R. Brinkmann Seite Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit. b)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "R. Brinkmann Seite Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit. b)"

Transkript

1 R. Brinkmnn Seite Lösungen Linere Funktionen VBKA I Brüche, Terme und linere Funktionen zur Vorbereitung einer Klssenrbeit E E ) + = ) 5 5 = 6 b) 7 9 = b) 5 : = 6 9 E E E5 u ) ( + ) b) 5 ( y z) ) 6 b) u 5uv + v ) 5( u v + z) b) u v z + E6 E7 E8 ) + b+ b 9 9 m + mn+ n 6 c) ) u+ w c) ( 8n) ) 5 f() = + b) 6 m mn+ n 9 6 d) b) + y d) ( m+ ) b) f() = + 5 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

2 R. Brinkmnn Seite E9 E0 E ) f ( 0) =,5 f (,5 ) = 0,75 f ( 0,7) =,75 f ( π) 5,7 π f,6 f ( u) =,5u +,5 b) f( ) = 5 für = 5, c) f( ) > 0 für >, d) f(u + ) f(u) =,5 ist von u unbhängig Grphen siehe unter usführliche Lösungen. ) 7 Py( 0,5 ) P 0 8 b) 5 5 Py 0 P 0 ) Grphen siehe unter usführliche Lösungen. b) f ( 7 ) =, ,5 Wird uf Dezimlstellen gerundet, dnn liegt P uf der Gerden. c) für t > 0,98 gilt f ( t ) < 0,6 E ) 5 b) f( ) = f = d) c) f( ) = + f( ) = E E E5 Ergebnis: f ( ) = + 5 f ( 0,5) = f ( ) 0,657 ) b) f() = + f() = + c) f() = + d) f() = + 6 e) f() =,5 + 6 f) f() =,5 Ergebnis: 6 7 f ( ) = P Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

3 R. Brinkmnn Seite E6 E7 E8 E9 E0 ) f() = + 5 b) f() = + c) f() = + ; 0 Ergebnisse Funktionsgleichung: f = 0,5 +,8 ) b) Nch etw 5 Wochen ist kein Kffee mehr vorhnden. c) Nch Wochen sind nur noch 00 g Kffee vorhnden. d) Den Grphen finden Sie unter en. Ergebnis Ds Grundgehlt beträgt 656, die Überstundenpuschle. Ergebnisse ) 7 Der Funktionsterm: f ( ) = 60 b) f ( 00) = 0,65 f ( 50) = 6,56 f ( ) = 5 = 5, 6 7 c) Den Grphen finden Sie unter en. Ergebnisse ) K() = 0, b) P( ) P( ) P( ) c) Einkommen 800 Konsumquote = 0,95 95% Einkommen 500 Konsumquote = 0,78 78% Einkommen 000 Konsumquote = 0,75 75% Allgemeiner Zusmmenhng: K() 0, Konsumquote = = = 0,7 + d) 70% des Einkommenszuwchses wird für den Konsum usgegeben. S = 0, 00 e) Nullstelle von S() : S() = 0 = 666,6 Bedeutung der Nullstelle: Erst b einem Einkommen von 666,67 knn gesprt werden. Die 666,67 bilden in diesem Modell ds Eistenzminimum. Unterhlb des Eistenzminimums werden Schulden gemcht, denn Mensch muss j irgendwo von leben. Den Grphen finden Sie unter en. Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

4 R. Brinkmnn Seite E Ergebnisse ) K() = 0, b) Bei einer Produktion von 0 Stück betrgen die Stückkosten,8. c) Bei sehr hohen Stückzhlen streben die Stückkosten gegen 0,5. d) Ab einer verkuften Menge von 7 Lippenstiften wird Gewinn gemcht. e) Die Grphen finden Sie unter en. Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

5 R. Brinkmnn Seite en: A Berechnen Sie: ) b) A en ) = HN= = + = = b) = = = HN= 56 Bei der Addition oder Subtrktion von Brüchen sind diese zuerst gleichnmig zu mchen. Gleichnmige Brüche werden ddiert, indem mn ihre Zähler ddiert und den Nenner beibehält. Gleichnmige Brüche werden subtrhiert, indem mn ihre Zähler subtrhiert und den Nenner beibehält. A Berechnen Sie: ) b) 5 : 6 9 A A en ) = = = 6 6 b) : : = = = = = Brüche werden multipliziert, indem Zähler und Nenner miteinnder multipliziert werden. Zwei Brüche werden dividiert, indem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert wird. Lösen Sie die Klmmern uf und vereinfchen Sie. ) u + ( u ) + 8u y + z + y 8z b) Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 5 von 0

6 R. Brinkmnn Seite A A A en ) u + ( u ) + 8u + 7 = u + [ u + + 8u] + 7 = u + u + + 8u + 7 = u u + 8u = 9u + = u + b) 6 9y ( + z) ( + y 8z) = 6 [ 9y z y + 8z] = 6 9y + + z + + y 8z = y + y + z 8z = 0 6y z = 5 y z Zuerst werden die inneren Klmmern gelöst, dnn die äußeren. Wenn vor einer Klmmer ein Plus steht, knn die Klmmer weggelssen werden. Eine Minusklmmer wird ufgelöst, indem lle Vorzeichen in der Klmmer umgedreht werden. Multiplizieren Sie und fssen Sie zusmmen: ) ( ) 5( + 8) + ( ) en ) ( ) 5( + 8) + ( ) = = 0 0+ = = 6 b) b) (,u,v )( 5u 0v ),u,v 5u 0v =,u 5u,u 0v,v 5u +,v 0v = u uv uv+ v = u 5uv+ v Jeder Summnd in der Klmmer wird der Reihe nch mit dem Fktor multipliziert, der vor der Klmmer steht. Dnch werden gleichrtige Summnden zusmmengefsst. A5 A5 Klmmern Sie us: ) 5u + 5v 0z b) u v + z 8 en 5u + 5v 0z = 5 u 5 v 5 z = 5 u v + z ) b) u v + z = u + v z u v z 8 + = + Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 6 von 0

