Grundlagen der Elektrotechnik. Teil B

Transkript

1 Grndlagen der Elekroechnk Tel B Bebläer zr Vorlesng Prof. Dr.-Ing. Joachm Böcker nversä Paderborn esngselekronk nd Elekrsche Anrebsechnk Sommersemeser 6

2 Grndlagen der Elekroechnk B S. Vorwor Dese Bebläer fassen de wchgsen Inhale der Vorlesng Grndlagen der Elekroechnk, Tel B schworarg zsammen. Deses Skrp soll ken mfassendes ehrbch sen, sondern als Orenerng nd Gedächnssüze denen. Ich empfehle den Sdennnen nd Sdenen, af egene Nozen nch z verzchen nd darüber hnas neben dem Skrp ach andere erar z benzen. Es veref das Versändns, enen Sachverhal von enem anderen Aor, n ener anderen Schwese, ach andere Schrebwesen kennen z lernen. Selbs das Endecken vermenlcher oder asächlcher Wdersprüche s von Wer, wenn man gewll s, sch m den Inhalen nd sammenhängen asenander z sezen, nd nch ene Formelsammlng erware. Paderborn, m März 6

3 Grndlagen der Elekroechnk B S. 3 Inhal Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemene 6. wepole nd ählpfelsyseme 7. Krchhoffsche Geseze 8.3 Mehrpole.4 Ableng der Krchhoffschen Geseze as den allgemenen Feldglechngen Kennlnenmehode zr Arbespnkbesmmng 3 3 Melwer nd Effekvwer 4 4 Insaonäre Vorgänge an elemenaren wepolen 7 4. Bezechnngen 7 4. Wdersand Kondensaor Drossel 5 Nchlneare Elemene 4 5. Nchlneare Drossel 4 5. Nchlnearer Kondensaor 6 6 esng, Arbe, Energe m elekrschen Nezwerk 8 6. Arbe nd Energe 8 6. Energeblanz m Nezwerk 9 7 Elemenare Asglechsvorgänge Gled Gled Anfangs-Endwer-Darsellng für - nd -Gleder 36 8 Schwngkrese Schwngkres Parallelschwngkres ehenschwngkres Afschalng von sprngförmgen Größen af -Nezwerke 48 9 Snsförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken 5 9. Snsförmge Fnkonen 5 9. Komplexe Darsellng snsförmger Größen Snsförmge Größen an wepolen Impedanz nd Admanz Impedanzen nd Admanzen von Wdersand, Kondensaor nd Drossel ehenschalng nd Parallelschalng Impedanzen enger wepole 64

4 Grndlagen der Elekroechnk B S Allgemene Vorrassezngen für de echnng m Impedanzen nd Admanzen Orskrve nd Bodedagramm ehenschalng Parallelschalng Parallelschalng ehenschalng Überragngsfnkonen Überragngsverhalen enes Oszlloskop-Taskopfes Überragngsverhalen enes -ehenschwngkreses 8 esng be snsförmgen Vorgängen 85. Momenan-, Wrk-, Blnd- nd Schenlesng 85. esng nd Energe 89.3 Wrk- nd Blndsrom 9.4 Wrk- nd Blndspannng 9.5 Wrk- nd Blndlesngsblanz sowe Gesamenerge n Nezwerken 9.6 Tabelle für Schen-, Wrk- nd Blndlesng 93 eale Baelemene,, 94. Normrehen 94. Kennwere 94.3 Baformen Wdersände Kondensaoren Drosseln 99.4 eales Verhalen Enfache magnesche Syseme m Kern nd fspal. Ersazschalbld des magneschen Kreses. Indkvä nd Energe 4.3 Bezehngen zwschen Schenlesng, Geomere nd Maeral 6.4 Krafwrkng.5 Nchlneare Magneserng.6 Hyserese 6 3 Transformaor 9 3. Afba, Schalzechen 9 3. Idealseres Verhalen 3.3 Messwandler nd Überrager Sromwandler Spannngswandler Modellerng von Transformaoren m Sreng Berückschgng der Verlse eerlafverhalen Krzschlss nd Verhalen be Belasng sammenhang zwschen Geomere nd Schenlesng 36

