Praktikumsprotokoll: Torsions-Oszillator

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1 Praktikumsprotokoll: Torsions-Oszillator Robin Marzucca, Andreas Liehl 07. Dezember 010 Protokoll zum Versuch Torsions-Oszillator, durchgeführt am an der Universität Konstanz im Rahmen des physikalischen Anfängerpraktikums I von Robin Marzucca und Andreas Liehl unter Tutorin Annika Schoe. Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Grundlagen.1 Drehmoment und Torsionsfeder Schwingungsformen Freie Harmonische Schwingungen Gedämpfte Schwingungen Phasenverschiebung Erzwungene Schwingungen Wirbelstrombremse Der Versuch Teil 1: Dynamische Bestimmung der Torsionskonstante Teil : Freie gedämpfte Schwingungen Teil 3: Erzwungene Schwingungen Auswertung Teil 1: Dynamische Bestimmung der Torsionskonstante Teil : Freie gedämpfte Schwingungen Teil 3: Erzwungene Schwingungen Fragen und Antworten 17 1

2 1 Einleitung Bei diesem Versuch werden mit Hilfe eines Torsions-Oszillators die Eigenschaften mechanischer Schwingungen untersucht. Dabei werden wir uns insbesondere mit den Phänomenen Dämpfung und Resonanz befassen. Grundlagen Um sich eingehend mit dem Torsions-Oszillator befassen zu können sollten zunächst einige grundlegende Begriffe erläutert werden. Wir werden deshalb zunächst einmal auf die Torsionsfeder, das rücktreibende Drehmoment, verschiedene Formen der Schwingung (die harmonische, die gedämpfte, und die erzwungene Schwingung) und in diesem Zusammenhang auch auf die Eigenfrequenz, den Einschwingvorgang und die Phasenverschiebung eingehen. Schließlich werden wir noch die Funktionsweise der Wirbelstrombremse erläutern..1 Drehmoment und Torsionsfeder Wird ein Körper um eine Achse gedreht, so sprechen wir dabei von einer Rotationsbewegung. Ist diese Rotationsbewegung periodisch, sprechen wir dabei von einer Drehschwingung. Analog zur Rückstellkraft bei der Betrachtung einer translativen Schwingung existiert hier das rücktrebende Drehmoment. Das Drehmoment ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Kraft mit dem senkrechten Abstand zwischen Massenpunkt, auf den die Kraft wirkt und Drehachse, was analog zur Translationsbewegung dem Produkt aus dem Trägheitsmoment und der Winkelbeschleunigung und der Ableitung des Drehimpulses entspricht. M = r F = Θ ω = d L dt Eine Torsionsfeder ist in der Regel ein Stab oder ein Faden, durch dessen Verdrehung bzw. Verdrillung um einen Winkel ϕ ein Torsionsmoment, also ein rücktreibendes Drehmoment M erzeugt wird. Die Torsionskonstante D beschreibt, wie die Federkonstante D beim Hookeschen Gesetz das Verhältnis zwischen Auslenkwinkel und Drehmoment: M = D ϕ Dadurch wird mit Hilfe der Torsionsfeder eine Schwingung erzeugt.

3 . Schwingungsformen..1 Freie Harmonische Schwingungen Die Freie Harmonische Schwingung ist ein Spezialfall, bei dem das rücktreibende Drehmoment proportional zum Winkel ϕ, um den die Torsionsfeder verdrillt wurde, ist, wobei das System vollkommen ungedämpft ist. Für die Bewegungsgleichung einer harmonischen Schwingung ergibt sich die Differentialgleichung: Θ ϕ + Dϕ = 0 (1) wobei Θ das Trägheitsmoment ist 1. Die allgemeine Lösung der harmonischen Schwingungsgleichung (Gleichung (1)) lautet: ϕ(t) = A 0 sin(ωt + φ) () wobei A 0 der Amplitude und φ der Phasenverschiebung zum Zeitpunkt t = 0 entspricht. Die Eigenfrequenz ω berechnet sich gemäß Gleichung (1) mit ω = D Θ. Daraus erhalten wir die Periodendauer der Schwingung: Θ T = π (3) D.. Gedämpfte Schwingungen Schwingt ein System in der Realität, so wird es dabei unweigerlich zu einem Übergang von kinetischer Energie in Wärmeenergie geben, da z.b. eine reibungsfreie Bewegung nicht realisierbar ist. Diesen Abfall der kinetischen Energie und die damit verbundene Abnahme der Amplitude mit jeder Schwingung wird als Dämpfung bezeichnet. Für die Differentialgleichung der gedämpften Schwingung eines Körpers der Masse m ergibt sich dann: mẍ + kẋ + Dx = 0 (4) Hierbei bezeichnet k den Reibungskoeffizienten und D die Proportionalitätskonstante. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet nun: x(t) = A 0 e βt sin(ωt + ϕ) (5) 1 Das Trägheitsmoment ergibt sich dabei aus der Summe der Produkte aus den einzelnen Massepunkten und deren Entfernung zur Rotationsachse im Quadrat: Θ = i mir i. Für Homogene Körper, also Körper mit konstanter Dichte ϱ können wir ds Trägheitsmoment auch über das Volumenintegral berechnen durch: Θ = ϱr dv. 3

