Mehrdimensionale Analysis

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1 KAPITEL IV Mehrdimensionale Analsis 15 Mehrdimensionale Differentialrechnung Wir wollen in diesem Abschnitt einige Aspekte der Differentialrechnung von Abbildungen von R n nach R oder nach R m ansprechen Naturgemäß müssen wir uns dabei sehr knapp fassen Bemerkung 151 Koordinaten auf R n ) DiePunkteim R n sindvektorenderform 1,, n ) t Wennwirunsdie i variabel denken, so können wir diese als Koordinaten der Punkte verwenden Wenn wir in R 2 arbeiten, werden wir statt der Koordinaten 1 und 2 meist und verwenden Ebenso werden wir im R 3 meist die Koordinaten, und z verwenden statt 1, 2 und 3 Eine Funktion hängt dann von n Veränderlichen ab Eine Abbildung f : R n R : 1,, n ) t f 1,, n ) f : R n R m : 1,, n ) t f 1 1,, n ),,f m 1,, n ) ) hat zudem m Komponentenfunktionen f 1,,f m, die jeweils von n Koordinaten abhängen Beispiel 152 a Die Funktion f : R 2 R :,) t 2 cos ) ist ein Beispiel für eine Funktion von R 2 nach R, die von den Koordinaten und abhängt b Die Abbildung f : R 2 R :,) t +, ) t ist ein Beispiel für eine Abbildung von R 2 nach R 2 Sie hat die Komponentenfunktionen und f 1 : R 2 R :,) t + f 1 : R 2 R :,) t 111

2 112 IV MEHRDIMENSIONALE ANALYSIS c Ist A Matm n, R) eine m n-matri, so definiert das Produkt von A mit dem Koordinatenvektor 1,, n ) t eine Abbildungsvorschrift für eine Abbildung von R n nach R m Solche Abbildungen heißen linear und sind besonders einfach ZB ) A definiert die Abbildung f : R 3 R 2 : z z Bemerkung 153 Partielle Differenzierbarkeit) Hängt eine Funktion f : R n R von mehreren Veränderlichen ab, so kann man alle bis auf eine festhalten und nur die eine variieren Dann wird daraus eine Funktion, die nur von der einen Veränderlichen i abhängt Für diese kann man die Frage aufwerfen, ob sie bezüglich der einen Variablen i differenzierbar ist und man kann ggf die Ableitung nach i berechnen, indem man alle anderen Variablen wie Konstanten behandelt Man erhält dann die sogenannte partielle Ableitung nach i, für die die folgenden Bezeichnungen üblich sind f i D i f f i i f Wir erhalten auf dem Weg n partielle Ableitungen, die man kompakter weise in einem Vektor sammelt, dem sogenannten Gradienten von f ) f f gradf) f,, D 1 f,,d n f) 1 n Bei einer Abbildung f : R n R m mit Komponentenfunktionen f 1,,f m können wir das obige Verfahren für jede Komponentenfunktion machen und erhalten so insgesamt m dieser Vektoren, die wir der Übersichtlichkeit halber als Zeilen in eine Matri schreiben, die sogenannte Jacobi-Matri von f Jf : f 1 1 f 1 2 f 2 1 f 2 2 f m 1 f m 2 f 1 n f 2 n f m n ) D 1 f 1 D 2 f 1 D n f 1 D 1 f 2 D 2 f 2 D n f 2 D 1 f m D 2 f m D n f m Für ein festes a R n ist definiert die Jacobi-Matri Jfa) gemäß Beispiel 152 eine lineare Abbildung von R n nach R m Aus dieser ergibt sich die lineare Approimation an f als R n R m : fa)+jfa) a), eine Formel, die uns an die Tangentengleichung und damit an die lineare Appriimation im Eindimensionalen erinnert