5 Grndlagen der Elekroechnk B S. 5 4 Glechsromseller Tefsezseller Hochsezseller ücken ücken bem Tefsezseller ücken bem Hochsezseller 48 5 Glechsrommoor 5 5. Wrkprnzp 5 5. Afba Kommaor nd Ankerwcklngsschemaa Mahemasche Modellerng Elekrsche nd mechansche esng, Wrkngsgrad Schalngsaren, Klemmenbezechnngen nd Schalzechen Fremderreger nd permanen erreger Moor Bereb m Vorwdersänden Spesng drch enen Tefsezseller Nebenschlssmoor ehenschlssmoor 65 6 nearmoor Grndprnzp, enphasger nearmoor wephasger nearmoor Drehsrom-nearmoor 73 7 Drehsrom Energeüberragng Komplexe eger der Sernschalng Komplexe eger der Dreeckschalng mrechnng zwschen Sern- nd Dreeckschalng 84 8 Grechsche Bchsaben 85 9 erar 86 Klenes desch-englsches Glossar der wchgsen Begrffe 87

6 Grndlagen der Elekroechnk B S. 6 Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemene Elekrsche Nezwerke m dskreen Elemenen besehen as elekrschen we- oder Mehrpolen, de drch deal leende Verbndngen menander verknüpf snd. En elekrsches Nezwerk s ene Absrakon, drch de velfälge elekroechnsche Anordnngen nd Syseme ganz nerschedlcher Größenordngen dargesell werden können..b.: Elekrsche Energeverelngsneze geomersche Asdehnng: km bs z engen km Elekronsche Schalngen geomersche Asdehnng: mm I bs z engen cm En elekrsches Nezwerk beseh as zwe nerschedlchen Aren von Srkrelemenen: we- oder Mehrpole: Elemene m zwe oder mehreren elekrschen Anschlüssen, den Polen oder den Klemmen. Ideal leende Verbndngen, de de Anschlüsse der we- oder Mehrpole menander verbnden. we- oder Mehrpole können ganz nerschedlcher Ar nd ach gänzlch nerschedlcher Komplexä n hrem Innern sen. Bespele: wepole: Wdersand Kondensaor Drossel Haarrockner schzsoler, ohne Schzleer Baere Drepole: Transsor Sparransformaor Kühlschrank m Schzleer Verpole: Doppelleng zwe Enden m je zwe Anschlüssen Transformaor m zwe Wcklngen Fünfpol: Elekrscher Herd Drehsromanschlss m Neral- nd Schzleer

7 Grndlagen der Elekroechnk B S. 7 Bespel enes Nezwerks m wepolen nd Drepol: Wr verwenden den Begrff elekrsches Nezwerk n zwe ewas nerschedlchen sammenhängen:. Das Nezwerk als Schalplan: Das Nezwerk gb an, we ene reale Schalng afgeba s, welche Komponenen es benhale nd we dese Komponenen nerenander verbnden snd.. Das Nezwerk gb an, we sch en Sysem bezüglch äßerer Enflssgrößen verhäl, ohne dass es asächlch m Innern so beschaffen wäre, we es das Nezwerk beschreb. Derarge Nezwerke bezechnen wr als Ersazschalblder. Bespele: Ersazschalblder enes Transsor, enes Moors, enes Transformaors, ener Baere oder ener langen elekrschen eng.. wepole nd ählpfelsyseme De Wahl der ählrchngen von Srom nd Spannng s fre. Be der Berechnng elekrscher Nezwerke wrd häfg versch, de ählrchngen so enzführen, dass de Sröme nd Spannngen posv snd. Das s für von vornheren bekanne Größen drchas snnvoll. Für nbekanne Größen solle de ählrchng zwanglos fesgeleg werden. Es wrd dadrch nch asgedrück, dass der Srom asächlch n der Pfelrchng fleß bzw. ene posve Spannng n Pfelrchng anleg. De physkalsche chng ergb sch dann as dem reslerenden Vorzechen. Für wepole gb es zwe wchge Konvenonen der ählrchngen: Verbracher-ählpfel-Sysem Srom nd Spannng werden glechsnng gezähl wepol wepol

