86 Klassifizierung der isolierten Singularitäten holomorpher

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1 86 Klassifizierung der isolierten Singularitäten holomorpher Funktionen 86. Isolierte Singulariäten holomorpher Funktionen 86.3 Klassifizierung der isolirerten Singularitäten 86.5 Charakterisierung hebbarer Singularitäten 86.7 Meromorphe Funktionen 86.8 Cauchysche Integralformel für endliche Kreisringe 86.9 Neben- und Hauptteil einer holomorphen Funktion in beliebigen Kreisringen 86.0 Laurentreihen 86. Holomrophie und Eindeutigkeitssatz für Laurentreihen 86.2 Entwicklungssatz für holomorphe Funktionen und Kreisringe in eine Laurentreihe 86.3 Der Hauptteil einer in O \ {p 0 } holomorphen Funktion 86.4 Die Laurententwicklung des Hauptteils 86.5 Charakterisierung von Polstellen 86.6 Ganz transzendente Funktion 86.8 Der Satz von Casorati Weierstraß Holomorphe Erweiterung Die von uns bisher betrachteten speziellen Funktionen sind entweder holomorphe Funktionen auf C (siehe 8.4 für die Exponentialfunktion, 8.5 für die Sinus- und Cosinusfunktion und 8.6 für den hyperbolischen Sinus und den hyperbolischen Cosinus) oder Funktionen, die bis auf isolierte Stellen holomorph sind (siehe 8.7 für die Tangens- und Cotangensfunktion und 8.8 für den hyperbolischen Tangens und den hyperbolischen Cotangens). Solche Funktionen, die bis auf isolierte Stellen holomorph sind, nennt man holomorphe Funktionen mit isolierten Singularitäten. 86. Isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen Sei S O eine Menge ohne Häufungspunkte in der offenen Menge O. Ist f : O\S C holomorph, dann heißt jeder Punkt von S eine isolierte Singularität von f. Ist S O endlich, dann sind für jede holomorphe Funktion f : O \ S C alle Punkte von S isolierte Singularitäten. Da wir den Begriff der Holomorphie nur auf offenen Mengen eingeführt haben, benötigen wir das folgende einfache Lemma. [86]

2 86.2 O \ S ist offen Sei S O eine Menge ohne Häufungspunkte in der offenen Menge O. Dann ist O \ S offen. Beweis. Sei p O \ S. Dann ist p O kein Häufungspunkt von S. Also existiert eine Umgebung U von p mit o.b.d.a. U O und U (S \ {p}) = (siehe 84.4(iii)). Wegen p S ist auch U S = und somit U O \ S. Also ist p innerer Punkt von O \ S und daher O \ S offen. Die Tangens- bzw. Cotangensfunktion ist auf C\( π 2 +πz) bzw. C\(πZ) holomorph, hat also isolierte Singularitäten in den Punkten von S := π 2 + πz bzw. S := πz. Die hyperbolische Tangens- bzw. Cotangensfunktion ist auf C \ ( πi 2 + πiz) bzw. C \ πiz holomorph, hat also isolierte Singularitäten in den Punkten von S := πi 2 + πiz bzw. S := πiz. Sei O := {p C : p < }. Ist S = { n : n N}( O) so ist (jeder Punkt von S eine isolierte Singularität, d.h.) kein Punkt von S ein Häufungspunkt von O. Es ist zwar ein Häufungspunkt von S, der aber nicht in O liegt. Ist S = { n : n 2}, so ist der Nullpunkt ein Häufungspunkt von S der in O liegt Klassifizierung der isolierten Singularitäten Sei S O eine Menge ohne Häufungspunkte in O. Sei f : O \ S C holomorph. Dann heißt p 0 S (i) (ii) eine hebbare Singularität von f, wenn lim p p0 f(p) in C existiert; eine Polstelle von f, wenn lim p p0 f(p) = ist, d.h. wenn es zu jedem r R + eine Umgebung U von p 0 gibt mit U O \ S und f(p) > r für alle p U \ {p 0 }; (iii) eine wesentliche Singularität von f, wenn weder Fall (i) noch Fall (ii) vorliegt. Welcher der drei Fälle eintritt, hängt nach Definition nur von dem Verhalten der Funktion f in einer beliebig kleinen Umgebung von p 0 ab. Insbesondere kann man daher bei der Untersuchung des Verhaltens an einer singulären Stelle p 0 die Funktion f immer als holomorph auf O \ {p 0 } voraussetzen. Daß alle drei Fälle auftreten können, zeigt: 86.4 Beispiele für die verschiedenen Arten von Singularitäten (i) z 2 z C \ {0} hat in 0 eine hebbare Singularität; z (ii) C \ {0} hat in 0 einen Pol; z 2 (iii) sin( z ) C \ {0} hat in 0 eine wesentliche Singularität. Beweis. In allen drei Beispielen ist die Menge O aus 86.3 gleich C und S: = {0}. (i) lim z 0 z 2 z = lim 0 z 0 z = 0. (ii) lim z 0 z z 2 = lim z 0 z =. [86] 2

