Quadratische Gleichungen

Transkript

1 1 Quadratische Gleichungen ax 2 + bx + c = 0 1. Löse folgende Gleichungen: a) x 2 + 2x 15 = 0 b) x 2 6x + 7 = 0 c) x x + 54 = 0 d) x x 64 = 0 e) x 2 34x + 64 = 0 f) x x 54 = 0 g) x x +64 = 0 h) x 2 16x + 64 = 0 i) x 2 15x 54 = 0 j) x 2 29x = 0 k) x 2 27x 90 = 0 l) x 2 15x + 54 = 0 m) x 2 + 2x 80 = 0 n) x 2 8x 9 = 0 o) x 2 20x + 51 = 0 p) x 2 16x 36 = 0 q) x 2 8x 105 = 0 r) x 2 26x = 0 s) x 2 + 4x 45 = 0 t) x 2 + 4x + 3 = 0 u) x 2 + 4x 140 = 0 v) x 2 x 12 = 0 2. Löse folgende Gleichungen: a) x x + 24 = 0 b) x 2 + 4x 5 = 0 c) x 2 6x + 8 = 0 d) x 2 2x 15 = 0 e) x 2 8x + 15 = 0 f) x x +20 = 0 g) x 2 + 4x 21 = 0 h) x 2 8x 20 = 0 i) x 2 + 6x + 5 = 0 j) x 2 + 7x + 12 = 0 k) x 2 5x + 6 = 0 l) x 2 + 3x 10 = 0 m) x 2 + 9x + 18 = 0 n) x 2 7x 30 = 0 o) x x + 16 = 0 p) x 2 8x + 7 = 0 q) x 2 16x 17 = 0 r) x 2 + 6x 72 = 0 3. Löse folgende Gleichungen: a) 5x 2 10x 400 = 0 b) 2x 2 6x 36 = 0 c) 4x x + 44 = 0 d) 3x 2 21x + 30 = 0 e) 10x 2 20x 240 = 0 f) 15x 2 45x 150 = 0 g) 5x x 60 = 0 h) 7x 2 35x + 28 = 0 i) 4x 2 48x = 0 j) 3x x + 18 = 0 k) 3x 2 3x 168 = 0 l) x 2 + 5x + 14 = 0

2 4. Löse folgende Gleichungen: a) (x ) (x 9 2 ) = 0 b) x = 0 c) x = 0 d) x 2 15x = 0 e) 0,5x 2 4,5 = 0 f) ( x 6 ) ( x + 7) = 0 g) x x = 0 g) x = 0 i) x 2 = 0,81 j) 3x = 0 k) x 2 3x = 0 l) 5x 2 +12x = 0 m) 2x 2 + 6x = 0 n) 3x = 2x 2 o) ( x + 0,6 ) ( x + 7,1) = 0 p) (x ) (x 5 8 ) = Löse folgende Gleichungen: a) 3x +10 = x 2 b) x 2 6x = 5 c) x 2 18x = 77 d) x 2 +10x = 21 e) x x = 50 f) 4 + x 2 = 5x g) 42x + 3x 2 = 153 h) 8x 2 24x = 144 i) 2x 2 10x = 12 j) 9x = 54x k) 6x 2 48 = 42x l) 40+ 5x 2 = 30x m) 4 x x = 0 n) x + = 8 x 6. Löse folgende Gleichungen: a) (x 8) (3x + 9) = (2x + 4) (x 5) b) (5x 1) (5x + 4) = (4x + 3) (6x 1) + x c) (4x + 1) (x 2) = 8 + (3x + 5) (x 2) d) (x + 3) (5x 2) = 15 + (x + 5) (4x 1) e) x 2 + (x 2) 2 = (x + 2) 2 f) 3(x 2 + 6x 2) = 15 g) 2x² 2x (10 - x)² = 4 2x + ( 4 + 2x²) h) 2( 3x 3) (6x + 155) (29 + x) = ( 18x + 3x² 319) 2x² + 3 i) (2x 2) (x + 2) (x + 1) (x 1) = 5 j) 24(x 2) = 5(x 2)(x + 3) 6(x + 3) k) (7 + 5x)(9x 8) = (5 + 7x)(9 8x) l) 12x(x + 1) = 42(x + 1) (3x 42) m) (x + 4)(x + 2) = x(x + 10) 4(x 2) n) 4(5 x) = 2(x + 2)(5 x) 3(x + 2 o) 12x(x + 1) = 42(x + 1) (3x 42) p) x(x + 4) + 5 = 1 (2x + 3) q) (x 10)(x + 7) = (x 7)(x + 3) (x + 1)(x 5) r) 10x(x + 3) = 2(3x + 7)(x + 3) 4(3x + 7) s) (x 1)(x 3) + (x 4)(x + 2) = x² 3x 5 7. Löse folgende Gleichungen: a) b) c) = 3 5 5x 1 3x = + x x = 12 2x 3 x 1

