuen Primfaktor. Dies lässt sich beliebig oft wiederholen. 17 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

18 Primzahlen Einführung Sieb des Eratosthenes Wie findet man alle Primzahlen (zu einer oberen Grenze)? Sieb des Eratosthenes - Algorithmus: 1 Schreibe alle ganzen Zahlen von 1 bis zur Grenze n 18 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

19 Primzahlen Einführung Sieb des Eratosthenes Wie findet man alle Primzahlen (zu einer oberen Grenze)? Sieb des Eratosthenes - Algorithmus: 1 Schreibe alle ganzen Zahlen von 1 bis zur Grenze n 2 Markiere erste Zahl 18 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

20 Primzahlen Einführung Sieb des Eratosthenes Wie findet man alle Primzahlen (zu einer oberen Grenze)? Sieb des Eratosthenes - Algorithmus: 1 Schreibe alle ganzen Zahlen von 1 bis zur Grenze n 2 Markiere erste Zahl 3 Schiebe Markierung eins nach rechts 18 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

21 Primzahlen Einführung Sieb des Eratosthenes Wie findet man alle Primzahlen (zu einer oberen Grenze)? Sieb des Eratosthenes - Algorithmus: 1 Schreibe alle ganzen Zahlen von 1 bis zur Grenze n 2 Markiere erste Zahl 3 Schiebe Markierung eins nach rechts 4 Streiche alle Vielfachen der markierten Zahl 18 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

22 Primzahlen Einführung Sieb des Eratosthenes Wie findet man alle Primzahlen (zu einer oberen Grenze)? Sieb des Eratosthenes - Algorithmus: 1 Schreibe alle ganzen Zahlen von 1 bis zur Grenze n 2 Markiere erste Zahl 3 Schiebe Markierung eins nach rechts 4 Streiche alle Vielfachen der markierten Zahl 5 Wiederhole Schritt 3-4 bis Markierung bei n 18 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

23 Primzahlen Einführung Sieb des Eratosthenes Wie findet man alle Primzahlen (zu einer oberen Grenze)? Sieb des Eratosthenes - Algorithmus: 1 Schreibe alle ganzen Zahlen von 1 bis zur Grenze n 2 Markiere erste Zahl 3 Schiebe Markierung eins nach rechts 4 Streiche alle Vielfachen der markierten Zahl 5 Wiederhole Schritt 3-4 bis Markierung bei n 6 Alle nicht gestrichenen Zahlen sind prim 18 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

24 Primzahlen Primzahlentests Primzahlentests Ein weiterer wichtiger Punkt... Wie findet man heraus ob, eine Zahl n prim ist oder nicht? einfache Lösung: Teste i N mit 1 < i n ob Teiler von n Falls i gilt i n n ist prim Achtung: Bei großen Zahlen ist das nicht praktikabel! Alternativen? Probabilistische Primzahlentests Idee: Man sucht Zeugen für die Zusammengesetztheit Nach einer gewissen Anzahl an Versuchen erhält man eine gewisse Wahrscheinlichkeit, ob eine Zahl prim ist. Falls man einen Zeugen findet, ist die Zahl nicht prim. 19 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

25 Primzahlen Primzahlentests Primzahlentests - Arten von Zeugen Sei a Z(n) : a ist Zeuge für Zusammengesetztheit mit 1 < a < n falls Z(n) = n ist prim falls Z(n) n ist zusammengesetzt Teilbarkeitszeugen: a T (n) a n Euklidzeugen: a E (n) ggt (a, n) 1 Fermat-Zeugen: a F (n) a n 1 1 (mod n) Miller-Rabin-Zeugen: a MR (n) n 1 = 2 t u, u ungerade I) a u 1 (mod n) II) 0 i < t : a u 2i 1 (mod n) T E F MR 20 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

26 Primzahlen Primzahlentests Primzahlentests - Zeugen Auf Grund der Mächtigkeit der Mengen ist es am effektivsten nach Miller-Rabin-Zeugen zu suchen Zudem: Es existieren zusammengesetzte Zahlen die keine Fermat-Zeugen besitzen (diese heißen Charmichaelzahlen) Es existiert eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit beim Fermat-Test Beim Miller-Rabin-Test ist diese lim j 0.25 j = 0 Hier kann in der Praxis schon mit wenigen Iterationen relativ sicher gesagt werden ob eine Zahl prim ist 21 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

27 Chinesischer Restsatz Simultane Kongruenzen Praktisches Problem... Eine Bande von 5 Räubern stahl einen Sack mit Goldstücken. Als sie ihre Beute teilen wollten, blieben 2 Goldstücke übrig. Beim Streit darüber, wer ein Goldstück mehr erhalten sollte, wurde ein Räuber erschlagen. Jetzt blieben bei der Verteilung 3 Goldstücke übrig. Erneut kam es zum Streit, und wieder verlor ein Räuber sein Leben. Die übrigen drei Räuber mochten sich jedoch gern und obwohl erneut bei der Verteilung 2 Goldstücke über waren, einigten sie sich friedlich. Wieviele Goldstücke waren mindestens in dem Sack? 22 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

28 Chinesischer Restsatz Simultane Kongruenzen Chinesischer Restsatz Simultane Kongruenzen: x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ). x a n (mod m n ) Es soll ein x bestimmt werden, welches alle Kongurenzen erfüllt Doch gibt es immer eine Lösung für x? - Nein! Theorem x i j : a i a j (mod ggt(m i, m j )) Das beinhaltet: Sind m i und m j teilerfremd, existiert eine Lösung 23 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

29 Chinesischer Restsatz Simultane Kongruenzen Chinesischer Restsatz Sei m i und m j teilerfremd, gilt: k l : x k x l (mod M) mit M = n k=1 m k Ebenso: i : ggt(m i = M m i, m i ) = 1 r i, s i : 1 = r i m i + s i M i mittels erweitertem Euklid M i s i 1 (mod m i ) M i s i 0 (mod m j ), i j folgt aus Definition von M i Daher ist: x = n i=1 a i s i M i 24 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

30 Chinesischer Restsatz Simultane Kongruenzen Chinesischer Restsatz - Beispiel Beispiel: x 2 (mod 3) x 3 (mod 4) x 2 (mod 5) M = = 60, M 1 = M 3 = 20, M 2 = M 4 = 15, M 3 = M 5 = 12 Daraus folgt mit erweiterten Euklid: ( 1) 20 = ( 1) 15 = ( 2) 12 = 1 x = 2 ( 20) + 3 ( 15) + 2 ( 24) = (mod 60) Alle Lösungen sind kongruent von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

31 Chinesischer Restsatz Simultane Kongruenzen Chinesischer Restsatz Wo findet der chinesische Restsatz Anwendung? Zum einen in Beispielen wie vorhin und zum anderen in beispielsweise in der Kryptographie. Wenn man mit sehr großen Restklassen rechnet, kann man ggf. die Berechnung splitten: Voraussetzung man kennt die Faktorisierung des Moduloarguments. Man muss dann noch die Teillösungen a i bestimmen und kann mit dem CRT dann x berechnen. 26 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

32 Chinesischer Restsatz Simultane Kongruenzen CRT - Exkurs zu RSA Exkurs zu RSA: m p = c d mod p bzw. m q = c d mod q Daraus ergibt sich die simultane Kongruenz: m m p (mod p) bzw. m m q (mod q) m lässt sich dann mit dem CRT berechnen Großer Nachteil: Dies wurde in Hardware so wie oben realisiert. Demzufolge mussten p und q auf den Recheneinheiten gespeichert werden. Das heißt: konnte man bei einem dieser Berechnungsschritte Bitkipper in p oder in q erzeugen, war das jeweils andere erheblich leichter zu faktorisieren und folglich die Sicherheit gefährdet. 27 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

33 Ausklang Finito Gibt es noch Fragen??? 28 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

34 Ausklang Literaturverzeichnis Empfehlenswerte Literatur: A. Bartholoé, J. Rung, H. Kern - Zahlentheorie für Einsteiger B. Schneier: Angewandte Kryptographie: Protokolle, Algorithmen und Quellcode in C J. Buchmann: Einführung in die Kryptographie 29 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

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