4 Mit β = k m, was dem Dämpfungskoeffizienten enspricht und ω = D m + β, was der Eigenfrequenz entspricht. Weiter ist A 0 die erste Amplitude und ϕ die Phasenverschiebung zum Zeitpunkt t = 0. Als Maß der Dämpfung wird meistens das logarithmische Dekrement, was definiert ist durch den Logarithmus des inversen Amplitudenverhältnisses, angegeben. Nach einfachen Termumformungen ergibt sich für das logarithmische Dekrement das Produkt aus dem Dämpfungskoeffizienten β und der Periodenduer T : [ ] An Λ = ln = βt (6) A n+1 Das resultierende Schwingungsbild bei einer gedämpften Schwingung sollte dann wie folgt aussehen: Abbildung 1: Schwingungsbild einer gedämpften Schwingung aus [4]..3 Phasenverschiebung Verlaufen zwei Schwingungen gleicher Periodendauer nicht parallel, treten ihre Maxima also nicht zur selben Zeit auf, so sind sie zueinander phasenverschoben. Die Phasenverschiebung ϕ bezeichnet dabei die zeitliche Differenz zwischen zwei Maxima 4

5 der beiden Schwingungen. Sie spielt bei den erzwungenen Schwingungen eine wichtige Rolle...4 Erzwungene Schwingungen Wird ein schwingfähiges System durch eine äußere Kraft angeregt, so sprechen wir dabei von einer erzwungenen Schwingung. Ist diese Kraft periodisch, so wird das System nach einer gewissen Einschwingphase eine ebenfalls periodische Schwingung durchführen. In der Einschwingphase entspricht die durchgeführte Schwingung einer Überlagerung der Schwingung des Systems mit seiner Eigenfrequenz mit der Schwingung der Kraft. Der Einschwingvorgang dauert so lange, bis die Eigenschwingung des Systems komplett durch die Dämpfung ausgeklungen ist. Letztlich schwingt das System mit der Frequenz, mit der sich die Kraft ändert. Hat die periodische Kraft dieselbe Eigenfrequenz, oftmals auch als Resonanzfrequenz bezeichnet, wie das System, so kommt es im ungedämpften Fall zur sog. Resonanzkatastrophe (die Amplitude wird kontinuierlich größer), wobei das System zerstört werden kann. Im gedämpften Fall wird die Amplitude dort maximal. In diesem Fall wird sich die Phasenverschiebung bei ϕ = π einpendeln. Weicht die Frequenz der periodischen Kraft jedoch stark von der Eigenfrequenz ab, so nimmt auch die Amplitude der resultierenden Schwingung ab. Der Kurvenverlauf, wenn man die Amplitude in Abhängigkeit der Frequenz aufträgt sollte dann wie folgt aussehen: Abbildung : Theoretisch zu erwartende Resonanzkurve. Es sind verschiedene Kurven aufgetragen mit verschieden starker Dämpfung aus [3]. Die experimentell bestimmte Kurve finden Sie in Abb. (8). 5