7 R. Brinkmnn Seite A6 A6 A7 Berechne mit Hilfe der Binomischen Formeln. ) b) 6 + b m n 7 8 c) d) m+ n en ) + b b b b b = + + = b) m n m m n n m mn n 7 8 = 7 + = c) 9 9 m+ n m m n n m mn n m mn n = + + = + + = d) 9 = + = + 6 Stelle folgende Terme ls Produkte dr. Beispiel: + b + b = + b + b = + b ) u + uw+ w b) + y + 9y c) 9 8n+ 6n d) m + m+ A7 en ) u + uw+ w = u + u w+ w = u+ w b) + y + 9y = ( ) + 6 y + ( y) = ( + y) c) 9 8n + 6n = 8n + ( 8n) = ( 8n) d) m + m+ = m + m + = m+ A8 Zeichnen Sie die Grphen folgender Funktionen jeweils in ein Koordintensystem. ) 5 f() = + b) f() = + 5 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 7 von 0

8 R. Brinkmnn Seite A8 en ) 5 f() = + von 0 EH nch rechts 5 EH nch unten b) f() = + 5 = + 5 von 0 5 EH nch rechts EH nch unten f( ) 0 f( ) A9 A9 Gegeben ist die linere Funktion f ( ) mit f ( ) =,5 +,5. ) π Berechnen Sie die Funktionswerte: f(0) ; f(,5) ; f(0,7) ; f( π ) ; f ; f(u) b) An welcher Stelle ht die Funktion den Wert 5?. c) Für welche Argumente sind die Funktionswerte positiv? Zeigen Sie: f u + f(u) ist unbhängig von u. d) en ) Ergebnisse gerundet uf Stellen: f() =,5 +,5 f(0) =,5 0 +,5 =,5 f (,5 ) =,5 (,5 ) +,5 = 0,75 f(0,7) =,5 0,7 +,5 =,75 f ( π ) =,5 π+,5 = 5,7 π π f =,5 +,5 =,6 f(u) =, 5u +,5 b) f() =,5 +,5 = 5,5 +,5 = 5 = 5, f() = 5 für = 5, c) f() =,5 +,5 > 0, 5 +, 5 > 0, 5,5 >,5 :,5 f() > 0 für >, >, f(u+ ) =,5 u+ +,5 =,5u +,5+,5 d) f(u) =,5u +,5 f(u + ) f(u) =,5u +,5 +,5,5u,5 =,5 ist von u unbhängig Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 8 von 0

9 R. Brinkmnn Seite A0 Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte folgender linerer Funktionen und zeichnen Sie den Grphen in ein Koordintensystem. ) f() =,5 b) 8 5 f() = + A0 ) f() =,5 f(0) =,5 y ( ) P 0,5 f() = 0,5 = 0 7 = 8 7 P = 0, f( ) 0 5 A0 b) 8 5 f() = f(0) = Py 0,5 = 8 5 f() = 0 + = = P 0,7 0 f( ) 0 A Gegeben ist die linere Funktion f ( ) = + 7 ) Zeichnen Sie den Grphen und kennzeichnen Sie f( ). b) Liegt der Punkt P( 7,5 ) uf dem Grphen von f()? c) Für welche Werte von t ist f ( t ) < 0,6? Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 9 von 0

10 R. Brinkmnn Seite A ) 5 f() = = + f( ) = ( ) + =, f(7) = 9 f(0) = f 6 0 f(-) A A b) f( ) = + 7 P( 7,5 ): f( 7) = 7 + =, ,5 7 Wird uf Dezimlstellen gerundet, dnn liegt P uf der Gerden. c) f ( t) < 0,6 t + < 0,6 t <, t < 6,8 : t >, qudrieren t >,96 t > 0,98 für t > 0,98 gilt f t < 0,6 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 0 von 0

11 R. Brinkmnn Seite A A A A A A Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden f(). ) b) = ; durch P( =,5;durch P ) ( 0,5) durch P und P 0 durch den Ursprung und P c) ( ) ( ) d) ) = f() = P ( ): f() = + 0 = 0 = f() = b) =,5 = f() = + 0 P( 0,5 ): f( ) = 0,5 ( ) + 0 = 0 = f() = + c) P( 0 ) 0 = f() = P : f() = = = f() = d) Gerde durch den Ursprung 0 = 0 f() = P( ): f( ) = ( ) = = f() = Für eine linere Funktion f gilt f = und f 0 = 5 Bestimmen Sie den Funktionsterm und berechnen Sie f(0,5) und f ( ) E f() = + f() = f(0) = 5 0 f(0) = = 5 = 5 f() = f() = + 5 = = f() = + 5 f(0,5) = 0,5 + 5 = + 5 = f = + 5 0,657 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

