Seminar über Darstellungstheorie endlicher Gruppen Darstellungen

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1 Seminar über Darstellungstheorie endlicher Gruppen Darstellungen Fabia Weber, Samet Armagan 25. Februar 2016 Inhaltsverzeichnis 1.1 Denition einer linearen Darstellung Die Gruppenalgebra F G F G-Linksmoduln 5 Literaturverzeichnis 6 1

2 Die folgende Diskussion umfasst die Kapitel 3, 4 und 6 aus [1]. Sei G eine endliche Gruppe, F ein Körper und V ein F -Vektorraum. 1.1 Denition einer linearen Darstellung Denition Eine (lineare) Darstellung von G auf V ist eine Linksoperation σ : G V V, (g, v) σ(g, v) = gv, so dass für jedes g G die Abbildung V V, v gv F -linear ist, d.h. für alle u, v V und λ F gilt: g(v + u) = (gv) + (gu) g(λv) = λ(gv). Die Dimension von V wird dann auch als Dimension der Darstellung σ bezeichnet. Proposition Eine Darstellung σ : G V V entspricht einem Gruppenhomomorphismus ρ : G Aut F (V ) in die Automorphismengruppe von V. Der Homomorphismus ρ ist dabei gegeben durch g G, v V : ρ(g)(v) := σ(g, v). Umgekehrt induziert jeder Gruppenhomomorphismus ρ : G Aut F (V ) auch eine Darstellung von G in V (mit der gleichen Vorschrift). Denition Eine Darstellung G V V heisst treu, falls {g G v V : gv = v} = {1} gilt. Dies ist genau dann der Fall, wenn der induzierte Homomorphismus G Aut F (V ) injektiv ist. Proposition Eine Darstellung ist genau dann treu, wenn G isomorph zu Im(ρ) ist, wobei ρ wieder den induzierten Homomorphismus bezeichnet. Beispiel Sei V ein eindimensionaler Vektorraum. Die Darstellung, welche durch den Homomorphismus G Aut F (V ), g id V gegeben ist, heisst triviale Darstellung von G auf V. Dabei bezeichnet id V die Identitätsabbildung auf V. Die triviale Darstellung hat Dimension 1 und ist genau dann treu, wenn G = {1} ist. Denition Seien V und V zwei F -Vektorräume und seien σ : G V V und τ : G V V Darstellungen von G. Wir sagen σ ist isomorph zu τ, falls es einen Isomorphismus φ : V V gibt, sodass für alle g G und alle v V σ(g, v) = φ 1 (τ(g, φ(v))) gilt. Insbesondere haben isomorphe Darstellungen die gleiche Dimension. 2

3 Proposition Isomorphie von Darstellungen ist eine Äquivalenzrelation. Proposition Eine Darstellung von G, die isomorph zu einer treuen Darstellung von G ist, ist ebenfalls treu. Beispiel Jede Darstellung von G, die isomorph zu einer trivialen Darstellung von G ist, ist selber trivial. Sei nun dim(v ) = n < und B = (v 1,..., v n ) eine geordnete Basis von V. Dann wird durch B ein Isomorphismus Aut F (V ) GL(n, F ) induziert. Damit kann eine Darstellung G V V mit einem Homomorphismus ρ B : G GL(n, F ) identiziert werden und umgekehrt. Proposition Seien V, V zwei endlich dimensionale Vektorräume über F. Dann sind zwei Darstellungen σ : G V V und τ : G V V genau dann isomorph zueinander, wenn es geordnete Basen B von V und B von V gibt, sodass die zugehörigen Homomorphismen σ B, τ B : G GL(n, F ) gleich sind. Beispiel Sei G die Diedergruppe D 4 = a, b a 4 = b 2 = 1, b 1 ab = a 1. Man deniert die beiden Matrizen A und B wie folgt ( ) ( ) A :=, B := und überprüft, dass A 4 = B 2 = I 2 und B 1 AB = A 1 gilt. Die Abbildung ρ B : G GL(2, F ), a i b j A i B j (0 i 3, 0 j 1) beschreibt einen Homomorphismus von G nach GL(2, F ) und induziert demzufolge eine Darstellung von D 4 auf F 2, welche treu ist. Gemäss Proposition ist die Gruppe H := A, B isomorph zur Diedergruppe D 4. Beispiel Sei X eine endliche Menge und G X X, (g, x) gx eine Linksoperation von G auf X. Wir betrachten den Vektorraum V = x X F. Zur Erinnerung sei hier noch erwähnt, dass die Addition und skalare Multiplikation komponentenweise deniert sind. Ferner haben wir eine natürliche Inklusion ( { } 1, x = x ι : X V, x ι(x) := ) 0, x x. x X Nun bezeichnen wir die Elemente ι(x) für jedes x X kurz mit x. Somit können wir jedes Element (λ x ) x X V in der Form (λ x ) x X = x X λ x x schreiben. Auf diese Weise bildet die Menge X eine Basis von V, die sogenannte kanonische Basis. Die Dimension von V ist dann X. Wir denieren die dazugehörige Permutationsdarstellung: σ : G V V, (g, (λ x ) x X ) (λ gx ) x X Sie ist genau dann treu, wenn G treu auf X operiert. 3

