Das Noether-Theorem. Ausarbeitung zum Vortrag von. Michael Hagemann. am im Rahmen des Proseminars. Gruppentheorie in der Quantenmechanik

Transkript

1 Das Nethe-Theem Ausabetung zum Vtag vn Mchael agemann am m Rahmen des Psemnas Guppenthee n de Quantenmechan vn Pf D Jan Lus und D Rbet Rchte an de nvestät ambug m Wntesemeste 202/203 Inhaltsvezechns Enletung 2 Egenschaften ntnuelche Symmeteguppen 3 eletung des Nethe-Theems 4 Zusammenfassung 5 Quellenvezechns

2 Enletung Im heutgen Vtag sll aus den bshegen Betachtungen übe ntnuelche Symmeteguppen das Nethe-Theem hegeletet weden Das Nethe- Theem (fmulet 98 vn Emmy Nethe) n sene lassschen Fm lautet: Zu jede ntnuelchen Symmete enes physalschen Systems gehöt ene Ehaltungsgöße S flgt aus de Invaanz enes physalschen Systems unte Zetveschebung de Enegeehaltung, swe aus de Tanslatns-Invaanz de Impulsehaltung und aus de Rtatns-Invaanz de Dehmpulsehaltung Be de eletung des Nethe-Theems wd ene ntnuelche Symmeteguppe G enes physalschen Systems betachtet Be ene slchen Guppe st entwede ganz G de zumndest en Tel davn ntnuelch mt dem neutalen Element de Guppe vebunden De nachflgenden Ausfühungen bezehen sch alle auf desen Tel vn G, de ene nmale nteguppe bldet Aus den bshegen Vtägen lassen sch fü den ntnuelch mt dem neutalen Element vebundenen Tel vn G fünf Aussagen zusammentagen, aus denen sch dann das Nethe-Theem ableten lässt Zunächst eflgt de Auflstung dese Egenschaften 2 Egenschaften ntnuelche Symmeteguppen I Nach dem Wgne-Theem exstet fü de gegebene Guppe G mt den Elementen g (α,,α ) ene untäe Dastellung (α,,α ) De Dastellung ene Guppe, de ntnuelch mt dem neutalen Element vebunden st, ann ncht ant-untä sen II Be den flgenden Aussagen wählt man de α als annsche Paamete Mt de Schebwese (α,,α ) α α n α fü fxetes n α und vaables α ehält man ene aus enem Paamete bestehende Abelsche nteguppe Als wetee Schebwese füht man n α (0,0,,0,,0,,0) n en, mt ene an de -ten Stelle und 0 snst De annschen Paamete α weden s gewählt, dass de Guppenelemente g (α,,α ) de flgende Egenschaft haben: g (0,0,,0) Auch de flgenden Egenschaften III und IV flgen aus de Wahl annsche Paamete

3 III Fü ntnuelche Guppen mt den Elementen g (α,,α ) und ene untäen Dastellung (α,,α ) exstet en Satz vn Matzen nach de flgenden Defntn: g g ( 0,0,,0), α α (0,0,,0) De g spannen enen lneaen Vetaum de Dmensn auf Dese wd zu enem Rng wenn man als Pdut zwee Elemente des Vetaums den Kmmutat defnet: g, h g h h g Dese Rng st de Le-Algeba G (de auch Le-Rng) de Guppe G De Bass vn G st gegeben duch de g IV In de Nähe des neutalen Elements lassen sch de Elemente de Guppe G scheben als g ( α,, α ) exp α g und de untäen Dastellungen de Guppenelemente als ( α,, α ) exp α V De amltnpeat und de Steupeat (de S-Matx) snd glechblebend be Tansfmatnen de Symmeteguppe 3 eletung des Nethe-Theems Nun ann man mthlfe de eben aufgelsteten Egenschaften das Nethe- Theem heleten Mt I,III und IV lässt sch de untäe Dastellung des betachteten Tels vn G n de Nähe des neutalen Elements scheben als ( α,, α ) exp α Dann wählt man m Raum de annschen Paamete de Rchtung n (0,,0,,0,,0) und ehält nach II de Abelsche nteguppe ( α) exp α

