Inhaltsverzeichnis Anf ange von Arithmetik und Algebra Die geometrische Algebra der Griechen

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Anfänge von Arithmetik und Algebra Zählen, Zahlen und Rechnen am Beginn Arithmetik und Algebra im alten Ägypten Abriss der kulturgeschichtlichen Entwicklung im Niltal Altägyptische Zahlzeichen Arithmetik im alten Ägypten Primitive Algebra Mesopotamische (Babylonische) Algebra Entwicklung früher Hochkulturen in Mesopotamien Zahlzeichen in Keilschrift Die Methode des einfachen falschen Ansatzes Lineare Gleichungssysteme Nichtlineare Systeme und quadratische Gleichungen Kubische Gleichungen: Der Beginn eines 3500 Jahre alten Problems Näherungswerte von Aufgaben zu Kapitel Die geometrische Algebra der Griechen Einführung Beginn des abstrakten Denkens Ionische Periode (ca v. Chr.) Athenische Periode ( v. Chr. ) Hellenistische Periode (ca. 300 v. Chr. ca. 150 n. Chr.) Spätantike (ca. 150 ca. 500 n. Chr. ) Das besondere Merkmal der griechischen Algebra Lineare und quadratische Gleichungen Die Elemente des Euklid Die Methode der Flächenanlegung Lineare Gleichungen Rein quadratische Gleichungen Ein Diorismos Lösung quadratischer Gleichungen nach Euklid Kubische und biquadratische Gleichungen Kubische Gleichungen in Kugel und Zylinder von Archimedes Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch Einschiebung von Archimedes Dreiteilung des Winkels nach Archimedes Archimedes und die biquadratischen Gleichungen Das Delische Problem die Würfelverdopplung Die Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix IX

2 X INHALTSVERZEICHNIS 2.6 Formale Algebra Formale Algebra vor Diophant Synkopierte Algebra Arithmetika von Diophant Aufgaben zu Kapitel Algebra im Orient Algebra in China Geschichtlicher Abriss Zahlzeichen Quadrat- und Kubikwurzeln Der doppelte falsche Ansatz (Überschuss und Fehlbetrag) Lineare Gleichungssysteme Algebra im 13. Jahrhundert Algebra in Indien Geschichtlicher Abriss Zahlzeichen und das dezimale Stellenwertsystem Algebraische Ausdrucksweise Näherungsverfahren für Wurzeln Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Algebra in den Ländern des Islam Geschichtlicher Abriss Die Verbreitung der indischen Ziffern in den islamischen Ländern Algebraische Ausdrucksweise Lineare und unbestimmte Gleichungen Quadratische Gleichungen Arithmetisierung der Algebra Die (geometrische) Theorie von c Umar ayyām für die Gleichungen dritten Grades H Eine Abhandlung von ayyām über Algebra Gleichungen vierten Grades H Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen Aufgaben zu Kapitel Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance Einführung Übersetzungen aus dem Arabischen Leonardo von Pisa Jordanus Nemorarius und Johannes de Muris Die Entwicklung in Italien Luca Pacioli Entwicklungen in Westeuropa

3 INHALTSVERZEICHNIS XI Nicolas Chuquet Robert Recorde Simon Stevin Pedro Nunes Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum - die Deutsche Coß Die sog. Deutsche Coß Adam Ries, Abraham Ries u. Jacob Ries als Cossisten Chistoph Rudolff und Michael Stifel Zur Entwicklung des Zahlbegriffes Aufgaben Algebra wird zur selbständigen Disziplin ( Jh.) Historische Einführung Gleichungen dritten und vierten Grades Lösungen für Gleichungen dritten Grades Niccolò Tartaglia Girolamo Cardano Auflösung von Gleichungen vierten Grades Rafaelo Bombelli Viète und Descartes François Viète (FranciscusVieta) René Descartes (Cartesius) Die algebraischen Methoden von Descartes Newton und Euler Isaac Newton Zur Vorgeschichte des Fundamentalsatzes der Algebra Leonhard Euler und der Fundamentalsatz der Algebra Euler und sein Algebralehrbuch Aufgaben Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts Historische Einführung Die Begründung des Rechnens in gewöhnlichen Zahlbereichen Die Begründung der komplexen Zahlen Algebra als Methode Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten Grades in Radikalen Die Ergebnisse von Lagrange Die Lösungsansätze von Vandermonde und Waring Ruffini und erste Ergebnisse über Permutationsgruppen Gauß und die Auflösung der Kreisteilungsgleichung Abels Beweis für die Nichtauflösbarkeit der allgemeinen Gleichung 5. Grades

