11.1 Kinetische Energie

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1 75 Energiemethoden Energiemethoden beinhalten keine neuen Prinzipe, sondern sind ereinfachende Gesamtbetrachtungen an abgeschlossenen Systemen, die aus den bereits bekannten Axiomen folgen. Durch Projektion aller Kräfte auf die Bewegungsrichtung bilanzieren sie die erschiedenen Energie- und Arbeitsbeiträge für zwei erschiedene Systemzustände, aus denen man für bestimmte Systeme ohne Integration direkte Zusammenhänge zwischen Lage und Geschwindigkeit ablesen kann. Allerdings liefern Energiemethoden nur skalare Gleichungen und damit nur Aussagen über Beträge oder einzelne Größen. Die Trägheitseigenschaften eines Systems spiegeln sich in ihrer kinetischen Energie wider. Für den Massenpunkt und den Starrkörper ergeben sich einfache Beziehungen in Abhängigkeit seiner Masse, seines Trägheitstensors und seines Geschwindigkeitszustands. Die Gesamtenergie eines Systems erhält man durch Aufsummieren der Einzelenergien. Kräfte und Momente in Bewegungsrichtung leisten Arbeit am System und erändern damit die Energiebilanz. Die geleistete Arbeit lässt sich in Energiespeichern wie Federn in Form on potentieller Energie aufnehmen, speichern und wieder erlustfrei freisetzen. Eingeprägte Kräfte mit einer solchen Eigenschaft bezeichnet man als Potentialkräfte. Reaktionskräfte leisten bezogen auf das Gesamtsystem keine Arbeit, da sie senkrecht auf den Bewegungen stehen. Sie werden bei der Energiebetrachtung automatisch eliminiert und ereinfachen damit die Berechnungsaufgabe. Durch Differentiation der Arbeit bezüglich der Zeit erhält man die Leistung einer Kraft oder eines Moments. Das Verhältnis on Nutzleistung zu eingebrachter Leistung bezeichnet man als Wirkungsgrad eines Systems, der bei mechanischen Systemen nicht größer als eins sein kann. Bei hintereinander geschalteten Teilsystemen ergibt sich der Gesamtwirkungsgrad als Produkt der Einzelwirkungsgrade. Betrachtet man ein System an zwei erschiedenen Zeitpunkten, dann entspricht die Änderung der kinetischen Energie der on den Kräften geleisteten Arbeit. Im Unterschied zu den Impulsbetrachtungen am Gesamtsystem heben sich innere Kräfte bei Energiebetrachtungen nicht heraus, sondern sind in der Energiebilanz zu berücksichtigen. Treten nur Potentialkräfte auf, bleibt die Gesamtenergie konstant, man bezeichnet das System dann als konserati.

2 76 Energiemethoden. Kinetische Energie Massenpunkt Definition: T m mt T p z m Einheit: [Nm] [J] Starrkörper x y Massenelement: dt dm dmt Starrkörperkinematik O ~ r C dm z O O x O y Körper: T mt O O mt O r~ C T I O Sonderfälle: O C Schwerpunkt O C und ebene Bewegung O Fixpunkt oder Momentanpol T mt C C T I C T m Cx Cy I Cz T T I O Mehrkörpersystem T K i dm i Ki dm T i i kinetische Energie des einzelnen Massenpunkts oder Körpers

3 Energiemethoden 77. Arbeit, Leistung und potentielle Energie Arbeit Kraft dw F dr F T dr dr T F F cos dr Integration über Bahnkure Moment F T dr Einheit: [Nm] [J] d dt M F Bahnkure dr dt dw M d M T d d T M M cos d Integration über Drehbewegung M T d Einheit: [Nm] [J] Kräftesystem: Aufsummieren der Einzelarbeiten i F T i dr i j M T j d j Leistung allgemeine Definition P dw dt Einheit: Nms Js [W] Kraft: dw F T dr F T dt P F T Moment dw M T d M T dt P M T Wirkungsgrad P Zufuhr P Nutz System P Nutz P Zufuhr Einheit: [] P Verlust Systemkette: n P 0 n P n P V P V P Vn

4 78 Energiemethoden Potentielle Energie lineare Feder Arbeit zum Spannen der Feder: W(s) s F(x)dx s cxdx cs 0 0 F cs dx F cx U(s) in Feder gespeicherte Energie: U(s) cs 0 s x potentielle Energie = Potential, Arbeit zu leisten: s s ( cx)dx cs cs Vergleich U U(s ) U(s ) cx dx 0 s s x konstante Gewichtskraft [00 mg ] dx dy dz mgz dz z mgz mgz U(z) mgz allgemeine Definition Eine Kraft F ist eine Potentialkraft, wenn die geleistete Arbeit nicht om Weg, sondern nur on den Endpunkten abhängt. Es existiert dann eine Potentialfunktion U(r), so dass gilt: z z z O U U(r ) U(r ). Bestimmung on U(r) U(x, y, z): du dw F T dr U x dx U dy U y z dz F xdx F y dy F z dz U x F x, U y F y, U z F z r O r grad U Ux Uy Uz F

5 Energiemethoden 79.3 Energiebilanz Durch Integration der Grundgleichungen über die Bewegung kann ein skalarer Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Ort jeweils zu Beginn und am Ende der Bewegung gefunden werden. Massenpunkt Impulssatz: m. F Skalarprodukt mit (Elimination der Lagerreaktionen) m F Bahnkure Leistungsbilanz: die zeitliche Änderung der kinetischen Energie entspricht der Leistung der resultierenden Kraft dt dt P Integration über Bahnkure Energiebilanz: die Änderung der kinetischen Energie entspricht der Arbeit der resultierenden Kraft T T

6 80 Energiemethoden Abgeschlossene Massenpunktsysteme Impulssatz für ein Massenelement dm: dm. df (a) df (i) Skalarprodukt mit und Integration über System (Elimination der Bindungsreaktionen) dm df (i) df (a) abgeschlossenes System S Leistungsbilanz: dt dt P(a) P (i) Integration über Bahnkure Energiebilanz: T T W (a) W (i) Abgeschlossene Mehrkörpersysteme Obige Bilanzgleichungen gelten analog unter Berücksichtigung der Leistung bzw. Arbeit der eingeprägten Momente Energieerhaltung eines konseratien Systems konseraties System: alle inneren und äußeren Kräfte sind Potentialkräfte W (a) W (i) U U Energiebilanz: T T U U T U T U E E Gesamtenergie des Systems bleibt konstant

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