Die Komplexitätsklassen P und NP
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- Justus Böhmer
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1 Die Komplexitätsklassen P und NP Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen November 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
2 Definition von Polynomialzeitalgorithmus Definition (worst case Laufzeit eines Algorithmus) Die worst case Laufzeit t A (n), n N, eines Algorithmus A entspricht den maximalen Laufzeitkosten auf Eingaben der Länge n bezüglich des logarithmischen Kostenmaßes der RAM. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
3 Definition von Polynomialzeitalgorithmus Definition (worst case Laufzeit eines Algorithmus) Die worst case Laufzeit t A (n), n N, eines Algorithmus A entspricht den maximalen Laufzeitkosten auf Eingaben der Länge n bezüglich des logarithmischen Kostenmaßes der RAM. Definition (Polynomialzeitalgorithmus) Wir sagen, die worst case Laufzeit t A (n) eines Algorithmus A ist polynomiell beschränkt, falls gilt α N : t A (n) = O(n α ). Einen Algorithmus mit polynomiell beschränkter worst case Laufzeit bezeichnen wir als Polynomialzeitalgorithmus. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
4 Definition der Klasse P Definition (Komplexitätsklasse P) P ist die Klasse der Probleme, für die es einen Polynomialzeitalgorithmus gibt. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
5 Definition der Klasse P Definition (Komplexitätsklasse P) P ist die Klasse der Probleme, für die es einen Polynomialzeitalgorithmus gibt. Anmerkungen: Alternativ kann man sich auch auf die Laufzeit einer TM beziehen, da sich RAM und TM gegenseitig mit polynomiellen Zeitverlust simulieren können. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
6 Definition der Klasse P Definition (Komplexitätsklasse P) P ist die Klasse der Probleme, für die es einen Polynomialzeitalgorithmus gibt. Anmerkungen: Alternativ kann man sich auch auf die Laufzeit einer TM beziehen, da sich RAM und TM gegenseitig mit polynomiellen Zeitverlust simulieren können. Polynomialzeitalgorithmen werden häufig auch als effiziente Algorithmen bezeichnet. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
7 Definition der Klasse P Definition (Komplexitätsklasse P) P ist die Klasse der Probleme, für die es einen Polynomialzeitalgorithmus gibt. Anmerkungen: Alternativ kann man sich auch auf die Laufzeit einer TM beziehen, da sich RAM und TM gegenseitig mit polynomiellen Zeitverlust simulieren können. Polynomialzeitalgorithmen werden häufig auch als effiziente Algorithmen bezeichnet. P ist in diesem Sinne die Klasse derjenigen Probleme, die effizient gelöst werden können. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
8 Sortieren in P Problem (Sortieren) Eingabe: N Zahlen a 1,..., a N N Ausgabe: aufsteigend sortierte Folge der Eingabezahlen Anmerkung: Soweit wir nichts anderes sagen, nehmen wir an, dass Zahlen binär kodiert sind. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
9 Sortieren in P Satz Sortieren P. Beweis: Wir lösen das Problem beispielsweise mit Mergesort. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
10 Sortieren in P Satz Sortieren P. Beweis: Wir lösen das Problem beispielsweise mit Mergesort. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
11 Sortieren in P Satz Sortieren P. Beweis: Wir lösen das Problem beispielsweise mit Mergesort. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: O(N log N). Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
12 Sortieren in P Satz Sortieren P. Beweis: Wir lösen das Problem beispielsweise mit Mergesort. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: O(N log N). Laufzeit im logarithmischen Kostenmaß: Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
13 Sortieren in P Satz Sortieren P. Beweis: Wir lösen das Problem beispielsweise mit Mergesort. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: O(N log N). Laufzeit im logarithmischen Kostenmaß: O(lN log N), wobei l = max 1 i N log(a i ). Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