3 (iii) Betrachte (für n N) p 2n := 2nπ, p 2n+ := 2nπ+ π. Dann gilt p n 0 aber sin(/p n ) 2 ist abwechselnd 0 und. Also existiert lim n sin(/p n ) nicht in C und lim n sin(/p n ) ist nicht gleich. Es liegt also weder Fall (i) noch Fall (ii) von Definition 86.3 vor. Der folgende Satz ergibt sich aus dem Riemannschen Hebbarkeitssatz Charakterisierung hebbarer Singularitäten Seien S O eine Menge ohne Häufungspunkte in O und f : O \ S C holomorph. Genau dann ist jeder Punkt von S eine hebbare Singularität von f, wenn sich f zu einer holomorphen Funktion auf O fortsetzen läßt. Beweis. Setze f(p 0 ) := lim p p0 f(p) für p 0 S und f(p) := f(p) für p O \ S. Zu zeigen ist: f ist in jedem Punkt p 0 O komplex-differenzierbar. Ist p 0 O \ S, so gibt es eine Umgebung U O \ S von p 0 (siehe 86.2), und somit ist f U = f U. Da f U in p 0 komplex differenzierbar ist, ist wegen f U = f U auch f in p 0 komplex-differenzierbar. Sei nun p 0 S. Würde für jede Umgebung U von p 0 gelten U S = {p 0 }, so wäre p 0 ein Häufungspunkt von S, der in O läge. Ein solcher existiert aber nach Voraussetzung nicht. Also existiert eine Umgebung U 0 von p 0 mit U S = {p 0 }. Dann ist U \ {p 0 } O \ S und daher f U \ {p 0 } = f U \ {p 0 } holomorph, und es gilt f(p 0 ) = lim p p0 f (U \ {p0 })(p). Also ist f U und damit f in p 0 komplex-differenzierbar (benutze 84.24). ist trivial. Der folgende Satz zeigt, daß die Tangens- bzw. Cotangensfunktion und der hyperbolische Tangens bzw. Cotangensfunktion und der hyperbolische Tangens bzw. hyperbolische Cotangens an ihren isolierten Sigularitäten Polstellen besitzen, da diese Stellen offenbar keine hebbaren Singularitäten sind Quotienten von holomorphen Funktionen sind holomorphe Funktionen mit isolierten Singularitäten Seien f, g : G C holomorph auf dem Gebiet G. Es sei g nicht identisch Null. Dann ist h := f g (G \ N(g)) C holomorph, und hat in den Nullstellen von g hebbare Singularitäten oder Polstellen. Beweis. Da G ein Gebiet und g nicht identisch Null ist, ist N(g) eine Menge ohne Häufungspunkte in G (siehe 84.6(i)). Daher ist G \ N(g) nach 86.2 offen, und somit h holomorph als Quotient der beiden holomorphen Funktionen f G \ N(g) und g G \ N(g) (benutze 8.2(ii)). [86] 3

4 Zu zeigen bleibt, jeder Punkt p 0 N(g) ist eine hebbare Singularität oder ein Pol von h. Ist ord(f, p 0 ) ord(g, p 0 ), dann besitzt h in p 0 eine hebbare Singularität, benutze 84.23(i) mit O := G \ (N(g) \ {p 0 }) = (G \ N(g)) {p 0 }. Andernfalls ist n := ord(f, p 0 ) < ord(g, p 0 ) =: n 2 (ord(f, p 0 ) = 0, falls f(p 0 ) 0), und somit ist (siehe 84.22(ii)) f = (z p 0 ) n f, g = (z p 0 ) n 2g mit holomorphen f, g auf G und f (p 0 ) 0, g (p 0 ) 0. Hieraus folgt wegen n 2 n > 0 Also ist p 0 eine Polstelle von h. lim p p0 h(p) = lim p p0 f (p) p p 0 n 2 n g (p) = Meromorphe Funktionen Seien S eine Menge ohne Häufungspunkte in der offenen Menge O und f : O\S C holomorph. Besitzt f in den Punkten von S nur hebbare Singularitäten oder Pole, so heißt f eine meromorphe Funktion auf O. Der Quotient zweier auf einem Gebiet G definierter holomorpher Funktionen ist, sofern die Nennerfunktion nicht die Nullfunktion ist, nach 86.6 eine meromorphe Funktion auf G. Wichtig, aber schwierig zu beweisen ist die Umkehrung: Ist h auf dem Gebiet G meromorph, dann ist h = f/g für zwei auf G definierte holomorphe Funktionen f und g, wobei g nicht die Nullfunktion ist. Zur genaueren Untersuchung von Funktionen mit isolierten Singularitäten, betrachten wir zunächst holomorphe Funtionen in Kreisringen. Wir geben in 86.9 eine Zerlegung einer solchen Funktion in einen Neben- und Hauptteil an. Diese beiden Funktionen sind durch Integralformeln beschreibbar. In 86.0 geben wir dann eine Beschreibung von f durch eine Laurentreihe an. Es sei im Folgenden immer 0 r < s und p 0 C. Dann verstehen wir unter dem Kreisring um p 0 mit den Radien r, s die Menge Es ist K p0 (r, s) := {p C : r < p p 0 < s}. K p0 (r, s) = U s (p 0 ) \ U r (p 0 ). K p0 (r,s) = U s (p 0 ) \ U r (p 0 ). Wir geben zunächst eine Ingtegralformel für eine in einer Umgebung von K p0 (r, s) holomorphe Funktion an. Hieraus leiten wir die Zerlegung einer solchen Funktion in einen Haupt- und Nebenteil her Cauchysche Integralformel für endliche Kreisringe Es sei f : O C holomorph und 0 < r < s < mit Dann gilt für p K p0 (r, s) f(p) = c (p0,s) K p0 (r, s) O. z p dz c (p0,r) z p dz. [86] 4

