Ableitungen. Manfred Hörz. ..., f (x n. ,..., x i. ,..., x n ) +Δ x,..., x n

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1 Ableituge Mafred Hörz. Partielle Ableitug Hat eie Fuktio mer als eie Variable ud leitet ma pro Variable ab, idem ma die adere als kostat betractet, so sprict ma vo partielle Ableituge. Alle Ableituge zusamme geordet i eiem Vektor et ma Gradiet der Fuktio. Sei f :U R; x(x,..., x f (x,..., f (x mit U R offe, eie solce Fuktio. f ( x We für x U (x: lim,..., x i +Δ x,..., x f ( x,..., x i,..., x existiert, da Δ x Δ x ist f partiell ac x i differezierbar ud der Grezwert eißt die partielle Ableitug vo f ac x i. Ist f ac de x i partiell differezierbar i gaz U, so sid die partielle Ableituge :U R; x ( x, die partielle Ableitugsfuktioe evetuell ocmals partiell differezierbar. I diesem Fall erält ma die. partielle Ableituge: x j( : f bzw. x j ( x j : f ud x j ( :. Sid die zweite partielle Ableituge stetig, so ka die Reiefolge vertausct werde ac dem f Satz vo Scwarz, d... x j x j Die zweite partielle Ableituge lasse sic ( auc geordet zusammestelle i eier Matrix, der sogeate Hesse-Matrix H f ( x j f x x x f x x Mit Hilfe des Gradiete ud der Determiate der Hessematrix lasse sic Bediguge für Extrema formuliere: Damit im Pukt ei Extremum existiert, muss der Gradiet dort Null sei: f f ( x ( x y, y ( x y, (. Hireicedes Kriterium erält ma über die Hesse-Determiate. Sei Δ:(( x ( y ( x y die Hesse-Determiate.

2 Ist Δ> ud x <, da ist, y lokaler Maximumpukt. Ist Δ> ud x >, da ist, y lokaler Miimumpukt. Ist Δ< Ist Δ, da ist, y Sattelpukt., da at ma keie Iformatio (zusätzlice Utersucug otwedig Beispiel: f (x, y+ (si (x si( y [ x ]x cos( [ y ]y cos(, f grad f ( cos(x cos( y grad f (, (,5, (,84 Der kaum sictbare Vektor,55 i Mageta auf der graue Tagetialebee ist der,9 Gradietevektor, der i Rictug des größte Astiegs zeigt. Auf der x,y-koordiateebee siet ma die x,y-projektioe dieses Vektors ud der Rictugsvektore der Tagetialebee i x- (,5 Rictug ud y-rictug. Der eigetlice Gradietevektor, i scwarz ist der Diagoalvektor auf der x,y-ebee im Pukt P (. Die partielle Ableituge sid ocmals differezierbar: f x si( x f y x f x y f y si ( y f ( cos cos( y ( d.. im Eieitsitervall muss gelte x π x 3 π ud y π y 3 π. Wir abe dort also vier möglice Pukte ( π, π, ( π, 3 π, (3 π, π ud (3 π, 3 π. Die Hesse-Determiate ist Δ ( y si (x si( si (x si( y 4 Δ( π, π 4 < ( π, π, ist Sattelpukt.

3 Δ( π,3 π 4 > f x ( π,3 π si( π < ( π, 3 π, ist lokaler Hocpukt. Δ(3 π, π 4 > f x (3 π, π si(3 π > (3 π, π, ist lokaler Tiefpukt. Δ(3 π,3 π 4 < f x (3 π,3 π si(3 π > (3 π, 3 π, ist lokaler Tiefpukt. S. Rictugsableitug Eie Verallgemeierug der partielle Ableitug at ma i de Rictugsableituge. Ware dort die Rictuge der Koordiateacse bestimmed, so sid es u beliebige Rictuge, gegebe durc eie (Rictugs- Vektor. Sei wieder U R offe ud ud v R f ( x+v f (x Existiert der Grezwert lim, so eißt er die Ableitug vo f im Pukt x i Rictug v ud wird mit D v f (x bezeicet. Ist v eier der Stadardeieitsvektore e,..., e Ableitug überei: D e i f ( xlim f (x+e i f (x lim, so stimmt diese Ableitug mit der partielle f (x,..., x i + e i,...,x f ( x,..., x i,..., x Δ x ( x Beispiel: (siee obe f (x, y+ (si (x si( y v(, lim f ((x, y + (, f ( x, y lim f ((x+, y+ f (x, y