6 Verändert man die Frequenz, so ergibt sich die Phasenverschiebung durch: ( ) βω φ = arctan ω0 ω Die Kurve der Phasenverschiebung sollte dann wie folgt aussehen: (7) Abbildung 3: Theoretisch zu erwartende Phasenverschiebung, wobei wieder verschiedene Kurven für verschiedene Dämpfungsgrade aufgetragen sind aus [3]. Die experimentell bestimmte Kurve finden Sie in Abb. (7)...5 Wirbelstrombremse Durch die Rotation der Kupferplatte in einem inhomogenen Magnetfeld werden in der Platte Wirbelströme induziert. Durch diese Wirbelströme werden wiederum andere Magnetfelder erzeugt, die nach der Lentzschen Regel der Ursache entgegen wirken, sie also bremsen und damit in unserem Fall die Schwingung dämpfen. 3 Der Versuch Der verwendete Torsions-Oszillator (Abb. (4)) von der Firma TeachSpin besteht aus einem langen, dünnen Stahlseil, an dem eine Kupferscheibe, die Schwungscheibe befestigt hier: der Bewegung 6

7 ist. Das Stahlseil wird auch Torsionsfeder oder Torsionsfaden genannt. Die Kupferscheibe lässt sich für Winkel ϕ π problemlos auslenken. Tut man dies, so bewirkt die Verdrillung der Torsionsfeder ein Rücktreibendes Drehmoment und die Schwungscheibe führt Schwingungen aus. Um die Schwingung zu dämpfen, werden oberhalb und unterhalb der Kupferscheibe bewegliche Magnetschuhe angebracht, die als Wirbelstrombremse fungieren und damit die Schwingung der Schwungscheibe dämpfen. Weiter befindet sich unterhalb der Schwungscheibe eine Welle mit Permanentmagneten, die mit der Schwungscheibe verbunden sind. Diese wird von einem Helmholtz- Spulenpaar umgeben. Zur weiteren Ausrüstung gehören acht Hohlzylinderviertel aus Messing, das Speicheroszilloskop Rigol DS10C und ein Sinusgenerator. Abbildung 4: Versuchsaufbau des Torsionsoszillators aus [1] 3.1 Teil 1: Dynamische Bestimmung der Torsionskonstante Im ersten Versuchsteil werden zunächst nacheinander die acht Hohlzylinderviertel auf der Schwungscheibe platziert, die Schwungscheibe ausgelenkt und anschließend am Oszilloskop die Periodendauer der resultierenden Schwingung abgelesen. Das Schwingungsbild am Oszilloskop wird über das Helmholtz-Spulenpaar aufgezeichnet. Die Permanentmagnete an der Welle induzieren in den Spulen eine Wechselspannung, welche abgenommen wird und auf dem Oszilloskop aufgezeichnet. Über die Periodendauern errechnet sich später die Torsionskonstante D. Dazu müssen logischerweise noch die Hohlzylinderviertel gewogen, sowie deren geometrische Abmessungen bestimmt werden. Die Magnetschuhe werden hier so positioniert, dass keine Dämpfung wirkt. 7

8 3. Teil : Freie gedämpfte Schwingungen Im zweiten Versuchsteil sollen freie gedämpfte Schwingungen beobachtet werden. Dazu werden die Magnetschuhe nun so positioniert, dass die Schwungscheibe abgebremst wird. Nun wird die Schwungscheibe wieder ausgelenkt und die resultierende Schwingung wie in Versuchsteil 1 auf dem Oszilloskop aufgezeichnet. Die relevanten Messwerte, die hier abgelesen werden müssen, sind die Frequenz f und die Amplitude mehrerer aufeinanderfolgender Maxima. Insgesamt werden drei gedämpfte Schwingungen mit verschieden starken Dämpfungen beobachtet. Zum Schluss wird noch eine Schwingung (warum hier nur bedingt von einer Schwingung gesprochen werden kann, steht in Kap. 5, Frage ) mit sehr starker Dämpfung beobachtet. 3.3 Teil 3: Erzwungene Schwingungen Im dritten und letzten Versuchsteil sollen erzwungene Schwingungen beobachtet werden. Auch hier wird die Schwingung wieder gedämpft, um eine Resonanzkatastrophe zu verhindern. Dazu wird der Sinusgenerator an den Torsions-Oszillator angeschlossen. Nun wird über das Helmholtz-Spulenpaar, dass mit dem Sinusgenerator verbunden ist, die Schwungscheibe zu Schwingungen angeregt. Zunächst gilt es, die Eigenfrequenz des Systems (Schwungscheibe mit Welle und Torsionsfeder) zu finden. Ist diese gefunden, wird das System zu Schwingungen mit Frequenzen, die fast alle verteilt um die Resonanzfrequenz liegen, angeregt. Die Schwingung wird wie in den Versuchsteilen 1 und wieder auf dem Oszilloskop aufgezeichnet. Nach dem Einschwingvorgang werden die Frequenz des Sinusgenerators, die Amplitude der erzwungenen Schwingung und die Phasenverschiebung der beiden Schwingungen abgelesen. Insgesamt werden zehn erzwungene Schwingungen beobachtet, dabei jeweils fünf oberhalb und fünf unterhalb der Resonanzfrequenz. 4 Auswertung 4.1 Teil 1: Dynamische Bestimmung der Torsionskonstante Im ersten Versuchsteil soll die dynamische Torsionskonstante D dyn bestimmt werden. Dazu wird zunächst das Trägheitsmoment der Schwungscheibe Θ 0 berechnet. Diese ist 8

