Kryptografie Die Mathematik hinter den Geheimcodes

Transkript

1 Kryptografie Die Mathematik hinter den Geheimcodes Rick Schumann Institut für Diskrete Mathematik und Algebra, TU Bergakademie Freiberg Akademische Woche Sankt Afra /

2 1 Einführung 2 Symmetrische Kryptosysteme 3 Asymmetrische Kryptosysteme

3 Bezeichnung Kryptografie ist die Wissenschaft die sich mit der Informationssicherheit befasst. Wesentliche Aspekte dabei sind: Vertraulichkeit

4 Bezeichnung Kryptografie ist die Wissenschaft die sich mit der Informationssicherheit befasst. Wesentliche Aspekte dabei sind: Vertraulichkeit Integrität

5 Bezeichnung Kryptografie ist die Wissenschaft die sich mit der Informationssicherheit befasst. Wesentliche Aspekte dabei sind: Vertraulichkeit Integrität Authentizität

6 Aufgabe Entschlüsseln Sie folgenden Text: DHSKEATERLLRITENNICT

7 Lösung Der Geheimtext ist durch eine Skytale verschlüsselt worden, wir probieren die ersten möglichen Zeilenanzahlen durch: 1 Zeile: DHSKEATERLLRITENNICT

8 Lösung Der Geheimtext ist durch eine Skytale verschlüsselt worden, wir probieren die ersten möglichen Zeilenanzahlen durch: 1 Zeile: DHSKEATERLLRITENNICT 2 Zeilen: DSETRLIENC HKAELRTNIT

9 Lösung Der Geheimtext ist durch eine Skytale verschlüsselt worden, wir probieren die ersten möglichen Zeilenanzahlen durch: 1 Zeile: DHSKEATERLLRITENNICT 2 Zeilen: DSETRLIENC HKAELRTNIT 3 Zeilen: DKTLINC HEELTNT SARREI

10 Lösung Der Geheimtext ist durch eine Skytale verschlüsselt worden, wir probieren die ersten möglichen Zeilenanzahlen durch: 1 Zeile: DHSKEATERLLRITENNICT 2 Zeilen: DSETRLIENC HKAELRTNIT 3 Zeilen: DKTLINC HEELTNT SARREI 4 Zeilen: DERIN HALTI STLEC KERNT

11 Definition Eine Kryptosystem (P(A), C(B), K, E, D) besteht aus einer Menge P von Klartexten über einem Klartextalphabet A,

12 Definition Eine Kryptosystem (P(A), C(B), K, E, D) besteht aus einer Menge P von Klartexten über einem Klartextalphabet A, einer Menge C von Geheimtexten über einem Geheimtextalphabet B,

13 Definition Eine Kryptosystem (P(A), C(B), K, E, D) besteht aus einer Menge P von Klartexten über einem Klartextalphabet A, einer Menge C von Geheimtexten über einem Geheimtextalphabet B, einer Menge K von Schlüsseln, dem Schlüsselraum,

14 Definition Eine Kryptosystem (P(A), C(B), K, E, D) besteht aus einer Menge P von Klartexten über einem Klartextalphabet A, einer Menge C von Geheimtexten über einem Geheimtextalphabet B, einer Menge K von Schlüsseln, dem Schlüsselraum, der Verschlüsselung oder Chiffrierung E, d. h. einer Familie von Abbildungen E K : P C, K K,

15 Definition Eine Kryptosystem (P(A), C(B), K, E, D) besteht aus einer Menge P von Klartexten über einem Klartextalphabet A, einer Menge C von Geheimtexten über einem Geheimtextalphabet B, einer Menge K von Schlüsseln, dem Schlüsselraum, der Verschlüsselung oder Chiffrierung E, d. h. einer Familie von Abbildungen E K : P C, K K, der Entschlüsselung oder Dechiffrierung D, d. h. einer Familie von Abbildungen D K : C P, K K,

16 Definition Eine Kryptosystem (P(A), C(B), K, E, D) besteht aus einer Menge P von Klartexten über einem Klartextalphabet A, einer Menge C von Geheimtexten über einem Geheimtextalphabet B, einer Menge K von Schlüsseln, dem Schlüsselraum, der Verschlüsselung oder Chiffrierung E, d. h. einer Familie von Abbildungen E K : P C, K K, der Entschlüsselung oder Dechiffrierung D, d. h. einer Familie von Abbildungen D K : C P, K K, so daß für alle K K und alle Klartexte P gilt D K (E K (P)) = P. Die Zuordnungen von E K und D K zu K K stellen den Chiffrier- und den Dechiffrieralgorithmus dar.