8 Grndlagen der Elekroechnk B S. 8 Erzeger-ählpfel-Sysem Srom nd Spannng werden gegensnng gezähl wepol wepol Sprechwese: En Srom fleß drch enen Anschlss, enen Pol, enen eer Ene Spannng leg an zwschen zwe Anschlüssen, zwe Polen, zwe Pnken esng am wepol p Verbracher-ählpfel-Sysem: De esng p wrd vom wepol afgenommen Erzeger-ählpfel-Sysem: De esng p wrd vom wepol abgegeben. Krchhoffsche Geseze Erses Krchhoffsches Gesez: De Smme* aller Sröme über ene belebg gewähle geschlossene Hülle s ses Nll: k k * De Smme wrd vorzechengerech ensprechend der gewählen ählpfelrchngen geblde. Als wchger Spezalfall ergb sch as dem ersen Gesez de Knoenregel: De Smme aller Sröme an enem Knoen s ses Nll. De oben formlere erweere Form s jedoch rech nüzlch:

9 Grndlagen der Elekroechnk B S Drepol 3 wees Krchhoffsches Gesez Maschenregel : De Smme* aller Spannngen enlang enes belebg gewählen geschlossenen mlafs Masche s ses Nll: k k * De Smme wrd vorzechengerech ensprechend der gewählen ählpfelrchngen geblde.

10 Grndlagen der Elekroechnk B S..3 Mehrpole n n 3 3 n-pol 3n n Wegen des. Krchhoffschen Gesezes n sener allgemenen Form mss be Mehrpolen gelen. esng am Mehrpol: n k k p n k k kn

11 Grndlagen der Elekroechnk B S..4 Ableng der Krchhoffschen Geseze as den allgemenen Feldglechngen. Krchhoffsches Gesez Erhalng der elekrschen adng Konnäsgesez: V d j da d I Q V ρ dv j : Sromdche ρ : adngsdche I : Gesamsrom drch de Hülle des Volmens V das negave Vorzechen dreh sch m, wenn der Srom n de Hülle hnen posv gezähl wrd Q : Gesamladng m Volmen V Heras folg das erse Krchhoffschen Gesezes, sofern de adng Q m Volmen V Nll s oder sch zmndes nch änder. I k Achng: Bem Kondensaor ändern sch zwar de adngen af den Elekroden, de Gesamladng bleb jedoch mmer Nll! k Das erse Krchhoffsche Gesez darf af Syseme, be denen de Vorassezng Q nch zrff, nch angewende werden, z. B. be Vorgängen m Wellenasbreng sowohl lengsgeführ als ach gesrahl Anordnngen, de sch elekrosasch afladen können. Krchhoffsches Gesez Wrbel des elekrschen Feldes, das Indkonsgesez: Beelge Größen: A d E ds d A B da elekrsche Feldsärke: E magnesche Flssdche oder magnesche Indkon: B Klemmenspannng der Sple, se s glech dem negaven Wegnegral der elekrschen Feldsärke enlang des andes der Fläche A :

12 Grndlagen der Elekroechnk B S. A E d s Erläerng: Wrd der eer als deal angenommen, s de elekrsche Feldsärke s m eer Nll, das Wegnegral lefer her gar kenen Berag. Es wrd jedoch häfg übersehen, dass der Weg wrklch über de Anschlssklemmen der Sple hnweg z schleßen s. Nr dor lefer das Wegnegral gena de Klemmenspannng, be den ählrchngen, de m nachfolgenden Bld erläer snd, aber negav, so dass das negave Vorzechen m Indkonsgesez gena kompenser wrd. gesamer magnescher Flss drch de Fläche A : Φ B da : Demnach resler: Φ A A Φ E ds A r Defnon der ählrchngen bem Indkonsgesez Merkregel: Be Verwendng des Verbracherzählpfelsysems für de Klemmen nd ener Orenerng von magneschen Flss nd elekrschem Srom nach der rechen-hand-egel gl das Indkonsgesez m Φ m posvem Vorzechen. Nr wenn der magnesche Flss Φ drch ene Masche enes Nezwerkes Nll s oder zmndes sch nch änder, folg das zwee Krchhoffsche Gesez k k Trff dese Vorassezng nch z, gl das zwee Krchhoffsche Gesez nch. Bespele: Elekrsche Schalngen, de magneschen Sreflüssen, z.b. enes Transformaors asgesez snd, so dass ene Brmmspannng ndzer wrd. Vorgänge m Wellenasbreng

