Alle Vektoren sind hier Spaltenvektoren. Eine Matrix besteht aus nebeneinandergeschrie-

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1 1 Vorbemerkungen Alle Vektoren sind hier Spaltenvektoren. Eine Matrix besteht aus nebeneinandergeschrie- benen Vektoren. Wird die Matrix A = ( a 1,..., a n ) mit dem Vektor c = c 1. c n multipliziert, so ist das Ergebnis der Vektor A c = c 1 a c v a n. Das bedeutet, dass das Ergebnis eine Matrix-Vektor-Multiplikation eine Linearkombination der Spalten der Matrix mit den Koeffizienten im Vektor ist. Wird eine Matrix A mit einer Matrix C = ( c 1,..., c m ) (von rechts) multipliziert, so besteht das Resultat AC aus den nebeneinandergeschriebenen Spalten (A c 1,..., A c m ). 2 Theorie A : C n C n sei eine lineare Abbildung. Um eine einfache Darstellung der Abbildung A zu erhalten, sucht man zunächst invariante Unterräume des C n ; d.h. Unterräume U mit AU U. Der erste Schritt dazu ist die Bestimmung von Eigenvektoren. Das sind Vektoren v mit A v = λ v. Dies bedeutet, dass der von v aufgespannte Unterraum invariant ist, und dass A darin eine Streckung um den Faktor λ bewirkt. Es ist A v = λ v mit v 0. Es gibt einen Vektor v 0 mit (A λi) v = 0 der Kern von A λi ist nichttrivial A λi ist nicht regulär det(a λi) = Definition (i) Das charakteristische Polynom p von A ist definiert als p(λ) = det(a λi). (ii) Über C zerfällt p in n Linearfaktoren: p(λ) = (λ λ 1 ) ν 1 (λ λ 2 ) ν2 (λ λ k ) ν k mit ν 1 + ν ν k = n. Die Zahlen λ 1 bis λ k heißen Eigenwerte (EW) von A, ker A λ ν ist der Eigenraum, die nichttrivialen Elemente davon heißen Eigenvektoren (EV). (iii) Ist λ ein Eigenwert von A, so nennt man { v A v = λ v} = ker(a λi) den Eigenraum zu λ. (iv) Ist λ eine r-fache Nullstelle von p, so heißt r arithmetische Vielfachheit von λ. Die Dimension des Eigenraums r 1 > 0 heißt geometrische Vielfachheit. Ab jetzt sei λ ein fester EW von A und B := A λi. Dann beweist man:

2 2.2 Lemma 1 Mit r i := dim ker B i ist 0 =: r 0 < r 1 < r 2 < r w = r w+1 = = r. Beweis: Für jede lineare Abbildung B gilt ker B i ker B i+1, denn für x ker B i folgt B i+1 x = BB i x = B 0 = 0, also x ker B i+1 und damit r i r i+1. Gilt andererseits einmal r i = r i+1, so ist ker B i = ker B i+1 und somit B i x = 0 B i+1 x = 0. Daraus folgt x ker B i+2 B i+2 x = 0 BB i+1 x = 0 BB i x = 0 B i+1 x = 0 x ker B i+1. Das bedeutet r i+2 = r i+1 = r i. Induktiv folgt, dass dann stets r i+k = r i ist. Dass der Fall r i = r i+1 überhaupt eintritt, liegt daran, dass der Kern von B im C n höchstens n-dimensional werden kann. (Die Tatsache r w = r ist genaugenommen die einzige Tatsache, die hier nicht bewiesen wird.) 2.3 Lemma 2 Die Zuwächse in den Dimensionen s ν := r ν r ν 1 sind monoton abnehmend: 0 = s w+1 < s w s w 1 s 2 s 1 = r 1. Beweis: Dies ist ein etwas schwierigerer Beweis: die Behauptung folgt aus der Tatsache, dass die Abbildung B : ker Bi+2 / ker B i+1 ker B i+1 / ker B i injektiv ist. Der Beweis erfolgt in drei Schritten: 1. Definition von B zwischen den Quotientenräumen 2. B ist injektiv 3. Beweis der Aussage des Lemmas. Gebraucht wird v ker B p+1 B p+1 v = 0 B p B v = 0 B v ker B p. zu 1. Für v ker B i+2 ist B v ker B i+1 Die Elemente aus ker Bi+2 / ker B i+1 sind Äquivalenzklassen von Vektoren mit B i+2 v = 0, wobei v 1 v 2 ist, falls B i+1 v 1 = B i+1 v 2 ist. Analog sind die Elemente von ker Bi+1 / ker B i Äquivalenzklassen von Vektoren mit B i+1 w = 0, wobei w 1 w 2 ist, falls B i w 1 = B i w 2 ist. Zunächst muss gezeigt werden, dass B wohldefiniert ist, d.h. falls B v 1 = w 1 und B v 2 = w 2 ist und v 1 und v 2 in derselben Äquivalenzklasse in ker B i+2 liegen, dann liegen auch w 1 und w 2 in derselben Äquivalenzklasse im Bildraum ker B i+1. Wegen der Linearität reicht es die Behauptung für v 2 = 0 und w 2 = 0 zu zeigen. Ist also v 1 0, so ist v 1 ker B i+1 und damit w 1 = B v 1 ker B i, also w 1 0. zu 2. Ist B v 0 in ker B i+1, so folgt B i B v = 0 und damit B i+1 v = 0, also v 0 in ker B i+2