12 R. Brinkmnn Seite A A A A A A A Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden f(). P und P 0 liegen uf der Gerden ) b) Die Gerde verläuft durch P( ) und P P und P 0 liegen uf der Gerden. c) d) Die Gerde schneidet die Achsen in = und y = 6 e) Die Gerde ht die Steigung =,5 und verläuft durch P f) Die Gerde ht die Steigung = und verläuft durch P,5 ) y y 0 P ( );P ( 0) = = = f() = + 0 P( 0 ): f() = = 0 0 = f() = + b) 8 y y 8 P ( );P = = = = = f() = + ( ) P( ): f( ) = ( ) + 0 = 0 = f() = + 0 c) y y 0 ( ) P ( );P ( 0) = = = = f() = + 0 P : f() = + = = f() = = ;y = 6 P 0 ;P 0 6 = 6 f() = + 6 d) 0 P 0 : f() = = 0 = f() = + 6 e) =,5 f() =,5+ 0 P : f() =,5 + = = 6 f() =,5 + 6 = ;P,5 f() = + f) P,5 : f() =,5 + =,5 =,5 f() =,5 0 0 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

13 R. Brinkmnn Seite A5 Bestimmen Sie den Funktionsterm und die Nullstelle der lineren Funktion f() wenn folgende Zusmmenhänge beknnt sind: f = und f = A5 f( ) = P ; f() = P y y 6 6 = = = f() = + 0 ( ) P( ): f() = + 0 = 0 = f() = Nullstelle: f() = 0 = = 0 = P A6 A6 A6 A6 Ermitteln Sie den Funktionsterm der lineren Funktion f(), wenn gilt: ) f() = 7 ; f( ) = b) f() = 0 ; f(0) = c) f() = ; f() = f() = 7 P 7 ; f( ) = P ) y y 7 = = = f() = + 0 P 7 : f() = 7 + = 7 = 5 f() = f() = 0 P 0 ; f(0) = P 0 = f() = + b) 0 y y 0 = = = = + f() 0 f() = P ; f() = P c) y y = = = f() = + 0 P( ): f() = + 0 = 0 = f() = + ; 0 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

14 R. Brinkmnn Seite A7 A7 A7 A7 Die Erzieherinnen und Erzieher im Kindergrten Kunterbunt trinken gerne Kffee der Mrke Brinkmnn s Nr.. Die Vorrtsdose enthält momentn,8 kg Kffeebohnen. Wöchentlich wird 50 g für die Kffeemschine benötigt. ) Stellen Sie die Funktionsgleichung uf, die diesen Vorgng beschreibt. b) Nch welcher Zeit ist der Kffeevorrt ufgebrucht? c) Kffee soll nchbestellt werden, wenn die Vorrtsdose nur noch 00 g enthält. Wnn wird ds der Fll sein? d) Zeichnen Sie den Funktionsgrphen in ein geeignetes Koordintensystem. ) Die Vriblen: bedeutet Wochen y = f ( ) bedeutet Menge des Kffevorrts in kg. f ( ) = + 0 Allgemeine Form der Gerdengleichung. Woche 0: f ( 0) = 0,5 0 +,8 =,8 Woche : f () = 0,5 +,8 =,5 Woche : f ( ) = 0,5 +,8 =,... Woche : f ( ) = 0,5 +,8 Funktionsgleichung für die Abnhme des Kffeevorrts. b) Kffeevorrt ufgebrucht bedeutet: f ( ) = 0 0,5 +,8 = 0,8 Gleichung soll nch ufgelöst werden 0,5 =,8 : ( 0,5) 80 6 = = 5, 5 7 Nch etw 5 Wochen ist kein Kffee mehr vorhnden. c) Nur noch 00g Kffee vorhnden bedeutet: f ( ) = 0, 0,5 +,8 = 0,,8 0,5 =, : ( 0,5) 0 8 = = = 5 7 Nch Wochen sind nur noch 00g Kffee vorhnden. Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite von 0

15 R. Brinkmnn Seite A7 d) Menge in kg.6. f( ) , kg Zeit in Wochen A8 A8 Tobis und Mrio rbeiten ls Krnkenpfleger in einer Rehbilittionsklinik und beziehen ds gleiche Grundgehlt. Zur Zeit müssen beide viel Überstunden leisten. Am Montsende vergleichen sie ihre Gehltsbrechnungen. Der Bruttolohn von Tobis beträgt 559, der von Mrio. Tobis ht im lufenden Mont Überstunden, Mrio dgegen nur 7 Überstunden geleistet. Berechnen Sie ds Grundgehlt und die Überstundenpuschle. Anzhl der Überstunden: Ausgezhlter Bruttolohn f() Gegeben sind zwei Wertepre: P 559 und P 7 y y = = = = f = ( = Überstundenpuschle 0 = Grundgehlt) P 559 f = = = = f = Ds Grundgehlt beträgt 656, die Überstundenpuschle. Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 5 von 0

16 R. Brinkmnn Seite A9 A9 A9 Aus 80 kg Zuckerrohr lssen sich 8,5 kg Zucker herstellen. (Ein linerer Zusmmenhng zwischen Zuckerrohr und Zucker wird ngenommen). Ein Funktionsterm f() beschreibt, wie viel kg Zucker mn us kg Zuckerrohr erhält. ) Bestimmen Sie den Funktionsterm f(). b) Berechnen Sie: f ( 00 ); f ( 50 ) ; f() = 5 c) Zeichnen Sie den Grphen der Funktion f(). ) Achse kg Zuckerrohr y Achse kg Zucker f( ) = kg Zuckerrohr 8,5 kg Zucker P ( 80 8,5) 0 kg Zuckerrohr 0 kg Zucker P( 0 0 ) Ursprungsgerde 0 = 0 8,5 7 7 Steigung: = = f ( ) = b) 7 7 f ( ) = f ( 00) = 00 = 0, f ( 50) = 50 = 6, f ( ) = 5 = 5 : = 5, Aus 00 kg Zuckerrohr lssen sich 0,65 kg Zucker gewinnen. Aus 50 kg Zuckerrohr lssen sich etw 6,56 kg Zucker gewinnen. Für 5 kg Zucker benötigt mn etw 5, kg Zuckerrohr. Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 6 von 0