13 Grndlagen der Elekroechnk B S. 3 Kennlnenmehode zr Arbespnkbesmmng sammenschalng von zwe wepolen wepol : Erzegersysem, wepol : Verbrachersysem I I wepol wepol wepol : I I bzw. I wepol : I I bzw. sammenschalng: Grafsche ösng: I I I I I I I I

14 Grndlagen der Elekroechnk B S. 4 3 Melwer nd Effekvwer Arhmesches Mel ener zelch veränderlchen Größe x x d. : x m Inervall [ ] De Melwerbldng läss sch af belebge zelch veränderlche Größen anwenden. Häfg handel es sch aber m perodsche Fnkonen: Für ene perodsche Fnkon x gl x x T T heß Perodendaer. Der Melwer über ene Perode s nabhängg von der Wahl des Anfangszepnkes: Glechrchwer: belebg, z.b. T, Qadrasches Mel oder Effekvwer: x T T x d. X T T x d. Scheelwer: xˆ max T x Scheelfakor cres facor: k s xˆ X Ebenfalls üblche Bezechnng x AV x AV, Average. Ebenfalls üblche Bezechnngen: X x eff xms MS, oo Mean Sqare

15 Grndlagen der Elekroechnk B S. 5 Formfakor Effekvwer bezogen af Glechrchwer: k f X x Arhmesches nd qadrasches Mel verschedener Sgnalformen xˆ x x X k s T x xˆ sn π / T xˆ * k f xˆ T x xˆ sn π / T xˆ π xˆ xˆ xˆ τ * be selbsäg ergänzen T T xˆ τ x T ˆ xˆ 3 τ x T ˆ Häfg neresseren esngsmelwere arhmesches Mel! P p T T p d Mel der esng an enem ohmschen Wdersand: Oder: P T P T T T T T T p d d d T T T p d d d T T I

16 Grndlagen der Elekroechnk B S. 6 Der Effekvwer enes Srom bzw. ener Spannng erzeg n enem ohmschen Wdersand de gleche esng we en ensprechender Glechsrom bzw. ene ensprechende Glechspannng!

17 Grndlagen der Elekroechnk B S. 7 4 Insaonäre Vorgänge an elemenaren wepolen 4. Bezechnngen Im Gegensaz z Glechsrom-Glechspannngs-Kresen werden Sröme, Spannngen, esngen als zelch veränderlche Größen afgefass. Für zelch veränderlche Größen werden Klenbchsaben verwende: 4. Wdersand p Für den Wdersand gl das ohmsche Gesez ach für zelch veränderlche Vorgänge: bzw. m dem ewer G G Achng: Es wrd das Verbracher-ählpfel-Sysem vorasgesez. esng, Arbe: De Größe [, ] ene Wärmemenge Q mgesez wrd w p G [ ], p d d w s de m enervall [ ], d gelesee elekrsche Arbe, de vollsändg n Q w[ ], p d d d De gelesee Arbe wrd nch als Energe bezechne. Der nersched wrd m folgenden be der Berachng von Kondensaor nd Sple delch.

18 Grndlagen der Elekroechnk B S Kondensaor Schalsymbol: Beschrebende Srkrglechng Dfferenzalglechng. Ordnng: Oder krz d d heß Kapazä des Kondensaors. Enhe der Kapazä: Farad F esng, Energe: As F V d p d d d dw w d m w Dese Größe kann als nnere Energe des Kondensaors afgefass werden. De über enem enervall gelesee Arbe läss sch negreren: p d w d w w Das Ergebns s nr von den sänden, der Spannng zm Anfangs- nd Endzepnk abhängg. Mahemasch gesehen s das Inegral wegnabhängg. Nr dann sprch man von ener Energe. Im Prnzp de Energe w nr bs af ene Inegraonskonsane endeg besmmbar. Da ses Dfferenzen von Energen afreen, kann dese Inegraonskonsane ohne Enschränkng der Allgemenhe we oben geschehen als Nll gewähl werden.

