R. Brinkmann Seite Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit. b)

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1 R. Brinkmnn Seite Lösungen Linere Funktionen VBKA I Brüche, Terme und linere Funktionen zur Vorbereitung einer Klssenrbeit E E ) + = ) 5 5 = 6 b) 7 9 = b) 5 : = 6 9 E E E5 u ) ( + ) b) 5 ( y z) ) 6 b) u 5uv + v ) 5( u v + z) b) u v z + E6 E7 E8 ) + b+ b 9 9 m + mn+ n 6 c) ) u+ w c) ( 8n) ) 5 f() = + b) 6 m mn+ n 9 6 d) b) + y d) ( m+ ) b) f() = + 5 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

2 R. Brinkmnn Seite E9 E0 E ) f ( 0) =,5 f (,5 ) = 0,75 f ( 0,7) =,75 f ( π) 5,7 π f,6 f ( u) =,5u +,5 b) f( ) = 5 für = 5, c) f( ) > 0 für >, d) f(u + ) f(u) =,5 ist von u unbhängig Grphen siehe unter usführliche Lösungen. ) 7 Py( 0,5 ) P 0 8 b) 5 5 Py 0 P 0 ) Grphen siehe unter usführliche Lösungen. b) f ( 7 ) =, ,5 Wird uf Dezimlstellen gerundet, dnn liegt P uf der Gerden. c) für t > 0,98 gilt f ( t ) < 0,6 E ) 5 b) f( ) = f = d) c) f( ) = + f( ) = E E E5 Ergebnis: f ( ) = + 5 f ( 0,5) = f ( ) 0,657 ) b) f() = + f() = + c) f() = + d) f() = + 6 e) f() =,5 + 6 f) f() =,5 Ergebnis: 6 7 f ( ) = P Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

3 R. Brinkmnn Seite E6 E7 E8 E9 E0 ) f() = + 5 b) f() = + c) f() = + ; 0 Ergebnisse Funktionsgleichung: f = 0,5 +,8 ) b) Nch etw 5 Wochen ist kein Kffee mehr vorhnden. c) Nch Wochen sind nur noch 00 g Kffee vorhnden. d) Den Grphen finden Sie unter en. Ergebnis Ds Grundgehlt beträgt 656, die Überstundenpuschle. Ergebnisse ) 7 Der Funktionsterm: f ( ) = 60 b) f ( 00) = 0,65 f ( 50) = 6,56 f ( ) = 5 = 5, 6 7 c) Den Grphen finden Sie unter en. Ergebnisse ) K() = 0, b) P( ) P( ) P( ) c) Einkommen 800 Konsumquote = 0,95 95% Einkommen 500 Konsumquote = 0,78 78% Einkommen 000 Konsumquote = 0,75 75% Allgemeiner Zusmmenhng: K() 0, Konsumquote = = = 0,7 + d) 70% des Einkommenszuwchses wird für den Konsum usgegeben. S = 0, 00 e) Nullstelle von S() : S() = 0 = 666,6 Bedeutung der Nullstelle: Erst b einem Einkommen von 666,67 knn gesprt werden. Die 666,67 bilden in diesem Modell ds Eistenzminimum. Unterhlb des Eistenzminimums werden Schulden gemcht, denn Mensch muss j irgendwo von leben. Den Grphen finden Sie unter en. Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

4 R. Brinkmnn Seite E Ergebnisse ) K() = 0, b) Bei einer Produktion von 0 Stück betrgen die Stückkosten,8. c) Bei sehr hohen Stückzhlen streben die Stückkosten gegen 0,5. d) Ab einer verkuften Menge von 7 Lippenstiften wird Gewinn gemcht. e) Die Grphen finden Sie unter en. Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

5 R. Brinkmnn Seite en: A Berechnen Sie: ) b) A en ) = HN= = + = = b) = = = HN= 56 Bei der Addition oder Subtrktion von Brüchen sind diese zuerst gleichnmig zu mchen. Gleichnmige Brüche werden ddiert, indem mn ihre Zähler ddiert und den Nenner beibehält. Gleichnmige Brüche werden subtrhiert, indem mn ihre Zähler subtrhiert und den Nenner beibehält. A Berechnen Sie: ) b) 5 : 6 9 A A en ) = = = 6 6 b) : : = = = = = Brüche werden multipliziert, indem Zähler und Nenner miteinnder multipliziert werden. Zwei Brüche werden dividiert, indem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert wird. Lösen Sie die Klmmern uf und vereinfchen Sie. ) u + ( u ) + 8u y + z + y 8z b) Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 5 von 0

