2. Arbeit und Energie

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1 2. Arbeit und Energie Die Ermittlung der Bewegungsgrößen aus der Bewegungsgleichung erfordert die Berechnung von mehr oder weniger komplizierten Integralen. Für viele Fälle kann ein Teil der Integrationen ein für allemal vorab durchgeführt werden. Diese Integrationen führen auf die Begriffe Arbeit und Energie. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-1

2 2. Arbeit und Energie 2.1 Arbeitssatz 2.2 Potenzielle Energie 2.3 Energieerhaltungssatz 2.4 Massenpunktsysteme 2.5 Leistung und Wirkungsgrad Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-2

3 2.1 Arbeitssatz Herleitung Berechnung der Arbeit Beispiele Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-3

4 2.1.1 Herleitung Integration der Bewegungsgleichung: Betrachtet wird ein Massenpunkt, der sich entlang der Bahn C AB vom Punkt A zum Punkt B bewegt. B F a t dr P Dabei wirkt auf ihn die resultierende äußere Kraft F(r), die im Allgemeinen vom Ort abhängt. a n C AB A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-4

5 2.1.1 Herleitung In jedem Punkt der Bahn gilt das Newtonsche Grundgesetz: m a=f Das Skalarprodukt mit dem Wegelement dr lautet m a d r=f d r Die Beschleunigung hat eine Tangentialkomponente a t und eine Normalkomponente a n : a=a t a n Da das Wegelement dr senkrecht auf der Normalkomponente a n steht, gilt: a n d r=0 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-5

6 2.1.1 Herleitung Mit der skalaren Bahnbeschleunigung a t und dem skalaren Wegelement ds folgt: m a d r=m a t d r=m a t ds Wegen a t = dv dt = dv ds ds dt = dv ds v gilt: m a t ds=m v dv ds ds=m v dv Damit ist gezeigt: Integration ergibt: m a d r=m v dv=f d r v m B v A v dv= C AB F r d r Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-6

7 2.1.1 Herleitung Kinetische Energie: Das Integral auf der linken Seite berechnet sich zu Die Größe v m B v dv= 1 v A 2 m v 2 2 B v A E K = 1 2 m v2 wird als kinetische Energie des Massenpunktes bezeichnet. Damit gilt: v m B v A v dv=e B K E A K Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-7

8 2.1.1 Herleitung Arbeit der äußeren Kräfte: Das Integral auf der rechten Seite wird als Arbeit der äußeren Kräfte bezeichnet: W AB = C AB F r d r W AB ist die Arbeit, die die äußere Kraft F verrichtet, wenn der Massenpunkt entlang der Bahn C AB Punkt B verschoben wird. von Punkt A an den Der Wert der Arbeit hängt im Allgemeinen nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt, sondern auch von der Bahn ab. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-8

9 2.1.1 Herleitung Arbeitssatz: E B K E A K =W AB Die Differenz zwischen der kinetischen Energie E K B des Massenpunktes im Punkt B und der kinetischen Energie E K A im Punkt A ist gleich der von den angreifenden Kräften auf dem Weg von Punkt A nach Punkt B verrichteten Arbeit W AB. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.2-9

10 2.1.1 Herleitung Einheiten: Die Einheit der Arbeit ist 1 Nm=1 kg m2 s 2 =1 J (Joule) Die kinetische Energie hat die gleiche Einheit wie die Arbeit. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

11 2.1.2 Berechnung der Arbeit Kraft konstanter Größe parallel zum Weg: B e t Mit F=F e t und d r=e t ds gilt: s B W AB = C AB s B F d r= s A F e t e t ds=f s B s A F P Kraft konstanter Größe schräg zum Weg: A s A F B Mit d r=e t ds und F e t =F cos gilt: φ s B e t W AB = C AB s B F d r= s A F e t ds=f cos s B s A P A s A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

12 2.1.2 Berechnung der Arbeit Kraft veränderlicher Größe parallel zum Weg: e t B s B Mit F s =F s e t und gilt: s B F d r= s A W = AB C AB s = B s A F s ds d r=e t ds F s e t e t ds Wird die Kraft F über dem Weg s aufgetragen, so entspricht die Arbeit der Fläche unter der Kurve. F A F(s) s A s A P W AB s B s Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

