Versicherungsmathematik in 50 Minuten. Schnellbleiche für Unwissende. Vortrag vom 10. Dezember 2008 an der Universität Basel Prof. Dr.

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1 Versicherungsmathematik in 50 Minuten Schnellbleiche für Unwissende Vortrag vom 10. Dezember 2008 an der Universität Basel Prof. Dr. Herbert Lüthy 1

2 Inhalt 1. Was ist Versicherungsmathematik? 2. Bedeutung der Versicherung 3. Mathematik und Risiko: Eine kurze Geschichte 4. Klassische Anwendungen: 2 Beispiele 5. Schwerpunkte und Tendenzen: 4 Beispiele 6. Schlussbemerkungen

3 1. Was ist Versicherungsmathematik? Mathematische Grundlage der Versicherung Actuarial Science Science of Risk and Capital Allocation Risk and Capital Management

4 2. Bedeutung der Versicherung 2.1 Finanzielle Absicherung gegen Risiken - Krankheit, Unfall - Alter - Invalidität - Tod - weitere - Haftpflicht - Sachen (Feuer, ) - Elementarschäden (Erdbeben, ) - Kredit - weitere Personen- Versicherung Vermögensund Sachversicherung Ermöglicht: - ruhigeren Schlaf bis zum finanziellen Überleben - erhöhte Aktivitäten - fundiertere Entscheidungen

5 2. Bedeutung der Versicherung 2.2 Gesamtwirtschaft und Soziales Schweizerische Privatversicherung Mitarbeiter in der Schweiz Mitarbeiter weltweit Prämien (2007, Mrd. CHF): CH: 50, Ausland: 78, Total: 128 Schweizerische Sozialversicherung (Einnahmen 2006 bzw. 2007, in Mrd. CHF) AHV 38 IV 12 Kranken-/Unfallversicherung 28 Berufliche Vorsorge 54 ca. 140 (25-30% Volkseinkommen) Pensionskassen-Vermögen : ca. 600

6 3. Mathematik und Risiko: Eine kurze Geschichte 3.1 Die Wahrscheinlichkeit J./J./N./D. Bernoulli L. Euler C.F. Gauss 17./18. Jahrhundert 18./19. Jahrhundert Elementare Definition: günstige Fälle mögliche Fälle = a( n) n Gesetz der grossen Zahl: ( n) a lim P P = n n ( A) < ε 1 Jakob Bernoulli

7 3. Mathematik und Risiko: Eine kurze Geschichte 3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung und Streuung +/- eine Standardabweichung +/- zwei Standardabweichungen +/- drei Standardabweichungen _ R 2/3 aller Fälle 95% aller Fälle 99% aller Fälle

8 3. Mathematik und Risiko: Eine kurze Geschichte 3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung und Streuung Schweizer Aktienmarkt 50.00% Rendite p.a % 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% % % % %

9 3. Mathematik und Risiko: Eine kurze Geschichte 3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung und Streuung Schweizer Obligationenmarkt 50.00% Rendite p.a % 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% % % % %

10 3. Mathematik und Risiko: Eine kurze Geschichte 3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung und Streuung 0.12 Wahrscheinlichkeit Obligationen Aktien Jahreserträge [%]

11 3. Mathematik und Risiko: Eine kurze Geschichte 3.3 Das Risiko (und die Chance?) Risiko : Mass für die mögliche (durchschnittliche) Abweichung von der Erwartung Sehr oft, z.b. in Finanztheorie: R = σ Risiko : (?) Oft auch andere Definitionen, z.b. bei Solvenz

12 4. Klassische Anwendungen; 2 Beispiele 4.1 Beispiel aus der Lebens- bzw. Sozialversicherung Die Versicherungsmathematik erstellt demographische Grundlagen ergänzt um weitere Grundlagen Wirtschaftliche Grössen (Zins!) Kosten entwickelt neue Produkte berechnet Prämien Rückstellungen Schwankungsreserven

13 4. Klassische Anwendungen; 2 Beispiele 4.1 Beispiel aus der Lebens- bzw. Sozialversicherung Sterbewahrscheinlichkeiten der Schweizer Bevölkerung; Männer und Frauen; Beobachtungsperioden , und1998 bis 2003, Alter 0 bis Alter 0 bis 65 Sterbewk. in /oo Alter Frauen; Frauen; Männer; Männer;

14 4. Klassische Anwendungen; 2 Beispiele 4.1 Ein Beispiel aus der Lebens- bzw. Sozialversicherung Alter 65 bis Sterbewk. in /oo Alter Frauen; Frauen; Männer; Männer;