5 Beweis. Sei p K p0 (r, s) beliebig aber fest. Betrachte () g(z) := { f(p) z p f (p) für z O \ {p} für z = p Nach ist dann g : O C holomorph. Nach 83. gilt wegen K p0 (r, s) = U s (p 0 ) \ U r (p 0 ) O daher (2) c gdz = (p0,s) c gdz. (p0,r) Somit ergibt sich aus () und (2) (3) z p dz f(p) c (p0,s) c (p0,s) Wegen p U s (p 0 ) gilt c (p0,s) c (p0,r) z p dz = c (p0,r) z p dz f(p) c (p0,r) z pdz = nach 83.2(ii). Wegen z pdz = 0 nach 83.2(iii). Also folgt aus (3) die Behauptung. z p dz. p C \ U r(p 0 ) gilt 86.9 Neben- und Hauptteil einer holomorphen Funktion in beliebigen Kreisringen Sei 0 r < s und f holomorph in K p0 (r, s) = {p C : r < p p 0 < s}. Dann gibt es eine in U := U s (p 0 ) holomorphe Funktion f und eine in U 2 := {p C : p p 0 > r} holomorphe Funktion f 2 mit lim p f 2 (p) = 0 und f = f + f 2 auf K p0 (r, s) = U U 2. f und f 2 sind hierdurch eindeutig bestimmt. Für jedes ρ ]r, s[ gilt f (p) = c (p0,ρ) z p dz für p U ρ(p 0 ), f 2 (p) = c (p0,ρ) f heißt der Nebenteil und f 2 der Hauptteil von f. z p dz für p C \ U ρ(p 0 ). Beweis. Für jedes ρ mit r < ρ < s definieren wir () f,ρ (p) := z p dz für p U ρ(p 0 ). c (p0,ρ) Da h := f c (p0,ρ 0 ) C stetig ist, ist f,ρ nach 83.4(i) holomorph. Sei nun r < ρ < σ < s. Wir zeigen (2) f,ρ = f,σ U ρ (p 0 ). Wähle hierzu p U ρ (p 0 ). Wegen r < ρ < σ < s gilt U σ (p 0 ) U ρ (p 0 ) K p0 (r, s). Wegen p p 0 < ρ ist daher O := K p0 (r, s) \ {p} eine offene Menge O mit Daher ist z p U σ (p 0 ) \ U ρ (p 0 ) O K p0 (r, s)und p O. auf O holomorph. Also gilt nach 83.(ii) für ein solches σ c (p0,ρ) z p dz = c (p0,σ) z p dz. [86] 5

6 Also folgt wegen () dann (2). Daher gibt es eine in U s (p 0 ) holomorphe Funktion f die in U ρ (p 0 ) mit f,ρ übereinstimmt. Wir setzen nun für s > ρ > r (3) f 2,ρ (p) := c (p0,ρ) z p dz für p C \ U ρ(p 0 ). Nach 83.4(i) ist dann f 2,ρ auf C \ U ρ (p 0 ) holomorph. Sei nun r < σ < ρ. Wir zeigen (4) f 2,ρ = f 2,σ auf C \ U ρ (p 0 ). Sei also p U ρ (p 0 ). Es gibt wieder eine offene Menge O mit Da z p U ρ (p 0 ) \ U σ (p 0 ) O K p0 (r, s) und p O. wieder auf O holomorph ist, folgt nach 83.(ii) c (p0,ρ) z p dz = c (p0,σ) z p dz. Mit Defnition (3) folgt hieraus (4). Also gibt es eine in C \ U r (p 0 ) holomorphe Funktion f 2, die auf C \ U ρ (p 0 ) mit f 2,ρ übereinstimmt. Ferner gilt lim p f 2 (p) = 0, denn für ρ > r gilt nach (3) für p mit p p 0 > ρ Wir zeigen nun f 2 (p) ρ max q c(p0,ρ) f(q) max q c(p0,ρ) (5) f = f + f 2 auf K p0 (r, s). q p p 0. Sei also p K p0 (r, s) =: O. Wähle r, s mit r < r < s < s und p K p0 (r, s ). Dann ist f : O C holomorph mit K p0 (r, s ) O. Also gilt nach 86.8 angewandt auf r := r, s = s f(p) = c (p0,s ) z p dz c (p0,r ) z p dz = f,s (p) + f 2,r (p) = f (p) + f 2 (p), wobei die vorletzte Gleichung wegen p U s (p 0 ) und p U r (p 0 ) gilt. Seien nun weitere holomorphe Funktionen f auf U und f 2 auf U 2 mit lim p f 2 (p) = 0 und Also gilt f = f + f 2 auf U U 2 = K p0 (r, s) gegeben. (6) f f = f 2 f 2 auf U U 2. Setzt man nun h := f f auf U, h := f 2 f 2 auf U 2, so ist h wegen (6) eindeutig auf U U 2 = C definiert und holomorph. Wegen lim p h(p) = 0, ist h auf C beschränkt und nach dem Satz von Liouville daher konstant und somit auch h = 0 auf C. Also gilt f = f auch U und f 2 = f 2 auf U 2. Die in 86.0 eingeführten Laurentreihen liefern holomorphe Funktionen in Kreisringen. Umgekehrt zeigen wir später auch, dass eine holomorphe Funktion in einem Kreisgebiet sich eindeutig in eine Laurentreihe entwickeln lässt. [86] 6