3 15 MEHRDIMENSIONALE DIFFERENTIALRECHNUNG 113 Definition 154 Partielle Differenzierbarkeit) Eine Abbildung f : R n R m heißt partiell differnzierbar auf R n, wenn die Komponentenfunktionen von f nach allen Koordinaten differenzierbar sind Die Jacobi- Matri von f heißt dann auch die Ableitung von f Insbesondere ist also für eine Funktion von R n nach R der Gradient von f die Ableitung von f Beispiel 155 a Die Funktion in Beispiel 152 ist partiell differenzierbar auf R 2 mit der Ableitung gradf),) 2 cos) 2 sin), 3 sin) ) b Die Abbildung in Beispiel 152 ist ebenfalls partiell differenzierbar auf R 2 mit der Ableitung ) 1 1 Jf,) Bemerkung 156 Höhere Ableitungen) Wenn wir eine Funktion f : R n R haben, die partiell differenzierbar ist, so können wir ihren Gradienten als Abbildung f gradf) : R n R n : 1,, n ) 1,, n ),, f ) 1,, n ) 1 2 auffassen Wenn die Komponentenfunktionen wieder partiell differenzierbar sind, erhalten wir als Ableitung dieser Abbildung eine n n-matri, die sogenannte Hesse- Matri von f ) 2 f H f : i j i,j1,,n D 1 D 1 f D 1 D 2 f D 1 D n f D 2 D 1 f D 2 D 2 f D 2 D n f D n D 1 f D n D 2 f D n D n f Diese Matri betrachtet man als die zweite Ableitung von f Sind die Komponentenfunktionen dieser Matri stetige Funktionen, so nennen wir f zweifach stetig differenzierbar Satz 157 Schwarz) Ist f : R n R zweifach stetig differenzierbar, so gilt für alle 1 i,j n D i D j f D j D i f Das heißt, die Hesse-Matri H f ist eine smmetrische Matri Beispiel 158 Die Polnomfunktion f : R 2 R :,) t ist partiell differenzierbar auf R 2 Ihre partiellen Ableitungen D 1 f : R 2 R :,) D 1 f,) f,)

4 114 IV MEHRDIMENSIONALE ANALYSIS und D 2 f : R 2 R :,) D 2 f,) f,) sindebenfallspartiell differenzierbar auf R 2 Wir könnenalsoauch vondiesen wieder die partiellen Ableitungen bilden und erhalten: ) ) D 1 D 1 f,) D 2 D 1 f,) H f,) D 1 D 2 f,) D 2 D 2 f,) Es gilt also wie im Satz von Schwartz behauptet D 2 D 1 f,) 6 2 D 1 D 2 f,) Bemerkung 159 Etrema) Wir wollen nun analog zur eindimensionalen Analsis ein notwendiges und ein hinreichendes Kriterium dafür definieren, daß eine Funktion f : R n R ein lokales Minimum oder Maimum in einem Punkt a R n hat Die Definition der Begriffe Etremum, lokales Minimum und lokales Maimum ist dabei analog zum Eindimensionalen gebildet werden ZB: f hat in a ein lokales Maimum, wenn es ein δ > 0 gibt, so daß f) fa) für alle Punkte R n mit Abstand kleiner als δ von a gilt Satz 1510 Notwendige Bedingung für Etremstellen) Ist f : R n R differenzierbar und ist a R n eine Etremstelle von f, so ist gradf)a) 0,,0), dh die Ableitung an einer Etremstelle ist null Satz 1511 Hinreichende Bedingung für Etremstellen) Es sei f : R n R zweifach stetig differenzierbar und gradf)a) 0,,0) a Ist die Hesse-Matri H f a) positiv definit, so hat f in a ein lokales Minimum b Ist die Hesse-Matri H f a) negativ definit, so hat f in a ein lokales Maimum c Ist die Hesse-Matri H f a) indefinit, so ist a ein Sattelpunkt von f und keine Etremstelle Beispiel 1512 a Die Funktion hat den Gradienten f : R 2 R : Df) 2 1,2 2 ), so daß 0,0) t der einzige kritische Punkt ist In diesem Punkt ist die Hesse-Matri ) 2 0 H f 0,0) 0 2