13 2.1.2 Berechnung der Arbeit Reibungsarbeit: z G y Ein Massenpunkt der Masse m bewegt sich auf einer rauen Oberfläche von A nach B. Dabei wirkt auf ihn die Reibungskraft R R= N = m g A N C AB B parallel zum Weg. Sie verrichtet die Arbeit x W AB R = m g s B s A = m g L AB Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

14 2.1.2 Berechnung der Arbeit Die Reibungsarbeit ist proportional zur Länge L AB des zurückgelegten Wegs. Sie hängt vom Weg ab, auf dem der Massenpunkt von A nach B gebracht wird. R R W AB 1 W AB 2 z y A C 1 B C 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik x

15 2.1.2 Berechnung der Arbeit Federarbeit: s 0 F F s s A s B Ein Massenpunkt, der von einer Feder gehalten wird, bewegt sich von der Stelle s A an die Stelle s B. Dabei greift an ihm die Federkraft F F s =c s s 0 an. Die Federkraft verrichtet die Arbeit W AB s B F = c s s 0 ds= 1 s A 2 c [ s B s 0 2 s A s 0 2 ] Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

16 2.1.2 Berechnung der Arbeit Hubarbeit: Ein Massenpunkt der Masse m bewegt sich entlang der Bahn C AB vom Punkt A an den Punkt B. z B C AB Dabei wirkt auf ihn die Gewichtskraft dr y G= m g e z A G x Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

17 2.1.2 Berechnung der Arbeit Für das Streckenelement gilt: Damit berechnet sich die von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit zu Die von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit wird als Hubarbeit bezeichnet. Sie hängt nur von der Höhendifferenz ab. d r=e x dx e y dy e z dz W G = AB G d r= m g e z e x dx e y dy e z dz C AB C AB z B = z A m g dz= m g z B z A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

18 2.1.2 Berechnung der Arbeit Beispiel: Die Masse m wird auf der schiefen Ebene reibungsfrei vom Punkt A an den Punkt B verschoben. Dabei greifen an ihr die folgenden Kräfte an: Gewichtskraft G Horizontalkraft H Federkraft F F =c s s 0 =0 B z m s B A H α s A s Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

19 2.1.2 Berechnung der Arbeit Zu berechnen ist die gesamte Arbeit aller Kräfte, die an der Masse angreifen. Zahlenwerte: Masse m = 10kg Weg s A = 0,5m Weg s B = 2,5m Federkonstante c = 30N/m Horizontalkraft H = 400N Winkel α = 30 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

20 2.1.2 Berechnung der Arbeit Kräfte an der freigeschnittenen Masse: Federkraft F F s Normalkraft N α Gewichtskraft mg Horizontalkraft H Horizontalkraft H : H N α mg F F W H AB =H cos s B s A =400 N cos 30 2 m=692,8 J Normalkraft N : Die Normalkraft N steht senkrecht auf der Bahn und verrichtet daher keine Arbeit. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

21 Federkraft F F : Berechnung der Arbeit W F AB = 1 2 c s 2 2 B s A = 15 N / m 2,5 2 m 2 0,5 2 m 2 = 90 J Gewichtskraft G : G W AB = mg z B z A = mgsin s B s A = 10 kg 9,81 m s 2 sin 30 2 m= 98,1 J Gesamte Arbeit: W AB =W H AB W F AB W G AB =504,7 J Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

22 2.1.3 Beispiele Beispiel 1: Bremsendes Fahrzeug Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v eine geneigte Straße hinunter. Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern rutscht. Wie weit rutscht das Fahrzeug? Zahlenwerte: Fahrzeuggewicht G = 17,5kN Geschwindigkeit v = 6m/s Neigungswinkel α = 10 Gleitreibungskoeffizient μ = 0,5 s α v Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

23 2.1.3 Beispiele Kräfte am freigeschnittenen Fahrzeug: F n =0 : N G cos =0 N =G cos R= N = G cos s n α G R Von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit: W G AB =G cos 90 s=g sin s 90 -α N Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