17 R. Brinkmnn Seite A9 c) Zucker in kg Zuckerrohr in kg A0 In einem volkswirtschftlichen Modell sind die Konsumusgben liner vom verfügbren Einkommen bhängig. Bei einem Einkommen von 000 betrgen die Konsumusgben 900. Bei einem Einkommen von 800 betrgen sie 60. ) Ermitteln Sie einen Funktionsterm für die Konsumfunktion K. b) Berechnen Sie die Höhe der Konsumusgben wenn ds Einkommen 800, 500 bzw. 000 beträgt. c) Die Konsumquote ist der Anteil des Einkommens ds für den Konsum ufgewendet wird. (Konsumquote = Konsum / Einkommen) Bestimmen Sie die Konsumquote für die Einkommen us b). Welcher llgemeiner Zusmmenhng besteht zwischen Konsumquote und Einkommen? d) Der Einkommenszuwchs betrge d. Wie viel Prozent des Einkommenszuwchses wird für den Konsum usgegeben? e) Welche Funktion S beschreibt die Sprleistung in Abhängigkeit vom Einkommen? Stellen Sie die Funktion K und S grphisch dr. Welche Bedeutung ht die Nullstelle von S? Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 7 von 0

18 R. Brinkmnn Seite A0 ) unbhängige Vrible: = Einkommen bhängige Vrible y = K() = Konsumusgben (linerer Zusmmenhng) K() = + 0 = = Aus den gegebenen Bedingungen folgt: P ; P y y = = 0,7 K() = 0, P : K(000) = 900 0, = 900 = K() = 0, A0 K(800) = 0, = 760 P b) K(500) = 0, = 950 P K(000) = 0, = 000 P A0 A0 c) Konsum K() Konsumquote = = Einkommen 760 Einkommen 800 Konsumquote = = 0,95 95% Einkommen 500 Konsumquote = = 0,78 78% Einkommen 000 Konsumquote = = 0,75 75% 000 Allgemeiner Zusmmenhng: K() 0, Konsumquote = = = 0,7 + Bemerkung: Je höher ds Einkommen, desto mehr nähert sich die Konsumquote dem Wert 0,7, ds bedeutet, mindestens 70% des verfügbren Einkommens wird für den Konsum usgegeben. Der Rest knn gesprt werden. d) Anstz: ltes Einkommen K() = 0, neues Einkommen + d K( + d) = 0,7( + d) + 00 Einkommenszunhme + d K( + d) K() 0,7(+ d) ,7+ 00 = 0,7d Folgerung: 70% des Einkommenszuwchses wird für den Konsum usgegeben. Ds entspricht der Steigung von K(). Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 8 von 0

19 R. Brinkmnn Seite A0 A A A A e) Alles ws nicht konsumiert wird, wird gesprt. S = K = 0,7+ 00 = 0, 00 Die Firm Big Beuty produziert den Lippenstift Amore. Die bei der Produktion entstehenden Kosten K sind von der hergestellten Stückzhl bhängig. Bei der Produktion von = 00 Stück entstehen Kosten von 85, bei der Produktion von = 00 Stück entstehen Kosten von 0. Zwischen der Stückzhl und den entstehenden Kosten bestehe ein linerer Zusmmenhng. ) Bestimmen Sie die Kostenfunktion. b) Wie hoch sind die Stückkosten bei einer Produktion von = 0 Stück? c) Gegen welchen Wert streben die Stückkosten bei sehr hohen Stückzhlen? d) Bei welcher Menge liegt die Gewinnschwelle, wenn ein Verkufspreis von 5,0 pro Lippenstift erzielt wird? e) Zeichnen Sie die Grphen von K() und E() in ein Koordintensystem. P ; P 00 0 ; Kostenfunktion : K() = + ) 0 y y 0 85 = = = 0,5 K() = 0, P : K(00) = 85 0, = 85 = Kostenfunktion : K() = 0, b) Kosten für 0 Stück: K(0) = 0, = 95 Kosten K K(0) 95 Stückkosten = = = = =,8 Stück 0 0 Bei einer Produktion von 0 Stück betrgen die Stückkosten,8. c) K( ) Kosten 0, Stückkosten = = = = 0,5 + Stück 60 Für sehr große Stückzhlen wird der Term immer kleiner, so dss die Stückkosten sich immer mehr dem Wert 0,5 nähern. K() Mthemtisch schreibt mn ds so: lim = 0,5 Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 9 von 0

20 R. Brinkmnn Seite A A d) Gewinnschwelle bedeutet, der Erlös E() ist gerde so groß wie die Kosten K(). E() = p = 5, K() = 0, E() = K() 5, = 0, = 7,95 Ab einer verkuften Menge von 7 Lippenstiften wird Gewinn gemcht. e) K E Erstellt von R. Brinkmnn p_lin_fkt_vb_k_0_e.doc :00 Seite 0 von 0

Grundwissen Mathematik 8

Grundwissen Mathematik 8 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die

Mehr

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : 3 4 3 4 Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) + 3

Mehr

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern

Mehr

Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS

Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS Grundlgen in Mthemtik für die. Klssen der HMS und der FMS Einleitung In der Mthemtik wird häufig uf bereits Gelerntem und Beknntem ufgebut. Wer die Grundlgen nicht beherrscht, ht deshlb oft Mühe und Schwierigkeiten,

Mehr

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c

Mehr

3. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner

3. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner 3. Mthemtik-Schulrbeit für die 5. Klsse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 75 Minuten Lernstoff: Mthemtische Grundkompetenzen: AG.1 Einfche Terme und Formeln ufstellen, umformen und im Kontext deuten

Mehr

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für

Mehr

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3 2.5 Algebr Inhltsverzeichnis Fktorisieren 2. Terme fktorisieren...................................... 2.2 (-) usklmmern....................................... 2.3 Terme mit Klmmern fktorisieren..............................