5 15 MEHRDIMENSIONALE DIFFERENTIALRECHNUNG 115 positiv definit Also ist der Punkt 0,0) t ein isoliertes lokales Minimum von f siehe Abbildung 1) Es ist in der Tat sogar ein globales Minimum, da f) > 0 f0,0) für alle 0,0)t 1 2 Abbildung 1 Das isolierte Minimum von b Die Funktion hat den Gradienten f : R 2 R : Df) 2 1, 2 2 ), so daß wieder 0,0) t der einzige kritische Punkt ist In diesem Punkt ist die Hesse-Matri ) 2 0 H f 0,0) 0 2 indefinit Satz 1511 sagt also, daß 0,0) t keine Etremstelle ist, sondern, daß f in 0,0) t einen Sattelpunkt hat siehe Abbildung 2) 1 2 Abbildung 2 Der Sattelpunkt von Bemerkung 1513 Umkehrsatz für stetig differenzierbare Funktionen) Ist eine Funktion f : a,b) R stetig differenzierbar mit f ) 0 für alle a,b),soistdiestetigefunktionf : a,b) RwegendesZwischenwertsatzes 812 entweder stets positiv oder stets negativ Wegen des Kriteriums für Monotonie 919 ist die Funktion f dann aber streng monoton und wegen des Umkehrsatzes für streng monotone Funktionen 819 besitzt f eine Umkehrfunktion f 1 : c,d) a,b)

6 116 IV MEHRDIMENSIONALE ANALYSIS Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion 99 sichert uns zu, daß diese sogar differenzierbar ist, und wir können zudem die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen, ohne diese wirklich zu kennen; für f) gilt nämlich f 1 ) ) 1 f ) f )) 1 15) KannmandieseAussagenfürAbbildungenvon R n nach R n verallgemeinern? Global nicht, aber lokal wohl! Das ist die Aussage des wichtigen Satzes über die Umkehrfunktion Satz 1514 Satz über die Umkehrabbildung) Ist f : R n R n eine stetig differenzierbare Funktion mit detjfc)) 0, dann besitzt f auf einer kleinen Umgebung von c eine Umkehrabbildung f 1 Diese ist zudem stetig differenzierbar mit Jf 1 )fc)) Jfc) ) 1, dh die Ableitung der Umkehrabbildung im Punkt fc) ist die Inverse der Ableitung von f in c Beispiel 1515 Die Abbildung ist stetig differenzierbar mit Ableitung f : R 2 R 2 :,) t +,+2) t Jf,) Für die Determinante der Ableitung in jedem Punkt,) t gilt also det Jf,) ) ) 1 1 det Der Satz über die Umkehrabbildung sichert uns also lokal in jedem Punkt die Eistenz einer stetig differenzierbaren Umkehrabbildung deren Ableitung Jf,) ) ) ) Die Ableitung von f und von f 1 hängen also beide gar nicht von der Stelle,) t ab, an der sie berechnet werden Das ist nicht verwunderlich, denn die Abbildung f ist eine lineare Abbildung, die als Produkt mit der Matri Jf, ) geschrieben werden kann f,) + +2 ) ) ) )

7 15 MEHRDIMENSIONALE DIFFERENTIALRECHNUNG 117 Da die Matri invertierbar ist, besitzt f in diesem Fall sogar global eine Umkehrfunktion, die durch die Inverse der Matri dargestellt werden kann als f 1,) ) 1 ) ) ) 2 ) Die Umkehrabbildung ist also wieder eine lineare Abbildung und ihre Ableitung damit gerade die Matri, die in der Abbildungsvorschrift verwendet wurde Letzteres gilt allgemein für lineare Abbildungen Beispiel 1516 Polarkoordinaten) Wir betrachten die Polarkoordinatenabbildung f : 0, ) R R 2 : r,θ) t r cosθ),r sinθ) )t Diese ist stetig differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich und die Ableitungsdeterminante det Dfr,θ) ) cosθ) r sinθ) sinθ) r cosθ) r sin 2 θ)+cos 2 θ) ) r > 0 ist stets positiv Global auf ihrem Definitionsbereich kann die Abbildung keine Umkehrabbildung besitzen, da fr,θ) fr,θ+2π) für alle r, θ) im Definitionsbereich f besitzt deshalb global keine Umkehrabbildung Der Satz über die Umkehrabbildung 1514 sichert uns aber lokal in jedem Punkt r,θ) die Eistenz einer stetig differenzierbaren Umkehrabbildung zu In diesem Beispiel wäre die Menge aller Punkte, die Abstand kleiner als π von r,θ) haben, 2 eine zulässige Umgebung, auf der die Umkehrabbildung eistiert

