Sommersemester Marktforschung

Transkript

1 Sommersemester Übungsufgbe zur Fktornlyse: Mrktforschung Aufgbe : Ein Gstwirt möchte ufgrund sinkender Umsätze ds Imge seines Speiselokls im Vergleich zu drei nderen Resturnts in seiner Stdt überprüfen (k,, 4 Obekte). Ds Mrktforschungstem Spss mit SPSS, ds der Gstwirt mit der Imgenlyse beuftrgt ht, findet in einem Pretest herus, dss die Vriblen Qulität ( ) und Atmosphäre ( ) hoch relevnte Entscheidungskriterien bezüglich der Resturntwhl drstellen. Dher werden diese beiden Merkmle in einen Frgebogen ufgenommen und von einer zweiten repräsenttiven Stichprobe bezüglich der vier Resturnts bewertet. Dies geschieht nhnd einer nch oben offenen Skl, bei der die Befrgten die Ausprägung der Vriblen subektiv mit Zhlenwerten bewerteten. Je höher der ngegebene Zhlenwert, desto besser wurde die entsprechende Vrible bei einem einzelnen Resturnt bewertet. Die uf diese Weise erhobenen numerischen Dten sollen nun mit einer Fktorennlyse verdichtet werden. D 4 Obekte bzw. Speiselokle gleichzeitig betrchtet werden, lssen sich die hier nicht ngegebenen Messwerte uf Vriblenebene zu folgender Mittelwertmtri X ggregieren. X Eine Beobchtung k der Mtri X entspricht somit den über lle befrgten gemittelten Einstellungswert gegenüber Resturnt k unter Betrchtung von Merkml. ) Bestimmen Sie hiervon usgehend die orreltionmtri R. b) Wie lutet die zugehörige Fktorldungsmtri A und die Fktorwertemtri P? Gehen Sie bei Ihren Berechnungen dvon us eine Huptkomponentennlyse durchzuführen. c) Stellen Sie die Obekte bezüglich Ihrer Merkmlsusprägungen (X) und der Fktorwerte im zweidimensionlen Rum dr.

2 Berbeitungshinweise: Z A P ZZ R s z Z J k k,... ' ) ( Lösungsskizze: ) Grundlge der Dtenverdichtung ist die Reduktion der orreltionen zwischen den Vriblen uf ein redundnzfreies Beziehungsgefüge. Dher beginnt die Fktorennlyse mit der Aufstellung der orreltionsmtri R, welche leicht ermittelt werden knn, wenn mn die Ausgngsdtenmtri X wie folgt stndrdisiert.,44,77,77,77,44,77 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 6 ; Z s z Z s s k k k k k k Berechnung der orreltionmtri R: R ZZ R,5,5,5,5,44,77,77,44,77,77,44,77,77,77,44,77 '

3 b) Für die Ausführung der weiteren Rechenschritte wird unter Berücksichtigung der Vorussetzung der Huptkoponentennlyse die orreltionsmtri R mit den chrkteristischen Einsen uf der Huptdigonle (Selbstkorreltion) unter der Annhme verwendet, dss die gemeinsmen Fktoren die Vrinz der zugehörigen Vrible vollständig erklären (die ommunlitäten entsprechen dem Wert Eins). Berechnung der Fktorldungsmtri A durch Lösung eines Eigenwertproblems: det( R E) ( ),5 (,5 ( ) gesucht ist die Determinnte einer - Mtri.Allgemein bestimmt mn die Determinnte einer - Mtri wiefolgt: det c b d b c d

4 4,, -,5,5,5 -,5 : für mn: eingesetzterhält Oben gen Eigenvektoren bestimmen. die dzugehöri Schritt sich im zweiten Bsisder Eigenwertelssen Auf,5,5,75 : p-formelführt zu den Eigenwerten Umformungund Anwendungder, bzw. Gleichungnch obiger Auflösen,75,5 ± ) (,66,66,5 somit: mn erhält für sformel) (Normierung Fktor: ersten den or)für (Eigenvekt ngen Fktorldu der Vektor den sformelfür mittelsnormierung mn soerhält z.b. hier mn beliebigenumerischewerte in dieobigebeziehungeinsetzt.wählt mn wenn, Eigenwert nden entspreche den uf usder Normierungder erst sich ergeben.sie ngswerte n Fktorldu eindeutige keinenumerisch noch llein DiesesVerhältnisliefert Punkt