7 86.0 Laurentreihen Ein Paar von Reihen k=0 a k(z p 0 ) k, k= a k(z p 0 ) k heißt Laurentreihe. Man schreibt für dieses Paar k= a k(z p 0 ) k. Die Laurentreihe heißt punktweise, bzw. lokal gleichmäßig konvergent, falls sowohl der Nebenteil k=0 a k(z p 0 ) k als auch der Hauptteil k= a k(z p 0 ) k punktweise, bzw. lokal gleichmäßig konvergent sind. Ist p ein Punkt in dem die Laurentreihe punktweise konvergent ist, so setzt man k= a k(p p 0 ) k := k=0 a k(p p 0 ) k + k= a k(p p 0 ) k 86. Holomorphie und Eindeutigkeitssatz für Laurentreihen Es sei 0 r < s. Die Laurentreihe k= a k(z p 0 ) k sei in K p0 (r, s) punktweise konvergent mit Grenzfunktion f. Dann gilt (i) k= a k(z p 0 ) k ist in K p0 (r, s) sogar lokal gleichmäßig konvergent gegen f. Ferner ist f holomorph in K p0 (r, s). (ii) Für jedes ρ mit r < ρ < s gilt a k = c (p0,ρ) (z p 0 ) k+ für k Z. (iii) (iv) Aus k= a k(z p 0 ) k = k= b k(z p 0 ) k auf K p0 (r, s) folgt insbesondere a k = b k für k Z. Der Nebenteil k=0 a k(z p 0 ) k der Laurentreihe ist lokal gleichmäßig konvergent auf U s (p 0 ) und gleich dem Nebenteil f aus 86.9 der holomorphen Funktion f. Der Hauptteil k= a k(z p 0 ) k der Laurentreihe ist lokal gleichmäßig konvergent auf {p C : p p 0 > r} und ist gleich dem Hauptteil f 2 aus 86.9 der holomorphen Funktion f. Beweis. (i), (iii), (iv). Da k=0 a k(z p 0 ) k in K p0 (r, s) konvergent ist, ist der Konvergenzradius dieser Potenzreihe s nach 84.7(i). Daher ist k=0 a k(z p 0 ) k in U s (p 0 ) lokal gleichmäßig konvergent gegen eine holomorphe Funktion f nach Setze w := z p 0. Dann ist, da es zu w 0 ein z C \ {p 0 } mit w = z p 0 gibt, k= a kw k für w mit s < w < r konvergent. Da es sich um eine Potenzreihe handelt, ist der Konvergenzradius der Reihe r. Somit ist k= a kw k gleichmäßig konvergent für w mit w t < r, siehe 84.7(ii). Daher ist k= a k(z p 0 ) k gleichmäßig konvergent für z mit z p 0 t (für t > r). Also ist die Reihe erst recht lokal gleichmäßig konvergent in z p 0 > r und stellt daher dort nach 84.6 eine holomorphe Funktion f 2 dar. Also ist die Laurentreihe lokal [86] 7

