7 Partielle Ableitung
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- Helene Zimmermann
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1 Vorlesung SS 29 Analsis 2 Prof Dr Siegfried Echterhoff 7 Partielle Ableitung Definition 7 Sei U R n offen und f : U R m eine Funktion Dann heißt f im Punkt nach der j-ten Variablen j partiell differenierbar, falls die Richtungsableitung Df ej ( = lim t t (f( te j f( eistiert Wir setten dann ( := Df ej ( und nennen ( die j-te partielle Ableitung von f an der Stelle f Beachte 72 ( Ist f = f m mit f,, f m : U R, so gilt δ j ( ( = δ j m ( dh die Komponenten von ( sind die j-ten partiellen Ableitungen von f,, f m in (2 Ist = n ( = lim t t, so gilt + te j = f j + t f n n j + t Damit folgt n (δ= j +t = lim δ j δ j f f δ n Die ist gerade die Ableitung von f, wenn wir alle Variablen,, j, j+,, n festhalten, und f dann als Funktion der Variablen j auffassen Nach ( können wir immer die Komponenten f,, f m getrennt betrachten In der i-ten Komponenten berechnen wir dann die gewünschte Ableitung der Funktion an der Stelle s = i ( δ, δ R; s f i ((,, j, δ, j+,, n t n getext: Julia Wolters 57
2 Prof Dr Siegfried Echterhoff Analsis 2 Vorlesung SS 29 ( Beispiel: f : R 3 R 2 ; f e + = sin( Dann gilt: = e +, = e +, =, δ δ δ 2 = cos(, 2 =, 2 = cos( δ δ δ Sat 73 Sei f : U R n R m differenierbar in U Dann eistieren alle partiellen Ableitungen ( und für die Jakobi-Matri im Punkt gilt: Df( = ( (,, δ ( ( = δ δ n m δ ( δ n ( M m n (R m δ n ( Beweis: Nach 65 eistieren alle Richtungsableitungen an der Stelle, also auch ( = Df ej ( j n Nach der linearen Algebra gilt für F : R n R m linear: Die Darstellungsmatri von F bgl Standardbasen {e,, e n }, bw {e,, e m } von R n bw R m ist gegeben durch A F = (F (e,, F (e n (Dann:F ( = A Nach 65 folgt dann (Df( e,, Df( e n = (Df e (,, Df en ( = ( (,, ( δ δ n 74 (Achtung Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, dh es eistieren Funktionen die partiell, aber nicht total differenierbar sind! ( ( ( Beispiel: f : R 2 R; f = 2 +, 2 ( (, = ( Dann ist f partiell differenierbar in mit δ ( f = lim ( = lim = = δ ( 58 getext: Julia Wolters
3 Vorlesung SS 29 Analsis 2 Prof Dr Siegfried Echterhoff Aber: Wäre f differenierbar in der Fall (Blatt 6, Aufgabe! (, so wäre f nach 66 auch stetig in Wir halten fest: Es gelten die folgenden Implikationen: f differenierbar in f stetig in alle Richtungsabg Df V ( ( Dies ist nicht eistieren im Punkt Aber: = f partiell differenierbar in f stetig in = f differenierbar in ( Im allgemeinen gibt die Jakobi-Matri i j ( nur einen (und war den einig möglichen Kandidaten für die Ableitung Df( Man muss dann immer noch testen, ob die i,j Matri die Bedingungen von Definition 6 erfüllt! In viele Fällen genügt es aber doch, die partielle Ableitungen u untersuchen, wie der folgende Sat 76 eigt Doch unächst benötigen wir eine Beeichnung: Beeichnung 75 Sei U R n offen, f : U R m eine Funktion und U Dann heißt f stetig partiell differenierbar in, falls f in einer Umgebung U ε ( partiell differenierbar ist und alle partiellen Ableitungen : U ε ( R m stetig im Punkt sind Ist dies für alle U erfüllt, so heißt f stetig partiell differenierbar auf U Sat 76 Sei f : U R n R m stetig partiell differenierbar in U Dann ist f auch differenierbar in Beweis: Durch aufspalten in Komponentenfunktionen können wir obda f : U R annehmen, und durch ersetten von U durch U ε ( (wenn nötig können wir obda annehmen, dass f auf gan U partiell differenierbar ist (die Ableitungen von f in hängen nur von die Funktionswerten auf U ε ( ab! ( Wir müssen eigen: Ist L = δ (,, Mit h := ist dies äquivalent u δ n ( so gilt lim (f( f( L( = lim h h h (f( + h f( Lh = f partiell differe getext: Julia Wolters 59