Mehr

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten Lernkrten Anlysis Seiten Zum Ausdrucken muss mn jeweils eine Vorderseite drucken, dnn ds Bltt wenden, nochmls einlegen und die Rückseite drucken. Am esten druckt mn die Krten uf festem Ppier oder uf Visitenkrten-

Mehr

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8 Üungsltt Gleichungsssteme Klsse 8 Auge : Berechne die Lösungen des Gleichungspres: I II 7 Kontrolliere durch Einseten. Auge : Löse dem Additionsverhren: I 7-6 II 9 Auge : Gegeen ist olgendes linere Gleichungssstem

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen Themen Ntürliche und gnze gerde Eigenschften Besonderheiten - Beispiele { } Menge der ntürlichen { } Menge der ntürlichen mit Null { } Menge der gnzen IN = 1;2;3;4;... IN 0 = 0;1;2;3;4;... Z =...; 3; 2;

Mehr

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.

Mehr

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen

Mehr

1 Grundlagen der Mathematik Lösen Sie die nachfolgenden grundlegenden Aufgaben.

1 Grundlagen der Mathematik Lösen Sie die nachfolgenden grundlegenden Aufgaben. ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN MULTIPLIZIEREN Grundlgen der Mthemtik Lösen Sie die nchfolgenden grundlegenden Aufgben. Beweisen Sie durch Ausrechnung, dss b ) b ist! ( Wichtige mthemtische Regeln: 0 = 0 = 0

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl

Mehr

Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b

Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b Grundlgen 0.0. Zhlbereiche ntürliche Zhlen: N = {0; ; 2;...} (nch DIN 547) N = N \ {0} gnze Zhlen: Z = {... 2; ; 0; ; 2;...} rtionle Zhlen: Q = { p p, q Z, q 0} q Q besteht us llen Bruchzhlen. reelle Zhlen:

Mehr

Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor

Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Die Kugel Volumen der Kugel: Oberfläche der Kugel: V O Kugel Kugel 4 πr 4πr Der Kreissektor (Kreisusschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : ϕ Bogenlänge: b

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

Brüche gleichnamig machen

Brüche gleichnamig machen Brüche gleichnmig mchen L Ds Erweitern von Brüchen (siehe L ) ist lediglich ein Instrument, ds vorwiegend eingesetzt wird, um Brüche mit unterschiedlichem Divisor gleichnmig zu mchen. Brüche gleichnmig

Mehr

Flächenberechnung. Aufgabe 1:

Flächenberechnung. Aufgabe 1: Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

( ) = ( ) y Kosten in 800

( ) = ( ) y Kosten in 800 R. Brinkmnn tt://brinkmnn-du.de Seite 09.0.008 Lge zweier Gerden zueinnder Ein Gleicungssstem us zwei lineren Gleicungen t beknntlic entweder eine, keine oder unendlic viele Lösungen. Ws ber t ds mit der

Mehr

Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:

Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf: Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern:

Mehr

Bruchterme I. Definitionsmenge eines Bruchterms

Bruchterme I. Definitionsmenge eines Bruchterms Bruchterme I Definitionsmenge eines Bruchterms Alle zulässigen Einsetzungen in einen Bruchterm ilden die Definitionsmenge D. Einsetzungen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Definitionsmenge.

Mehr

Übungen zu Wurzeln III

Übungen zu Wurzeln III A.Nenner rtionl mchen: Nenner ist Qudrtwurzel: 5 bc 1.).).).) 5.) 1 15 9 bc.).) 8.) 9.) 10.) 5 5 B.Nenner rtionl mchen: Nenner ist höhere Wurzel: 1 1 9 5 1 1.).).).) 5.).) 5 C.Nenner rtionl mchen: Nenner

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Bden-Württemberg: Abitur 014 Whlteil A www.mthe-ufgben.com Huptprüfung Abiturprüfung 014 (ohne CAS) Bden-Württemberg Whlteil Anlysis Hilfsmittel: GTR und Formelsmmlung llgemeinbildende Gymnsien Alexnder

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium

Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium Algebr-Trining Theorie & Aufgben Serie Bruchrechnen Theorie: Kthrin Lpdul Aufgben: Bernhrd Mrugg VSGYM / Volksschule Gymnsium Liebe Schülerin, lieber Schüler Der Leitspruch «Übung mcht den Meister» gilt

Mehr

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung)

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung) Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle

Mehr

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: ) 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 ) Eenso, denn

Mehr

a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x

a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x Bltt 1: Hilfe zur Umformung von Gleichungen mit vielen Vriblen Im Mthemtikunterricht hben Sie gelernt, wie mn Gleichungen mit einer Vriblen umformt, um diese Vrible uszurechnen. Meistens hieß sie. In Physik

Mehr

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui qwertyuiopsdfghjklzxcvnmqwerty uiopsdfghjklzxcvnmqwertyuiopsd fghjklzxcvnmqwertyuiopsdfghjklzx Aufgen M-Beispielen cvnmqwertyuiopsdfghjklzxcvnmq Vorereitung uf die. Schulreit wertyuiopsdfghjklzxcvnmqwertyui

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen 1 Rechenregeln Betrg einer Zhl Subtrktion Kommuttivität der Addition (Vertuschungsgesetz) Assozitivgesetz der Addition (Verbindungsgesetz) Vorzeichenregeln Vorzeichen vor Klmmern Definition der Multipliktion

Mehr

1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche...