8 gleichmäßig konvergent in K p0 (r, s) gegen f + f 2 = f. Zum Nachweis von (iii) + (iv) bleibt daher z.z.: () lim p f 2 (p) = 0. Seien hierzu p n C mit p n gewählt. Dann gilt w n := p n p 0 0 und somit n Also gilt (). f 2 (p n ) = k= a k = (p n p 0 ) k k= a kw k n n 0. (ii) Aus (i) folgt zusammen mit 82.8 und 82.9, dass (z p 0 ) n k=0 a k(z p 0 ) k für festes n Z gleichmäßig auf c (p0,ρ) gegen (z p 0 ) n f konvergiert. Entsprechend folgt, dass (z p 0 ) n k= a k(z p 0 ) k gleichmäßig auf c (p0,ρ) gegen (z p 0 ) n f 2 konvergiert. Aus den letzten beiden Beziehungen folgt g m := m k=0 a k(z p 0 ) n +k + m k= a k(z p 0 ) n k konvergiert für m gleichmäßig auf c (p0,ρ) gegen (z p 0 ) n (f + f 2 ) = (z p 0 ) n f. Nach gilt daher für n Z (2) c g (p0 mdz m,ρ) c (z p (p0 0) n dz.,ρ) Für m n ist daher (betrachte n 0 und n < 0) c (3) g (p0 mdz = m,ρ) k=0 a k + m k= a k c (p0,ρ) c (p0,ρ) (z p 0 ) n+ k dz (z p 0 ) n++k dz = a n. Aus (2) und (3) folgt die Behauptung. Stelle nun k= b k(z p 0 ) k ebenfalls f in K p0 (r, s) dar. Dann folgt aus der Integraldarstellung von a k bzw. b k, dass a k = b k ist Entwicklungssatz für holomorphe Funktionen in Kreisringen in eine Laurentreihe Sei 0 r < s und f in K p0 (r, s) holomorph. Dann gilt (i) (ii) f ist in K p0 (r, s) eindeutig in eine Laurentreihe k= γ k(z p 0 ) k entwickelbar, die lokal gleichmäßig gegen f konvergiert. Für jedes ρ mit r < ρ < s gilt γ k = c p0,k) (z p 0 ) k+ dz für k Z. (iii) (iv) Der Nebenteil f von f aus 86.9 auf U s (p 0 ) ist gleich der auf U s (p 0 ) lokal gleichmäßig konvergenten Reihe k=0 γ k(z p 0 ) k. Der Hauptteil f 2 von f aus 86.9 auf {p C : p p 0 > r} ist gleich der auf {p C : p p 0 > r} lokal gleichmäßig konvergenten Reihe k= γ k(z p 0 ) k. [86] 8

9 Beweis. Wir zeigen zunächst aus (i) folgen (iii) - (iv). Nach (i) stellt die Laurentreihe k= γ k(z p 0 ) k die Funktion f dar. Daher folgen (ii) - (iv) aus 86. (ii) - (iv). Nun zum Beweis von (i): Nach 86.9 ist f = f + f 2 auf K p0 (r, s) mit () f ist holomorph auf U s (p 0 ); (2) f 2 ist holomorph auf C \ U r (p 0 ); (3) lim p f 2 (p) = 0. Aus () folgt nach 84.9 es gibt eine Potenzreihe k=0 γ k(z p 0 ) k mit (4) f = k=0 γ k(z p 0 ) k in U s (p 0 ). Die Abbildung U /r (0) \ {0} w z = p 0 + w C \ U r(p 0 ) ist holomorph mit z w = z p 0 als holomorphe Umkehrabbildung. Also ist U /r (0) \ {0} w g(w) := f 2 (p 0 + w ) holomorph nach (2). Es gilt ferner nach (3) lim w 0 g(w) = lim z f 2 (z) = 0. Also ist g mit g(0) := 0 nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz holomorph auf U /r (0) fortsetzbar. Somit besitzt g nach 84.9 eine Potenzreihenentwicklung (5) g(w) = k= b kw k in U /r (p 0 ). Daher ist f 2 (z) = g( z p 0 ) für z C \ U r (p 0 ) entwickelbar in k= b k(z p 0 ) k. Setze γ k = b k. Dann gilt nach (5) (6) f 2 (z) = k= γ k(z p 0 ) k in C \ U r (p 0 ). Aus f = f + f 2 und (4) + (6) folgt dann die Darstellung von f. Die Eindeutigkeit der Darstellung und die lokal gleichmäßige Konvergenz folgt aus 86. (ii) + (i) Nach 86. und 86.2 folgt also, dass die holomorphen Funktionen in K p0 (r, s) den punktweise in K p (r, s) konvergenten Laurentreihen bijektiv entsprechen. Besonders wichtig ist das folgende Korollar Der Hauptteil einer in O \ {p 0 } holomorphen Funktion Es sei p 0 O und f : O \ {p 0 } C holomorph. (i) (ii) Es gibt genau eine Funktion f p0, den sogenannten Hauptteil von f in p 0 mit folgenden drei Eigenschaften a) f p0 : C \ {p 0 } C ist holomorph. b) Die auf O \ {p 0 } definierte holomorphe Funktion f fp 0 ist holomorph auf O fortsetzbar. c) lim p f p0 (p) = 0. Ist U ρ (p 0 ) O für ein ρ R +, dann ist der Hauptteil f p0 der Hauptteil von f K p0 (0, ρ) nach Insbesondere hängt der Hauptteil von f nur von den Werten von f in einer beliebig kleinen punktierten Umgebung von p 0 ab. [86] 9