8 118 IV MEHRDIMENSIONALE ANALYSIS Wir können zudem die Ableitung der Umkehrabbildung berechnen, ohne die Abbildungsvorschrift 1 der Umkehrabbildung zu kennen, nämlich als Df 1 fr,θ) ) ) 1 ) cosθ) r sinθ) 1 sinθ) r cosθ) r r cosθ) r sinθ) sinθ) cosθ) Aufgabe 1517 Berechne den Gradienten und die Hesse-Matri für die folgenden Funktionen f : R 3 R: a f,,z) z 2 b f,,z) 3 epz)+ 3 c f,,z) 2 cosz) Aufgabe 1518 Berechne die Jacobi-Matri für die folgenden Abbildungen f : R 2 R 3 : a f,) +3,z,z 2 ) b f,) epz), 2 z 2,z ) Aufgabe 1519 FürA Matm n, R)seif : R n R m alsmultiplikationdeskoordinatenvektors 1,, n ) t mit A definiert Berechne die Ableitung Jf 1,, n ) Alternativ kann man die Aufgabe für die Abbildung f : R 3 R 2 : lösen z ) 1 Im vorliegenden Beispiel kann man eine geschlossene Formel für die Umkehrabbildung angeben Diese enthält aber den Arcustangens, dessen Abbildungsvorschrift wir auch nicht kennen es sei denn, Aufgabe 1024 wurde erfolgreich gelöst Um die Umkehrabbildung zu berechnen, geht man wie folgt vor: man kann einen Punkt,) t R 2 mit > 0 in Polarkoordinaten r,θ) angeben mit r,) t z und Die Funktion tanθ) sinθ) cosθ) f : 0, ) π 2, π 2) 0, ) R hat also die Umkehrabbildung f 1 : 0, ) R 0, ) π 2, π 2) :,) t 2 + 2,arctan ) ) Wir überlassen es dem Leser, die Ableitung im Punkt fr, θ) mit Hilfe dieser Formel nachzurechnen

9 16 MEHRDIMENSIONALE INTEGRALRECHNUNG 119 Aufgabe 1520 Bestimme alle lokalen Etrema und Sattelpunkte der Funktion f : R 2 R :,) t Aufgabe 1521 Bestimme alle lokalen Etrema und Sattelpunkte der folgenden Funktion f : R\{0}) R\{0}) R :,) t Mehrdimensionale Integralrechnung Wir wollen in diesem Abschnitt einige Aspekte der Integralrechnung von Abbildungen von R n nach R oder nach R ansprechen Unser Ziel dabei ist es, zu erläutern, wie man einfache mehrdimensionale Integrale als Mehrfachintegrale berechnen kann Bemerkung 161 Idee des mehrdimensionalen Riemann-Integrals) Um das Integral einer Funktion f : [a,b] R im Eindimensionalen zu definieren, haben wir Zerlegungen des Intervalls[a, b] betrachtet sowie Ober- und Untersummen bezüglich dieser Zerlegungen Die natürliche Verallgemeinerung des Intervalls im R n ist der n-dimensionale Quader [a,b] : [a 1,b 1 ] [a n,b n ] { 1,, n ) t a i i b i }, für den wir dieselbe Bezeichnung verwenden, wenn a a 1,,a n ) t und b b 1,,b n ) t ist b a 2 20 a b 1 Abbildung 3 Zerlegung eines 2-dimensionalen Quaders Man kann dann analog Ober- und Untersummen bilden, indem man auf einem Teilquader das Supremum bzw das Infimum der Funktionswerte mit dem Volumen des Teilquaders multipliziert und summiert Die Theorie der eindimensionalen Integration geht dann eins zu eins durch Allerdings war schon im Eindimensionalen die Definition des Integrals ungeeignet um Integrale wirklich zu berechnen Dort hatten wir statt dessen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der die Integration auf die Bestimmung einer Stammfunktion zurück geführt hat Für