9 ein Hohlzylinder, dessen Trägheitsmoment sich berechnet durch: ra Θ HZ = ϱ = ϱ r I π h 0 [ 1 πhr4 0 ] ra r I r dzrdϕdr = 1 ϱπh ( ra ri ) ( r }{{} A + ri) m HZ = 1 m ( HZ r A + ri) (8) Mit den Maßen der Schwungscheibe: r A = 6, 85cm r I = 1, 95cm m S = (96 ± )g ergibt sich das Trägheitsmoment der Schwungscheibe: Θ 0 = (19, 81 ± 0, 04) 10 4 kgm (9) wobei hier, da bei den Radien der Schwungscheibe keine Ungenauigkeit angegeben war, die Ungenauigkeit für Θ 0 berechnet wird durch 3 : δθ 0 = Θ 0 δm HZ = r I + r A m HZ δm HZ Nun wurden nacheinander die 8 Hohlzylinderviertel auf die Schwungscheibe gelegt, wodurch sich natürlich das Trägheitsmoment verändert. Das Gesamtträgheitsmoment ermittelt sich dann additiv mit: Θ ges = Θ 0 + n Θ HZV d.h. das Gesamtträgheitsmoment hängt linear von der Anzahl der aufgelegten Hohlzylinderviertel ab. Θ HZV bezeichnet hier das Trägheitsmoment der Hohlzylinderviertel zur Drehachse durch den Schwerpunkt der Schwungscheibe. Es berechnet sich ebenfalls mit Gleichung (8). Um die Rechnung hier zu vereinfachen, wurden die Massen aller 8 Hohlzylinderviertel bestimmt, deren Mittelwert berechnet und mit diesem Mittelwert gerechnet wurde. Es ist m HZV = (14, 0 ± 0, 01)g. Für das Trägheitsmoment der Hohlzylinderviertel wurden außerdem Außen und Innendurchmesser bestimmt: r I = (, 15 ± 0, 050)cm r A = (4, 65 ± 0, 05)cm 3 Diese und alle weiteren Formeln zur Fehlerfortpflanzung stammen aus [] 9

10 und es ist: Θ HZV = 1 m HZV ( r I + r A) = (7, 97 ± 0, 55) 10 5 kgm wobei sich hier die Unsicherheit berechnet durch: δθ HZV = = ( ) ( ) ( ) ΘHZV ΘHZV ΘHZV δm HZV + δr A + δr I m HZV r A r I (r A + ) r I δm HZV + (m HZV r A δr A ) + (m HZV r I δr I ) Über Gleichung (3) gilt die lineare Abhängigkeit auch für ( T π ). In Abb. (5) ist dieser Rechenausdruck mit den gemessenen Periodendauern über n aufgetragen und die Messwerte zu einer Geraden gefittet. Die gemessenen Periodendauern dauern bei n aufgelegten Hohlzylinderviertel finden sich in Tab. (1). Anzahl der Hohlzylinderviertel n Periodendauer T[s] 0 1, ,44 1, , , , , ,63 8 1,688 Tabelle 1: Gemessene Periodendauern T bei n aufgelegten Hohlzylinderviertel Die gefittete Gerade in Abb. (5) hat die Gleichung ( T n ) π = 0, n + 0, 03439, also ist die Steigung m = 0, und der y-achsenabschnitt y 0 = 0, Weiter ist auch: ( Tn π ) = Θ ges D = n ΘHZV D + Θ 0 D (10) Über das berechnete Trägheitsmoment der Hohlzylinderviertel ergibt sich schließlich aus Gleichung (10) die dynamische Torsionskonstante: D = Θ HZV m = (59, 39 ± 1, 16) 10 3 Nm rad mit δ D = 1 m δθ HZV. Somit können wir auch das Trägheitsmoment der Schwungscheibe mit Messwerten aus dem Experiment berechnen: Θ 0 = y 0 D = (0, 45 ± 0, 40) 10 4 kgm 10