15 4. Klassische Anwendungen; 2 Beispiele 4.2 Ein Beispiel aus der Elementarschaden- bzw. Rückversicherung: Katastrophen Die Versicherungsmathematik erstellt Katastrophen-Statistiken ergänzt um weitere Grundlagen Wirtschaftliche Grössen (Zins!) Kosten entwickelt neue Produkte Rückversicherungs-Konzepte berechnet Prämien Rückstellungen Schwankungsreserven

16 4. Klassische Anwendungen; 2 Beispiele 4.2 Ein Beispiel aus der Elementarschaden- bzw. Rückversicherung: Katastrophen in USD bn, indexed to Insured catastrophe losses Earthquake/tsunami Man-made disasters Weather-related Nat Cats Swiss Re, sigma No 1/2008

17 4. Klassische Anwendungen; 2 Beispiele 4.2 Ein Beispiel aus der Elementarschaden- bzw. Rückversicherung: Katastrophen Number of events Man-made disasters Natural catastrophes Swiss Re, sigma No 1/2008

18 4. Klassische Anwendungen; 2 Beispiele 4.2 Ein Beispiel aus der Elementarschaden- bzw. Rückversicherung: Katastrophen Numbers of victims '000' '000 10'000 1' Man-made disasters Natural catastrophes Swiss Re, sigma No 1/2008

19 4. Klassische Anwendungen; 2 Beispiele 4.2 Ein Beispiel aus der Elementarschaden- bzw. Rückversicherung: Katastrophen in USD bn, indexed to Insured flood events Swiss Re, sigma No 1/2008

20 5. Schwerpunkte und Tendenzen; 4 Beispiele 5.1 Beispiel 1: Sozialversicherung Wegen der enormen wirtschaftlichen und sozialen Bedeutung bleibt Sozialversicherung ein Schwerpunkt : Krankenversicherung (geht eher in Richtung Gesundheitsoekonomie) Invaliden- und Unfallversicherung Gesundheitsoekonomie Altersvorsorge (insbesondere genauere Modelle der Vorhersage)

21 5. Schwerpunkte und Tendenzen; 4 Beispiele 5.1 Beispiel 1: Sozialversicherung (Altersvorsorge) Abb. : Graphische Darstellung des Sterblichkeitstrends mit logarithmischer Regression

22 5. Schwerpunkte und Tendenzen; 4 Beispiele 5.1 Beispiel 1: Sozialversicherung (Altersvorsorge) Überlebensordnungen Alter 0 bis ' '000 Überlebensordnung 80'000 60'000 40'000 20' Alter Frauen; Männer; Frauen; Männer;

23 5. Schwerpunkte und Tendenzen; 4 Beispiele 5.2 Beispiel 2: Extremwert-Theorie (Katastrophen) Wie können seltene Ereignisse mathematisch modelliert werden?

24 5. Schwerpunkte und Tendenzen; 4 Beispiele 5.2 Beispiel 2: Extremwert-Theorie (Katastrophen) Source: Prof. Dr. Paul Embrechts, Professor of Mathematics and Director of RiskLab, EZH Zürich

25 5. Schwerpunkte und Tendenzen; 4 Beispiele 5.3 Beispiel 3: Risk Management und Aufsicht Quantitatives Risk Management Analyse der Risiken (SST, Extremwerte, ) Bewusstwerdung und Transparenz Kapitalallokation Qualitatives Risk Management Kultur Prozesse Verbindung von qualitativem und quantitativem Risk Management Systematische Risiken

26 5. Schwerpunkte und Tendenzen; 4 Beispiele 5.3 Beispiel 3: Risk Management, Aufsicht, Solvabilität Gesamtschadenverteilung eines Jahres

27 5. Schwerpunkte und Tendenzen; 4 Beispiele 5.4 Beispiel 4: Konvergenz mit Finanztheorie Portfolio-Optimierung (Rendite/Risiko) Asset/Liability Management (Rendite/Risiko) Derivate (Optionen, Futures, Swaps, etc) Systematische Risiken? Securitisation? Ein Beispiel (Grundlage u.a. für Optionspreis): dv t = µ V dt+ σ V t V V t dw t Merton/ Black/ Scholes W t = Brown sche Bewegung Stimmt das?

28 6. Schlussbemerkungen Versicherungsmathematik: Spannende und hochgradig interdisziplinäre Wissenschaft, an der Nahtstelle Wirtschaft / Soziales / Naturwissenschaft Politisch und wirtschaftlich relevante Disziplin (Sachlichkeit, Gerechtigkeit, u.a auch Generationengerechtigkeit) Wissenschaftliche Grundlage zur Verbesserung wirtschaftlicher und sozialer Sicherheit Sehr lebendige und innovative Wissenschaft (Extremwerttheorie, Finanztheorie, u.a.m)

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