10 120 IV MEHRDIMENSIONALE ANALYSIS Funktionen von R n nach R gibt es leider keinen analogen Stammfunktionsbegriff Dafür haben wir aber den Satz von Fubini, der es uns erlaubt, die Berechnung eines n-dimensionalen Integrals auf die Berechnung von n eindimensionalen Integralen zurück zu führen, für die wir dank der Stammfunktionen oft wissen, was zu tun ist! Satz 162 Der Satz von Fubinie) Es seien a,b R n mit a < b und f : [a,b] R stetig Dann ist bn b1 f) d f 1,, n ) d 1 d n a n a 1 [a,b] Zudem darf die Reihenfolge der Integration auf der rechten Seite beliebig vertauscht werden Beispiel 163 Wir wollen als einfaches Beispiel das Integral der Funktion f : [0,1] [0,1] R : auf dem Quader Q [0,1] [0,1] berechnen: 1 1 f) d d 1 d 2 Q d Bemerkung 164 Normalbereiche) Im Eindimensionalen waren die Intervalle und Vereinigungen von Intervallen die einzigen wirklich interessanten Teilmengen, so daß es für die Integration reichte, zu verstehen, wie man über Intervallen integriert Im Mehrdimensionalen gibt es aber viele interessante Mengen, die keine Quader sind und über denen es interessant wäre das Integral einer Funktion berechnen zu können: zb über Kreisen oder Dreiecken Der Einheitskreis um den Ursprung ist die Menge der Punkte K {,) t } {,) t 1 1, } und das Dreieck mit den Eckpunkten 0,0) t, 1,0) t und 1,1) t ist die Menge der Punkte Mengen der Gestalt D {,) t 0 1,0 } 1 0 d 2 B {,) t a b,ψ) ϕ)} 16) für stetige Funktionen ψ und ϕ auf [a, b] nennt man Normalbereiche Für Normalbereiche haben wir wieder einen entsprechenden Satz von Fubini, der das mehrdimensionale Integral auf mehrere eindimensionale zurück führt Zwar gilt dies alles auch im R n, um die Notation übersichtlich zu halten, beschränken wir uns hier aber auf den R 2

11 16 MEHRDIMENSIONALE INTEGRALRECHNUNG ϕ 1 ψ 1 1 Abbildung 4 Normalbereiche Satz 165 Der Satz von Fubini für Normalbereiche) Ist B ein Normalbereich wie in 16) und ist f : B R stetig, so gilt b ϕ) f) d f,) d d Beispiel 166 Die Menge B a ψ) B {,) t 1 1, 2 2 2} ist der in Abbildung 5 skizzierte Normalbereich Wir können nun mit Hilfe des Satzes 1 1 Abbildung 5 Der Normalbereich aus Beispiel 166 von Fubini 165 die stetige Funktion über B integrieren: d,) B f : R 2 R :,) t d d d d Bemerkung 167 Transformationssatz für Integrale) Neben dem Satz von Fubini gibt es als weiteres wichtiges Hilfsmittel, mehrdimensionale Integrale zu berechnen, den Transformationssatz für Integrale Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Substitutionsregel ϕb) ϕa) fz) dz b a fϕ)) ϕ ) d

12 122 IV MEHRDIMENSIONALE ANALYSIS Im Eindimensionalen mußte man für die Substitution z ϕ) nur voraussetzen, daß ϕ stetig differenzierbar ist Im Mehrdimensionalen reicht das nicht Die Grundidee hier ist, daß die Substitution z ϕ) im wesentlichen eine Koordinatentransformation des einen Integrationsbereiches auf den anderen sein sollte Als tpisches Beispiel denken wir dabei an die Polarkoordinaten ϕ : [0,R] [0,2π] R 2 : r,θ) r cosθ),r sinθ) ), das das Rechteck [0,R] [0,2π] in den Kreis transformiert θ 2π B ϕ ϕb) r 0 r r 0 Abbildung 6 Transformation eines Rechtecks auf einen Kreis Wenn man sich dabei auf das kartesische Produkt der offenen Intervalle beschränkt, so ist ϕ stetig differenzierbar mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung In diesem Sinne ist ϕ eine Koordinatentransformation auf dem kartesischen Produkt der offenen Intervallen Auf dem Rand des Rechtecks stimmt das nicht ganz, aber der Rand ist vernachlässigbar wenig Für solche Situationen läßt sich die Substitutionsregel wie folgt verallgemeinern, Q den Quader Q ohne seinen Rand bezeichnet Satz 168 Transformationssatz für Integrale auf Quadern) ϕ : Q R n sei stetig differenzierbar auf dem Quader Q im R n mit detjϕ)) 0 für alle Q und ϕ besitze auf Q eine Umkehrabbildung Ferner sei f : ϕq) R stetig, dann gilt fz) dz fϕ)) detjϕ)) d ϕq) Beispiel 169 Polarkoordinaten) Die Polarkoordinatenabbildung eingeschränkt auf die offene Menge Q ϕ : R 2 R 2 : r,θ) t r cosθ),r sinθ) ) U 0, ) 0,2π)