11 Abbildung 5: Gefittete Gerade für ( T n π ) aufgetragen über n. mit δθ 0 = y 0 δ D. Wir vergleichen dies mit dem berechneten Θ 0 aus Gleichung (9) und stellen fest, dass die relative Abweichung lediglich 3,3% beträgt. 4. Teil : Freie gedämpfte Schwingungen Im zweiten Versuchsteil werden freie gedämpfte Schwingungen beobachtet. Dazu wird zunächst das Logarithmische Dekrement nach Gleichung (6) berechnet, wobei das Verhältnis der Amplituden betrachtet wurde und nicht die Periodendauer und der Dämpfungskoeffizient, da dieser ja noch unbekannt ist. Für die drei beobachteten Schwingungen ist in der folgenden Tabelle jeweils die Amplitude und das logarithmische Dekrement eingetragen, welches dimensionslos ist. Die Amplitude ist in der Dimension [V ] aufgetragen, da der Ausschlagwinkel der Schwungscheibe nicht manuell abgelesen wurde (was aufgrund der Dimensionslosigkeit des Dekrements auch überflüssig gewesen wäre). Die Ungenauigkeit ist δu = 0, 01V (Ausnahme: Bei U max, U min, U max3 und U min3 ist δu = 0, 001V ). 11

12 Messung 1 Messung Messung 3 U max1 1,8 U max1 1,88 U max1 0,88 U min1-0,9 U min1-1,56 U min1-0,48 U max 0,76 U max 1,34 U max 0,38 U min -0,5 U min -1,00 U min -0,15 U max3 0,44 U max3 0,94 U max3 0,136 U min3-0,30 U min3-0,76 U min3-0,03 Tabelle : Messwerte der Amplituden der drei gedämpften Schwingungen Verhältnis Λ Messung 1 Λ Messung Λ Messung 3 U max1 U max (5, 13 ± 1, 53) 10 (33, 86 ± 0, 9) 10 (98, 69 ± 3, 5) 10 U min1 U min (57, 05 ±, 1) 10 (41, 87 ± 1, 0) 10 (114, 99 ± 6, 90) 10 U max U max3 (54, 65 ±, 63) 10 (35, 45 ± 1, 30) 10 (88, 04 ± 0, 80) 10 U min U min3 (55, 00 ± 3, 85) 10 (7, 44 ± 1, 65) 10 (155, 81 ± 3, 19) 10 Mittelwert (54, 71 ± 1, 3) 10 (34, 66 ± 3, 88) 10 (114, 38 ± 19, 48) 10 Tabelle 3: Berechnetes Logarithmisches Dekrement Die Unsicherheit für das Logarithmische Dekrement berechnet sich damit durch: δλ i = = ( ) ( ) Λi Λi δu + δu U maxi U maxi δu U maxi U maxi+1 Weiter wird für die Unsicherheit des Mittelwertes des Logarithmischen Dekrements mit der Standardabweichung gerechnet und es ist: δλ = 1 N ( Λi Λ ) N(N 1) i=1 Nun wollen wir noch den die Dämpfungskonstante β betrachten. Die allgemeine Lösung für die gedämpfte Schwingung lautet: ( ϕ(t) = e βt ϕ 0 cos ω g t + βϕ ) 0 + ϕ 1 sin ω g t (11) ω g 1

13 Das Logarithmische Dekrement berechnet sich aus dem Amplituden Verhältnis zweier Maxima. Für t = t 1 + T gilt also 4 : ( ) ϕ(t1 ) Λ = ln ϕ(t ) ( e βt = ln e β(t+t ) ) ( ) = ln e βt = βt = β f g (1) Also ist die Dämpfungskonstante β = f g Λ. Wenn wir nun die Dämpfungskonstante β über das logarithmische Dekrement Λ aufgetragen, müssten die Messwerte auf einer Geraden liegen, wobei dessen Steigung der Frequenz f g entspricht. Das folgende Diagramm bestätigt dies. Abbildung 6: Dämpfungskonstante β aufgetragen über Λ, wobei der lineare Fit der Gerade die zu erwartenden Frequenz f = 833, 3mHz liefert. 4 Da sin und cos periodisch sind, ist cos ω gt 1 = cos ωt + T = cos ωt und analog sin, weshalb sich der Sinus- und Cosinus-Term rauskürzt 13