4 Beispiel Sei G eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S n, sei X = {1,..., n} und V = F n. Zudem sei B = (e 1,..., e n ) die (geordnete) Standardbasis von V. Wir betrachten nun die natürliche Linksoperation von G auf X. Dann ist die dazugehörige Permutationsdarstellung gegeben durch σ : G V V, (g, (λ i ) n i=1) g(λ i ) n i=1 := (λ gi) n i=1. Die natürliche Operation von G auf X ist treu. Demzufolge ist auch σ treu. Wenn wir mit ρ B : G GL(n, F ) den von σ und B induzierten Homomorphismus bezeichnen, ist ρ B (g) für jedes g G eine Permutationsmatrix. 1.2 Die Gruppenalgebra F G Denition Wir denieren den Vektorraum F G := g G F. Nun führen wir die gleiche Konstruktion wie im Beispiel mit X = G und der Linksmultiplikation als Operation G G G durch. Insbesondere haben wir dann eine Einbettung der Gruppe G in den Vektorraum F G und können die Vektoren von F G als Linearkombination von Elementen aus G (vgl. Beispiel ) schreiben. Ausserdem können wir auf diesem Vektorraum eine Multiplikation : F G F G F G denieren, nämlich (λ g ) g G (µ g ) g G := ( ) λ g µ g. h G gg =h Proposition (i) (F G, +,, 0, 1) bildet einen (i.a. nicht kommutativen) Ring mit Eins, wobei 1 := ι(1 G ) (vgl. Beispiel ) bezeichnet. (ii) Die Multiplikation auf F G ist verträglich mit der skalaren Multiplikation, d.h. es gilt λ(rs) = (λr)s = r(λs) für alle λ F und r, s F G. Bemerkung (i) Wir können auch den Körper F in F G einbetten und zwar mit dem folgenden Ringhomomorphismus φ : F F G, λ λι(1 G ). (ii) An dieser Stelle sei noch erwähnt, dass jeder F -Vektorraum A zusammen mit einer Abbildung A A A, die verträglich mit der Addition und skalaren Multiplikation von A ist, eine F -Algebra genannt wird. Erfüllt die Abbildung zusätzlich das Assoziativgesetz, so nennt man die Algebra assoziativ. Beachte, dass damit der Vektorraum F G zusammen mit der Multiplikation in der Denition eine assoziative F -Algebra ist. Denition Der Vektorraum F G zusammen mit der obigen Multiplikation wird die Gruppenalgebra von G über F oder kurz Gruppenalgebra F G genannt. Beispiel Sei G = D 4 = a, b a 4 = b 2 = 1, b 1 ab = a 1 die Diedergruppe der Ordnung 8. Betrachte die Elemente x = 1 + b, y = 1 b und z = a + b + ba in F D 4. 4

5 Dann gilt xy = (1 + b)(1 b) = 1 + b b b 2 = 0 zx = (a + b + ba)(1 + b) = 1 + a + a 3 + b + ba + ba 3 { 1 + b, falls 2 = (1 + 1) = 0 F xz = (1 + b)(a + b + ba) = 1 + 2a + b + 2ba, sonst Die erste Rechnung zeigt, dass es in der Gruppenalgebra F G Nullteiler geben kann. 1.3 F G-Linksmoduln Denition Betrachten wir nun einen F -Vektorraum V zusammen mit einer Darstellung σ : G V V, (g, v) gv. Dann können wir die Darstellung auf natürliche Weise zu einer Abbildung F G V V fortsetzen, nämlich: (λ, v) λv := g G λ g (gv) für alle λ = (λ g ) g G F G, λ g F und v V. Proposition Durch die obige skalare Multiplikation wird V zu einem Linksmodul über dem Ring F G. Proposition Sei V ein F G-Linksmodul. Dann ist die Einschränkung der skalaren Multiplikation auf die Elemente g G eine Darstellung von G auf V. Denition Die Einschränkung der Multiplikation von der Gruppenalgebra F G auf die Elemente g G ist eine Darstellung G F G F G (vgl. Proposition mit V = F G). Sie heisst reguläre Darstellung von G über F. Proposition Die reguläre Darstellung ist treu. Beispiel Dieses Beispiel zeigt, dass man den Körper F zu einem F G-Linksmodul machen kann. Sei τ : G F F die triviale Darstellung auf F (vgl. Beispiel mit V = F ). Betrachte nun die Fortsetzung von τ auf die Gruppenalgebra F G ( F G F F, λ g τ(g, x) = ( ) λ g x (alle λg F ). g G λ g g, x ) g G Dann ist der Körper F mit dieser skalaren Multiplikation ein Linksmodul über F G. Beispiel Sei G = C 2 C 2, wobei C 2 = {1, a} die zyklische Gruppe der Ordnung 2 ist, und G F G F G, (g, v) gv die reguläre Darstellung von G über F (siehe Denition 1.3.4). Sei ausserdem v = λ 1 (1, 1)+λ 2 (a, 1)+λ 3 (1, a)+λ 4 (a, a) F G ein beliebiges Element. Dann ist g G (1, 1)v = λ 1 (1, 1) + λ 2 (a, 1) + λ 3 (1, a) + λ 4 (a, a) (a, 1)v = λ 2 (1, 1) + λ 1 (a, 1) + λ 4 (1, a) + λ 3 (a, a) (1, a)v = λ 3 (1, 1) + λ 4 (a, 1) + λ 1 (1, a) + λ 2 (a, a) (a, a)v = λ 4 (1, 1) + λ 3 (a, 1) + λ 2 (1, a) + λ 1 (a, a). 5

6 Damit ist der Homomorphismus ρ B : G GL(n, F ), der bezüglich der geordneten Basis B = ((1, 1), (a, 1), (1, a), (a, a)) zur regulären Darstellung gehört, gegeben durch ρ B ((1, 1)) = , ρ B((a, 1)) = , ρ B ((1, a)) = Literaturverzeichnis Bücher , ρ B((a, a)) = [1] James, Gordon und Liebeck, Martin, "Representations and Characters of Groups". Cambridge Verlag, Internet Meckenhäuser, Gundula, "Darstellungen endlicher Gruppen: Grundbegrie". ( ). "Finite Groups". pdf ( ). 6