17 Definition Ein Kryptosystem, in dem Sender und Empfänger über den selben Schlüssel verfügen bezeichnet man als symmetrisch. Falls der Empfänger zusätzliche Informationen zum Entschlüsseln besitzt, spricht man von einem asymmetrischen bzw. Public-Key-Verfahren.

18 1 Einführung 2 Symmetrische Kryptosysteme 3 Asymmetrische Kryptosysteme

19 Definition Als Transpositionskryptosystem bezeichnet man ein System, in dem die Buchstaben des Klartextes bei der Chiffierung erhalten bleiben, aber sich die Positionen der Buchstaben ändern.

20 Definition Als Transpositionskryptosystem bezeichnet man ein System, in dem die Buchstaben des Klartextes bei der Chiffierung erhalten bleiben, aber sich die Positionen der Buchstaben ändern. Definition Als Substitutionskryptosystem bezeichnet man dagegen ein System, in dem die Buchstaben des Klartextes gegen bestimmte Zeichen eines Geheimtextalphabets ausgetauscht werden, die Position der Buchstaben aber mit den der Chiffierungen übereinstimmt.

21 Spezialfälle Translationskryptosysteme, bei denen das Alphabet um eine gewisse Anzahl an Buchstaben verschoben wird (z.b. bei der sogenannten Caesarchiffre um 3 Stellen: A D,B E,...,Z C).

22 Spezialfälle Translationskryptosysteme, bei denen das Alphabet um eine gewisse Anzahl an Buchstaben verschoben wird (z.b. bei der sogenannten Caesarchiffre um 3 Stellen: A D,B E,...,Z C). Aufgabe Von dem folgenden Geheimtext ist bekannt, daß er mit einer Translationschiffre verschlüsselt wurde. MRNBNACNGCRBCWRLQCPNQNRV

23 Lösung Häufigkeitsanalyse: M R N B A C G W L Q P V

24 Lösung Häufigkeitsanalyse: M R N B A C G W L Q P V Annahme: E N

25 Lösung Häufigkeitsanalyse: M R N B A C G W L Q P V Annahme: E N Entschlüsselungstabelle: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q

26 Lösung Häufigkeitsanalyse: M R N B A C G W L Q P V Annahme: E N Entschlüsselungstabelle: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q Daraus ergibt sich dann die Entschlüsselung: MRNBNACNGCRBCWRLQCPNQNRV

27 Lösung Häufigkeitsanalyse: M R N B A C G W L Q P V Annahme: E N Entschlüsselungstabelle: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q Daraus ergibt sich dann die Entschlüsselung: MRNBNACNGCRBCWRLQCPNQNRV D

28 Lösung Häufigkeitsanalyse: M R N B A C G W L Q P V Annahme: E N Entschlüsselungstabelle: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q Daraus ergibt sich dann die Entschlüsselung: MRNBNACNGCRBCWRLQCPNQNRV DI

29 Lösung Häufigkeitsanalyse: M R N B A C G W L Q P V Annahme: E N Entschlüsselungstabelle: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q Daraus ergibt sich dann die Entschlüsselung: MRNBNACNGCRBCWRLQCPNQNRV DIE

30 Lösung Häufigkeitsanalyse: M R N B A C G W L Q P V Annahme: E N Entschlüsselungstabelle: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q Daraus ergibt sich dann die Entschlüsselung: MRNBNACNGCRBCWRLQCPNQNRV DIESERTEXTISTNICHTGEHEIM

31 Definition Wird bei einem Substitutionskryptosystem jedem Buchstaben unabhängig von seiner Position im Klartext eine festes Zeichen zugeordnet, spricht man von einem monoalphabetischen Kryptosystem. Falls bei der Verschlüsselung die Position des Zeichens von Bedeutung ist, handelt es sich um ein polyalphabetisches Kryptosystem.