6 R. Brinkmnn Seite A A A en ) u + ( u ) + 8u + 7 = u + [ u + + 8u] + 7 = u + u + + 8u + 7 = u u + 8u = 9u + = u + b) 6 9y ( + z) ( + y 8z) = 6 [ 9y z y + 8z] = 6 9y + + z + + y 8z = y + y + z 8z = 0 6y z = 5 y z Zuerst werden die inneren Klmmern gelöst, dnn die äußeren. Wenn vor einer Klmmer ein Plus steht, knn die Klmmer weggelssen werden. Eine Minusklmmer wird ufgelöst, indem lle Vorzeichen in der Klmmer umgedreht werden. Multiplizieren Sie und fssen Sie zusmmen: ) ( ) 5( + 8) + ( ) en ) ( ) 5( + 8) + ( ) = = 0 0+ = = 6 b) b) (,u,v )( 5u 0v ),u,v 5u 0v =,u 5u,u 0v,v 5u +,v 0v = u uv uv+ v = u 5uv+ v Jeder Summnd in der Klmmer wird der Reihe nch mit dem Fktor multipliziert, der vor der Klmmer steht. Dnch werden gleichrtige Summnden zusmmengefsst. A5 A5 Klmmern Sie us: ) 5u + 5v 0z b) u v + z 8 en 5u + 5v 0z = 5 u 5 v 5 z = 5 u v + z ) b) u v + z = u + v z u v z 8 + = + Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 6 von 0

7 R. Brinkmnn Seite A6 A6 A7 Berechne mit Hilfe der Binomischen Formeln. ) b) 6 + b m n 7 8 c) d) m+ n en ) + b b b b b = + + = b) m n m m n n m mn n 7 8 = 7 + = c) 9 9 m+ n m m n n m mn n m mn n = + + = + + = d) 9 = + = + 6 Stelle folgende Terme ls Produkte dr. Beispiel: + b + b = + b + b = + b ) u + uw+ w b) + y + 9y c) 9 8n+ 6n d) m + m+ A7 en ) u + uw+ w = u + u w+ w = u+ w b) + y + 9y = ( ) + 6 y + ( y) = ( + y) c) 9 8n + 6n = 8n + ( 8n) = ( 8n) d) m + m+ = m + m + = m+ A8 Zeichnen Sie die Grphen folgender Funktionen jeweils in ein Koordintensystem. ) 5 f() = + b) f() = + 5 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 7 von 0

8 R. Brinkmnn Seite A8 en ) 5 f() = + von 0 EH nch rechts 5 EH nch unten b) f() = + 5 = + 5 von 0 5 EH nch rechts EH nch unten f( ) 0 f( ) A9 A9 Gegeben ist die linere Funktion f ( ) mit f ( ) =,5 +,5. ) π Berechnen Sie die Funktionswerte: f(0) ; f(,5) ; f(0,7) ; f( π ) ; f ; f(u) b) An welcher Stelle ht die Funktion den Wert 5?. c) Für welche Argumente sind die Funktionswerte positiv? Zeigen Sie: f u + f(u) ist unbhängig von u. d) en ) Ergebnisse gerundet uf Stellen: f() =,5 +,5 f(0) =,5 0 +,5 =,5 f (,5 ) =,5 (,5 ) +,5 = 0,75 f(0,7) =,5 0,7 +,5 =,75 f ( π ) =,5 π+,5 = 5,7 π π f =,5 +,5 =,6 f(u) =, 5u +,5 b) f() =,5 +,5 = 5,5 +,5 = 5 = 5, f() = 5 für = 5, c) f() =,5 +,5 > 0, 5 +, 5 > 0, 5,5 >,5 :,5 f() > 0 für >, >, f(u+ ) =,5 u+ +,5 =,5u +,5+,5 d) f(u) =,5u +,5 f(u + ) f(u) =,5u +,5 +,5,5u,5 =,5 ist von u unbhängig Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 8 von 0