14 4.3 Teil 3: Erzwungene Schwingungen Im letzten Versuchsteil wollen wir erzwungene Schwingungen beobachten. Zunächst ist dafür die Eigenfrequenz relevant. Diese ergibt sich aus der gemessenen Periodendauer bei der ungedämpften freien Schwingungen. Aus dem Messwert für T 0 = 1, 164s folgt sofort die Eigenfrequenz f 0 = 1 T 0 = 859, 1mHz mit Unsicherheit δf 0 = f 0 T 0 δt 0 = 1 T 0 δt 0 = 0, 7mHz. Nun werden für 10 Frequenzen, dabei jeweils 5 oberhalb bzw. unterhalb der Eigenfrequenz, die Amplitude und die Phasenverschiebung gemessen. Für die Phasenverschiebung wurde dabei am Oszilloskop der Zeitunterschied t zwischen einem Maximum der Anregerschwingung und einem Maximum der resultierenden Schwingung abgelesen, woraus sofort die Phasenverschiebung φ = t T π = t f π folgt. Sämtliche Werte sind in folgender Tabelle aufgeführt. Dabei gelten die Unsicherheiten δf = mhz, δu = 0, 01V und ( ) ( ) δ t = 0, 01s. Weiter ist δφ = φ t δ t + φ f δf = (πfδ t) + (π tδf). Frequenz [mhz] Amplitude [V ] t[s] φ[rad] 841 4,44 0,5 1, 31 ± 0, ,04 0,18 0, 96 ± 0, ,36 0,1 0, 599 ± 0, ,4 0,10 0, 44 ± 0, ,0 0,10 0, 53 ± 0, ,40 0,36 1, 983 ± 0, ,88 0,4, 357 ± 0, ,68 0,45, 70 ± 0, ,64 0,5 3, 440 ± 0, ,60 0,38 3, 71 ± 0, 086 Tabelle 4: Messwerte für Frequenz, Amplitude und (berechneter) Phasenverschiebung bei zehn erzwungenen Schwingungen. Die Werte t für f = 877mHz und f = 893mHz wurden leicht korrigiert, da am Oszilloskop da das größere t im Verhältnis zur Periodendauer angezeigt wurde und für diese beiden Werte ist t = T t. Nun wollen wir die Phasenverschiebung in Abhängigkeit der Anregungsfrequenz betrachten. Gemäß Gleichung (7) ist: ( ) ( ) βω 4πωf φ(f) = arctan w0 = arctan ω ω0 (13) (πf) In Diagramm (7) sind die Werte für φ über f aufgetragen und die Werte zu einer Kurve mit der Form des obigen arctan gefittet. Aus Gleichung (13) lässt sich schnell herauslesen, dass für f 0 die Phasenverschiebung φ 0. Das liegt daran, dass, wie bereits in Kap...4 erwähnt, die äußere Frequenz 14

15 Abbildung 7: Gefittete arctan-funktion, die die Phasenverschiebung mit Dimension [rad] in Abhängigkeit der Frequenz mit Dimension[Hz] angibt. sich bei der erzwungenen Schwingung durchsetzt. Das liegt daran, da bei sehr niedriger Anregungsfrequenz die Schwungscheibe genügend Zeit hat, der Anregungsfrequenz zu folgen. Das Gegenteil erhalten wir für f, dann gilt für die Phasenverschiebung φ π, was dadurch zu erklären ist, dass die Anregungsfrequenz dann so hoch ist, dass die Schwungscheibe der Anregung hinterherhinkt. Diese beiden Abhängigkeiten werden auch in Diagramm (7) deutlich. Als letztes bleibt noch die Betrachtung der Amplitude in Abhängigkeit der Anregungsfrequenz. Die Amplitude berechnet sich durch: A (f) = A e Θ ges (ω 0 ω) 4β ω = A e Θ ges (ω 0 πf) 16β π f (14) Wobei A e die Amplitude der Anregungsfrequenz und Θ ges das Gesamtträgheitsmoment des schwingenden Systems ist. In Diagramm (8) ist die Amplitude in Abhängigkeit der Anregungsfrequenz aufgetragen und die Werte zu einer Funktion der obigen Gestalt gefittet. Betrachtet man Funktion (14), so sieht man auch recht schnell, dass bei der ungedämpf- 15