32 Beispiel Vigenère Verschlüsselung Klartext: KLARTEXT

33 Beispiel Vigenère Verschlüsselung Klartext: KLARTEXT Schlüssel: ZEBRAZEB

34 Beispiel Vigenère Verschlüsselung Klartext: KLARTEXT Schlüssel: ZEBRAZEB Geheimtext: = JPBITDBU

35 Beispiel Vigenère Verschlüsselung Klartext: KLARTEXT Schlüssel: ZEBRAZEB Geheimtext: = JPBITDBU Einmalschlüssel-Verfahren Hierbei wird eine zufällige Buchstabenfolge verwendet, welche mindestens genauso lang ist wie der Klartext. Der Schlüssel darf nur einmalig genutzt werden.

36 Spezialfall Visuelle Kryptografie Entschlüsselung mittels Übereinanderlegen 2er Folien

37 Spezialfall Visuelle Kryptografie Entschlüsselung mittels Übereinanderlegen 2er Folien 4 Teilpunkte pro Bildpunkt:,

38 Spezialfall Visuelle Kryptografie Entschlüsselung mittels Übereinanderlegen 2er Folien 4 Teilpunkte pro Bildpunkt:, Schüsselfolie (zufällige Kombination) und Nachrichtenfolie (abhängig von Schlüsselfolie und Bild)

39 Spezialfall Visuelle Kryptografie Entschlüsselung mittels Übereinanderlegen 2er Folien 4 Teilpunkte pro Bildpunkt:, Schüsselfolie (zufällige Kombination) und Nachrichtenfolie (abhängig von Schlüsselfolie und Bild) heller Bildpunkt: + = Schüsselfolie Nachrichtenfolie geheimes Bild

40 Spezialfall Visuelle Kryptografie Entschlüsselung mittels Übereinanderlegen 2er Folien 4 Teilpunkte pro Bildpunkt:, Schüsselfolie (zufällige Kombination) und Nachrichtenfolie (abhängig von Schlüsselfolie und Bild) heller Bildpunkt: + = Schüsselfolie Nachrichtenfolie geheimes Bild dunkler Bildpunkt: + = Schüsselfolie Nachrichtenfolie geheimes Bild

41 1 Einführung 2 Symmetrische Kryptosysteme 3 Asymmetrische Kryptosysteme

42 Grundprinzip 1 Empfänger B konstruiert eine Verschlüsselungsfunktion E B als Einwegfunktion mit Falltür. Dies sind Funktionen, deren Umkehrung D B nur mittels einer geheimen Zusatzinformation einfach bestimmt werden kann.

43 Grundprinzip 1 Empfänger B konstruiert eine Verschlüsselungsfunktion E B als Einwegfunktion mit Falltür. Dies sind Funktionen, deren Umkehrung D B nur mittels einer geheimen Zusatzinformation einfach bestimmt werden kann. 2 B gibt E B als seinen öffentlichen Schlüssel bekannt, hält aber D B geheim.

44 Grundprinzip 1 Empfänger B konstruiert eine Verschlüsselungsfunktion E B als Einwegfunktion mit Falltür. Dies sind Funktionen, deren Umkehrung D B nur mittels einer geheimen Zusatzinformation einfach bestimmt werden kann. 2 B gibt E B als seinen öffentlichen Schlüssel bekannt, hält aber D B geheim. 3 Ein Sender A einer Nachricht P an B verschlüsselt sie gemäß C = E B (P) und sendet sie an B.