24 2.1.3 Beispiele Von der Reibungskraft verrichtete Arbeit: W R AB = R s= G cos s Kinetische Energien: E A K = 1 2 G g v2, E B K =0 Arbeitssatz: E K B E K A =W G R AB W AB 1 G 2 g v2 =G sin s G cos s=g s sin cos Ergebnis: Zahlenwert: s= v2 2 g 1 cos sin s= 62 m 2 / s 2 2 9,81 m/ s 2 1 0,5cos 10 sin 10 =5,76 m Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

25 2.1.3 Beispiele Beispiel 2: Achterbahn Gegeben: s Masse des Wagens m Radius R φ R Anfangsgeschwindigkeit v(s=0) = v 0 A ψ B Gesucht: Geschwindigkeit v(s) R Beschleunigung a(s) Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

26 2.1.3 Beispiele Wagen freigeschnitten: Nur die Gewichtskraft mg verrichtet Arbeit. r Die Normalkraft N steht immer senkrecht auf der Bahn. Allgemein gilt: φ N φ mg s Führungskräfte Führungskräfte verrichten verrichten keine keine Arbeit. Arbeit. A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

27 2.1.3 Beispiele Geometrie: z z(s) R s Kreis um A: s=r z =R cos φ z(s) B z s =R cos s R A z(s) R ψ φ im Bogenmaß! Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

28 2.1.3 Beispiele z s Kreis um B: s=r 2 R R z = R sin A φ z(s) z(s) ψ B z s = Rsin s R 2 =R cos s R R ψ im Bogenmaß! Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

29 2.1.3 Beispiele Von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit: W G s = mg z s z 0 = mg R cos s R 1 Kinetische Energien: E K 0 = 1 2 m v 2 0, E K s = 1 2 m v2 s Arbeitssatz: E K s E 0 K =W G s 1 2 m v 2 s v 0 2 = mg R cos s R 1 v s = v gr 1 cos s R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

30 Beschleunigung: Bahnbeschleunigung: a t s =v dv ds = Beispiele dv 2 ds =gsin s R Bei einer Kreisbewegung gilt für die Normalbeschleunigung: a n s = v2 R = v 2 0 R 2 g 1 cos s R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

31 2.2 Potenzielle Energie Gewichtskraft: Die Arbeit der Gewichtskraft ist unabhängig von der Bahnkurve. Sie hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn ab: W G AB = G z B z A z A G B C AB dr y x Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

32 2.2 Potenzielle Energie Federkraft: Die Arbeit, die die Federkraft verrichtet, hängt nur von der Dehnung oder Stauchung der Feder ab, unabhängig davon, wie die Kraft aufgebracht wurde. Für s 0 = 0 gilt: W F AB = 1 2 c s 2 2 B s A r s A s B F Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

33 2.2 Potenzielle Energie Reibungskraft: Die Arbeit, die die Reibungskraft verrichtet, hängt von der Bahnkurve ab: R d r= G L 1 C 1 R d r= G L A 2 C 2 z y C 1 B C 2 x Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

34 2.2 Potenzielle Energie Konservative Kräfte: Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an einem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, aber unabhängig von der Bahnkurve ist. Die Gewichtskraft und die Federkraft sind konservative Kräfte. B W AB = C 1 F d r= C 2 F d r C 2 C 1 A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

35 2.2 Potenzielle Energie Dissipative Kräfte: Eine Kraft heißt dissipativ, wenn die Arbeit, die sie an einem Massenpunkt verrichtet, nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, sondern auch von der Bahnkurve. Reibungskräfte sind dissipative Kräfte. C 1 F d r C 2 F d r C 2 B C 1 A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

36 2.2 Potenzielle Energie Potenzielle Energie: Die potenzielle Energie einer konservativen Kraft im Punkt A ist die Arbeit, die die konservative Kraft an dem Massenpunkt verrichtet, wenn er vom Punkt A in den Bezugspunkt R verschoben wird. Die potenzielle Energie hängt vom gewählten Bezugspunkt ab. E P A, R = C 1 F d r= C 2 F d r=w AR C 2 A R C 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