5 undfür :,5,5,5,5,5,5,5 Werden beidevektoren in einer Mtri zusmmenge fügt erhält mn die Fktorldungsmtri A (,66 A,66,5 (,5 i ): Die Fktorwertemtri P erhält durch die Anwendung nchstehender Gleichung: P A Z Für die Inverse einer - Mtri gilt : b d A det A c d d b c c Für ds Beispiel erhält mn somit :,5,5,5774 A -,66,66,66 drus folgt für die Fktorwertemtri P : b,5774,5774,77 P A Z,77,4,4,44,77,77,5774,44,77,77,44 Die ermittelten Fktorwerte in der Mtri P können Sie nun zusmmen mit den Merkmlsusprägungen (X) im zweidimensionlen Rum drstellen. 5

6 6 c) Grfische Drstellung: Reihe Merkmlsusprägungen; Reihe Fktorwerte Reihe Reihe Aufgbe : Durch eine Verbruchernlyse wurden elf verschiedene DVD-Recorder u.. im Hinblick uf die Produkteigenschften Bildulität (BQ), Tonulität (TQ), Fehlerkorrektur (F), Hndhbung (HH), Vielseitigkeit (VS) und Umwelteigenschften (UE) untersucht. Als DVD-Rekorder-Produzent sind Sie insbesondere drn interessiert, ob die einzelnen Eigenschften lle unbhängig voneinnder sind oder ob übergeordnete Fktoren hinter den einzelnen Eigenschften stehen. Zur Bewältigung dieser Aufgbe entschließen Sie sich zur Durchführung einer Fktorennlyse, wobei Sie von folgender Ausgngsdtenmtri der elf Produkte im Hinblick uf die gennnten Eigenschften usgehen. Produkteigenschft Produkt BQ TQ F HH VS UE

7 ) Stndrdisieren Sie die Ausgngsdtenmtri! Welchen Vorteil ht diese Dtentrnsformtion für die weiteren Anlyseschritte? (4 Punkte) b) Als Eigenwerte der zugrunde liegenden orreltionsmtri erhlten Sie:,67;,646;,59; 4,7; 5,; 6,5. Wieviele Fktoren sind bei Betrchtung der kumulierten Vrinznteile (> 95 %), gemäß des iser-riteriums zu etrhieren? (7 Punkte) b) Die ersten drei Eigenvektoren luten:,5669,577,76 ;,49,77,6,65,499,6966 ;,44,6,677,4,67,,.457,46,6 Bestimmen Sie die zugehörige Fktorldungsmtri für die ersten drei Fktoren! Ermitteln Sie die Fktorvrinzen, die Vriblenkommunlitäten und die Gesmtkommunlität! ( Punkte) c) Interpretieren Sie ds folgende us der Fktorrottion der ersten drei Fktoren resultierende Fktormuster: (6 Punkte) Fktoren Eigenschft Fktor Fktor Fktor BQ TQ F HH VS UE,9445,69 -,6,954,94, -,9,5,977,,47,96,,496 -,7 -,569,97,5 7

8 Hinweise: z R ZZ ' k k s, k... J, Lösungsskizze: ) Stndrdisieren der Ausgngsmtri mit der ngegebenen Formel für z k führt zu: Z,74,74,74,74,74,74,446,446,446,446,446,446,446,446,446,446,74,74,74,74,74,74,6,6,949,949,949,949,59,949,59,59,59,59,5,77,77,7,77,77,66,7,5,77,6,7,59,59,59,59,949,949 ( Punkte),59,59,59,47,59 Vorteile ( Punkte): - Vereinfchung der weiteren Berechnungen - Vergleichbrkeit der betrchteten Vriblen

9 b) - Betrchtung der kumulierten Vrinznteile (95%): / J / J / J 4 / J,67 : 6,646 : 6,74,59 : 6,765,7 : 6,4455,56,4455,74,765,56,955 Demnch sind die Eigenwerte -4 zu etrhieren. (6 Punkte) - iser-riterium: Alle Eigenwerte > sind zu etrhieren, demnch die Eigenwerte - ( Punkt) c) Durch Einsetzen in die gegebene Gleichung erhält mn die Fktorldungsmtri A:,96,9,7 A,,444,95,7,64,9,5,74,7,55,76,6 ( Punkte),476,65,6 Fktorvrinzen (Spltenweise):,6654,646 ( Punkte),59 Vriblenkommunlitäten (Zeilenweise): 4 5 6,95,949,4 (6 Punkte),99,95,45 9

10 Gesmtkommunlität 5,57 ( Punkt) d) Bei eder Eigenschft lädt eweils der Fktor mit dem höchsten Wert. BQ: Fktor TQ: Fktor F: Fktor HH: Fktor VS: Fktor UE: Fktor