3 3 d) e) f) g) h) i) j) k) l) = 0 x x 2 x 3 7x 5 5x 3 = 10x x = x 1 9 2x 3 7 x 4x 5 + = x 3x 1 x 3 x 1 6x 2 + = x 1 1 ( x 1)( 1) = x 7 x 3 x = x x + = x x 3 2 5x 8 = x 5 3 x 5 9. Löse folgende Gleichungen: a) x² + 2ax 8a² = 0 b) 2x² + ax a² = 0 c) x² 4x a² + 4 = 0 d) x² 4x a² + 6a 5 = 0 e) 2x(x a) + 4a(a x) = 0 f) 3x(x 2a) = a² 4a(x a) g) x² bx 0,75b² = 0 h) 2x² 5bx + 3b² = 0 i) x² 2bx a² + b² = 0 j) x² + 6x b² 8b 7 = 0 Sachaufgaben aus der Geometrie 1. Eine Strecke ist 36 cm lang. Sie soll so in zwei Teile geteilt werden, dass das Rechteck aus den Streckenabschnitten 203 cm 2 groß ist. 2.Eine Strecke von 33 cm Länge soll so in zwei Abschnitte geteilt werden, dass das Rechteck aus den Abschnitten 266 cm 2 groß ist. 3. Ein Rechteck hat eine Fläche von 221 cm 2. Der Umfang beträgt 60 cm. 4. Der Umfang eines Rechtecks ist 82 cm, seine Fläche ist 418 cm Die Fläche eines Rechtecks ist 990 cm 2. Die Seitenlängen unterscheiden sich um 3 cm. 6. Verlängert man in einem Quadrat die Seitenlänge um 5 cm, so vervierfacht sich der Flächeninhalt.

4 4 7. Verlängert man in einem Quadrat die eine Seite um 5 cm und verkürzt die andere um 5 cm, so entsteht ein Rechteck, das 0,75 mal so groß ist wie das Quadrat. 8. Verlängert man in einem Quadrat die eine Seite um 3 cm und die andere um 2 cm, so ist der Flächeninhalt des entstandenen Rechtecks doppelt so groß als der des Quadrats. 9. In einem Rechteck unterscheiden sich die beiden Seiten um 4 cm. Verlängert man beide Seiten um 4 cm, so verdoppelt sich der Flächeninhalt. 10. In einem Rechteck unterscheiden sich die beiden Seiten um 3 cm. Wie lang sind die Seiten, wenn die Diagonale 15 cm lang ist? 11. Die Seiten eines Rechtecks unterscheiden sich um 2 cm. Wie lang sind diese Seiten, wenn die Diagonale des Rechtecks 10 cm misst? 12. Der Umfang eines Rechtecks beträgt 14 cm. Wie lang sind die Seiten, wenn die Diagonale 5 cm misst? 13. In einem Rechteck ist die kürzere Seite 0,75 mal so lang wie die andere Seite. Die Diagonale ist 15 cm lang. 14. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 16 cm länger als die Kathete a und 18 cm länger als die Kathete b. 15. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete a 1 cm kürzer als die Hypotenuse und 7 cm länger als die Kathete b. 16. Der Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 120 cm. Wie lang sind die Seiten, wenn die Hypotenuse 4 cm länger ist als die Kathete a? 17. Die beiden Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck sind zusammen 89 cm lang. Die Hypotenuse ist 9 cm länger als die Kathete a. 18. Die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 8:15. Die Hypotenuse ist 34 cm lang. 19. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist 180 cm 2. Wie lang sind die Katheten, wenn die Hypotenuse 41 cm lang ist? 20. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist 240 cm 2. Berechne die Länge der Katheten, wenn die Hypotenuse 34 cm lang ist. 21. Die Höhe eines Dreiecks ist um 4 cm kleiner als die Grundseite. Wie groß sind die beiden Strecken, wenn der Flächeninhalt 160 cm 2 ist? 22. Die Anzahl der Diagonalen eines Vielecks wird mit x bezeichnet. Man findet die Anzahl der Seiten n durch die Gleichung: 2x = n(n - 3). Um welches Vieleck handelt es sich, wenn x = 65 ist? 23. Die Kanten eines Quaders werden durch drei aufeinander folgenden natürliche Zahlen gemessen. Berechne die Kantenlängen, wenn die Oberfläche des Quaders 214 cm 2 ist.