19 Grndlagen der Elekroechnk B S. 9 Dynamsches Verhalen: Wrd bem Kondensaor de Spannng vorgegeben, folg endeg der Srom: Bespel: Snsförmge Größen: α ˆ cos α ˆ cos α ˆ sn Spannngs- nd Sromamplden sehen be ener solchen snsförmgen Spesng offenschlch m sammenhang ˆ ˆ Wrd dagegen der Srom vorgegeben, s der Anfangswer der Spannng nbesmm mahemasch: de Inegraonskonsane: τ dτ Merke: De Spannng am Kondensaor kann sch nch sprngförmg verändern. ˆ ˆ û T π / Bespele für zelche Verläfe von Srom nd Spannng am Kondensaor

20 Grndlagen der Elekroechnk B S. Parallelschalng m der reslerenden Ersazkapazä der Parallelschalng: ehenschalng m der reslerenden Ersazkapazä der ehenschalng: Merke: Kapazäen verhalen sch n ehen- nd Parallelschalng ähnlch we ewere.

21 Grndlagen der Elekroechnk B S. 4.4 Drossel Schalsymbole: nach neer Norm al, nch mehr verwenden Asgangspnk s das Indkonsgesez: dψ d Der Verkengsflss s m dem Srom über de Indkvä verknüpf: De Enhe der Indkvä s das Henry H ψ Vs H A Das Indkonsgesez läss sch also ach drek m dem Srom n der Form schreben. esng, Energe: d d d p d d d dw w d Innere Energe der Drossel vgl. Kondensaor: w Wrd be der Drossel der Srom vorgegeben, folg daras endeg de Spannng:

22 Grndlagen der Elekroechnk B S. Bespel: Snsförmge Größen: α ˆ cos α ˆsn Spannngs- nd Sromamplden sehen be ener solchen snsförmgen Spesng offenschlch m sammenhang ˆ ˆ Wrd dagegen de Spannng vorgegeben, s der Anfangswer des Sroms nbesmm mahemasch: de Inegraonskonsane: τ dτ Merke: Der Srom n ener Drossel kann sch nch sprngförmg verändern. ˆ ˆ î T π / Bespele für zelche Verläfe von Srom nd Spannng an der Drossel

23 Grndlagen der Elekroechnk B S. 3 ehenschalng m der reslerenden Ersazndkvä der ehenschalng: Parallelschalng m der reslerenden Ersazndkvä der Parallelschalng: Merke: Indkväen verhalen sch n ehen- nd Parallelschalng ähnlch we Wdersände.

24 Grndlagen der Elekroechnk B S. 4 5 Nchlneare Elemene 5. Nchlneare Drossel Asgangspnk s jez das Indkonsgesez. De Sromdfferenalglechng, de as der Vorrassezng ener konsanen Indkvä reslere, solle nch benz werden: esng an der Drossel: ψ p ψ Annahme: Es gäbe enen nchlnearen sammenhang zwschen ψ nd : ψ ψ Indkvä, jez sromabhängg: ψ Dfferenzelle Indkvä: d dψ d

25 Grndlagen der Elekroechnk B S. 5 Dam: d ψ Energe: ψ ψ ψ ψ d d d d d p w w Geomersche Inerpreaon der magneschen Energe vgl. de Formel für de magnesche Energe für de lneare Drossel:: ψ d

26 Grndlagen der Elekroechnk B S. 6 ψ w 5. Nchlnearer Kondensaor Asgangspnk s jez de adngsblanz: esng am Kondensaor: q p q Annahme: Es gäbe enen nchlnearen sammenhang zwschen ψ nd : Kapaza, jez spannngsabhängg: Dfferenzelle Kapazä: Dam: Energe: q q d q dq d q d