10 Beweis. (i) + (ii). Der Hauptteil f 2 von f K p0 (0, ρ) (beachte K p0 (0, ρ) = U ρ (p/ 0 )) erfüllt nach 86.9 sowohl (i) a) und (i) c). Da f = f f 2 auf K p0 (0, ρ) = U ρ (p/ 0 )) zu einer in p 0 komplex-differenzierbaren Funktion erweiterbar ist, ist f f 2 holomorphe auf O fortsetzbar somit ist f 2 eine Funktion mit den Eigenschaften (i) a), b), c). Sei nun eine Funktion f p0 mit den Eigenschaften (i) a), b), c) gegeben. Setze dann f := f f p0. Dann ist f holomorph auf O fortsetzbar. Es erfüllt f p0 die Bedingungen eines Hauptteils von f K p0 (0, ρ). Also ist f p0 nach 86.9 eindeutig bestimmt. Mit den bisherigen Ergebnissen erhalten wir 86.4 Die Laurententwicklung des Hauptteils f p0 Es sei p 0 O und f : O \ {p 0 } C holomorph. (i) Es ist f p0 eindeutig in eine in C \ {p 0 } konvergente Laurentreihe f p0 = k= γ k(z p 0 ) k entwickelbar, diese ist lokal gleichmäßig konvergent in C \ {p 0 }. Es gilt für jedes ρ mit U ρ (p 0 ) O : γ k = c(p 0,ρ) (z p 0) k dz für k N. γ = Res(f, p 0 ) heißt das Residuum von f in p 0. Also Res(f, p 0 ) = c fdz, falls U (p0 ρ(p 0 ) O.,ρ) (ii) Gilt in einer punktierten Ungleichung U(p/ 0 ) von p 0 f = h + k= a k(z p 0 ) k (iii) mit einer in U(p 0 ) holomorphen Funktion, dann ist a k = γ k für k N. Es gilt p 0 ist hebbare Singularität von f kard{k N : γ k 0} = 0; p 0 ist Pol von f kard{k N : γ k 0} N; p 0 ist wesentliche Singularität von f kard{k N : γ k 0} =. Ein Pol p 0 heißt ein Pol der Ordnung n, wenn gilt n = max{k N : γ k 0}( N). Beweis. (i) Sei U ρ (p 0 ) O. Dann gibt es ein ρ > ρ mit U ρ (p 0 ) O. Nach 86.3 (ii) ist f p0 der Hauptteil von f K p0 (0, ρ ). Also ist nach 86.2 (iv) f p0 = k= γ k(z p 0 ) k auf C \ {p 0 }. Wegen 0 = r < ρ < s := ρ gilt nach 86.2 (ii) () γ k = c (z p (p0 0) k dz.,ρ) (ii) Entwickeln wir h in eine Potenzreihe um p 0, so ist in U ρ (p/ 0 ) = K p0 (0, ρ) mit geeignetem ρ < ρ f = k=0 a k(z p 0 ) k + k= a k(z p 0 ) k. Aus 86.2(ii) folgt γ k = a k für k Z, und damit insbesondere γ k = a k für k N. [86] 0

11 (iii) Es reicht die Äquivalenz der ersten beiden Aussagen zu beweisen. der ersten Aussage: Sei also p 0 ein hebbare Singularität von f. Dann ist f zu einer holomorphen Funktion auf O fortsetzbar (siehe 86.5). Sei nun k N. Wähle ein ρ 0 R + mit U ρ0 (p 0 ) O. Dann ist nach (i) γ k = c (z p (p0 0) k dz.,ρ 0 ) Nun ist (z p 0 ) k holomorph auf O fortsetzbar, und es folgt γ k = 0 für k N nach 83. (F) (ii). Also ist kard{k N : γ k 0} = 0. Es sei umgekehrt γ k = 0 für alle k N. Dann ist f p0 0 nach (i). Also ist f = f f p0 holomorph fortsetzbar auf O, d.h. p 0 ist hebbare Singularität. Der zweiten Aussage: Sei p 0 eine Polstelle von f. Es gibt zunächst eine Umgebung U O von p 0 mit f(p) 0 für p U \ {p 0 } und dann (2) lim p p0 (f U\{p 0 })(p) = 0. Nun ist f U\{p 0 } holomorph und wegen der Existenz des Limes in (2) ist nach 86.5 auch f U\{p 0 } zu einer holomorphen Funktion h auf U mit h(p 0) = 0 fortsetzbar. Wegen h(q) 0 für q U \ {p 0 } gibt es daher ein n N und eine holomorphe Funktion g : U C mit g(q) 0 für q U und Somit ist h = (z p 0 ) n g (siehe 84.22(ii)). f U \ {p 0 } = (z p 0 ) n g mit der auf U holomorphen Funktion g. Sei nun k > n und ρ 0 R + mit U ρ0 (p 0 ) U O. Dann gilt nach (i) γ k = c (z p (p0 0) k dz,ρ 0 ) = c (z p (p0 0) k n,ρ 0 ) g(z) dz = 0, da (z p 0 ) k n g(z) holomorph auf U ist. Somit ist kard{k N : γ k 0} n. Wegen Aussage, kann aber kard{k N : γ k 0} nicht 0 sein, also ist kard{k N : γ k 0} N. Sei nun umgekehrt kard{k N : γ k 0} N. Dann gilt es ein n N mit γ n 0 und γ k = 0 für k > n. Also gilt nach (i) f p0 = n γ k k= = (z p 0 ) k (z p 0 ) n (γ n + γ (n ) (z p 0 ) γ (z p 0 ) n ). Also gilt lim p p0 f p0 (p) = und somit auch lim p p0 f(p) =, d.h. p 0 ist ein Pol von f. Somit ist auch (iii) bewiesen. [86]

