3 Elastizitätstheorie

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1 3 Elastztätstheore Für en elastsches Medum nmmt man enen spannungsfreen Referenzzustand an, der n Eulerkoordnaten durch x = Ax, t) gegeben st. Abwechungen werden beschreben durch de Verschebung ux, t) = x Ax, t). 1) Um en Maß für de Deformaton des elastschen Körpers zu erhalten, gehen wr folgendermaßen vor: Wr betrachten zwe klene Rchtungsvektoren A und A m unverformten Zustand und hre Blder x und x nach der Verformung. Dfferentaton von 1) gbt ) ) A δ j u x j x j, A δ j u x j x j. Als Maß für de lokale Deformaton berechnen wr de Änderung m Skalarprodukt zwschen den beden Rchtungsvektoren: x x A A = x x A A x x δ j u ) δ k u ) x j x k x j x k uj = + u k u ) u x j x k. x k x j x j x k Das motvert de Defnton des symmetrschen Dehnungstensors ε jk = 1 uj + u k u ) u. 2 x k x j x j x k Wr werden m Folgenden ene Theore für klene Verschebungen und deren Abletungen) herleten. Als erste desbezüglche Maßnahme vernachlässgen wr den quadratschen Term m Dehnungstensor und verwenden von nun an de Defnton ε = 1 2 u + utr ). Dank sener Symmetre kann ε dagonalsert werden. De orthogonalen) Egenvektoren nennt man de Hauptdehnungsachsen. Als wetere Näherung für klene Verschebungen ersetzen wr de Materalabletung durch de partelle Abletung nach der Zet. De Beschleungung 36

2 st dann de zwete Abletung der Verschebung nach der Zet und de Impulsglechung erhält de Form = ρf + T, 2) t2 mt der Massendchte ρ, der spezfschen Kraft f und dem Spannungstensor T we m 1. Kaptel. Ene wetere für klene Verschebungen gültge Näherung betrfft de Dchte. Se wrd als zetunabhängg und gegeben angenommen: ρx, t) = ρx). Das Grundpostulat der Elastztätstheore st, dass Spannungskräfte durch de Dehnung verursacht werden. Das enfachste Modell st en lnearer Zusammenhang zwschen Dehnungstensor und Spannungstensor, d.h. T j = C jkl ε kl, mt enem Tensor verter Stufe C. We n der Strömungsmechank werden wr de verenfachende Annahme der Rotatonsnvaranz des elastschen Medums machen. Es st allerdngs festzuhalten, dass es vele relevante Bespele elastscher Festkörper gbt, de deser Annahme ncht genügen, we Krstalle oder geschchtete Materalen Holz). Mathematsch bedeutet de Rotatonsnvaranz, dass nach ener Rotaton m IR 3 der Zusammenhang zwschen den entsprechend transformerten Dehnungs- und Spannungstensoren durch denselben Tensor C beschreben wrd. Hat C dese Egenschaft, dann wrd es als sotrop bezechnet. Ähnlch we n Kaptel 2.1 bewest man das folgende Grundresultat der Tensorrechnung. Satz: Se C en sotroper Tensor verter Stufe m IR 3. Dann gbt es dre Konstante λ, µ, κ IR, sodass C jkl = λδ j δ kl + µδ k δ jl + δ l δ jk ) + κδ k δ jl δ l δ jk ). Für den Zusammenhang zwschen Dehnungs- und Spannungstensor erhalten wr damt T j = λδ j ε kk + µε j + ε j ) + κε j ε j ). Der letzte Term verschwndet allerdngs wegen der Symmetre des Dehnungstensors. Damt blebt T = λ trε)i + 2µε, 3) 37