4 + (si (x+ si( y+ lim lim lim si ' ( x lim k (si( x si ( y (si (x+ si( x (si( y+ si( y si (x + si (x si ( y+ si ( y - lim si ( y+k si( y k / si ' ( x si ' ( y cos(x cos( y D f ( x, y (, cos(x cos( y D (, f ( π,3 π cos( π cos(3 π Die Rictugsableitug am Hocpukt ist i der Tat i jede Rictug, da jede Rictugsableitug gaz aalog acrecet. D (a,b f (x, y a cos(x b cos( y ist, wie ma Sei x( D (a,b f (, a b. Etlag der erste Wikelalbierede (y x ist die Ableitug wieder. Sei u a ud b D (, f (, 3. Totale Ableitug a. dim P, f Q +Δ x, f +Δ x Tagete i P t : y f + f ' ( x x T +Δ x, f + f ' Δ x R +Δ x, f

5 Der Höeuterscied zwisce Q ud T ist: Δ y : f +Δ x ( f + f ' Δ x, der Höeuterscied zwisce T ud R ist: df : f + f ' Δ x f f ' Δ x Der Tagetialvektor PT (Δ x, f ' Δ x f ( x+δ x f ( x Sei ϕ(δ x: f ' ( x Δ y f ' ( x mit lim ϕ(δ x Δ x Δ x Δ x d.. f differezierbar i x ud sei r (Δ x:ϕ(δ x Δ xδ y, da ist Δ y f ' ( xδ x+r (Δ x, wobei bei festem x der Ateil f ' ( xδ x, der lieare Zuwacs vo y (bzgl. Δ x ist ud der Rest r (Δ x gege Null get. Der lieare Ateil ist für ser kleie Δ x eie i.a. gute Approximatio für Δ y ud wird Differetial vo f ( f : D R, D R bzw. vo y geat, gescriebe als df oder dy. Das ergibt: Δ y dy : f ' ( xδ x. Screibt ma für ser kleie Δ x auc, so at ma: dy f ' (x. Für b. dim f ' ( x screibt ma da sifälligerweise auc dy Sei f :U R, x(x, x f (x f (x, x, U R offe. oder df A de Grape vo f wird im Pukt P y f die Tagetialebee t mit der Gleicug t : z f +[ x f ] ( x x +[ x y f ] ( y y oder eifacer x t : z f + f x (x x + f y ( y y gelegt.. Tagetialvektor r y (,,f y,y Tagetialvektor r x (,,f x,y