12 86.5 Charakteriserung von Polstellen Sei p 0 O und f : O \ {p 0 } C holomorph. (i) gibt. (ii) (iii) Dann ist p 0 genau dann eine Polstelle von f, wenn es eine holomorphe Funktion g : O C mit g(p 0 ) 0 und eine n N mit f = g/(z p 0 ) n Hierbei sind, wenn n und g in (i) existieren, n und g eindeutig bestimmt. n ist dabei die Ordnung des Pols p 0 von f. Ist n =, so gilt mit g aus (i) Res(f, p 0 ) = g(p 0 ) = lim p p0 (p p 0 )f(p). (iv) Für n N gelte lim p p0 (p p 0 ) n f(p) =: r. Dann ist (z p 0 ) n zu einer holomorphen Funktion auf O fortsetzbar. Ist r 0, so ist n die Ordnung des Pols von f. Beweis. (i) Sei zunächst p 0 eine Polstelle n-ter Ordnung von f. Dann lässt sich f nach 86.3(i) und 86.4(i), (iii) darstellen als () f = h + f p0 auf O \ {p 0 } mit h : O C holomorph, (2) f p0 = n γ k h= mit γ (z p 0 ) k n 0. Also ist (3) g := (z p 0 ) n h + n k= γ k(z p 0 ) n k holomorph auf O nach () mit (4) g(p 0 ) = γ n 0. (2) Ferner haben wir auf O \ {p 0 } f = () h + f p0 = (2),(3) g (z p 0 ) n. Also existiert eine Darstellung von f der gesuchten Art. Ist umgekehrt die angegebene Bedingung erfüllt, so gilt also ist p 0 eine Polstelle von f. lim p p0 f(p) = lim p p0 (ii) Zur Eindeutigkeit von n und g. g(p) p p 0 n = g(p 0 ) 0, Seien g, g 2 : O C holomorph mit g (p 0 ) 0, g 2 (p 2 ) 0 und n, n 2 N mit g / (z p0 ) n = f = g 2 / (z p0 ) n 2. Ist indirekt n n 2 und o.b.d.a. n < n 2 dann gilt g (z p 0 ) n 2 n = g 2 auf O \ {p 0 }. Mit p p 0 erhalten wir den Widerspruch g 2 (p 0 ) = 0. Also ist n = n 2 und damit g = g 2 auf O \{p 0 } und daher auf O. Da es eine Darstellung der gesuchten Art mit n = Ordnung [86] 2

13 des Poles von f gibt, diese Darstellung aber eindeutig ist, ist n die Ordnung des Poles p 0 von f. (iii) Ist n =, so gilt nach (i) und (ii), und somit g O \ {p 0 } = (z p 0 )f = (),(2) (z p 0 )h + γ, g(p 0 ) = lim p p0 (p f 0 )f(p) = γ = Res(f, p 0 ). (iv) Nach lässt sich (z p 0 ) n zu einer holomorphen Funktion g auf O fortsetzen. Ist r = g(p 0 ) 0 dann ist nach (i), (ii) daher n die Ordnung des Poles f in p Ganz transzendente Funktionen Eine ganze Funktion f : C C heißt ganz transzendent, wenn f kein Polynom ist. Für jede ganze Funktion (d.h. f ist auf C holomorph) gilt nach 84.9(ii) f = f (k) (0) k=0 k! z k auf C. Also ist eine ganze Funktion genau dann eine ganz transzendente Funktion, wenn kard{k N : f (k) (0) 0} nicht endlich ist. Beispiel für ganz transzendente Funktionen sind etwa die Exponentialfunktion, die Sinus- und Cosinusfunktion, sowie der hyperbolische Sinus und der hyperbolische Cosinus Ganz transzendente Funktionen und wesentliche Singularitäten Sei f : C C eine ganze Funktion. Dann sind äquivalent (i) (ii) f ist ganz transzendent. f( z ) besitzt in 0 eine wesentliche Singularität. Beweis. (i) (ii). Es ist Also besitzt = f (k) (0) k=0 k! z k mit f (k) (0) 0 für unendlich viele k. f( z ) = f (k) (0) k=0 k! z k nach 86.4(ii), (iii) in 0 eine wesentliche Singularität. (ii) (i) Es reicht z.z.: Ist f nicht transzendent und somit nach Voraussetzung ein Polynom, so besitzt f( z ) = n k=0 a k z k in 0 keine wesentliche Singularität. Sei o.b.d.a. f 0 und a n 0. Ist n = 0, so gilt lim p 0 f( p ) = a 0 und andernfalls lim p 0 f( p ) = also liegt in 0 keine wesentliche Singularität von f( z ) vor. [86] 3