1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche... .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Theorie. Lernziele............................................ Repetition............................................3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I.......................

Mehr

Vorbereitung auf die Mathematik Schularbeit

Vorbereitung auf die Mathematik Schularbeit Vorbereitung uf die Mthemtik Schulrbeit 7. März 0 Alles Gute ll deinen Bemühungen, KL, KV Viel Erfolg! . Schulrbeit: MATHEMATIK KL.: M3b/I. - S. Mi, 7.03.0 ) Zeichne ds Prllelogrmm us den Bestimmungsstücken

Mehr

5 Gleichungen (1. Grades)

5 Gleichungen (1. Grades) Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes) Gleichungen (. Grdes). Einführung Betrchtet mn und (, Q) und vergleicht sie miteinnder, so git es Möglichkeiten:. > ist grösser ls. = ist gleich gross wie. < ist kleiner

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

Grundwissen Klasse 10

Grundwissen Klasse 10 Grundwissen Klsse 0 I. Funktionen. Potenzfunktionen und gnzrtionle Funktionen (Mthehelfer : S.56-57) - Grphen von Potenzfunktionen mit gnzzhligen Eponenten zeichnen - Grphen von gnzrtionlen Funktionen

Mehr

1. Grundlagen. 2. Summenzeichen, Produktzeichen. 3. Fakultät, Binomialkoeffizient. 4. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 5. Elementare Funktionen

1. Grundlagen. 2. Summenzeichen, Produktzeichen. 3. Fakultät, Binomialkoeffizient. 4. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 5. Elementare Funktionen Inhlte Brückenkurs Mthemtik Fchhochschule Hnnover SS 00 Dipl.-Mth. Corneli Reiterger. Grundlgen. Summenzeichen, Produktzeichen. Fkultät, Binomilkoeffizient. Potenzen, Wurzeln, Logrithmen. Elementre Funktionen

Mehr

RESULTATE UND LÖSUNGEN

RESULTATE UND LÖSUNGEN TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthemtik Kpitel 3.2 Alger Grundrechenrten RESULTATE UND LÖSUNGEN Verfsser: Hns-Rudolf Niedererger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausge:

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-CHSE Wie wir die Fläche zwischen einer Funktion und der -chse erechnen, hen wir rechentechnische ereits geklärt.

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS

Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS Gemeinsme Abiturufgbenpools der Länder Aufgbensmmlung Aufgbe für ds Fch Mthemtik Kurzbeschreibung Anforderungsniveu Prüfungsteil Schgebiet digitles Hilfsmittel erhöht B Anlysis CAS 1 Aufgbe 1 Gegeben ist

Mehr

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist.

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist. 6.1 Grundwissen Mthemtik Algebr Klsse 6 Teilbrkeitsregeln Definition und Regeln Teilbrkeit durch 2: Eine Zhl ist durch 2 teilbr, wenn die Endziffer gerde ist. Teilbrkeit durch 3: Eine Zhl ist durch 3 teilbr,

Mehr

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können

Mehr

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren!

Mehr

Analysis mit dem Voyage 1

Analysis mit dem Voyage 1 Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik Grundsätzliche Vorussetzungen für die Fchoberschule b Klsse im Fch Mthemtik Zum Eintritt in die Fchoberschule ist der mittlere Bildungsbschluss Vorussetzung. Ds heißt, im Fch Mthemtik werden die, bis zur

Mehr

Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Gleichungen und Funktionen Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter

Mehr

von f im Punkt P ( 2 4) x x x Hilfsmittelfreier Teil. Beispielaufgabe 1 zur Analysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung

von f im Punkt P ( 2 4) x x x Hilfsmittelfreier Teil. Beispielaufgabe 1 zur Analysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x + x x. Die zeigt den Grphen der Funktion f. () Berechnen ie lle Nullstellen der Funktion f. ()

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe

Mehr

Exponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg

Exponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg Übungen zum Kurs Eponentilgleichungen Eponentilgleichungen 70 Eponentilgleichungen mit Ergebnissen und usführlichen Lösungsweg 7.technisch verbesserte Auflge vom.09.007 (Sonderzeichen wurden teilweise

Mehr

Teil 1: Rechenregeln aus der Mittelstufe. Allgemeine Termumformungen

Teil 1: Rechenregeln aus der Mittelstufe. Allgemeine Termumformungen Teil 1: Rechenregeln us der Mittelstufe Allgemeine Termumformungen Kommuttivgesetz: Bei reinen Produkten oder Summen ist die Reihenfolge egl x y z = z y x = x z y =.. x+y+z = z+y+x = x+z+y =.. Ausklmmern:

Mehr

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele Grundwissen Klsse 9 Die Menge der reellen Zhlen Die Umkehrung des Qudrierens wird für nicht negtive Zhlen ls Ziehen der Wurzel oder Rdizieren ezeichnet. Die Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ) ist dei die

Mehr

2. Flächenberechnungen

2. Flächenberechnungen Anlysis Integrlrechnung. Flächenberechnungen.. Die Flächenfunktion ) Flächenfunktionen ufzeichnen Skizziere zur gegebenen Funktion diejenige Funktion, welche die Fläche unterhlb der Funktionskurve misst.