14 Sortieren in P Satz Sortieren P. Beweis: Wir lösen das Problem beispielsweise mit Mergesort. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: O(N log N). Laufzeit im logarithmischen Kostenmaß: O(lN log N), wobei l = max 1 i N log(a i ). Sei n die Eingabelänge. Es gilt l n und log N N n. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
15 Sortieren in P Satz Sortieren P. Beweis: Wir lösen das Problem beispielsweise mit Mergesort. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: O(N log N). Laufzeit im logarithmischen Kostenmaß: O(lN log N), wobei l = max 1 i N log(a i ). Sei n die Eingabelänge. Es gilt l n und log N N n. Somit ist die Laufzeit beschränkt durch ln log N n 3. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
16 Graphzusammenhang in P Problem (Graphzusammenhang) Eingabe: Graph G = (V, E) Frage: Ist G zusammenhängend? Anmerkung: Bei Graphproblemen gehen wir grundsätzlich davon aus, dass der Graph in Form einer Adjazenzmatrix eingegeben wird. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
17 Graphzusammenhang in P Satz Graphzusammenhang P. Beweis Wir lösen das Problem mit einer Tiefensuche. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
18 Graphzusammenhang in P Satz Graphzusammenhang P. Beweis Wir lösen das Problem mit einer Tiefensuche. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: O( V + E ) Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
19 Graphzusammenhang in P Satz Graphzusammenhang P. Beweis Wir lösen das Problem mit einer Tiefensuche. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: O( V + E ) Laufzeit im logarithmischen Kostenmaß: Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
20 Graphzusammenhang in P Satz Graphzusammenhang P. Beweis Wir lösen das Problem mit einer Tiefensuche. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: O( V + E ) Laufzeit im logarithmischen Kostenmaß: O(( V + E ) log V ) Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
21 Graphzusammenhang in P Satz Graphzusammenhang P. Beweis Wir lösen das Problem mit einer Tiefensuche. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: O( V + E ) Laufzeit im logarithmischen Kostenmaß: O(( V + E ) log V ) Die Eingabelänge ist n = V 2 E. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
22 Graphzusammenhang in P Satz Graphzusammenhang P. Beweis Wir lösen das Problem mit einer Tiefensuche. Laufzeit im uniformen Kostenmaß: O( V + E ) Laufzeit im logarithmischen Kostenmaß: O(( V + E ) log V ) Die Eingabelänge ist n = V 2 E. Die Gesamtlaufzeit ist somit O(( V + E ) log V ) = O(n log n) = O(n 2 ). Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
23 Weitere Beispiele für Probleme in P Kürzester Weg Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
24 Weitere Beispiele für Probleme in P Kürzester Weg Minimaler Spannbaum Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
25 Weitere Beispiele für Probleme in P Kürzester Weg Minimaler Spannbaum Maximaler Fluss Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
26 Weitere Beispiele für Probleme in P Kürzester Weg Minimaler Spannbaum Maximaler Fluss Maximum Matching Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
27 Weitere Beispiele für Probleme in P Kürzester Weg Minimaler Spannbaum Maximaler Fluss Maximum Matching Lineare Programmierung Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
28 Weitere Beispiele für Probleme in P Kürzester Weg Minimaler Spannbaum Maximaler Fluss Maximum Matching Lineare Programmierung Größter Gemeinsamer Teiler Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
29 Weitere Beispiele für Probleme in P Kürzester Weg Minimaler Spannbaum Maximaler Fluss Maximum Matching Lineare Programmierung Größter Gemeinsamer Teiler Primzahltest ( PRIMES is in P [Agrawal, Kayal, Saxena, 2002]) Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
30 Definition von NTM Definition (Nichtdeterministische Turingmaschine NTM) Eine nichtdeterministische Turingmaschine (NTM) ist definiert wie eine deterministische Turingmaschine (TM), nur die Zustandsüberführungsfunktion wird zu einer Relation δ ((Q \ { q}) Γ) (Q Γ {L, R, N}). Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