37 2.2 Potenzielle Energie Wird der Massenpunkt vom Ort A an den Ort B verschoben, so lässt sich die von einer konservativen Kraft verrichtete Arbeit W AB aus der Differenz der potenziellen Energien berechnen: W AB = C AB F d r= F d r C AR C RB =E P A, R E P B, R = C AR' F d r C R ' B F d r =E P A, R ' E P B, R ' =E A P E B P F d r R C RB B C RB' R' C AR' C AR C AB A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

38 2.2 Potenzielle Energie Potenzielle Energie der Gewichtskraft: Für die potenzielle Energie der Gewichtskraft gilt: E G A, R =W G AR = m g z R z A =m g z A z R Die potenzielle Energie der Gewichtskraft hängt nur von der Höhe des Massenpunktes ab. Sie wird daher auch als potenzielle Energie der Lage oder Lageenergie bezeichnet. Die Lageenergie ist negativ, wenn sich der Massenpunkt unterhalb des Bezugspunktes befindet. Wird als Bezugspunkt der Koordinatenursprung gewählt, so gilt: E G A,O =m g z A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

39 2.2 Potenzielle Energie Alle Körper gleicher Masse, die sich in der gleichen Höhe befinden, haben die gleiche Lageenergie. Daher sind alle Bezugspunkte, die auf der gleichen Höhe liegen, gleichwertig. Sie definieren ein Nullniveau. In der Nähe der Erdoberfläche sind die Nullniveaus Ebenen parallel zur Erdoberfläche. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

40 2.2 Potenzielle Energie Potenzielle Energie der Federkraft: Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft wird der Zustand der entspannten Feder gewählt. Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft: E F s = 1 2 c s2 Die potenzielle Energie der Federkraft ist immer positiv. Sie wird als Federenergie bezeichnet. F s r Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

41 2.3 Energieerhaltungssatz Arbeitssatz: Der Arbeitssatz lautet: E K B E K A =W AB Die Arbeit W AB setzt sich zusammen aus der Arbeit K =E P P A E B der konservativen Kräfte, und W AB der Arbeit D der dissipativen Kräfte. W AB Einsetzen in den Arbeitssatz ergibt: E K B E K A =E P A E P D B W AB E K P B E B E K P A E A D =W AB Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

42 2.3 Energieerhaltungssatz Die Änderung der Summe aus kinetischer und potenzieller Energie eines Massenpunktes ist gleich der Arbeit der an ihm angreifenden dissipativen Kräfte. Die Arbeit der dissipativen Kräfte ist immer negativ. Energieerhaltungssatz: Wenn an einem Massenpunkt nur konservative Kräfte angreifen, dann bleibt die Summe der kinetischen und der potenziellen Energie konstant: E B K E B P =E A K E A P Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

43 2.3 Energieerhaltungssatz Beispiel 1: Bremsendes Fahrzeug Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v eine geneigte Straße hinunter. Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern rutscht. Wie weit rutscht das Fahrzeug? s v α Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

44 2.3 Energieerhaltungssatz Reibungsarbeit: Reibungskraft: n α F n =0 : N G cos =0 N =G cos R= N = G cos s G R Reibungsarbeit: Bezugspunkt für die Lageenergie: W R AB = R s= G cos s Ort bei Bremsbeginn N Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

45 2.3 Energieerhaltungssatz Punkt A: Bremsbeginn Kinetische Energie: E K A = 1 G 2 g v2 Lageenergie: Punkt B: Bremsende Kinetische Energie: E K B =0 Lageenergie: E A G =0 Arbeitssatz: G s sin 1 2 E K G B E B E K G R A E A =W AB G g v2 = G s cos s cos sin = 1 2 v 2 g s= v2 2 g E B G = G ssin 1 cos sin Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

46 2.3 Energieerhaltungssatz z s Beispiel 2: Achterbahn Gegeben: Masse des Wagens m A φ R z(s) z(s) ψ B Radius R Anfangsgeschwindigkeit v(s=0) = v 0 Gesucht: Geschwindigkeit v(s) R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