9 R. Brinkmnn Seite A0 Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte folgender linerer Funktionen und zeichnen Sie den Grphen in ein Koordintensystem. ) f() =,5 b) 8 5 f() = + A0 ) f() =,5 f(0) =,5 y ( ) P 0,5 f() = 0,5 = 0 7 = 8 7 P = 0, f( ) 0 5 A0 b) 8 5 f() = f(0) = Py 0,5 = 8 5 f() = 0 + = = P 0,7 0 f( ) 0 A Gegeben ist die linere Funktion f ( ) = + 7 ) Zeichnen Sie den Grphen und kennzeichnen Sie f( ). b) Liegt der Punkt P( 7,5 ) uf dem Grphen von f()? c) Für welche Werte von t ist f ( t ) < 0,6? Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 9 von 0

10 R. Brinkmnn Seite A ) 5 f() = = + f( ) = ( ) + =, f(7) = 9 f(0) = f 6 0 f(-) A A b) f( ) = + 7 P( 7,5 ): f( 7) = 7 + =, ,5 7 Wird uf Dezimlstellen gerundet, dnn liegt P uf der Gerden. c) f ( t) < 0,6 t + < 0,6 t <, t < 6,8 : t >, qudrieren t >,96 t > 0,98 für t > 0,98 gilt f t < 0,6 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 0 von 0

11 R. Brinkmnn Seite A A A A A A Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden f(). ) b) = ; durch P( =,5;durch P ) ( 0,5) durch P und P 0 durch den Ursprung und P c) ( ) ( ) d) ) = f() = P ( ): f() = + 0 = 0 = f() = b) =,5 = f() = + 0 P( 0,5 ): f( ) = 0,5 ( ) + 0 = 0 = f() = + c) P( 0 ) 0 = f() = P : f() = = = f() = d) Gerde durch den Ursprung 0 = 0 f() = P( ): f( ) = ( ) = = f() = Für eine linere Funktion f gilt f = und f 0 = 5 Bestimmen Sie den Funktionsterm und berechnen Sie f(0,5) und f ( ) E f() = + f() = f(0) = 5 0 f(0) = = 5 = 5 f() = f() = + 5 = = f() = + 5 f(0,5) = 0,5 + 5 = + 5 = f = + 5 0,657 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

12 R. Brinkmnn Seite A A A A A A A Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden f(). P und P 0 liegen uf der Gerden ) b) Die Gerde verläuft durch P( ) und P P und P 0 liegen uf der Gerden. c) d) Die Gerde schneidet die Achsen in = und y = 6 e) Die Gerde ht die Steigung =,5 und verläuft durch P f) Die Gerde ht die Steigung = und verläuft durch P,5 ) y y 0 P ( );P ( 0) = = = f() = + 0 P( 0 ): f() = = 0 0 = f() = + b) 8 y y 8 P ( );P = = = = = f() = + ( ) P( ): f( ) = ( ) + 0 = 0 = f() = + 0 c) y y 0 ( ) P ( );P ( 0) = = = = f() = + 0 P : f() = + = = f() = = ;y = 6 P 0 ;P 0 6 = 6 f() = + 6 d) 0 P 0 : f() = = 0 = f() = + 6 e) =,5 f() =,5+ 0 P : f() =,5 + = = 6 f() =,5 + 6 = ;P,5 f() = + f) P,5 : f() =,5 + =,5 =,5 f() =,5 0 0 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

13 R. Brinkmnn Seite A5 Bestimmen Sie den Funktionsterm und die Nullstelle der lineren Funktion f() wenn folgende Zusmmenhänge beknnt sind: f = und f = A5 f( ) = P ; f() = P y y 6 6 = = = f() = + 0 ( ) P( ): f() = + 0 = 0 = f() = Nullstelle: f() = 0 = = 0 = P A6 A6 A6 A6 Ermitteln Sie den Funktionsterm der lineren Funktion f(), wenn gilt: ) f() = 7 ; f( ) = b) f() = 0 ; f(0) = c) f() = ; f() = f() = 7 P 7 ; f( ) = P ) y y 7 = = = f() = + 0 P 7 : f() = 7 + = 7 = 5 f() = f() = 0 P 0 ; f(0) = P 0 = f() = + b) 0 y y 0 = = = = + f() 0 f() = P ; f() = P c) y y = = = f() = + 0 P( ): f() = + 0 = 0 = f() = + ; 0 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