31 Erläuterung der Rechnung einer NTM Eine Konfiguration K ist direkter Nachfolger einer Konfiguration K, falls K durch einen der in δ beschriebenen Übergänge aus K hervorgeht. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
32 Erläuterung der Rechnung einer NTM Eine Konfiguration K ist direkter Nachfolger einer Konfiguration K, falls K durch einen der in δ beschriebenen Übergänge aus K hervorgeht. Rechenweg = Konfigurationsfolge, die mit Startkonfiguration beginnt und mit Nachfolgekonfigurationen fortgesetzt wird bis sie eine Endkonfiguration im Zustand q erreicht. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
33 Erläuterung der Rechnung einer NTM Eine Konfiguration K ist direkter Nachfolger einer Konfiguration K, falls K durch einen der in δ beschriebenen Übergänge aus K hervorgeht. Rechenweg = Konfigurationsfolge, die mit Startkonfiguration beginnt und mit Nachfolgekonfigurationen fortgesetzt wird bis sie eine Endkonfiguration im Zustand q erreicht. Der Verlauf der Rechnung ist also nicht deterministisch, d.h., zu einer Konfiguration kann es mehrere direkte Nachfolgekonfigurationen geben. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
34 Erläuterung der Rechnung einer NTM Die möglichen Rechenwege von M für eine Eingabe w Σ können in Form eines Berechnungsbaumes beschrieben werden: Die Knoten des Baumes entsprechen Konfigurationen. Die Wurzel des Baumes entspricht der Startkonfiguration. Die Kinder einer Konfiguration entsprechen den möglichen Nachfolgekonfigurationen. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
35 Erläuterung der Rechnung einer NTM Die möglichen Rechenwege von M für eine Eingabe w Σ können in Form eines Berechnungsbaumes beschrieben werden: Die Knoten des Baumes entsprechen Konfigurationen. Die Wurzel des Baumes entspricht der Startkonfiguration. Die Kinder einer Konfiguration entsprechen den möglichen Nachfolgekonfigurationen. Der maximale Verzweigungsgrad des Berechnungsbaumes ist = max{ δ(q, a) q Q \ { q}, a Γ}. Beachte, dass nicht von der Eingabe abhängt, also konstant ist. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
36 Definition des Akzeptanzverhaltens Definition (Akzeptanzverhalten der NTM) Eine NTM M akzeptiert die Eingabe x Σ, falls es mindestens einen Rechenweg von M gibt, der in eine akzeptierende Endkonfiguration führt. Die von M erkannte Sprache L(M) besteht aus allen von M akzeptierten Wörtern. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
37 Definition der Laufzeit Definition (Laufzeit der NTM) Sei M eine NTM. Die Laufzeit von M auf einer Eingabe x L(M) ist definiert als T M (x) := Länge des kürzesten akzeptierenden Rechenweges von M auf x. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
38 Definition der Laufzeit Definition (Laufzeit der NTM) Sei M eine NTM. Die Laufzeit von M auf einer Eingabe x L(M) ist definiert als T M (x) := Länge des kürzesten akzeptierenden Rechenweges von M auf x. Für x L(M) definieren wir T M (x) = 0. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
39 Definition der Laufzeit Definition (Laufzeit der NTM) Sei M eine NTM. Die Laufzeit von M auf einer Eingabe x L(M) ist definiert als T M (x) := Länge des kürzesten akzeptierenden Rechenweges von M auf x. Für x L(M) definieren wir T M (x) = 0. Die worst case Laufzeit t M (n) für M auf Eingaben der Länge n N ist definiert durch t M (n) := max{t M (x) x Σ n }. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
40 Definition der Klasse NP Definition (Komplexitätsklasse NP) NP ist die Klasse der Entscheidungsprobleme, die durch eine NTM M erkannt werden, deren worst case Laufzeit t M (n) polynomiell beschränkt ist. NP steht dabei für nichtdeterministisch polynomiell. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
41 Beispiel für ein Problem aus NP Problem (Cliquenproblem CLIQUE) Eingabe: Graph G = (V, E), k {1,..., V } Frage: Gibt es eine k-clique? Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