45 Grundprinzip 1 Empfänger B konstruiert eine Verschlüsselungsfunktion E B als Einwegfunktion mit Falltür. Dies sind Funktionen, deren Umkehrung D B nur mittels einer geheimen Zusatzinformation einfach bestimmt werden kann. 2 B gibt E B als seinen öffentlichen Schlüssel bekannt, hält aber D B geheim. 3 Ein Sender A einer Nachricht P an B verschlüsselt sie gemäß C = E B (P) und sendet sie an B. 4 B entschlüsselt den Geheimtext C mittels D B und erhält D B (C) = D B (E B (P)) = P.

46 Satz Seien n > 0 eine natürliche Zahl und e Z. Genau dann existiert ein d Z mit ed 1 mod n, wenn ggt(e,n) = 1 gilt.

47 Satz Seien n > 0 eine natürliche Zahl und e Z. Genau dann existiert ein d Z mit ed 1 mod n, wenn ggt(e,n) = 1 gilt. Definition Für jede natürliche Zahl n > 0 ist ϕ(n) die Anzahl der zu n teilerfremden natürlichen Zahlen zwischen 1 und n. Für jede Primzahl p gilt daher ϕ(p) = p 1.

48 Satz Seien n > 0 eine natürliche Zahl und e Z. Genau dann existiert ein d Z mit ed 1 mod n, wenn ggt(e,n) = 1 gilt. Definition Für jede natürliche Zahl n > 0 ist ϕ(n) die Anzahl der zu n teilerfremden natürlichen Zahlen zwischen 1 und n. Für jede Primzahl p gilt daher ϕ(p) = p 1. Satz Genau dann ist die natürliche Zahl n > 1 Produkt paarweise verschiedener Primzahlen, wenn für alle ganzen Zahlen a gilt a ϕ(n)+1 a mod n.

49 RSA-Algorithmus 1 B wählt zufällig zwei große Primzahlen p und q.

50 RSA-Algorithmus 1 B wählt zufällig zwei große Primzahlen p und q. 2 B berechnet n B = pq und ϕ(n B ) = (p 1)(q 1). Man nennt n B den RSA-Modul von B.

51 RSA-Algorithmus 1 B wählt zufällig zwei große Primzahlen p und q. 2 B berechnet n B = pq und ϕ(n B ) = (p 1)(q 1). Man nennt n B den RSA-Modul von B. 3 B wählt eine zu ϕ(n B ) teilerfremde Zahl e B, den Verschlüsselungsexponenten von B zwischen 1 und ϕ(n B ) 1.

52 Satz Seien n > 0 eine natürliche Zahl und e Z. Genau dann existiert ein d Z mit ed 1 mod n, wenn ggt(e,n) = 1 gilt. Definition Für jede natürliche Zahl n > 0 ist ϕ(n) die Anzahl der zu n teilerfremden natürlichen Zahlen zwischen 1 und n. Für jede Primzahl p gilt daher ϕ(p) = p 1. Satz Genau dann ist die natürliche Zahl n > 1 Produkt paarweise verschiedener Primzahlen, wenn für alle ganzen Zahlen a gilt a ϕ(n)+1 a mod n.

53 RSA-Algorithmus 1 B wählt zufällig zwei große Primzahlen p und q. 2 B berechnet n B = pq und ϕ(n B ) = (p 1)(q 1). Man nennt n B den RSA-Modul von B. 3 B wählt eine zu ϕ(n B ) teilerfremde Zahl e B, den Verschlüsselungsexponenten von B zwischen 1 und ϕ(n B ) 1. 4 B bestimmt den Entschlüsselungsexponenten d B mit e B d B 1 mod ϕ(n B ) und 1 d B < ϕ(n B ).

54 RSA-Algorithmus 1 B wählt zufällig zwei große Primzahlen p und q. 2 B berechnet n B = pq und ϕ(n B ) = (p 1)(q 1). Man nennt n B den RSA-Modul von B. 3 B wählt eine zu ϕ(n B ) teilerfremde Zahl e B, den Verschlüsselungsexponenten von B zwischen 1 und ϕ(n B ) 1. 4 B bestimmt den Entschlüsselungsexponenten d B mit e B d B 1 mod ϕ(n B ) und 1 d B < ϕ(n B ). 5 B gibt n B und e B öffentlich bekannt, hält die anderen Zahlen aber geheim.