14 86.8 Der Satz von Casorati-Weierstraß Sei p 0 O eine wesentliche Singularität der holomorphen Funktion f : O \ {p 0 } C. Dann kommt f in jeder Umgebung von p 0 jedem Wert von C beliebig nahe. Genauer heißt dies: Für jede Umgebung U O von p 0 gilt: f(u \ {p 0 }) = C. Beweis. Es existiere indirekt eine Umgebung U O von p 0 mit f(u \ {p 0 }) C. Da C \ f(u \ {p 0 } offen ist, gibt es ein q und ε + R + mit () f(p) q ε für alle p U \ {p 0 }). Aus () folgt lim p p0 f(p) q p p 0 =. Somit hat q z p 0 einen Pol in p 0. Nach 86.5 gibt es daher ein n N und eine holomorphe Funktion g : O C mit Also ist und somit gilt q z p 0 = g(z) (z p 0 ) n und g(p 0 ) 0. = q + g(z) (z p 0 ) n, lim p p0 f(p) = q + g(p 0 ) für n = lim p p0 f(p) = für n >. Daher besitzt f im Widerspruch zur Voraussetzung keine wesentliche Singularität in p 0. Es gilt ein wesentlich schärferer Satz als 86.4, nämlich der Satz von Picard: Ist f : O \ {p 0 } C holomorph und besitzt in p 0 eine wesentliche Singularität, dann gilt für jede Umgebung U O von p 0, dass f(u \ {p 0 }) stets ganz C, oder stets C mit Ausnahme eines einzigen Punktes ist Eine ganz transzendente Funktion kommt außerhalb jeden Kreises jedem Wert von C beliebig nahe. Sei f : C C eine ganze, transzendente Funktion. Dann gilt für jedes r R + f({p C : p > r}) = C. Beweis. Es besitzt g(z) := f( z ) in Null eine wesentliche Singularität nach Also gilt nach 86.8 f({p C : p > r}) = g({p C : 0 < p < r } = C. Aus dem Satz von Picard folgt, wesentlich genauer: Eine ganze, transzendente Funktion nimmt außerhalb eines jeden Kreises stets ganz C oder stets C mit Ausnahme eines einzigen Punktes an. [86] 4

15 86.20 Holomorphe Erweiterung Seien p,..., p k O voneinander verschiedene Punkte und f : O \ {p,..., p k } C holomorph. Dann lässt sich f (f p f pk ) zu einer holomorphen Funktion auf O erweitern. Beweis. Es ist f p f pk auf O \ {p,..., p k } holomorph nach 86.3(i). Somit ist auch f (f p f pk ) auf O \ {p,... p k } holomorph. Sei j beliebig aber fest. Für ν j existiert dann lim p pj f pν (p) und somit auch lim p pj ( ν j f p ν (p)). Nach 86.3(i) existiert ferner lim p pj (f(p) f pj (p)) und somit existiert auch lim p pj (f k ν= f p ν )(p) für jedes j. Also ist f (f p f pk ) nach 86.5 holomorph auf O erweiterbar. Die folgende Äquivalenz lässt auch eine Umformulierung von 86. zu: 86.2 Äquivalente Formulierung für isolierte Singularitäten Sei O C offen und S O. Dann sind äquivalent (i) S ist eine Menge ohne Häufungspunkte in O. (ii) S ist diskret in O, d.h. für jedes p O existiert eine Umgebung U(p) von p mit U(p) S {p}. Beweis. (i) (ii) Sei p O. Dann ist p kein Häufungspunkt von S. Also gibt es nach 84.4(iii) eine Umgebung U(p) von p mit U(p) S {p}. (ii) (i). Wäre p O ein Häufungspunkt von S, dann wäre für jede Umgebung U(p) von p auch (U(p) S) \ {p}. (siehe 84.4(iii)) mit Widerspruch zu (ii). Ist O offen, so zeigte 86.2, dass O \ S offen ist. Die Umkehrung gilt nicht. Die Menge O := C \ { n : n N} ist nicht offen. S := {0} O. Dann erfüllt S sowohl (i) als auch (ii) und O \ S ist offen. Ist O offen, so ist (i) (oder (ii)) aus 86.2 nicht äquivalent zu: S hat in O nur isolierte Punkte. Betrachte hierzu die offene Menge O := C und S = { n : n N}. Jeder Punkt von S ist dann ein isolierter Punkt, aber O \ S ist nicht offen. Also kann auch nicht (i) oder (ii) gelten. [86] 5