42 Beispiel für ein Problem aus NP Problem (Cliquenproblem CLIQUE) Eingabe: Graph G = (V, E), k {1,..., V } Frage: Gibt es eine k-clique? Für das Cliquenproblem ist kein Polynomialzeitalgorithmus bekannt. Die besten bekannten Algorithmen haben eine exponentielle Laufzeit. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
43 Beispiel für ein Problem aus NP Satz CLIQUE NP. Beweis: Wir beschreiben eine NTM M mit L(M) = CLIQUE: Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
44 Beispiel für ein Problem aus NP Satz CLIQUE NP. Beweis: Wir beschreiben eine NTM M mit L(M) = CLIQUE: 1 Syntaktisch inkorrekte Eingaben werden verworfen. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
45 Beispiel für ein Problem aus NP Satz CLIQUE NP. Beweis: Wir beschreiben eine NTM M mit L(M) = CLIQUE: 1 Syntaktisch inkorrekte Eingaben werden verworfen. 2 M rät einen 0-1-String y der Länge V. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
46 Beispiel für ein Problem aus NP Satz CLIQUE NP. Beweis: Wir beschreiben eine NTM M mit L(M) = CLIQUE: 1 Syntaktisch inkorrekte Eingaben werden verworfen. 2 M rät einen 0-1-String y der Länge V. 3 M akzeptiert, falls der String y genau k viele Einsen enthält und die Knotenmenge C = {i V y i = 1} eine Clique ist. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
47 Beispiel für ein Problem aus NP Satz CLIQUE NP. Beweis: Wir beschreiben eine NTM M mit L(M) = CLIQUE: 1 Syntaktisch inkorrekte Eingaben werden verworfen. 2 M rät einen 0-1-String y der Länge V. 3 M akzeptiert, falls der String y genau k viele Einsen enthält und die Knotenmenge C = {i V y i = 1} eine Clique ist. Korrektheit: Es gibt genau dann einen akzeptierenden Rechenweg, wenn G eine k-clique enthält. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
48 Beispiel für ein Problem aus NP Satz CLIQUE NP. Beweis: Wir beschreiben eine NTM M mit L(M) = CLIQUE: 1 Syntaktisch inkorrekte Eingaben werden verworfen. 2 M rät einen 0-1-String y der Länge V. 3 M akzeptiert, falls der String y genau k viele Einsen enthält und die Knotenmenge C = {i V y i = 1} eine Clique ist. Korrektheit: Es gibt genau dann einen akzeptierenden Rechenweg, wenn G eine k-clique enthält. Laufzeit: Alle Schritte haben polynomielle Laufzeit. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
49 Die Komplexitätsklasse EXPTIME Definition (Komplexitätsklasse EXPTIME) EXPTIME ist die Klasse der Probleme, die sich auf einer DTM mit Laufzeitschranke 2 q(n) berechnen lassen, wobei q ein geeignetes Polynom ist. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
50 Die Komplexitätsklasse EXPTIME Definition (Komplexitätsklasse EXPTIME) EXPTIME ist die Klasse der Probleme, die sich auf einer DTM mit Laufzeitschranke 2 q(n) berechnen lassen, wobei q ein geeignetes Polynom ist. Wie verhält sich NP zu P und EXPTIME? Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
51 Wie verhält sich NP zu P und EXPTIME? Im Folgenden schränken wir die Klassen P und EXPTIME auf Entscheidungsprobleme ein, um sie mit der Klasse NP in Beziehung setzen zu können. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
52 Wie verhält sich NP zu P und EXPTIME? Im Folgenden schränken wir die Klassen P und EXPTIME auf Entscheidungsprobleme ein, um sie mit der Klasse NP in Beziehung setzen zu können. Satz P NP EXPTIME Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
53 Wie verhält sich NP zu P und EXPTIME? Im Folgenden schränken wir die Klassen P und EXPTIME auf Entscheidungsprobleme ein, um sie mit der Klasse NP in Beziehung setzen zu können. Satz P NP EXPTIME Beweis: Offensichtlich gilt P NP, weil eine DTM als eine spezielle NTM aufgefasst werden kann. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
54 Wie verhält sich NP zu P und EXPTIME? Im Folgenden schränken wir die Klassen P und EXPTIME auf Entscheidungsprobleme ein, um sie mit der Klasse NP in Beziehung setzen zu können. Satz P NP EXPTIME Beweis: Offensichtlich gilt P NP, weil eine DTM als eine spezielle NTM aufgefasst werden kann. Wir müssen noch zeigen NP EXPTIME. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