27 Grndlagen der Elekroechnk B S. 7 q q dq d d dq d p w w Geomersche Inerpreaon der delekrschen Energe: q w

28 Grndlagen der Elekroechnk B S. 8 6 esng, Arbe, Energe m elekrschen Nezwerk 6. Arbe nd Energe Das Inegral der elekrschen esng an enem we- oder Mehrpol über der e w p [, ] heß elekrsche Arbe. Als Energe bezechnen wr de gelesee Arbe bzw. Anele der Arbe nr dann, wenn dese gespecher wrd, also weder abgegeben werden kann. Mahemasch formler bedee des: Es exser gena dann ene nnere Energe, wenn de gelesee Arbe bs zm epnk allen drch ene Fnkon nnerer sandsgrößen z desem epnk, x, asgedrück werden: w[ ] w w W x W x d, Für den Kondensaor nd de Drossel exser ene derarge Energe, nämlch für de lnearen Fälle nd w w für den Wdersand nch. Allerdngs lassen sch ach formale Energefnkonen für de deale Spannngsqelle fnden: wobe de Spannng der Qelle nd w q, q τ dτ ene adng. Demensprechend fnde man für ene deale Sromqelle m w I Iψ,

29 Grndlagen der Elekroechnk B S. 9 ψ τ dτ 6. Energeblanz m Nezwerk De esng, de enem Nezwerk über äßere Klemmen zgeführ wrd, se p e. p n e e ej j ej De dem k-en Elemen des Nezwerks zgeführe esng sen p n k k kj j kj vollsändges Nezwerk e k e e e3 e e3 redzeres Nezwerk N- Elemene k k k k-es Elemen des Nezwerks ene knk Drch skzessves Heraslösen der Elemene wrd gezeg, dass p e N k p Snd enge der Elemene Energespecher Kondensaoren oder Splen, s. dor, läss sch ene nnere Energe des Nezwerks defneren k w w k, k Specher

30 Grndlagen der Elekroechnk B S. 3 nd ene Energeblanz afsellen: p w p e p p k k Specher Nezwerkelemene, für de sch kene nnere Energe afsellen läss, snd z. B. Wdersand, Sromqelle, Spannngsqelle. Spezalfälle der Energeblanz: Nezwerk enhale kene Elemene, de esng vernchen oder erzegen, z. B. en Nezwerk nr as Splen nd Kondensaoren p e w do., darüber hnas werde kene äßere esng zgeführ. Dann folg ene Energeerhalngsglechng: w bzw. w cons. Nezwerk enhale gar kene Specher: De von aßen zgeführe esng wrd dann sofor momenan af de Nezwerkelemene verel nd vernche: p e p pk k

31 Grndlagen der Elekroechnk B S. 3 7 Elemenare Asglechsvorgänge 7. -Gled S Wenn Schaler S geschlossen, gl de Maschenglechng: Aflösen nd Ensezen: Inhomogene, lneare Dfferenzalglechng. Ordnng! ösngsweg: Irgendene spezelle ösng der nhomogenen Dfferenzalglechng parkläre ösng allgemene ösng der homogenen Dfferenzalglechng: ösng der nhomogenen Dgl.: I ösng der homogenen Dgl.: drch Exponenalansaz: h h e τ

32 Grndlagen der Elekroechnk B S. 3 e τ τ τ heß ekonsane des -Gledes. Allgemene ösng: τ τ e h h Anpassen der ösng an de Anfangsbedngng: Schaler schale be, Kondensaoranfangsspannng se e τ Saonärer Endwer: h τ e Srom: τ e τ Spezell be enladenem Kondensaor als Anfangszsand: e τ e τ e τ

33 Grndlagen der Elekroechnk B S. 33 τ τ

34 Grndlagen der Elekroechnk B S Gled I S Wenn Schaler S geöffne, Knoenglechng: Aflösen nd Ensezen: Vorgehen analog we bem -Gled. heß ekonsane des -Gledes. Allgemene ösng: I τ I I I he τ I Anpassen der ösng an de Anfangsbedngng: Schaler schale be, Splenanfangssrom se Saonärer Endwer: τ I e I I

35 Grndlagen der Elekroechnk B S. 35 Spannng: τ I I e τ Spezell be sromloser Drossel als Anfangszsand: e τ I e τ I e τ I τ τ

36 Grndlagen der Elekroechnk B S Anfangs-Endwer-Darsellng für - nd -Gleder Be enfachen - nd -Gledern folg der Asglechsvorgang mmer dem glechen Schema: Für de Größe, de de Energe des Spechers beschreb, also der Srom be der Drossel oder de Spannng bem Kondensaor, gl ses: x x τ e x e τ Anfangswer: Saonärer Endwer: x x x lm x Besmmng des Anfangsweres drek as Maschen- oder Knoenglechng oder der Anfangswer s drek gegeben. Besmmng des saonären Endwers: Kondensaor gedanklch drch dealen Isolaor, Drossel drch dealen eer ersezen nd Srom- bzw. Spannngwer an desen Klemmen drch Nezwerkanalyse besmmen. Besmmng der ekonsanen: Kondensaor bzw. Sple gedanklch as dem Nezwerk heraslösen, dann den wrksamen Wdersand an den fregeschnenen Klemmen besmmen.