3 zu 3. Benutzt werden zwei Tatsachen: (i) Ist L : V 1 V 2 eine injektive lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen V 1 und V 2, so ist dim V 1 dimv 2. (ii) dim P / Q = dim P dimq Daher ist dim ker Bi+2 / ker B i+1 dim ker B i+1 / ker B i, also dimker B i+2 dim ker B i+1 dimker B i+1 dim ker B i r i+2 r i+1 r i+1 r i s i+2 s i Definition Der Kern von B i heißt Hauptraum i+ter Stufe. Der Kern von B r (das ist gleichzeitig die Vereinigung aller Kerne von B i heißt verallgemeinerter Hauptraum. Die Eigenvektoren bilden demnach den Hauptraum 1. Stufe. Ab jetzt wird an einem Beispiel gearbeitet, um einer Indexinflation vorzubeugen. In dem folgenden Beispiel ist r = 10, r 1 = 5, r 2 = = 8 und r 3 = = 10. Damit ist s 1 = 5, s 2 = 3 und s 3 = 2. U 3 s 3 = 2 U 2 s 2 = 3 U 1 s 1 = 5 r 3 = 10 r 2 = 8 r 1 = 5 r 0 = 0 ker B 3 ker B 2 ker B 1 ker B 0 (Bild 1) Man sieht: v ker B ν B ν v = 0 B ν 1 (B v) = 0 B v ker B ν 1. Zwischen U 3, U 2 und U 1 bildet B daher injektiv ab ab: b15 b14 b23 b13 b31 b32 B b21 b22 B b11 b12 U 3 U 2 U 1 (Bild 2)

4 Jetzt wird eine Basis b 31 und b 32 von U 3 gewählt. Ausgehend davon werden weitere Vektoren definiert: (i) B b 31 = b 21, B b 21 = b 11 und B b 11 = 0. (Jordankette der Länge 3) (ii) B b 32 = b 22, B b 22 = b 12 und B b 12 = 0. (Jordankette der Länge 3) Im dreidimensionalen Raum U 2 werden b 21 und b 22 durch b 23 zu einer Basis ergänzt. Dann erhält man (iii) B b 23 = b 13, B b 13 = 0. (Jordankette der Länge 2) Zum Schluß werden die bereits bestimmten Vektoren in U 1 zu einer Basis ergänzt: (iv) B b 14 = 0 (Jordankette der Länge 1) (v) B b 15 = 0 (Jordankette der Länge 1) Damit ist die Abbildung B in der Basis b ij eindeutig beschrieben. Beachtet man jetzt B v = 0 (A λi) v = 0 A v = λ v und B v = w (A λi) v = w A v = λ v + w, so ergibt sich in der Basis b11, b 21, b 31, b12, b 22, b 32, b13, b 23, b14 und b15 folgende Matrixdarstellung von A: λ λ λ λ J := λ λ λ λ λ λ J ist die (besser: eine) Jordanform der Abbildung A. Faßt man die Vektoren b 11 bis b 11 zu einer Matrix C zusammen, so gilt AC = CJ, also A = CJC 1. Bezeichnungen: Die Elemente von u 1 heißen Eigenvektoren oder Hauptvektoren 1. Stufe, die Elemente von U i heißen Hauptvektoren i-ter Stufe