55 Exponentielle Laufzeitschranke für Probleme aus NP Sei L NP. Sei M eine NTM mit polynomiell beschränkter Laufzeitschranke p(n), die L erkennt. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
56 Exponentielle Laufzeitschranke für Probleme aus NP Sei L NP. Sei M eine NTM mit polynomiell beschränkter Laufzeitschranke p(n), die L erkennt. Sei w Σ. Wir konstruieren eine DTM M, die die NTM M mit Eingabe w simuliert: Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
57 Exponentielle Laufzeitschranke für Probleme aus NP Sei L NP. Sei M eine NTM mit polynomiell beschränkter Laufzeitschranke p(n), die L erkennt. Sei w Σ. Wir konstruieren eine DTM M, die die NTM M mit Eingabe w simuliert: In einer Breitensuche generiert M den Berechnungsbaum von M bis zu einer Tiefe von p( w ). Falls dabei eine akzeptierende Konfiguration gefunden wird, so akzeptiert M die Eingabe; sonst verwirft M die Eingabe. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
58 Exponentielle Laufzeitschranke für Probleme aus NP Korrektheit: Falls w L ist, so gibt es einen akzeptierenden Rechenweg von M der Länge p( w ). M generiert diesen Weg und akzeptiert w. Falls w L ist, so gibt es keinen akzeptierenden Rechenweg von M der Länge p( w ). In diesem Fall wird w von M verworfen. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
59 Exponentielle Laufzeitschranke für Probleme aus NP Korrektheit: Falls w L ist, so gibt es einen akzeptierenden Rechenweg von M der Länge p( w ). M generiert diesen Weg und akzeptiert w. Falls w L ist, so gibt es keinen akzeptierenden Rechenweg von M der Länge p( w ). In diesem Fall wird w von M verworfen. Laufzeit: Sei 2 der maximale Verzweigungsgrad der Rechung. Die Laufzeit von M auf w ist proportional zur Anzahl der Knoten im Berechnungsbaum bis zur Tiefe p( w ). Diese Anzahl ist beschränkt durch Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
60 Exponentielle Laufzeitschranke für Probleme aus NP Korrektheit: Falls w L ist, so gibt es einen akzeptierenden Rechenweg von M der Länge p( w ). M generiert diesen Weg und akzeptiert w. Falls w L ist, so gibt es keinen akzeptierenden Rechenweg von M der Länge p( w ). In diesem Fall wird w von M verworfen. Laufzeit: Sei 2 der maximale Verzweigungsgrad der Rechung. Die Laufzeit von M auf w ist proportional zur Anzahl der Knoten im Berechnungsbaum bis zur Tiefe p( w ). Diese Anzahl ist beschränkt durch p( w )+1 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
61 Exponentielle Laufzeitschranke für Probleme aus NP Korrektheit: Falls w L ist, so gibt es einen akzeptierenden Rechenweg von M der Länge p( w ). M generiert diesen Weg und akzeptiert w. Falls w L ist, so gibt es keinen akzeptierenden Rechenweg von M der Länge p( w ). In diesem Fall wird w von M verworfen. Laufzeit: Sei 2 der maximale Verzweigungsgrad der Rechung. Die Laufzeit von M auf w ist proportional zur Anzahl der Knoten im Berechnungsbaum bis zur Tiefe p( w ). Diese Anzahl ist beschränkt durch p( w )+1 = 2 (p( w )+1) log 2 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
62 Exponentielle Laufzeitschranke für Probleme aus NP Korrektheit: Falls w L ist, so gibt es einen akzeptierenden Rechenweg von M der Länge p( w ). M generiert diesen Weg und akzeptiert w. Falls w L ist, so gibt es keinen akzeptierenden Rechenweg von M der Länge p( w ). In diesem Fall wird w von M verworfen. Laufzeit: Sei 2 der maximale Verzweigungsgrad der Rechung. Die Laufzeit von M auf w ist proportional zur Anzahl der Knoten im Berechnungsbaum bis zur Tiefe p( w ). Diese Anzahl ist beschränkt durch p( w )+1 = 2 (p( w )+1) log 2 = 2 O(p( w ). Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
63 Die große offene Frage der Informatik lautet P = NP? Diese Frage ist so bedeutend, weil sehr viele wichtige Probleme in NP enthalten sind, für die kein Polynomialzeitalgorithmus bekannt ist. Einige dieser Problem lernen wir in der nächsten Vorlesung kennen. Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität November / 21
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