13 16 MEHRDIMENSIONALE INTEGRALRECHNUNG 123 in R 2 ist eine Koordinatentransformation mit det Dϕr,θ) ) r > 0 für alle r 0, ) Wir wählen nun ein abgeschlossenes, achsenparalleles Rechteck B [r 1,r 2 ] [θ 1,θ 2 ] Das Bild von B unter ϕ ist dann ein Ausschnitt aus einem Kreisring, wie in Abbildung 7 dargestellt Für eine auf ϕb) stetige Funktion gilt dann θ θ 2 θ 1 r 1 r 2 B r ϕ θ 2 θ 1 ϕb) r 1 r 2 Abbildung 7 Transformation eines Rechtecks auf einen Kreisringausschnitt f,) d,) f ϕr,θ) ) Dϕr,θ) dr,θ) ϕb) B θ2 r2 θ 1 r 1 fr cosθ),r sinθ)) r dr dθ Insbesondere können wir damit den Inhalt des Kreisbogenausschnitts berechnen: 17) V ϕb) ) θ2 r2 θ 1 r dr dθ r2 2 r2 1 r 1 2 θ 2 θ 1 ) Wegen des Transformationssatzes für Integrale auf Quadern 168 gilt die Transformationsformel 17) auch auf dem Quader B [0,r 0 ] [0,2π], und wir können somit den Inhalt eines Kreises mit Radius r 0 ausrechnen als ϕb) {,) t r 2 0 } VϕB)) Aufgabe 1610 Berechne das folgende Integral: r0 2π 0 0 r dθ dr π r 2 0 [0, π 2 ] [0,π 2 ] sin+) d,)

14 124 IV MEHRDIMENSIONALE ANALYSIS Aufgabe 1611 Berechne das folgende Integral: [0,1] [0,1] [0,1] z 2 d,,z) Aufgabe 1612 Sei B R 2 der Normalbereich im ersten Quadranten zwischen der Geraden und der Parabel 2 Berechne B d,) Aufgabe 1613 Berechne das Volumen des Tetraeders, der von den drei Koordinatenachsen und der Ebene z 2 2 begrenzt wird Aufgabe 1614 Zlinderkoordinaten) Berechne die Determinante der Ableitung der Zlinderkoordinatenabbildung ϕ : R 3 R 3 : r,θ,z) r cosθ),r sinθ),z ) und zeige, daß sie auf dem Quader Q [0, ] [0,2π] R ohne den Rand stets positiv ist und daß ϕ dort eine Umkehrabbildung besitzt Verwende dann den Transformationssatz, um das Volumen des Zlinders zu berechnen Z {,,z) t R r 2 0,0 z z 0} z θ r Abbildung 8 Zlinderkoordinaten Aufgabe 1615 Kugelkoordinaten) Berechne die Determinante der Ableitung der Kugelkoordinatenabbildung ϕ : R 3 R 3 : r,θ,ϑ) r cosθ) cosϑ),r sinθ) cosϑ),r sinϑ) ) und zeige, daß sie auf dem Quader Q [0, ] [0,2π] [ π 2, π 2 ]

15 16 MEHRDIMENSIONALE INTEGRALRECHNUNG 125 ohne den Rand stets positiv ist und daß ϕ dort eine Umkehrabbildung besitzt Verwende dann den Transformationssatz, um das Volumen der Kugel zu berechnen K {,,z) t R z 2 r 2 0} z θ ϑ r Abbildung 9 Kugelkoordinaten

16 126 IV MEHRDIMENSIONALE ANALYSIS