5 24. Eine rechteckige Rasenfläche ist 5 m länger als breit. Um sie herum wird ein 2 m breiter Weg angelegt. Wie lang und wie breit ist die Rasenfläche, wenn die Gesamtfläche 696 m 2 einnimmt? 25. Um ein rechteckiges Schwimmbecken von 40 m Länge und 30 m Breite soll eine an allen Seiten gleich breite Rasenfläche angelegt werden. Der Flächeninhalt der Rasenfläche soll fünfmal so groß sein wie der des Schwimmbeckens. 26. Die Mittelpunkte zweier sich berührender Kreise haben einen Abstand von 20 cm. Die Summe der beiden Flächeninhalte ist 653,12 cm 2 groß. Wie lang sind die beiden Radien r 1 und r 2? 27. Von einer geraden quadratischen Pyramide kennt man die Höhe der Seitenfläche h s = 41 cm sowie die Oberfläche A O = 2943 cm 2. Berechne die Grundkante a, die Höhe h sowie die Seitenkante s k. 28. Ein Rechteck hat eine Fläche von 221 cm 2. Der Umfang beträgt 60 cm. Berechne die Länge der Rechteckseiten und die Länge einer Diagonalen Sachaufgaben Bewegungsaufgaben 1. Ein PKW hat eine um 20 km/h höhere Geschwindigkeit als ein LKW. Für eine 30 km lange Strecke benötigt der PKW deshalb 15 Minuten weniger. Wie groß ist die Geschwindigkeit der beiden Wagen? 2. Ein PKW benötigte für eine 60 km lange Strecke 20 Minuten mehr als bei der Hinfahrt, da er wegen Sichtbehinderung eine im Durchschnitt um 15 km/h geringere Geschwindigkeit hatte. Mit welcher Geschwindigkeit wurde die Hinfahrt, mit welcher Geschwindigkeit die Rückfahrt bewältigt? 3. Ein Autofahrer fährt morgens um 8 Uhr von A zu dem 123 km entfernten Ort B. Nach 75 km begegnet er einem anderen Autofahrer, der um 8.15 Uhr von B losgefahren ist. Der zweite Autofahrer hatte eine im Durchschnitt um 12 km/h geringere Geschwindigkeit. Berechne die Geschwindigkeiten der beiden Autos. Wie lange waren beide bis zur Begegnung unterwegs? 4. Erhöht ein Flugzeug auf einer Strecke von 750 km seine vorgesehene Reisegeschwindigkeit um 50 km/h, so verringert sich die Flugzeit um 30 Minuten. Wie groß war die ursprüngliche Fluggeschwindigkeit? 5. Von zwei Fußgängern benötigt der eine für eine 18 km lange Wegstrecke 36 Minuten mehr als der andere, da er in der Stunde 1 km weniger zurücklegt als der andere. Wie schnell gehen beide? 5 6. Zwei Flugzeuge starten gleichzeitig in entgegengesetzte Richtungen, das eine fliegt von Hannover nach München (490 km), das andere von München nach Hannover. Das zweite trifft 15 Minuten später in Hannover ein als das erste in München, weil es im Durchschnitt um 35 km/h langsamer war. Wie hoch war die Geschwindigkeit jedes Flugzeuges? 7. Eine 30 km lange Wanderstrecke soll abgelaufen werden. Verringert man seine ursprünglich geplante Geschwindigkeit um 1 km/h, so benötigt man eine Stunde mehr für die Strecke. Wie groß war die ursprünglich geplante Wandergeschwindigkeit? Sachaufgaben Vermischtes 1. Zwei Monteure stellen zusammen eine Anlage in Tagen fertig. Wie lange