5 3 Praktische Durchführung Gesucht sind die Jordanform und Transformationsmatrizen zu einer Selbstabbildung A des R n (oder C n ). (i) Berechne p(λ) = det(a λi) (ii) zu jedem Eigenwert λ wird das folgende Verfahren durchgeführt: 1 Für jeden Eigenwert λ ν bildet man B := A λ ν I und bestimme die Räume U i, bis die Summe der Dimensionen die algebraische Vielfachheit von λ ν ist. Dazu geht man iterativ vor: zunächst wird eine Basis für die Eigenvektoren (den Kern von B bestimmt (Gauß scher Algorithmus) Berechne dann B 2 und berechne eine Basis des Kerns, indem die Basis von U 1 durch s 2 weitere Vektoren ergänzt wird. Diese ergänzenden Vektoren bilden eine Basis von U 2. Dann wird eine Basis von U 3 berechnet, indem die Basis von ker B 2 durch s 3 weitere Vektoren (eine Basis von U 3 ) ergänzt wird u.s.w. 2 Jetzt werden die Jordanketten aus Bild 2 konstruiert: die Basis von U 3 wird durch Anwendung von B in U 2 abgebildet und aus den in 1 berechneten Basisvektoren zu einer Basis von U 2 ergänzt. Die so berechnete Basis wird wiederum mit B abgebildet und zu einer Basis ergänzt. Die j-tupel v, B v,...b j 1 v von Basisvektoren mit einem Startvektor v U j bilden jeweils eine Jordankette der Länge j. 3 Sobald insgesamt λ ν Basisvektoren bestimmt sind, ist die Arbeit für diesen Eigenwert getan. (iii) Alle Jordanketten v, B v,...b j 1 v werden in jeweils umgekehrter Reihenfolge (also der Eigenvektor zuerst) B j 1 v, B j 2 v,... v nebeneinandergeschrieben und zu einer Matrix C zusammengefaßt. In der Jordanmatrix J entspricht dieser Kette ein Jordanblock der Größe j j, der λ λ 1 0 die Gestalt J(j, λ) = mit dem Eigenwert λ hat. 0 0 λ λ Die Jordanmatrix J ist dann eine Blockdiagonalmatrix, die aus den einzelnen Jordanblöcken besteht.

6 4 Beispiel A := Dann berechnet man p(λ) = (2 λ) 10, 2 ist also 10-facher Eigenwert von A. Weiter bekommt man B := Außerdem ist B 3 = 0. und B 2 = U 1 ist der Kern von B. Er besteht aus allen Vektoren, die an der 1., 3., und 9. Stelle eine Null haben. Weil es in der Regel keine kanonische Wahl von Basisvektoren gibt, beschreiben wir U 1 durch U 1 := e 2 e 5, e 2 + e 5, e 6 e 2, e 7 e 2, e 10 e 2. Der Kern von B 2 besteht aus allen Vektoren, die an der 3. und der 8. Stelle eine Null haben. Daher läßt sich U 2 durch zu einer Basis von ker B 2 ergänzen. U 2 := e 1 + e 4, e 1 e 4, e 1 + e 9 Da ker B 3 aus allen Vektoren besteht, wählen wir U 3 := e 3, e 8. Jetzt werden die Jordanketten aufgebaut: B e 3 = e 1, B e 1 = e 2, B e 2 = 0 das sind b 31, b 21 und b 11

7 B e 8 = e 4, B e 4 = e 6, B e 6 = 0 das sind b 32, b 22 und b 12 Das sind die beiden Ketten der Länge 3. In U 2 müssen jetzt die Bilder von Vektoren aus U 3 ( e 1 und e 4 ) zu einer Basis ergänzt werden. Dazu wählen wir b 23 = e 1 + e 9 und bilden die nächste Jordankette: B( e 1 + e 9 ) = e 2 + e 5, B( e 2 + e 5 ) = 0 das sind b 23 und b 13 In U 1 muß der Spann von e 2, e 6 und e 2 + e 5 zu einer Basis ergänzt werden. Dazu wählen wir b14 = e 10 e 2 und b 15 = e 7 e 2. Damit haben wir: in der Basis b 11, b 21, b 31, b 12, b 22, b 32, b 13, b 23, b 14 und b 15 hat A die Gestalt J von oben. Es ist hier C = ( e 2, e 1, e 3, e 6, e 4, e 8, e 2 + e 5, e 1 + e 9, e 10 e 2, e 7 e 2 ) und damit C = und C 1 = Die Jordanform von A läßt sich nun durch A = CJC 1 und J = C 1 AC erreichen.