4 Prof Dr Siegfried Echterhoff Analsis 2 Vorlesung SS 29 Sei dau δ > mit U δ ( U, wobei wir hier die Umgebung bgl der Maimumnorm wählen! Wir definieren Punkte,,, n U δ ( durch =, = +h e, 2 = + h 2 e 2,, n = n+ + h n e n = + h Für alle j n betrachte die Funktion g j : [, ] R; g j (t = f( j + th j e j Da f partiell differenierbar ist g j differenierbar mit g j(t = ( j + th j e j h j Nach dem Mittelwertsat der Differentialrechnung in einer Variablen eistiert dann ein Θ j [, ] mit und dann folgt f( j f( j = g j ( g j ( = g j(θ j = ( j + Θ j h j e j h j f( + h f( = f( n f( = und dann folgt: f( +h f( Lh = j= (f( j f( j so = j= j= ( ( j + Θ j h j e j ( h j = v(h, h δ }{{ j } =v j (h und wobei, das Standard-Skalarprodukt auf R n beichnet Wegen j j + Θ j h j e j = h k e k + Θ j h j e j h k= ( j + Θ j h j e j h j, mit v(h R gilt j + Θ j h j e j für h, und da alle δ im Punkt stetig sind, folgt v(h für h Damit folgt f( + h f( Lh = v(h, h Cauch Schwart h 2 h 2 und der Sat ist bewiesen! Wir erhalten nun die folgende Kette von Implikationen: f stetig partiell differenierbar f differenierbar Beispiel 77 Dann gilt Sei f : R R \ {} R, f δ =, δ = = 2 h 2 v(h 2 h 2 f stetig f partiell differenierbar beide ( partiellen Ableitungen sind stetig, also ist f überall differenierbar mit Df( =, 2 6 getext: Julia Wolters
5 Vorlesung SS 29 Analsis 2 Prof Dr Siegfried Echterhoff 2 (Für Kettenregel Sei f : R 2 R 3, f = ; g : R 3 R, g = ( Dann: Dg = (,,, Df = Da alle Einträge (also partiellen Ableitungen stetig sind, sind f und g differenierbar Nach Kettenregel gilt nun: D(g f Probe: g f = Dg Df = 2 2 D(g f = ( 2,, 2 = (2 2, 2 2 = (2, 2 2 ( Ist f : U R n R partiell differenierbar in, so ist die Jakobi-Matri Df( = δ (,, δ n ( ein Zeilenvektor der Länge n Der dau transponierte Vektor (Df( t ist dann ein Spaltenvektor im R n Dieser hat einen besonderen Namen: Definition 78 (Gradient Sei F : U R n R partiell differenierbar in Dann heißt der Spaltenvektor δ ( f( = (Df( t = δ n ( der Gradient von f im Punkt Alternative Beeichnung: grad f( := f( Beachte: Produktregel für : Sind f, g : U R n R partiell differenierbar, so gilt die Produktregel (f g = f g + g f δ denn: (f g( = f( δg ( + g( ( nach der gewünschten Produktregel δ i δ i δ i in einer Variablen! 79 (Geometrische Deutung Ist f : U R n R total differenierbar in, so eigt f( immer in Richtung des größten Anstiegs von f, falls Df( Skie: Denn: Ist v R n mit v 2 =, so messen wir den Anstieg von f in in Richtung v durch die Richtungsableitung Df v ( Nach 66 gilt Df v ( = Df( v = j= ( v j = f(, v getext: Julia Wolters 6
6 Prof Dr Siegfried Echterhoff Analsis 2 Vorlesung SS 29 Nach Cauch-Schwart folgt f(, v f( 2 v 2 = f( 2 da v 2 = Der Anstieg in Richtung v ist also immer f( Für v = f( 2 f( gilt aber Df v ( = f(, v = also wird der Anstieg in Richtung f( maimal f( 2 f(, f( = f( 2 7 Mit Hilfe {( des Gradienten können wir auch ( die Tangentialebene T (,f( am Graphen G(f = U} von f im Punkt leicht darstellen: Ist f differenierbar in, so gilt nach 66 bgl Basis {e,, e n } von R n : f( f( { ( ( } e T := T (,f( = + λ i f( i Df( e i λ,, λ n R i= { ( ( } ei = + λ f( i δ i ( λ i,, λ n R Dies ist eine n-dimensionale Hperebene im R n+, und i= {( e δ ( ( } en,, ist δ n ( eine Basis des Raums ( aller Richtungsvektoren von T f( Betrachte: N( := R n+ Dann steht der Normalenvektor N( senkrecht auf allen Richtungsvektoren, denn ( ( ej f(, = ( ( ( = für alle j n Damit folgt die alternative Darstellung für T: ( T = R n+, N( =, N( f( }{{} =, f( f( = { R n+, N( =, f( f( } (Normalenform für T 62 getext: Julia Wolters
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