4 Nun lässt sch nch snnvll ene wetee Übelegung enfühen Man bevzugt m Allgemenen hemtesche Opeaten, da man den ntutven mgang mt desen gewöhnt st aus de Quantenmechan De Opeaten snd jedch anthemtesch, was sch we flgt zegen lässt: Fü α 0 ann man de Expnentaldastellung de untäen Matzen n ene Rehe entwceln und dese nach dem lneaen Tem abbechen: ( α ) α Dese Entwclung st nu zulässg fü ene Guppe, de ntnuelch mt dem neutalen Element vebunden st und dementspechend ene untäe und ene ant-untäe Dastellung bestzt Engesetzt n ( α) ( α) ehält man: ( ) ( ) α α α α α α O( α²) α α q e d Daaus flgend lassen sch mttels defneen B hemtesche Opeaten B Damt lauten de untäen Dastellungen de Guppenelemente ( α) exp α B mt de Rehendastellung ( α ) α B Nun lässt sch V auch scheben als ( α) ( α) Ensetzen de Rehendastellung lefet ( α) ( α) α B α B 2 α B αb O( α ) α, B,

5 Damt egbt sch:, B 0 Auf demselben Wege ehält man: S, B 0 Da de hemtesche Opeat B mt dem amltnpeat mmutet, st e ene Ehaltungsgöße und smt ene Obsevable Dasselbe glt fü alle andeen B,,, Dese Aussagen ann man nun auf alle Elemente de Le-Algeba vn eweten Da sch de Algeba vn und B nu um enen Fat untescheden, betachtet man he enfach de B Nun lässt sch jedes Element dese Le-Algeba scheben als B B (α) α B α B α α B ( nα ) α Smt önnen als de bgen Betachtungen fü jede belebe Rchtung n α m Raum de annschen Paamate wedehlt weden Damt snd de n ) und de α ( n α ) und smt alle Elemente de Le-Algeba swhl Obsevablen als auch Ehaltungsgößen B De B (,,) spannen jedch schn de gesamte Le-Algeba auf m jetzt zu emtteln, we de Kmmutat-Relatnen de gefundenen Ehaltungsgößen aussehen, genügt es als, dese Bass zu betachten De B mmuteen ncht alle mtenande Tatsächlch st es s, dass de gesamte Stutu de lalen Guppe und he Le-Algeba gegeben st duch de Kmmutat-Relatnen de B : B ( α De B, B l l C bezechnet man als Stutu-Knstanten C l B l Wenn man nun enen Satz {B,,B m } vn mmuteenden Opeaten aus de Le-Algeba betachtet, dann mmuteen de Opeaten unteenande und mt dem amltnpeat De zugehögen quantenmechanschen Zustände bezechnet man mt den Quantenzahlen b,,b m S en Satz mmuteende Opeaten st abe wahschenlch ncht geegnet, enen ealen Quantenzustand zu bescheben Des ann jedch möglch sen fü bestmmte Funtnen F B,, B des Satzes B,, B

6 4 Zusammenfassung Nach den bgen Ausfühungen ann nun das Nethe-Theem vm guppentheetschen Standpunt aus fmulet weden: De Ezeuge B,, B ene Symmeteguppe (de ntnuelch mt dem neutalen Element vebunden st) snd Ehaltungsgößen und Obsevablen, deen Kmmutat-Relatnen nu vn de Stutu de Guppe abhängen Dese Aussage glt auch nsbesndee dann, wenn man de Bewegungsglechungen enes physalschen Systems m amltn- Fmalsmus scheben ann und zusätzlch glt:, B 0 5 Quellenvezechns [] M Chanchan, R agedn Symmetes n Quantum Mechancs IOP Publshng Ltd 998 [2] F Jnes Gups, Repesentatns and Physcs Tayl & Fancs Gup, 2edtn, 998