3 bzw. n Abhänggket der Verschebung T = λ u)i + µ u + u tr ), mt den Lamé-Konstanten λ und µ. Dese Glechung wrd verallgemenertes Hookesches Gesetz genannt. Setzt man se n de Impulsglechung 2) en, so erhält man en geschlossenes System von Dfferentalglechungen für de Verschebungen, de Naverglechungen De Elastztätskonstanten = µ u + λ + µ) u) + ρf. t2 Bldet man de Spur tr) n der Glechung 3), so ergbt sch ene Glechung, aus der man trε) aus trt) berechnen kann, und damt den Zusammenhang zwschen ε und T nverteren kann: ε = 1 2µ T λ trt) 2µ3λ + 2µ) I. Als Anwendung berechnen wr de Dehnungen, de ener renen Zugspannung n x-rchtung entsprechen. Dese wrd durch den Spannungstensor N 0 0 T = beschreben. Der Dehnungstensor st dagonal mt den Dagonalelementen ε 11 = Nλ + µ) µ3λ + 2µ), ε λn 22 = ε 33 = 2µ3λ + 2µ). Expermente zegen ene Dehnung n x-rchtung und ene Kontrakton n de orthogonalen y- und z-rchtungen, d.h. der Young-Modul bzw. das Posson-Verhältns E = µ3λ + 2µ) λ + µ bzw. ν = ε 22 ε 11 = ε 33 ε 11 = λ 2λ + µ) snd postve Konstante. In Abhänggket deser technschen Elastztätskonstanten lässt sch das Hookesche Gesetz schreben als Eε = 1 + ν)t ν trt)i. 38

4 En zwetes Gedankenexperment, ene sotrope Kompresson, wrd durch den Spannungstensor T = pi mt enem skalaren Druck p repräsentert. Es ergbt sch für den Dehnungstensor Eε = 1 2ν)pI. De natürlche Forderung, dass Kompresson zu Kontrakton und ncht zu Expanson) führt, lefert de zusätzlche Unglechung ν < 1 2. Daraus und aus der Postvtät von E und ν folgt de Postvtät der Lamé-Konstanten: Energeblanz λ, µ > 0 De Naverglechungen blden en geschlossenes System. De Energeglechung st daher zur Berechnung der Verschebungen ncht notwendg. Trotzdem st es von Interesse, de Energeblanz zu betrachten. Entsprechend dem ersten Kaptel defneren wr de m Gebet IR 3 enthaltene knetsche Energe durch E kn t) = ρx) 2 u t x, t) und berechnen hre zetlche Änderung für ene Lösung u der Naverglechungen: de kn = ρ u 2 u dt t t 2 dx = u ρf + T ) j dx t x j = ρ u t f u dx + t T 2 u jn j ds x j t T j dx. In der zweten Glechung haben wr partelle Integraton verwendet. Da t = T n der Spannungsvektor, d.h. de Spannungskraft pro Oberflächenenhet st, können de ersten beden Terme auf der rechten Sete als de pro Zetenhet durch de Volumskräfte und durch de Spannungskräfte verrchtete Arbet nterpretert werden. Im letzten Term verwenden wr de Darstellung T = λ trε)i + 2µε: = = d dt 2 dx, 2 u x j t λ trε)δ j + 2µε j ) dx [ λ 2 u 2 ) ] x t trε) + µ u x j t + 2 u j ε j dx x t λ 2 trε))2 + µ ε : ε) dx. 39

5 In deser Rechnung haben wr verwendet, dass wegen der Symmetre von ε 2 u x j t ε j = 2 u j x t ε j = 1 2 ) u 2 x j t + 2 u j ε j x t glt. De Dehnungsenerge E ε = λ 2 trε))2 + µ ε : ε) dx entsprcht der nneren Energe aus dem ersten Kaptel. Fassen wr unsere Resultate zusammen, so ergbt sch de Energeblanz d dt E kn + E ε ) = ρ u t f dx + u t t ds. Für zetunabhängge Volums- und Spannungskräfte d.h. f = fx), t = tx)) wrd de durch E = E kn + E pot defnerte Gesamtenerge erhalten, wenn wr de potentelle Energe defneren durch E pot = E ε ρu f dx u t ds. Elastsche Wellen In desem Abschntt wollen wr zegen, dass das dynamsche Verhalten elastscher Meden unter anderem durch Wellenausbretungsphänomene charaktersert werden kann. Dazu betrachten wr en homogenes elastsches Medum ρ =const) ohne Volumskräfte f = 0): = µ u + λ + µ) u). t2 Bezechnen wr de Dvergenz der Verschebung mt D = u und wenden de Dvergenz auf de Naverglechungen an, so ergbt sch für D de Wellenglechung 2 D t 2 = C2 D D mt C D = λ + 2µ. ρ Anderersets ergbt sch auch durch Anwendung des Rotors auf de Naverglechungen ene Wellenglechung für de Komponenten des Rotors ω = u: 2 ω µ t 2 = C2 T ω mt C T = ρ, allerdngs mt ener anderen Wellengeschwndgket. 40