55 RSA-Algorithmus 1 B wählt zufällig zwei große Primzahlen p und q. 2 B berechnet n B = pq und ϕ(n B ) = (p 1)(q 1). Man nennt n B den RSA-Modul von B. 3 B wählt eine zu ϕ(n B ) teilerfremde Zahl e B, den Verschlüsselungsexponenten von B zwischen 1 und ϕ(n B ) 1. 4 B bestimmt den Entschlüsselungsexponenten d B mit e B d B 1 mod ϕ(n B ) und 1 d B < ϕ(n B ). 5 B gibt n B und e B öffentlich bekannt, hält die anderen Zahlen aber geheim. 6 Sender A stellt den Klartext P als Folge natürlicher Zahlen n 1,...,n r zwischen 0 und n B 1 dar. Dann bestimmt er zu jeder dieser Zahlen n i den Geheimtext c i n e B i mod n B und sendet die Folge c 1,...,c r an B.

56 RSA-Algorithmus 1 B wählt zufällig zwei große Primzahlen p und q. 2 B berechnet n B = pq und ϕ(n B ) = (p 1)(q 1). Man nennt n B den RSA-Modul von B. 3 B wählt eine zu ϕ(n B ) teilerfremde Zahl e B, den Verschlüsselungsexponenten von B zwischen 1 und ϕ(n B ) 1. 4 B bestimmt den Entschlüsselungsexponenten d B mit e B d B 1 mod ϕ(n B ) und 1 d B < ϕ(n B ). 5 B gibt n B und e B öffentlich bekannt, hält die anderen Zahlen aber geheim. 6 Sender A stellt den Klartext P als Folge natürlicher Zahlen n 1,...,n r zwischen 0 und n B 1 dar. Dann bestimmt er zu jeder dieser Zahlen n i den Geheimtext c i n e B i mod n B und sendet die Folge c 1,...,c r an B. 7 B bildet zu den empfangenen Geheimtexten c i die Potenzen c d B i = n e Bd B i n i mod n B, die dann noch in die Klartexte zurückverwandelt werden müssen.

57 Satz Seien n > 0 eine natürliche Zahl und e Z. Genau dann existiert ein d Z mit ed 1 mod n, wenn ggt(e,n) = 1 gilt. Definition Für jede natürliche Zahl n > 0 ist ϕ(n) die Anzahl der zu n teilerfremden natürlichen Zahlen zwischen 1 und n. Für jede Primzahl p gilt daher ϕ(p) = p 1. Satz Genau dann ist die natürliche Zahl n > 1 Produkt paarweise verschiedener Primzahlen, wenn für alle ganzen Zahlen a gilt a ϕ(n)+1 a mod n.

58 RSA-Algorithmus 1 B wählt zufällig zwei große Primzahlen p und q. 2 B berechnet n B = pq und ϕ(n B ) = (p 1)(q 1). Man nennt n B den RSA-Modul von B. 3 B wählt eine zu ϕ(n B ) teilerfremde Zahl e B, den Verschlüsselungsexponenten von B zwischen 1 und ϕ(n B ) 1. 4 B bestimmt den Entschlüsselungsexponenten d B mit e B d B 1 mod ϕ(n B ) und 1 d B < ϕ(n B ). 5 B gibt n B und e B öffentlich bekannt, hält die anderen Zahlen aber geheim. 6 Sender A stellt den Klartext P als Folge natürlicher Zahlen n 1,...,n r zwischen 0 und n B 1 dar. Dann bestimmt er zu jeder dieser Zahlen n i den Geheimtext c i n e B i mod n B und sendet die Folge c 1,...,c r an B. 7 B bildet zu den empfangenen Geheimtexten c i die Potenzen c d B i = n e Bd B i n i mod n B, die dann noch in die Klartexte zurückverwandelt werden müssen.

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60 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit.