Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I

Transkript

1 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Ulrich Rabenstein Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

2 1 Modulare Arithmetik 2 Teiler 3 Primzahlen Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

3 Motivation Beispiel Input: 100 stellige Binärzahl Output: Teilbar durch 7? YES : NO Betrachtung der Zahl mod 7 genügt! Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

4 Definition Definition (mod n) : Z Z n wobei Z n = {0, 1,..., n 1} x mod 0 ist undefiniert Division by Zero x mod 1 = 0 x Z Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

5 Rechenregeln Rechenregeln (x + y) mod n = (x mod n + y mod n) mod n (x y) mod n = (x mod n y mod n) mod n x y mod n = (x mod n) y mod n Potenzierung geht auch besser! Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

6 Binäre Exponentation Idee: a b = a 2c+d = (a c ) 2 a d mit d {0, 1} Beispiel 8 23 = = (8 11 ) 2 8 = (8 10 8) 2 8 = ((8 5 ) 2 8) 2 8 = ((8 4 8) 2 8) 2 8 = (((8 2 ) 2 8) 2 8) 2 8 Somit sind für x m nur noch O(log m) statt O(m) Multiplikation notwendig. Geht auch mit Matrizen! Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

7 Binäre modulo-exponentation Idee: a b = a 2c+d = (a c ) 2 a d mit d {0, 1} Algorithmus für a b mod n: 1 i n t modexp ( i n t a, i n t b, i n t n ) { 2 i f ( b==0) r e t u r n 1 ; 3 i f ( b==1) r e t u r n a ; 4 i n t ac = modexp ( a, b /2, n ) ; // aˆ c 5 ac = ( ac ac ) % n // ( aˆ c ) ˆ2 6 i f ( b % 2!= 0) r e t u r n ( ac a )%n ; // ( aˆ c ) ˆ2 a 7 e l s e r e t u r n ac ; // ( aˆ c ) ˆ2 8 } Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

8 Achtung! mod ist nicht % mod gibt immer positive Zahlen zurück. % liefert auch negative Zahlen (C++,Java). Lösung: 1 i n t mod( i n t a, i n t n ) { 2 i n t r = a % n ; 3 r e t u r n ( r < 0)? r + n : r ; 4 } Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

9 1 Modulare Arithmetik 2 Teiler 3 Primzahlen Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

10 Definition Teiler a teilt b genau dann, wenn b das k-fache von a ist. a b k : a k = b Eigenschaften Für alle x gilt: 1 x, x x und x 0 (triviale Teiler) a b ( a) b a ( b) Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

11 Definition größter gemeinsamer Teiler ggt(a, b) ist die größte Zahl die a und b teilt. Eigenschaften ggt(a, 0) = a ggt(a, b) = ggt(b, a mod b) Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

12 Euklidischer Algorithmus Eigenschaften ggt(a, 0) = a ggt(a, b) = ggt(b, a mod b) 1 i n t ggt ( i n t a, i n t b ) { 2 i f ( b == 0) r e t u r n a ; 3 r e t u r n ggt ( b, a%b ) ; 4 } Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

13 Lemma von Bézout Lemma a, b Z : s, t Z : ggt(a, b)= s a + t b Erweiterter euklidischer Algorithmus (C++11): 1 // r e t [ 0 ] = ggt ( a, b ) = r e t [ 1 ] a + r e t [ 2 ] b 2 v e c t o r <i n t > r e t = { 0, 0, 0 } ; 3 v o i d eea ( i n t a, i n t b ) { 4 i f ( b==0) r e t ={a, 1, 0 } ; 5 e l s e { 6 eea ( b, a%b ) ; 7 i n t s = r e t [ 1 ] ; i n t t = r e t [ 2 ] ; 8 r e t ={ r e t [ 0 ], t, s ( a/b ) t } ; 9 } 10 } Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

14 Diophantische Gleichungen Motivation Eine Hausfrau kauft Äpfel und Orangen für insgesamt 8.39 Euro. Wenn ein Apfel 25 Cent kostet und eine Orange 18 Cent, wie viele Äpfel und Orangen hat sie dann gekauft? Lösen der Gleichung 25x + 18y = 839 mit x, y N Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

15 Diophantische Gleichungen Definition: Diophantische Gleichung f (x 0,..., x n ) = 0 mit einer Polynomfunktion f mit ganzzahligen Koeffizienten. Gesucht werden nur Lösungen in Z. Problem Die Lösbarkeit allgemeiner diophantischer Gleichungen ist unentscheidbar! Wir betrachten lineare diophantische Gleichungen. Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

16 Lineare diophantische Gleichungen Bemerkung Lineare diophantische Gleichungen haben die Form a 1 x 1 + a 2 x a n x n + c = 0. Satz Lösbar genau dann, wenn ggt(a 1, a 2,..., a n ) c. Eine Unbekannte a 1 x 1 + c = 0 ist lösbar a 1 c. Lösung ist x 1 = c a 1 Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

17 Lineare diophantische Gleichungen Zwei Unbekannte a 1 x 2 + a 2 x 2 = c Aus EEA folgt sa 1 + ta 2 = g g := ggt(a 1, a 2 ) Multiplikation mit c g liefert sc g }{{} x 1 a 1 + tc g }{{} x 2 a 2 = c Weitere Lösungen mit x 1 = x 1 + a 2 g v und x 2 = x 2 a 1 g v (v Z) Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

18 Lineare diophantische Gleichungen Mehr als zwei Unbekannte Reduzierbar auf mehrere lin. diophantische Gleichungen mit zwei Unbekannten. Tafel Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