14 R. Brinkmnn Seite A7 A7 A7 A7 Die Erzieherinnen und Erzieher im Kindergrten Kunterbunt trinken gerne Kffee der Mrke Brinkmnn s Nr.. Die Vorrtsdose enthält momentn,8 kg Kffeebohnen. Wöchentlich wird 50 g für die Kffeemschine benötigt. ) Stellen Sie die Funktionsgleichung uf, die diesen Vorgng beschreibt. b) Nch welcher Zeit ist der Kffeevorrt ufgebrucht? c) Kffee soll nchbestellt werden, wenn die Vorrtsdose nur noch 00 g enthält. Wnn wird ds der Fll sein? d) Zeichnen Sie den Funktionsgrphen in ein geeignetes Koordintensystem. ) Die Vriblen: bedeutet Wochen y = f ( ) bedeutet Menge des Kffevorrts in kg. f ( ) = + 0 Allgemeine Form der Gerdengleichung. Woche 0: f ( 0) = 0,5 0 +,8 =,8 Woche : f () = 0,5 +,8 =,5 Woche : f ( ) = 0,5 +,8 =,... Woche : f ( ) = 0,5 +,8 Funktionsgleichung für die Abnhme des Kffeevorrts. b) Kffeevorrt ufgebrucht bedeutet: f ( ) = 0 0,5 +,8 = 0,8 Gleichung soll nch ufgelöst werden 0,5 =,8 : ( 0,5) 80 6 = = 5, 5 7 Nch etw 5 Wochen ist kein Kffee mehr vorhnden. c) Nur noch 00g Kffee vorhnden bedeutet: f ( ) = 0, 0,5 +,8 = 0,,8 0,5 =, : ( 0,5) 0 8 = = = 5 7 Nch Wochen sind nur noch 00g Kffee vorhnden. Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

15 R. Brinkmnn Seite A7 d) Menge in kg.6. f( ) , kg Zeit in Wochen A8 A8 Tobis und Mrio rbeiten ls Krnkenpfleger in einer Rehbilittionsklinik und beziehen ds gleiche Grundgehlt. Zur Zeit müssen beide viel Überstunden leisten. Am Montsende vergleichen sie ihre Gehltsbrechnungen. Der Bruttolohn von Tobis beträgt 559, der von Mrio. Tobis ht im lufenden Mont Überstunden, Mrio dgegen nur 7 Überstunden geleistet. Berechnen Sie ds Grundgehlt und die Überstundenpuschle. Anzhl der Überstunden: Ausgezhlter Bruttolohn f() Gegeben sind zwei Wertepre: P 559 und P 7 y y = = = = f = ( = Überstundenpuschle 0 = Grundgehlt) P 559 f = = = = f = Ds Grundgehlt beträgt 656, die Überstundenpuschle. Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 5 von 0

16 R. Brinkmnn Seite A9 A9 A9 Aus 80 kg Zuckerrohr lssen sich 8,5 kg Zucker herstellen. (Ein linerer Zusmmenhng zwischen Zuckerrohr und Zucker wird ngenommen). Ein Funktionsterm f() beschreibt, wie viel kg Zucker mn us kg Zuckerrohr erhält. ) Bestimmen Sie den Funktionsterm f(). b) Berechnen Sie: f ( 00 ); f ( 50 ) ; f() = 5 c) Zeichnen Sie den Grphen der Funktion f(). ) Achse kg Zuckerrohr y Achse kg Zucker f( ) = kg Zuckerrohr 8,5 kg Zucker P ( 80 8,5) 0 kg Zuckerrohr 0 kg Zucker P( 0 0 ) Ursprungsgerde 0 = 0 8,5 7 7 Steigung: = = f ( ) = b) 7 7 f ( ) = f ( 00) = 00 = 0, f ( 50) = 50 = 6, f ( ) = 5 = 5 : = 5, Aus 00 kg Zuckerrohr lssen sich 0,65 kg Zucker gewinnen. Aus 50 kg Zuckerrohr lssen sich etw 6,56 kg Zucker gewinnen. Für 5 kg Zucker benötigt mn etw 5, kg Zuckerrohr. Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 6 von 0