4 XII INHALTSVERZEICHNIS 6.5 Zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra durch Gauß Die Herausforderung der Algebra durch neue Objektbereiche Determinanten Einfluss der Disquisitiones arithmeticae von Gauß Aufgaben zu Kapitel Die Herausbildung erster Strukturbegriffe Vorbemerkungen Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen Galois-Theorie Der Beitrag von Niels Henrik Abel Die Lösung des Problems durch Évariste Galois Von Permutationen zu Permutationsgruppen Auf dem Weg zur abstrakten Algebra George Peacock Augustus de Morgan Duncan Farquharson Gregory George Boole und die Algebra der Logik Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme William Rowan Hamilton und die Quaternionen Arthur Cayley Oktonionen und die erste Definition des abstrakten Gruppenbegriffs Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra Gaußsche ganze Zahlen und Reziprozitätsgesetze Kummers Schöpfung der idealen Zahlen Die Fortschritte in der linearen Algebra Die Entwicklung des Matrizenkalküls Die Entwicklung der Theorie der Vektorräume Die Arbeiten von Hermann Günther Graßmann Aufgaben zu Kapitel Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis Vorbemerkungen Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie Die Rezeption der Galois-Theorie in Deutschland Die Darstellung der Galois-Theorie durch Joseph Alfred Serret und Camille Jordan Die große Zeit der Invariantentheorie Die britische Schule der Invariantentheorie Die Weiterentwicklung und die Formulierung des Grundproblems der Invariantentheorie Die Theorie der Transformationsgruppen Kleins Erlanger Programm und die Theorie der endlichen Transformationsgruppen Die Liesche Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen

5 INHALTSVERZEICHNIS XIII 8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen Hankels Theorie der complexen Zahlensysteme Die Klassifikation der Algebren bei Benjamin Peirce Aufgaben zu Kapitel Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert Historische Einführung Mengenlehre und Algebra der Logik Schröders Algebra der Logik und Freges Logizismus Die axiomatische Methode Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Ideale und Divisoren, Körper Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra Hyperkomplexe Systeme (Algebren) Darstellungen von Gruppen und Algebren Die algebraische Geometrie Aufgaben zu Kapitel Die Algebra im 20. Jahrhundert Historische Einführung Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra Aufbau einer allgemeinen Ring- und Idealtheorie Moderne Algebra Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen Die Entstehung der Verbandstheorie Bourbaki und Strukturkonzepte Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra Die algebraische Geometrie Anwendungen der Algebra in der Physik Die algebraische Durchdringung der Topologie Algebraische Methoden in anderen Bereichen Computeralgebra Vorbemerkungen Charakterisierung der Computeralgebra Die Entwicklung von Algorithmen Die Entwicklung von Computeralgebrasystemen Anwendungen der Computeralgebra, mathematische Bildung, Präsentation in der Gesellschaft Computeralgebra im Jahre Algorithmen Algorithmische Gruppentheorie Algorithmische algebraische Zahlentheorie.. 668

6 XIV INHALTSVERZEICHNIS Software Systeme Anwendungen Der Zauberwürfel Die Nullstellen eines Polynoms Kristallographische Gruppen Robotik Kryptographie Aufgaben zu Kapitel Literaturverzeichnis 679 Abbildungsverzeichnis 715 Personenregister mit Lebensdaten 723 Index 735 Hinweise für den Leser IndenKapiteln1 5sinddieLebensdatenderGelehrtenauchimlaufenden Text enthalten, in den Kapiteln 6 10 wegen der großen Anzahl nur vereinzelt. Im Personenregister sind alle Lebensdaten (soweit bekannt) aufgeführt. Runde Klammern (...) enthalten ergänzende Einschübe oder Hinweise auf Abbildungen oder Aufgaben. Eckige Klammern [...] enthalten im laufenden Text Hinweise auf Literatur unter Abbildungen Quellenangaben. Abbildungen sind nach Teilkapiteln nummeriert, z. B. bedeutet Abb die erste Abbildung in Teil 4 von Kapitel 7. Aufgaben sind am Ende jedes Kapitels zusammengefaßt, aber wie die Abbildungen nach Kapiteln nummeriert, z. B. bedeutet Aufgabe die zweite Aufgabe zu Teil 4 von Kapitel 7. Die Transskriptionen chinesischer bzw. indischer Namen und Begriffe erfolgten entsprechend [Martzloff 1997] bzw. [Tropfke 1980]. Die Schreibweise von Namen und Werken islamischer Gelehrter entspricht der wissenschaftlichen Transskription aus dem Arabischen.

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