19 Pollard-rho-Methode Ziel Ermittlung eines Faktors einer Zahl n. Idee Sei n = pq eine bel. zusammengesetzte Zahl, x i eine Folge von Pseudozufallszahlen, z.b. x i+1 = (xi 2 c) mod n x j x k (mod n) x j = x k + an n x j x k ggt( x j x k, n) 1 Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

20 Pollard-rho-Methode 1 i n t rho ( i n t n ) { 2 x = y = random ( 0, n 1) ; d = 1 ; 3 w h i l e ( d == 1) { 4 x = f ( x ) ; // f : pseudorandom f u n c t i o n 5 y = f ( f ( y ) ) ; 6 i f ( x == y ) r e t u r n 1; // c y c l e d e t e c t i o n 7 d = ggt ( abs ( x y ), n ) ; 8 } 9 r e t u r n d ; 10 } Laufzeit: O(log(n) n), bei Erfolg O(log(n) 4 n) Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

21 Teileranzahlfunktion Definition τ(n) = {d N : d n} Berechnung Sei n = p e 1 1 pe pe r r Dann ist τ(n) = (e 1 + 1) (e 2 + 1)... (e r + 1) τ(6) = 4 τ(50400) = τ( ) = 108 Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

22 1 Modulare Arithmetik 2 Teiler 3 Primzahlen Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

23 Primzahlen Definition p ist prim n {2,..., p 1} : n p 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,... Wie finden wir Primzahlen? Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

24 Sieb des Eratosthenes 1 c o n s t i n t MAX = ; // 10ˆ5 2 b i t s e t <MAX> bs ; 3 v e c t o r <l l > p r imes ; // s z ( p r i m e s ) ca. 10ˆ4 nach s i e v e ( ) 4 v o i d s i e v e ( ) { 5 bs. s e t ( ) ; 6 bs [0]= bs [ 1 ] = 0 ; 7 f o r ( l l i = 2 ; i < MAX ; i ++){ 8 i f (! bs [ i ] ) c o n t i n u e ; 9 f o r ( l l j = i i ; j<= MAX ; j+=i ) { 10 bs [ j ] = 0 ; 11 } 12 p r imes. pb ( i ) ; 13 } 14 } Laufzeit: O (n log log(n)) Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

25 Verbesserte Probedivision Idee Erst Primzahlsieb, dann Probedivison mit allen gefundenen Primzahlen. 1 b o o l i s P r i m e ( l l N) { // works up to p r i m e s. back ( ) ˆ2 2 i f (N <= MAX) r e t u r n bs [N ] ; //O( 1 ) 3 FOR( i, 0, s z ( p r imes ) ) 4 i f (N % p r i m e s [ i ] == 0) r e t u r n f a l s e ; 5 r e t u r n t r u e ; 6 } Laufzeit: O ( N log N ) Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

26 Eulersche ϕ-funktion Definition ϕ(n) := {1 x n : ggt(x, n) = 1} ϕ(n) ist die Anzahl der zu n teilfremden Zahlen. Eigenschaften p P : ϕ(p) = p 1 n / P : ϕ(n) < n 1 ggt(a, b) = 1 ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) ϕ(6) = 2 ϕ(50400) = Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

27 Satz von Euler Satz ggt(a, n) = 1 a ϕ(n) 1 (mod n) Beispiel Was ist die letzte Stelle von ? Betrachte mod 10; ggt(3, 10) = 1; ϕ(10) = = = (3 4 ) ((3 4 ) 130 3) (mod n) Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

28 Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler ggt(a, n) = 1 a ϕ(n) 1 (mod n) Spezialfall davon: Kleiner Satz von Fermat Sei p P und a Z : 1. p a a p 1 1 (mod p) 2. a p a (mod p) Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

29 Satz von Fermat als Primzahltest Kleiner Satz von Fermat Sei p P und a Z : 1. p a a p 1 1 (mod p) 2. a p a (mod p) Nützlich als Primzahltest, aber es gibt Zahlen die den Satz erfüllen und nicht prim sind! Carmichael-Zahlen Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

30 Miller-Rabin-Test Satz Sei p eine Primzahl, dann gilt x 2 1 (mod p) x 1 (mod p) x 1 (mod p). Idee x 2 1 (mod n) x 1 (mod n) x 1 (mod n) n ist keine Primzahl! Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

31 Miller-Rabin-Test Idee x 2 1 (mod n) x 1 (mod n) x 1 (mod n) n ist keine Primzahl! Algorithmus für n O(log 3 (n)) Sei a {2,..., n 1} eine Basis; n 1 = d 2 i (2 d). Berechne a d, a 2d,..., a 2id (mod n) Falls die Idee zutrifft: return nicht prim Sonst: return wahrscheinlich prim Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

32 Miller-Rabin-Test Problem Den Test bestehen auch starke Pseudoprimzahlen zur Basis a. Für kleine Primzahlen fehlerfrei: a {2, 7, 61} reicht aus für n < 4, Fehlerwahrscheinlichkeit nach k Durchläufen: 1 4 k Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

33 Zusammenfassung Modulare Arithmetik Zahlen klein halten fast exponentation Teiler ggt, EEA Lösen von lin. dioph. Gleichungen Primzahlen Primzahltests Pseudoprimzahlen Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34

34 Quellen Folien von Chrstoph Egger und Tobias Polzer Steven & Felix Halim: Competitive Programming 2, 2011 Guido Pezzini: Algebra, Vorlesungsskript, WS 2012/13 Thomas Cormen et. al: Introduction to algorithms, 3. Auflage, MIT Press 2009 Jan Stellet: Lineare diophantische Gleichungen, Facharbeit 2006, diophantische_gleichungen.pdf Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / 34