DCEL: Eine Datenstruktur für ebene Unterteilungen

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1 DCEL: Ene Datenstrutur für ebene Unterteungen (Lteratur: deberg et a., Kate 2) 1 Ebene Unterteungen =(V,E) engebetteter, anarer ra eder Ece v von st en Punt (v) zugeordnet eder Kante e={u,v} von st ene Strece s(e) zugeordnet (u) und (v) snd de Endunte der Strece s(e) de Strecen {s(e) e Kante von } scneden sc nct 2

2 Ebene Unterteungen nduzert ene ebene Unterteung U() Enbettungen der Ecen von essen Ecen von U() Enbettungen der Kanten von essen Kanten von U() ene axa zusaenängende Teenge der Ebene, de ene Ecen von U() oder Punte ener Kante von U() entät, esst acette von U() U() esst zusaenängend, wenn zusaenängend st Koextät von U() := Ecen + Kanten + acetten Ece esst nzdent zu Kante s, fas Endunt von s Kante s (Ece ) esst nzdent zu acette f, fas s () auf de Rand von f egt Annae: es gbt ene soerten Ecen 3 Ebene Unterteungen Kante acette Ece 4

3 Loae Oeratonen auf ebene Unterteungen durcaufe de zu ener acette f nzdenten Kanten zysc f fnde zu ener acette f und ener dazu nzdenten Kante e de acette g, de e t f geensa at f e durcaufe ae zu ener Ece nzdenten Kanten zysc 5 Doet verettete Kantenste (DCEL) DCEL = douby-connected edge st secert enen Entrag für ede acette, Kante und Ece geoetrsce und tooogsce Inforatonen ggf. zusätzce Attrbute (arbe, etc.) unterstützte Oeratonen nzdente Kanten ener acette zysc durcaufen von ener acette f über ene Kante e von f zur zweten, zu e adazenten acette geen nzdente Kanten ener Ece zysc durcaufen Enfügen von Ecen auf (= unterteen von) Kanten Enfügen von Kanten zwscen Ecen (= Saten von acetten) Patzbedarf O(Koextät der ebenen Unterteung) 6

4 Darsteung von Kanten n der DCEL de Kante e t den Ecen,q wrd dargestet durc de beden (orenterten) Habanten (e)=(,q) und (e)=(q,) esst der Zwng von (und ugeert) esst der Anfang von, q esst das Ende von fas g=(r,) und =(,q), so essen g und aufenanderfogend (.ag. gbt es erere Habanten de auf g fogen) de acette ns von esst de acette von r q g 7 Darsteung von acetten n der DCEL ene acette wrd durc ene Menge von Randfogen dargestet ene Randfoge R von st ene axae zysce oge von aarwese verscedenen, ewes aufenanderfogenden, Habanten von de Habanten ener Randfoge R durcaufen den Rand der zugeörenden acette gescet des gegen den Urzegersnn, so esst R äusserer Rand, ansonsten nnerer Rand von Rand := Randfoge r äusserer Rand von q q r nnerer Rand von 8

5 Darsteung von acetten n der DCEL ede bescränte acette at genau enen äusseren Rand de Anza der nneren Ränder von entsrct der Anza der Löcer von ( graenteoretscen Snn) ede Habante geört zu genau ene Rand de Ränder verscedener acetten snd dsunt de Ränder ener acette snd dsunt wenn de acette von st, so geört zu ener der Randfogen von ede Habante at sot enen endeutg bestten Vorgänger und Nacfoger Nacfoger von fogt auc auf 9 Enträge n der DCEL: Ecen der Entrag für ene Ece =(x,y) secert de Koordnaten (x,y) von enen Zeger InzdenteHabante() auf den Entrag ener beebgen, zu nzdenten Habante, deren Anfang st 10

6 Enträge n der DCEL: Ecen a d H n µ e ß Ece InzdenteHabante a ß d e µ n 11 Enträge n der DCEL: acetten der Entrag für ene acette f secert enen Zeger AussenKante(f) auf den Entrag ener beebgen Habante auf de äusseren Rand von f ene Lste InnenKanten(f), de für eden nneren Rand R von f enen Zeger auf den Entrag ener beebgen Habante von R secert 12

7 Enträge n der DCEL: acetten a d H n µ e ß acette AussenKante - H n InnenKanten {} {} - 13 Enträge n der DCEL: Kanten der Entrag für ene Habante =(,q) secert enen Zeger AnfangsEce() auf den Entrag für de Ece enen Zeger ZwngsKante() auf den Entrag für de Habante =(q,) enen Zeger acette() auf den Entrag für de acette von enen Zeger NacfogerKante() auf den Entrag für den Nacfoger von enen Zeger VorgängerKante() auf den Entrag für den Vorgänger von 14

8 Enträge n der DCEL: Kanten a d H n µ e ß Habante AnfangsEce ZwngsKante acette NacfogerKante VorgängerKante ß a d e n n H n 15 Oeratonen auf der DCEL nzdente Habanten ener acette f zysc durcaufen zysces Durcaufen der Habantenste ausgeend von AussenKante(f) über NacfogerKante() ( Durcauf des äusseren Randes von f gegen den Urzegersnn) und für eden Zeger auf ene Habante n InnenKanten(f) zysces Durcaufen der Habantenste ausgeend von über NacfogerKante() ( Durcauf der nneren Ränder von f Urzegersnn) O(1) Zet ro Kante f 16

9 Oeratonen auf der DCEL von ener acette f über ene Habante von f zur gegenüberegenden (= zu adazenten) acette f geen acette(zwngskante()) zegt auf den Entrag für de acette f O(1) Zet ro Oeraton f f 17 Oeratonen auf der DCEL nzdente Kanten ener Ece zysc durcaufen starte be InzdenteHabante() der Nacfoger ener Habante n der zyscen Ordnung u st NacfogerKante(ZwngsKante()) Durcauf erfogt Urzegersnn O(1) Zet ro Kante InzdenteHabante() 18

10 Oeratonen auf der DCEL Enfügen ener Ece r auf ener Haante =(,q) erzeuge ene neue Habante und ren Zwng (as Koe von bzw. ) setze InzdenteHabante(q) auf setze InzdenteHabante(r) auf setze AnfangsEce() auf r setze AnfangsEce( ) auf r setze NacfogerKante() auf setze VorgängerKante( ) auf setze VorgängerKante() auf r setze NacfogerKante( ) auf O(1) Zet ro Oeraton q q 19 Oeratonen auf der DCEL Enfügen ener Kante zwscen zwe Ecen,q ener acette f one nnere Ränder Verzegerung der zu,q nzdenten Habanten von f anassen acette()-zeger der Habanten auf der eneren acette anassen O(Koextät der eneren acette) Zet 20