Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen

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1 Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Wirtschaftsingenieurwesen Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Prüfung: Mathematik Termin: 1. September 2012 Bearbeitungszeit: 180 Minuten Name, Vorname Matrikelnummer Aufgabe Note a b c a b c a b c d e a b c d a b c a b Soll Ist Hilfsmittel: beliebige Taschenrechner und alle schriftlichen Unterlagen; Hinweise: Vergewissern Sie sich zunächst, dass die Aufgabenstellung vollständig ist, Sie umfasst das Deckblatt und Aufgabenblätter. Versehen Sie das Deckblatt mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer. Für die Lösung ist auf den Aufgabenblättern Platz vorgesehen, die Rückseiten können dafür ebenfalls verwendet werden. Sollte der Platz dann immer noch nicht ausreichen, verweisen Sie am Seitenende auf ein konkretes (Seitennummer) der von der Prüfungsaufsicht zur Verfügung gestellten Zusatzblätter, die Sie bitte nummerieren und ebenfalls mit Ihrem Namen kennzeichnen. Eigenes Papier darf für die Lösungen nicht verwendet werden. Kennzeichnen Sie auf den Zusatzblättern am Seitenanfang bitte immer eindeutig, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die folgende Lösung/Lösungsfortsetzung gehört und beginnen Sie die Lösung/Lösungsfortsetzung einer weiteren Aufgabe bitte immer auf einer neuen Seite. Aus Ihren Lösungen sollten die Lösungswege erkennbar sein. Falls Sie den Taschenrechner für komplexere Lösungsschritte verwenden, vermerken Sie dies bitte, z.b. Nullstelle / Gleichung... mit dem Taschenrechner bestimmt / gelöst ; 1

2 1. Herr B. spart seit 10 Jahren monatlich (nachschüssig) 500 e, um einmal ein Haus bauen zu können. Das Sparkonto wurde/wird zu allen Zeiten mit 3% p.a. verzinst. (a) Wie hoch ist sein Guthaben jetzt? (b) Wie viel muss er in den nächsten 10 Jahren mtl. sparen, wenn er am Ende (nach insgesamt 20 Jahren) insgesamt e auf dem Konto haben möchte? Hinweis: Falls Sie die Aufgabe (a) nicht gelöst haben, gehen Sie von einem derzeitigen Guthaben von e aus! (c) Frau B. überzeugt ihren Mann, sofort zu bauen und den zu e fehlenden Betrag als Kredit zu nehmen. Für den Kredit müsste er 5% Zinsen zahlen und könnte eine monatliche (nachsch.) Annuität von 1000e für Tilgung und Zinsen aufbringen. Welche Tilgungsdauer ergibt sich, aufgerundet auf ganze Monate? 2

3 2. In einem Unternehmen wurden in einer zweistufigen Fertigung bisher aus drei Rohteilen R 1, R 2 und R 3 zunächst die drei Zwischenprodukte Z 1, Z 2 und Z 3 und aus diesen die drei Endprodukte E 1, E 2 und E 3 hergestellt. Die Stücklisten für die in den beiden Fertigungsstufen hergestellten Zwischen- und Endprodukte sind in den folgenden beiden Tabellen zusammengestellt. Z 1 Z 2 Z 3 R R R E 1 E 2 E 3 Z Z Z (a) Die Fertigung soll auf eine einstufige Fertigungsstruktur umgestellt werden. Stellen Sie die Stücklisten für die Endprodukte auf Basis der Rohteile auf! (b) Wie viele der Rohteile R 1, R 2 und R 3 müssen für die Produktion bereitgestellt werden, wenn 20 Teile E 1, 30 Teile E 2 und 20 Teile E 3 gefertigt werden sollen, wobei zu berücksichtigen ist, dass aus dem Lager von den drei Zwischenprodukten je 50 Stück bereitgestellt werden können. (c) Wie hoch sind die Materialkosten für die Zwischen- und Endprodukte [in e /Stück], wenn die Rohteile zu Preisen von 4 e (R 1 ), 3 e (R 2 ) und 5 e (R 3 ) je Stück eingekauft werden? 3