Mehr

Beispiel-Abiturprüfung

Beispiel-Abiturprüfung Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion

KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Aufgbenstellungen Aufgbe.. Wir untersuchen den Flächeninhlt unter der lineren Funktion f(t) = t + im Intervll [; x]. Kurz: F (x) = x f(t) dt Erkläre elementr, insbesondere

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,

Mehr

Apsel/Wende Probeabitur LK Mathematik 2004/2005 Seite 2

Apsel/Wende Probeabitur LK Mathematik 2004/2005 Seite 2 Apsel/Wende Probebitur LK Mthemtik 004/005 Seite Hinweise für Schüler Aufgbenuswhl Von den vorliegenden Aufgben sind die Pflichtufgben P und P zu lösen. Von den Whlufgben W3 bis W6 sind Aufgben uszuwählen

Mehr

R. Brinkmann Seite f 2 ( x)

R. Brinkmann  Seite f 2 ( x) R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 08.0.0 Löungen linere Funktionen Teil XII Ergebnie: E Aufgbe f = + ;P( );D = { 0 6} Die Gerde mit der Funktion f () wird von einer zweiten Gerden mit der Funktion

Mehr

6c 4b 5a. 6c 4b + 5a.

6c 4b 5a. 6c 4b + 5a. Bltt Nr.0 Mthemtik Online - Übungen Bltt Klsse Bltt Kpitel Terme Addition Terme und Gleichungen Nummer: 0 0000 Kl: X Grd: Zeit: 0 Quelle: eigen W Aufgbe..: Fssen Sie den folgenden Bruchterm zusmmen und

Mehr

Der Gauß - Algorithmus

Der Gauß - Algorithmus R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 Der Guß - Algorithmus Der Algorithmus von Guss ist ds universelle Verfhren zur Lösung beliebiger linerer Gleichungssysteme. Einführungsbeispiel: 7x+ x 5x = Drei

Mehr

Das Bogenintegral einer gestauchten Normalparabel

Das Bogenintegral einer gestauchten Normalparabel Ds Bogenintegrl einer gestuchten Normlprbel Jn Günther und Luks Vrnhorst Im Mthemtikleistungskurs der Jhrgngsstufe sind wir uf folgende Aufgbe gestoÿen: Bestimmen Sie eine Stmmfunktion von f(x) + x mit

Mehr

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2 R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise

Mehr

1 3 Z 1. x 3. x a b b. a weil a 0 0. a 1 a weil a 1. a ist nicht erlaubt! 5.1 Einführung Die Gleichung 3 x 9 hat die Lösung 3.

1 3 Z 1. x 3. x a b b. a weil a 0 0. a 1 a weil a 1. a ist nicht erlaubt! 5.1 Einführung Die Gleichung 3 x 9 hat die Lösung 3. 5 5. Einführung Die Gleichung x 9 ht die Lösung. x 9 Z 9 x Die Gleichung x ht die Lösung. x Z x Definition Die Gleichung x, mit, Z und 0, ht die Lösung: x x Ist kein Vielfches von, so entsteht eine neue

Mehr

Einführung in das Rechnen mit Zahlen. (elementare Algebra)

Einführung in das Rechnen mit Zahlen. (elementare Algebra) Ausgbe 2008-05 Einführung in ds Rechnen mit Zhlen (elementre Algebr) Algebr ist ein Teilgebiet der Mthemtik und beschäftigt sich mit der Verknüpfung von Zhlen durch Rechenopertionen 1. Rechenregeln der

Mehr

Aufgaben: 1. Gib eine Gleichung der Ebene E an, die durch A in Richtung von u und v verläuft.

Aufgaben: 1. Gib eine Gleichung der Ebene E an, die durch A in Richtung von u und v verläuft. Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Die Lge einer Ebene E im Rum is durch drei Größen eindeuig fesgeleg: X. Einen Punk A, durch den die Ebene verläuf..

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

G2 Grundlagen der Vektorrechnung

G2 Grundlagen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G. Die Vektorräume R und R Vektoren Beispiel: Physiklische Größen wie Krft und Geschwindigkeit werden nicht nur durch ihre Mßzhl und ihre Einheit,

Mehr

Umstellen von Formeln und Gleichungen

Umstellen von Formeln und Gleichungen Umstellen von Formeln und Gleihungen. Ds Zusmmenfssen von Termen edeutet grundsätzlih ein Ausklmmern, uh wenn mn den Zwishenshritt niht immer ufshreit. 4 6 = (4 6) =. Steht eine Vrile, nh der ufgelöst

Mehr

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen

Mehr

Kaufmännische Berufsmatura Als Resultate gelten nur eindeutig gekennzeichnete Zahlen, Mengen oder Sätze

Kaufmännische Berufsmatura Als Resultate gelten nur eindeutig gekennzeichnete Zahlen, Mengen oder Sätze Kufmännische Berufsmtur 009 Serie : Lösungen Serie Serie - Lösungen Prüfungsduer: Mx. zhl: 50 Minuten 00 Bewertungshinweise:. Mehrfchlösungen sind nicht gestttet.. Als Resultte gelten nur eindeutig gekennzeichnete