16 Abbildung 8: Gefittete Funktion, die die Amplitude mit Dimension [V] in Abhängigkeit der Frequenz mit Dimension[Hz] angibt. ten Schwingung, also für β = 0 die Funktion wie folgt aussieht: A (f) = A e Θ ges ω 0 ω wodurch man sehr schnell sieht, dass die Funktion nicht definiert ist, wenn die Anregungsfrequenz gerade der Eigenfrequenz entspricht. Dann ist an dieser Stelle eine Polstelle und es kommt zur Resonanzkatastrophe. Für den Fall, dass β 0, ist an der Stelle mit ω = ω 0 gerade der Hochpunkt der Funktion. Dieser lässt sich mittels Differentialrechnung berechnen und liegt bei f 0 = 858, 41mHz. Damit wurde also der im 1. Versuchsteil bestimmte Wert für die Eigenfrequenz von f 0 = 859, 1mHz sehr gut getroffen und die prozentuale Abweichung beträgt lediglich 0,08%. 16

17 5 Fragen und Antworten Es soll noch kurz auf die gestellten Fragen eingegangen werden. Von welchem Materialeigenschaften hängt die Torsionskonstante D dyn ab? Die Torsionskonstante hängt in erster Linie von den Elastizitätseigenschaften des Materials der Torsionsfeder ab. Weiter wirken Länge und Durchmesser Letzterer mit ein. Was passiert bei sehr starker Dämpfung? Bei sehr starker Dämpfung tritt der sog. Kriechfall ein. Hier ist die Dämpfung so stark, dass keine Schwingung mehr zustande kommt und der Schwinger kehrt langsam in die Ruhelage zurück. Welche anderen Möglichkeiten gibt es ein Schwingungssystem zu dämpfen? Eine weitere Möglichkeit der Dämpfung wäre eine Bremse mit mechanischer Reibung anzubringen. Ebenso bremst auch die Luftreibung (wenn auch vernachlässigbar klein) den Schwinger. Warum beobachtet man im dämpfungsfreien Fall Resonanz bei einer Phasenverschiebung von 90? Bei einer Phasenverschiebung von φ = 90 = π ist die Elongation des Schwingers 0 und die Geschwindigkeit maximal genau dann, wenn die Beschleunigung der Anregungsschwingung maximal ist. Dadurch wird dem System bei maximaler Geschwindigkeit nochmals maximale Energie zugeführt und es kommt aufgrund ständiger zusätzlichen Energiezufuhr zur Resonanzkatastrophe. Warum ist die Berechnung von Θ genauer als die von Θ 0? Bei der Berechnung von Θ 0 wurde das Trägheitsmoment der Welle vernachlässigt. Bei Θ hingegen entsteht über den Mittelwert von vielen Einzelmessungen, weshalb hier eine deutlich höhere Genauigkeit zu erwarten ist. 17

18 Literatur Im Anhang befinden sich die verwendeten Quellen, sowie das Tabellen- und Abbildungsverzeichnis. [1] Runge, Bernd-Uwe: Torsions-Oszillator (für Studiengang Physik), Versuchsanleitung und Grundlagen, 010 [] Runge, Bernd-Uwe: C. Fehlerrechnung, Skript zur Fehlerrechnung für das physikalische Praktikum an der Universität Konstanz, 010 [3] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme, 5. Auflage, Springer-Verlag, 008 [4] Nolting, Wolfgang: Grundlagen der theoretischen Physik 1: Klassische Mechanik, 8. Auflage, Springer-Verlag, 006 Abbildungsverzeichnis 1 Gedämpfte Schwingung Resonanzkurve theoretisch Phasenverschiebung theoretisch Versuchsaufbau aus [1] Teil 1: ( T n ) π aufgetragen über n Teil : Dämpfungskonstante Teil 3: Diagramm Phasenverschiebung Teil 3: Diagramm Amplitude Tabellenverzeichnis 1 Teil 1: Periodendauern Teil : Amplituden Teil : Logarithmisches Dekrement Teil 3: Messwerte