6 müsste jeder allein an ihr arbeiten, wenn der zweite 3 Tage mehr als der erste benötigt? 2. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 0,53 m lang. Wie lang sind die Katheten, wenn ihre Gesamtlänge 0,686 m beträgt? 3. Der Inhalt eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 24 cm 2. Die beiden Katheten unterscheiden sich in ihrer Länge um 2 cm. Wie lang sind sie? 4. Wird die Seite eines Quadrates um 3 cm verlängert und die benachbarte Seite um ebensoviel verkürzt, so hat das entstehende Rechteck einen Flächeninhalt von 55 cm 2. Wie lang sind die Seiten des Quadrates? 5. In ein Rechteck mit den Seitenlängen 49 cm und 30 cm ist ein zweites Rechteck so ein gezeichnet, dass seine Seiten von denen des ersten Rechtecks gleich weit entfernt sind. Die Inhalte der beiden Flächen stehen im Verhältnis 4:7 zueinander. Wie lang sind die Seiten des zweiten Rechtecks? 6. Wird der Durchmesser eines Kreises um 3 cm verlängert, so verdoppelt sich damit der Flächeninhalt. Wie groß war der Radius? 7. Wie groß ist die Spannweite eines kreisförmigen Brückenbogens mit dem Radius 26 m und der Pfeilhöhe 1,6 m? 8. Einem Dreieck mit der Grundseite g = 12 cm und der Höhe h = 9 cm ist ein auf der Grundseite stehendes Rechteck mit dem Inhalt A = 24 cm 2 einzubeschreiben. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? 9. Von den drei an einer Ecke zusammenstoßenden Kanten eines Quaders, dessen Oberfläche 568 cm 2 beträgt, ist die erste um 4 cm länger als die zweite und um 4 cm kürzer als die dritte. Wie lang sind die Kanten? 10. Die Oberflächen zweier Kugeln haben zusammen einen Flächeninhalt von cm 2. Die Radien unterscheiden sich um 7 cm. Wie lang sind sie? 11. Auf dem Umfang eines Kreises von 420 m Länge bewegen sich zwei Körper A und B. B legt in der Minute 25 m mehr zurück als A und benötigt daher, um den Kreis zu umrunden, 5 min weniger als A. Welche Geschwindigkeiten haben A und B? 12. Auf den Schenkeln eines Winkels von 60 bewegen sich zwei Punkte A und B vom Scheitel fort. Ursprünglich sind A und B 2m bzw. 10 m vom Scheitel entfernt. Wann werden die beiden Punkte 30 m voneinander entfernt sein, wenn sie 7 m bzw. 5 m in der Sekunde zurücklegen? (Es ist der Kosinussatz anzuwenden.) 13. Auf einer 225 m langen Strecke bewegen sich zwei Körper, gleichzeitig beginnend, einander entgegen. Der erste Körper führt eine gleichförmige Bewegung mit einer Geschwindigkeit von 20 m/s aus, der zweite eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Beschleunigung 10 m/s 2. Wann werden sich beide Körper treffen, und welchen Weg hat dann jeder zurückgelegt? 14. Ein Elbdampfer, der in Dresden um 9.30 Uhr mit einer Geschwindigkeit von 13,2 km/h (gemessen über Grund) abfährt, begegnet um Uhr einem Dampfer, der Riesa um 8.00 Uhr verlassen hat. Der stromab fahrende Dampfer kommt 30 min früher in Riesa an als der stromauf fahrende in Dresden. Wie lang ist die Fahrtstrecke? Hartl 1/2013 6