Mehr

Grundwissen Jahrgangsstufe 7

Grundwissen Jahrgangsstufe 7 GM 7.1 chsensymmetrie Grundwissen Jhrgngsstufe 7 Definition Zwei unkte liegen symmetrisch bezüglich einer chse, wenn ihre Verbindungsstrecke von der chse senkrecht hlbiert wird. M und liegen symmetrisch

Mehr

Logarithmen und Logarithmengesetze

Logarithmen und Logarithmengesetze R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 9.. Logrithmen und Logrithmengesetze Wir betrhten die Gleihung 5 = 5 Auf der linken Seite steht eine Potenz mit der Bsis 5 und dem Eponenten. Auf der rehten Seite

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

Mathematik schriftlich

Mathematik schriftlich WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe

Mehr

Rechnen mit Termen. 1. Berechne das Volumen und die Oberfläche. 4. Löse die Klammern auf und fasse zusammen: a) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7a(1 b)+5b(2 a)

Rechnen mit Termen. 1. Berechne das Volumen und die Oberfläche. 4. Löse die Klammern auf und fasse zusammen: a) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7a(1 b)+5b(2 a) Rechnen mit Termen 1. Berechne ds Volumen und die Oberfläche. 2. 3 3 7 2 4b 3. 5 4 8 b 4. Löse die Klmmern uf und fsse zusmmen: ) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7(1 b)+5b(2 ) c) 4b( 3b) 4b( 2 3) 5. Löse die Gleichungen:

Mehr

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen. Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten

Mehr

mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 12 Nichttechnik - A II - Lösung

mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 12 Nichttechnik - A II - Lösung mthphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule Mthemtik Nichttechnik - A II - Lösung Teilufgbe. Der Grph G f einer gnzrtionlen Funktion f dritten Grdes besitzt den Extrempunkt E( / ), 7 schneidet

Mehr

Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:

Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente: Inhlt: 1. Die Bedeutung von Vriblen....................................... 2. Addition und Subtrktion gleichrtiger Terme............................ 3. Multipliktion und Division von einfchen Termen.........................

Mehr

Der Koeffizient wird an erster Stelle geschrieben, Potenzen gleicher Variablen werden zusammengefasst, Variablen werden alphabetisch geordnet.

Der Koeffizient wird an erster Stelle geschrieben, Potenzen gleicher Variablen werden zusammengefasst, Variablen werden alphabetisch geordnet. 5 Polynome 5.1 Definitionen Definition 8 Monom Ein Monom ist ein Produkt us einer reellen Zhl dem Koeffizienten) und beliebig vielen ntürlichen Potenzen von Vriblen dem Nmen des Monoms). Ist ds Monom nur

Mehr

Ein Kluger denkt so viel, dass er keine Zeit zum Reden hat. Ein Dummer redet so viel, dass er keine Zeit zum Denken hat. (Anonym)

Ein Kluger denkt so viel, dass er keine Zeit zum Reden hat. Ein Dummer redet so viel, dass er keine Zeit zum Denken hat. (Anonym) Ein Kluger dent so viel, dss er eine Zeit zum Reden ht. Ein Dummer redet so viel, dss er eine Zeit zum Denen ht. (Anonym) 6 Gnzrtionle Funtionen 6 Gnzrtionle Funtionen Wir wollen nun uch Funtionen betrchten,

Mehr

Wirsberg-Gymnasium Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe. -fache

Wirsberg-Gymnasium Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe. -fache Wirsberg-Gymnsium Grundwissen Mthemtik. Jhrgngsstue Lerninhlte Fkten-Regeln-Beispiele Proportionlität Gehört bei einer Zuordnung zum r-chen der einen Größe ds r-che der nderen Größe, so spricht mn von

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben Grundwissen Mthemtik Klsse 9 Übungsufgben Rechnen mit Wurzeln:. Rdiziere so weit wie möglich! 7 8 b c d) e) ( b ) f) b c ( ) g) b b. Berechne! ( 8 8 )( 7 ) 7 9 9. Mche den Nenner rtionl und vereinfche

Mehr

Orientierungstest Mathematische Grundlagen

Orientierungstest Mathematische Grundlagen Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls

Mehr

Reader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11

Reader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11 Reder für den Einstz in der Wiederholungsphse im Mthemtikunterricht der Jhrgngsstufe Anhng zur schriftlichen Husrbeit zur Zweiten Sttsprüfung für ds Lehrmt n öffentlichen Schulen von Andres Rschke Vorwort

Mehr

Darstellung von Ebenen

Darstellung von Ebenen Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor

Mehr

Orientierungstest Mathematische Grundlagen

Orientierungstest Mathematische Grundlagen Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis 4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der

Mehr

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor) Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, christin.mosch@uni-ulm.de 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art

Mehr

Algebra - Lineare Abbildungen

Algebra - Lineare Abbildungen Algebr - Linere Abbildungen oger Burkhrdt (roger.burkhrdt@fhnw.ch) 8 Hochschule für Technik . Der Vektorrum Hochschule für Technik Hochschule für Technik 4 Vektorrum Definition: Ein Vektorrum über einen

Mehr

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( ) A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.

Mehr

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

Definition: Eine Folge, bei welcher der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich gross ist, heisst geometrische Folge (GF).

Definition: Eine Folge, bei welcher der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich gross ist, heisst geometrische Folge (GF). 7. Geometrische Folgen (exponentielles Wchstum) Beispiele: 2, 6, 8, 54, 62,... = 6= 2 8 8, -4, 2, -,,,... =, ds Vorzeichen wechselt b (lternierende Folge), -,, -,... = Definition: Eine Folge, bei welcher

Mehr