17 R. Brinkmnn Seite A9 c) Zucker in kg Zuckerrohr in kg A0 In einem volkswirtschftlichen Modell sind die Konsumusgben liner vom verfügbren Einkommen bhängig. Bei einem Einkommen von 000 betrgen die Konsumusgben 900. Bei einem Einkommen von 800 betrgen sie 60. ) Ermitteln Sie einen Funktionsterm für die Konsumfunktion K. b) Berechnen Sie die Höhe der Konsumusgben wenn ds Einkommen 800, 500 bzw. 000 beträgt. c) Die Konsumquote ist der Anteil des Einkommens ds für den Konsum ufgewendet wird. (Konsumquote = Konsum / Einkommen) Bestimmen Sie die Konsumquote für die Einkommen us b). Welcher llgemeiner Zusmmenhng besteht zwischen Konsumquote und Einkommen? d) Der Einkommenszuwchs betrge d. Wie viel Prozent des Einkommenszuwchses wird für den Konsum usgegeben? e) Welche Funktion S beschreibt die Sprleistung in Abhängigkeit vom Einkommen? Stellen Sie die Funktion K und S grphisch dr. Welche Bedeutung ht die Nullstelle von S? Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 7 von 0

18 R. Brinkmnn Seite A0 ) unbhängige Vrible: = Einkommen bhängige Vrible y = K() = Konsumusgben (linerer Zusmmenhng) K() = + 0 = = Aus den gegebenen Bedingungen folgt: P ; P y y = = 0,7 K() = 0, P : K(000) = 900 0, = 900 = K() = 0, A0 K(800) = 0, = 760 P b) K(500) = 0, = 950 P K(000) = 0, = 000 P A0 A0 c) Konsum K() Konsumquote = = Einkommen 760 Einkommen 800 Konsumquote = = 0,95 95% Einkommen 500 Konsumquote = = 0,78 78% Einkommen 000 Konsumquote = = 0,75 75% 000 Allgemeiner Zusmmenhng: K() 0, Konsumquote = = = 0,7 + Bemerkung: Je höher ds Einkommen, desto mehr nähert sich die Konsumquote dem Wert 0,7, ds bedeutet, mindestens 70% des verfügbren Einkommens wird für den Konsum usgegeben. Der Rest knn gesprt werden. d) Anstz: ltes Einkommen K() = 0, neues Einkommen + d K( + d) = 0,7( + d) + 00 Einkommenszunhme + d K( + d) K() 0,7(+ d) ,7+ 00 = 0,7d Folgerung: 70% des Einkommenszuwchses wird für den Konsum usgegeben. Ds entspricht der Steigung von K(). Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 8 von 0

19 R. Brinkmnn Seite A0 A A A A e) Alles ws nicht konsumiert wird, wird gesprt. S = K = 0,7+ 00 = 0, 00 Die Firm Big Beuty produziert den Lippenstift Amore. Die bei der Produktion entstehenden Kosten K sind von der hergestellten Stückzhl bhängig. Bei der Produktion von = 00 Stück entstehen Kosten von 85, bei der Produktion von = 00 Stück entstehen Kosten von 0. Zwischen der Stückzhl und den entstehenden Kosten bestehe ein linerer Zusmmenhng. ) Bestimmen Sie die Kostenfunktion. b) Wie hoch sind die Stückkosten bei einer Produktion von = 0 Stück? c) Gegen welchen Wert streben die Stückkosten bei sehr hohen Stückzhlen? d) Bei welcher Menge liegt die Gewinnschwelle, wenn ein Verkufspreis von 5,0 pro Lippenstift erzielt wird? e) Zeichnen Sie die Grphen von K() und E() in ein Koordintensystem. P ; P 00 0 ; Kostenfunktion : K() = + ) 0 y y 0 85 = = = 0,5 K() = 0, P : K(00) = 85 0, = 85 = Kostenfunktion : K() = 0, b) Kosten für 0 Stück: K(0) = 0, = 95 Kosten K K(0) 95 Stückkosten = = = = =,8 Stück 0 0 Bei einer Produktion von 0 Stück betrgen die Stückkosten,8. c) K( ) Kosten 0, Stückkosten = = = = 0,5 + Stück 60 Für sehr große Stückzhlen wird der Term immer kleiner, so dss die Stückkosten sich immer mehr dem Wert 0,5 nähern. K() Mthemtisch schreibt mn ds so: lim = 0,5 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 9 von 0

20 R. Brinkmnn Seite A A d) Gewinnschwelle bedeutet, der Erlös E() ist gerde so groß wie die Kosten K(). E() = p = 5, K() = 0, E() = K() 5, = 0, = 7,95 Ab einer verkuften Menge von 7 Lippenstiften wird Gewinn gemcht. e) K E Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 0 von 0