4 3. Bestimmen Sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems 3x 1 3x 2 + 2x 3 = 13 4x 1 2x 3 + 2x 4 = 18 4x 2 x 3 = 16 und geben Sie, falls möglich, eine Lösung mit x 2 = 6 an. 4

5 4. Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem (Produktionsplanung) mit den Restriktionen R1 bis R3 (verfügbare Mengen der Ressourcen): z = 91x x x x 4 max 4x 1 + 2x 2 + x 3 + 5x 4 84 (R1) 2x 1 + 4x 2 + x 3 + 4x (R2) 3x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 15 (R3) x 1, x 2, x 3, x 4 0 Dabei steht die Zielfunktion für den Erlös, die Koeffizienten der Zielfunktion sind Verkaufspreise in e/me und die Variablen x j stehen für die Produktionsmengen der Produkte P j in ME. Bei der Lösung des obigen LOP hat sich das folgende Simplextableau ergeben x 1 x 5 x 4 x 6 1 x x x z Dabei sind x 5,..., x die Schlupfvariablen der Restriktionen R1,..., R3. (a) Wie lauten die optimale Lösung und der optimale Zielfunktionswert? (b) Welche Restriktion(en) ist/sind inaktiv und was bedeutet dies für die beschränkt verfügbaren Ressourcen. (c) Von jeder der Ressourcen könnte jeweils zum Preis von 16e/ME mehr zur Verfügung gestellt werden. Für welche der Ressourcen sollte von dieser Möglichkeit Gebrauch gemacht werden und wie viel sollte dort mindestens zusätzlich bereitgestellt werden. Welcher maximale Erlös ergebe sich dann und mit welcher optimalen Lösung könnte dieser realisiert werden? (jede Restriktion einzeln betrachten!) (d) In welchem Bereich dürfte der Verkaufspreis von P 2 (Zielfunktionskoeffizient von x 2 ) variieren, ohne dass sich die optimale Lösung ändert? Würde sich dies auf den optimalen Zielfunktionswert auswirken? Wenn ja, wie? (e) Welche Änderungen des Verkaufspreises von P 1 (des Zielfunktionskoeffizienten von x 1 ) hätten keinen Einfluss auf die optimale Lösung? Wie lauten die Menge der optimalen Lösungen und der optimale Zielfunktionswert, wenn dieser Verkaufspreis auf 102e/ME steigt? 5

6 5. Gegeben ist die Funktion 4x y = f(x) = x 2 + 1, x 1 x 3 4x 2 + 5x x > 1 (a) Geben Sie an (mit Begründung!), ob diese Funktion im gesamten Definitionsbereich D f = R stetig ist, und falls ja, ob sie in D f = R auch differenzierbar ist (ebenfalls mit Begründung!). (b) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion und die zugehörigen Minimums- /Maximumspunkte (Nachweis, dass es sich um Minimums-/Maximumspunkte handelt!). (c) In welchem Teil des Definitionsbereiches ist diese Funktion progressiv wachsend? (d) Bestimmen Sie den linearen Integralmittelwert dieser Funktion für das Intervall [0,3]. Hinweis: Allgemein ist der Integralmittelwert y einer Funktion y = f(x) auf dem Intervall [a,b] definiert als y = 1 b a b a f(x)dx. 6

7 6. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach einer Kostenfunktion K(x) = x 3 36x x , wobei die Produktionsmenge in ME zu Stück und die Kosten in e angegeben werden. (a) Bestimmen Sie für dieses Unternehmen mit Hilfe des Betriebsminimums die kurzfristige Preisuntergrenze, bei der das Unternehmen die variablen Kosten gerade noch decken kann. (b) Bestimmen Sie für dieses Unternehmen mit Hilfe des Betriebsoptimums die langfristige Preisuntergrenzen, bei der das Unternehmen die Kosten gerade noch decken kann. Verwenden Sie dafür das Newton-Verfahren und nehmen Sie als Anfangsnäherung x 0 = 25 ME. Beschreiben Sie die ersten beiden Iterationen ausführlich. Bestimmen Sie die Produktionsmenge für das Betriebsoptimum auf 4 Nachkommastellen genau. Geben Sie an, wie viele Iterationen dafür notwendig waren, dass Sie sich sicher sein konnten, das Ergebnis mit der gewünschten Genauigkeit angeben zu können. (c) Die Kosten für das Unternehmen betragen nach obiger Kostenfunktion bei einer Produktionsmenge von Stück e. Bestimmen Sie davon ausgehend mit Hilfe des Differentials näherungsweise, wie viel produziert werden kann, wenn e zur Verfügung stehen.