47 2.3 Energieerhaltungssatz Nur die Gewichtskraft verrichtet Arbeit. Da die Gewichtskraft eine konservative Kraft ist, gilt der Energieerhaltungssatz. Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird Punkt A gewählt. Stelle s = 0: Kinetische Energie: E K 0 = 1 2 m v 2 0 Lageenergie: E 0 G =m g R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

48 2.3 Energieerhaltungssatz Beliebige Stelle s: Kinetische Energie: Lageenergie: Energieerhaltungssatz: E K s = 1 2 m v2 s E G s =m g z s =m g R cos s R E K s E G s =E 0 K E 0 G 1 2 m v2 s m g R cos s R = 1 2 m v 2 0 m g R v s = R v g 1 cos s R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

49 2.4 Massenpunktsysteme Arbeitssatz für einen Massenpunkt: Für jeden einzelnen Massenpunkt mit Index i gilt der Arbeitssatz E K Bi E K Ai =W ABi Für die kinetische Energie des Massenpunktes gilt: E K Ai = 1 2 m v 2 i Ai, E K Bi = 1 2 m v 2 i Bi W ABi ist die von den am Massenpunkt angreifenden äußeren und inneren Kräften verrichtete Arbeit: X W ABi =W I ABi W ABi Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

50 2.4 Massenpunktsysteme Für die Arbeit der äußeren Kräfte gilt: Für die Arbeit der inneren Kräfte gilt: X W = ABI F i d r C i I W = ABi C i j F ij d r Die Summe erstreckt sich über alle inneren Kräfte F ij, die am Massenpunkt mit Index i angreifen. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

51 2.4 Massenpunktsysteme Arbeitssatz für das Massenpunktsystem: Summation über die einzelnen Massenpunkte ergibt: i E Bi K K E Ai = i X W I ABi W ABi i Kinetische Energie des Massenpunktsystems: 1 2 m v 2 i i E K = i E i K = i Arbeit der äußeren Kräfte: Arbeit der inneren Kräfte: X W = X AB W ABi i I W = AB i I W = ABi i C i j F ij d r Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

52 2.4 Massenpunktsysteme Damit lautet der Arbeitssatz für das Massenpunktsystem: E K B E K A =W X I AB W AB Der Weg C i, den der Massenpunkt i beschreibt, stimmt im Allgemeinen nicht mit dem Weg C j überein, den der Massenpunkt j beschreibt. Daher ist trotz F ij + F ji = 0 die von den inneren Kräften verrichtete Arbeit im Allgemeinen nicht null. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

53 2.4 Massenpunktsysteme Starre Bindung: Liegt zwischen zwei Massenpunkten eine starre Bindung vor, so beschreiben sie bei einer Translation den gleichen Weg. Für die Arbeit der inneren Kräfte folgt daraus: m 2 dr A F 21 F 12 dr C C B I W = AB F 12 F 21 d r=0 C m 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

54 2.4 Massenpunktsysteme Bei einer Rotation steht das Wegelement dr senkrecht auf der Verbindungslinie der beiden Massenpunkte. Wegen F 12 d r 1 =0, F 21 d r 2 =0 m 2 F 21 dr 2 gilt also ebenfalls: Ergebnis: m 1 I W AB =0 dr 1 F 12 Bei Bei einem einem Massenpunktsystem mit mit starren starren Bindungen Bindungen verrichten verrichten die die inneren inneren Kräfte Kräfte keine keine Arbeit. Arbeit. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

55 2.4 Massenpunktsysteme Für Systeme mit starren Bindungen vereinfacht sich der Arbeitssatz zu E K B E K X A =W AB Wenn die äußeren Kräfte konservativ sind, dann kann die von ihnen verrichtete Arbeit aus der Differenz der potenziellen Energien berechnet werden: X W AB =E P A E P = B i Dann lautet der Arbeitssatz: E P P Ai E B i E B K E B P =E A K E A P Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