6 P, f liegt auf Grap vo f. R +Δ x +Δ y, f, y liegt auf der gleice Höe wie P. T +Δ x y +Δ y f + f x Δ x+ f y Δ y ist der Pukt auf der Tagetialebee. Q +Δ x y +Δ y f +Δ x +Δ y ist der Grappukt der die gleice x- ud y-koordiate at wie R ud T. Δ z ist der Höeuterscied zwisce Q ud R: Δ z: f +Δ x +Δ y f. Der Höeuterscied Δ z zwisce Q ud T ist : Δ z : f +Δ x +Δ y ( f + f x Δ x+ f y Δ y: r(δ x, Δ y Der Höeuterscied zwisce T ud R ist: df : f + f x Δ x+ f y Δ y f f x Δ x+ f y Δ y. Δ zδ z +df, wobei für (Δ x,δ y (, Δ z sceller als liear gege Null get. df strebt dagege liear gege Null. Ma et es das Differetial vo f im Pukt. df f x Δ x+ f y Δ y ist eie lieare Fuktio i (Δ x,δ y. Ma ka df auc screibe als df ( f (x, y x f y ( Δ x Δ y grad f ( x, y ( Δ x Δ y grad f ( x, y Δ x. Astatt grad f screibt ma auc f (spric: Nabla f ( Harfe. Im eidimesioale Fall (siee a ist df f x Δ x f ' Δ x gerade dortige Formel. Die rosa eidimesioale Grape erält ma als Scitt des Grape vo f (x, y mit der Ebee, die durc P get ud parallel zur x,z-koordiateebee ist, bzw. mit der Ebee, die durc P get ud parallel zur y,z-koordiateebee liegt. Die partielle Ableituge f x, y bzw. f y sid die Steiguge der Tagete a die etsprecede rosa Grape-Kurve im Pukt P. Multipliziert ma die Tagetialvektore r x (,, f x ud r y (,, f y auf diese Kurve mit Δ x bzw. Δ y ud addiert sie auf, erält ma de Tagetialvektor PT : Δ x r x +Δ y r y (Δ x, Δ y, Δ x f x +Δ y f y (Δ x, Δ y, df ( PT t p(δ x,δ y,df. Screibt ma auc ier für kleie Argumetäderuge astatt Δ x: ud Δ y:dy, so at ma folgede Formel für das Differetial: df grad f, y ( dy x (x, y + y (x, y dy c. dim Die Formel für das Differetial lässt sic u eifac verallgemeier. Sei f :U R, x( x,..., x f (x f (x,..., x mit U R offe. Das Differetial der Fuktio f im Pukt x(x,..., x ist df :grad f ( x ( (x i i d. f :U R m, x(x,..., x f (x f ( x,..., x ( f (x..., x, f m ( x,..., x mit U R offe.

7 Sid alle Kompoetefuktioe f j :U R m total differezierbar i x, so auc die gesamte Fuktio f. Das Differetial D f ( x im Pukt x ist über die Jacobimatrix J f (x darstellbar: (x x J f (x:( ( x (x ( x x m (x (x m x D f ( x J f ( x ( i ( i (x i i m (x ( f (x x ( x (x ( x x m (x x m ( x ( ( Für m abe wir de Fall c. Für,m de Fall a. f (x x (x m (x x m( x Beispiel für b.: f (x, y 4 (x + y ; P (,75 Q(,5 T (,5 t : z,5 x+,5 x x y y f x (, f y (, f grad f ( x y df grad f (, Δ x( ( Δ x Δ y df Δ x mit df

8 Beispiel für b.: f (x, y si( y x P (,59 (blau blaue Tagetialebee i P t : z x,54 y+,7 x x y cos( y f x(, f y (,,54 f grad f ( x cos( y df grad f (, Δ x (,54 ( Δ x Δ y df Δ x,54 Δ y,54 dy Beispiel 3 für c.: f :R 3 R ; f ( x, y, zx+ y z Diese Fuktio ordet jedem Pukt (x, y, z R 3 eie Skalar, ebe x+ y z zu. f et ma daer auc ei Skalarfeld. Ma köte jede Pukt (x, y, z R 3 mit dem Fuktioswert etspreceder Dicke zeice. Sei P ( (rot. x y y z f x(,, f y (,,4 f z (,, f grad f ( y df grad f (,, ( Δ x 4 ( Δ x Δ y df Δ x+4 Δ y Δ z +4dy dz Für ei paar diskrete Pukte siee recte Grafik. Δ z f ( x, y Beispiel 4 für d.: f :R R 3 ; f ( x, f y( ( si (x (x, cos( y f 3 ( x, y. Die Fuktio ordet jedem Pukt i der x,y-ebee eie Vektor zu. Ma et sie daer auc ei Vektorfeld. (,84 Sei P ( (der Vektor,54, der diesem Pukt zugeordet ist, ist rot. x cos( x y x y si ( y 3 x 3 y J f (x( cos(x si ( y cos( x D f ( si ( y x( ( dy ( cos(x si ( ydy D f (,( cos( si( ( dy (,54,84 ( dy (,54,84 dy

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