8 . Bei der Planung eines kostenminimalen Zugangs zu einem nichtlinear begrenztem Gebiet entstand das folgende mathematische Problem. Das Gebiet wird dargestellt durch die Menge M = {(x, y) R 2 : F (x, y) = x 2 y C, x > 0}. (a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren für C = 16, welcher Punkt (x, y) dieser Menge den kleinsten Abstand d = x 2 + y 2 zum Koordinatenursprung hat und wie groß dieser Abstand d min ist. (Nachweis, dass es sich um ein Minimum bzgl. der gesamten Menge M handelt) (b) Geben Sie mit Hilfe des Lagrange-Multiplikators an, um wie viel sich der minimale Abstand zum Koordinatenursprung näherungsweise ändert, wenn C auf 20 anwächst. 8

9 Lösungen 1. (a) K 10 = e (b) R 2 = 62.2 e (c) n = Monate, d.h. n = 18 Monate oder 15 Jahre und Monate 2. (a) A RZ A ZE = A RE : (b) r = (c) p Z = (31, 25, 30) E 1 E 2 E 3 R R R p E = (201, 13, 23) 3. x = t , t R; mit t = 1 gilt x = (a) x opt = (0, 14, 8, 0), z max = 3192 (b) R3 inaktiv, von R3 sind 21 ME ungenutzt (c) 5 = 18 > 16, d.h. von R1 sollte mehr bereitgestellt werden. b 1 = b 1 + t = 84 + t 0 z max = t bei x B = + t für t = 28 ergibt sich x opt = (0, 0, 16, 0), z max = t [ 14, 28] (d) Die optimale Lösung mit dem Zielfkt.-wert z max = t gilt t [ 30, 11] (e) Bei c 1 < 102 gibt es keine Änderungen bei optimaler Lösung und opt. ZFW. Bei c 1 = 102 gilt x opt = (0, 14, 8, 0) + t (1, 1, 6, 0), t [0, 4.2] bei gleichem ZFW. 9

10 5. (a) f 1 (x) = f 1(x) = 4x x (1 x2 (x 2 + 1) 2 f 1 (x) = 8x(x2 3 (x 2 + 1) 3 f 2 (x) = x 3 4x 2 + 5x f 2(x) = 3x 2 8x + 5 f 2 (x) = 6x 8 beide Funktionen in R stetig und differenzierbar. y = f(x) in x 0 = 1 (und damit überall) stetig, weil f 1 (1) = f 2 (1) = 2 und differenzierbar, weil f 1(1) = f 2(1) = 0 (b) lokale Minimumspunkte: (x 1, y 1 ) = ( 1, 2) und (x 2, y 2 ) = ( 5, 50 ) = (1.6, lokaler Maximumspunkt: (x 1, y 1 ) = (1, 2) (c) f progr. wa. x [ 1, 0] ( 5, ) 3 ( (d) y = 1 1 4x dx + ) x (x3 4x 2 + 5x)dx = (a) x min = 18 ME ( Stück), Kurzfristige Preisuntergrenze bei k v (18) = 66 e/stück (b) x opt = ME ( Stück), Langfristige Preisuntergrenze bei k v (29.495) = e/stück 4 Iterationen notwendig, {x n } = 25, , , , x 1 = = , 4.56 x 2 = = , (c) dx = 1 dk = = 1.034, d.h. ca Stück können mehr produziert K (10) 580 werden.. (a) d(x, y) = x 2 + y 2 min F (x, y) = x 2 y 16 L(x, y, λ) = x 2 + y 2 + λ(16 x 2 y) x = 2 2, y = 2, λ = 1 4 = Minimum, weil d, falls x oder y. (b) F = 4 d 4λ =