56 2.4 Massenpunktsysteme Dabei kann für jeden Massenpunkt ein eigenes Nullniveau gewählt werden. Beispiel: Flaschenzug Aufgabenstellung: Die beiden Massen m 1 und m 2 sind durch ein masseloses dehnstarres Seil verbunden, das über masselose Rollen läuft. Wie groß sind die Beschleunigungen, wenn das System aus der Ruhe losgelassen wird? m 1 m 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

57 2.4 Massenpunktsysteme Wahl der Freiheitsgrade: Die Lagekoordinaten s 1 und s 2 der beiden Massen werden ab der Ausgangslage nach unten gemessen. Kinematische Bindung: Innere Kräfte: 2 s 1 s 2 =0 ṡ 2 = 2 ṡ 1 Da eine starre Bindung vorliegt, verrichten die inneren Kräfte keine Arbeit. s 1 m 1 s 2 m 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

58 2.4 Massenpunktsysteme Äußere Kräfte: Als äußere Kraft wirkt die Gewichtskraft. Sie ist eine konservative Kraft. Wird das Nullniveau der Lageenergie jeweils in die Ausgangslage der Massen gelegt, dann gilt: E G A 1 =0, E G B 1 = m 1 g s 1, E G A 2 =0, E G B2 = m 2 g s 2 Dabei kennzeichnet der Index A den Ausgangszustand und der Index B den ausgelenkten Zustand. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

59 Kinetische Energie: 2.4 Massenpunktsysteme Das System ist am Anfang in Ruhe. Also gilt: E A K =0 Für die kinetische Energie im ausgelenkten Zustand gilt: E K B = 1 2 m 1s m 2 2 s 2 Arbeitssatz: 1 2 m 1 ṡ m 2 ṡ 2 2 m 1 g s 1 m 2 g s 2 =0 Mit der kinematischen Bindung folgt daraus: 1 2 m 1 ṡ m 2 ṡ 1 2 m 1 g s 1 2 m 2 g s 1 =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

60 2.4 Massenpunktsysteme Geschwindigkeit: v 1 s 1 =ṡ 1 =± 2 m 1 2 m 2 m 1 4 m 2 g s 1 Für m 1 > 2m 2 muss s 1 positiv sein. Die Masse m 1 bewegt sich nach unten. Es ist das positive Vorzeichen der Wurzel zu nehmen. Für m 1 < 2m 2 muss s 1 negativ sein. Die Masse m 1 bewegt sich nach oben. Es ist das negative Vorzeichen der Wurzel zu nehmen. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

61 Beschleunigungen: 2.4 Massenpunktsysteme Die Geschwindigkeit v 1 ist als Funktion des Weges s 1 bekannt. Daraus berechnet sich die Beschleunigung a 1 zu a 1 =v 1 dv 1 ds 1 = 1 2 d v 1 2 = m 1 2 m 2 g ds m 1 4 m 2 Aus der kinematischen Bindung folgt: a 2 = 2 a 1 = 2 m 1 2 m 2 m 1 4 m 2 g Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

62 2.5 Leistung und Wirkungsgrad Leistung: Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeiteinheit: P= dw dt Die Einheit der Leistung ist 1 J s =1 N m s =1W (Watt) Aus der Definition der Arbeit folgt P=F v P= dw dt = F d r dt =F d r dt Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

63 2.5 Leistung und Wirkungsgrad Wirkungsgrad: Der mechanische Wirkungsgrad η einer Maschine ist definiert als das Verhältnis der abgegebenen Nutzleistung P N zur aufgewendeten Leistung P A : = P N P A Wegen der stets auftretenden Verluste ist η < 1. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

64 2.5 Leistung und Wirkungsgrad Beispiel: Ein PKW fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit v von 60km/h auf ebener Straße. Die Motorleistung P A beträgt 30kW. Der Wirkungsgrad η hat einen Wert von 0,8. Wie groß ist die Antriebskraft F? Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

65 2.5 Leistung und Wirkungsgrad Für die Nutzleistung gilt: Daraus folgt: P N =F v = F v P A P A v =F Zahlenwert: F= 0, Nm/s 60/3,6 m/s =1,44 kn Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

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