37 Grndlagen der Elekroechnk B S Schwngkrese 8. -Schwngkres De Spannng gehorch ener aonomen lnearen homogenen Dfferenzalglechng.Ordnng! Sellen Se ebenso ene Dfferenzalglechng für den Srom af! Es wrd weder ene Exponenalfnkon als ösng angesez. Späer wrd sch herassellen, dass es komplexwerge ösngen gb. De ggf. komplexe Konsane wrd daher m enem nersrch gekennzechne: s e s e s s e s e s

38 Grndlagen der Elekroechnk B S. 38 De reslerende Glechng für s heß charakerssche Glechng bzw. das darn vorkommende Polynom s das charakerssche Polynom: s s s, ± j De ösngen s, s der charakersschen Glechng heßen Egenwere. Obwohl s, s also magnäre ahlen snd, werden se üblcherwese nch m enem nersrch gekennzechne. Abkürzng: Kennkresfreqenz: Kennwdersand: Allgemene ösng j j e e Da de ösng soll reell sen soll, müssen de Koeffzenen, zenander konjger komplex sen 3 : Darsellng m Sns nd Kosns: * c cos s sn c e s Im Srom: c sn s cos Anfangsbedngngen: 3 z* bezechne de z z konjger komplexe ahl

39 Grndlagen der Elekroechnk B S. 39 c s sn cos sn cos sn cos sn cos Berache man de Schwngngsamplden von Srom nd Spannng, ˆ ˆ so ergb sch, dass deren Verhälns drch den Kennwdersand besmm wrd: ˆ ˆ Energe m Schwngkres:. sn cos sn cos cons w w w

40 Grndlagen der Elekroechnk B S. 4 elche Verläfe von Spannng nd Srom des -Schwngkreses Welche Krve s der Srom, welche de Spannng? Kennzechnen Se de Anfangswere! Idenfzeren Se! Skzzeren Se de Energeverläfe m Kondensaor nd n der Drossel!

41 Grndlagen der Elekroechnk B S Parallelschwngkres Exponenalansaz: s e s e s se s e s s s s s s, ± 4 Abkürzngen: Kennkresfreqenz: Kennwdersand:

42 Grndlagen der Elekroechnk B S. 4 Dämpfng oder Dämpfngsgrad 4 d M desen Kennzahlen läss sch m de Dfferenzalglechng nd de charakerssche Glechng n den Sandardformen d s d s schreben. Es folgen de Wrzeln Egenwere der charakersschen Glechng als s, d ± j d Allgemene ösng für de Spannng Allgemene ösng für de Sröme Fallnerschedng: s s e e [ e ] s e s [ s e ] s s e s s s e s e Schwache Dämpfng: d <, dann blden de Egenwere en konjger komplexes Paar: * s s. s s, d ± j d ± τ τ, d d d j d Aßerdem mss gelen: * 4 In der erar fnde sch für den Dämpfngsgrad ach de alernave Defnon d d. Her wrd de n der Sysemheore nd egelngsechnk üblche Defnon verwende.

43 Grndlagen der Elekroechnk B S. 43 mrechnng der Exponenaldarsellng n Darsellng m Sns nd Kosns: τ d s d c s s s s e e e e e sn cos * * e c, Im s Sröme: τ d s d c e sn cos τ τ τ τ τ d s c d d c s d d s d c d s d c d e e sn cos sn cos cos sn τ τ τ τ τ τ τ τ d s c d d c s d d s c d d c s d d s c d d c s d d s d c e e e e sn cos sn cos sn cos - sn cos Anfangsbedngngen: c c s d d d s elcher Verlaf:

44 Grndlagen der Elekroechnk B S. 44 Bespel für Verlaf der Spannng bem -Parallelschwngkres für schwache Dämpfng d < Skzzeren Se m Verlaf der Spannng de Kennwere τ, d! Skzzeren Se de Verläfe der Sröme,,. Sarke Dämpfng: d > : bede Egenwere snd reell: Ebenso de Konsanen, d ± d s,,

45 Grndlagen der Elekroechnk B S. 45 Bespel für Verlaf der Spannng bem -Parallelschwngkres für sarke Dämpfng d > Aperodscher Grenzfall: d : bede Egenwere snd reell nd glech: s s echnen Se de age der Egenwere s, s für alle Dämpfngsfälle n Abhänggke von d be konsaner Kennkresfreqenz n der komplexen Ebene! Im e

46 Grndlagen der Elekroechnk B S ehenschwngkres Exponenalansaz: harakerssche Glechng: s s Ie s s s Egenwere: s ± 4, Abkürzngen: Kennkresfreqenz: Kennwdersand: Dämpfng d M desen Abkürzngen läss sch Dfferenzalglechng nd de charakerssche Glechng schreben als d

47 Grndlagen der Elekroechnk B S. 47 s d s de som gena glech laen we de des -ehenschwngkreses. ösngen: s, d ± j d Allgemene ösng für den Srom: Allgemene ösng für de Spannngen: s s I e I e [ ] s e I e s I [ ] s s e I s e s I s s s I e s I e Weere Dsksson der ösngen we bem Parallelschwngkres! Sehe dor.

48 Grndlagen der Elekroechnk B S Afschalng von sprngförmgen Größen af -Nezwerke In den vorangegangenen Abschnen wrden sogenanne Anfangswerprobleme von Nezwerken ohne äßere Enspesngen behandel. Werden Spannngen oder Sröme zsäzlch von aßen afgeschale, wrd das Sperposonsverfahren angewende. Deses darf wegen der nearä der Glechngen angewende werden. Bespel: I S Be geschlossenem Schaler S s sowe Es fnde also nr en enfacher Asglechsvorgang des -Gledes m exponenellem Verlaf nd Abklngzekonsane / sa; es gb kene Schwngng. Der Srom der Sromqelle wrd ebenfalls über den Schaler krzgeschlossen. Is der Schaler genügend lange geschlossen, wrd der Srom Nll. Also seen de Anfangswere für den Fall, dass nn zm epnk der Schaler geöffne wrd. Nn gl de Maschenglechng c bzw. für de eableng

49 Grndlagen der Elekroechnk B S. 49 Ensezen der Baelemenglechngen führ z der nhomogenen Dfferenzalglechng I I Der homogene Tel der Dfferenzalglechng s der des ehenschwngkreses!. ösngsweg für de nhomogene Dfferenzalglechng:. Homogene ösng ohne äßeren Srom sehe vorangegangener Abschn: I e I e H s s. Irgendene parkläre ösng, am enfachsen de saonäre ösng: I I cons. 3. Allgemene ösng drch Sperposon: Daras folgen de Spannngen: I I e I e H I s s [ I e ] s I e s I [ ] s s e I s e s I s s s I e s I e I 4. Anfangsbedngngen I I I s I s I I De weere echnng beschränk sch af den Fall schwacher Dämpfng d <. Dann gl * I I, * s s Also folg as der Anfangsbedngng für den Splensrom I c e I I

50 Grndlagen der Elekroechnk B S. 5 nd as der Anfangsbedngng für de Kondensaorspannng [ s ] I e I M s d j d folg I d e I e [ s I ] d Im I d Im I e I d bzw. I s d d I c d d I Vollsändge ösng m angepassen Anfangsbedngngen für schwache Dämpfng n Darsellng m Sns- nd Kosnsermen für > : I d cos d sn d e d d d /I

51 Grndlagen der Elekroechnk B S. 5 We verhäl sch de Kondensaorspannng? een Se de Glechngen her bzw. skzzeren Se den Verlaf.

52 Grndlagen der Elekroechnk B S. 5 9 Snsförmge Vorgänge n lnearen Nezwerken 9. Snsförmge Fnkonen Snsförmge Fnkonen snd spezelle perodsche Fnkonen, se lassen sch af verschedene Aren schreben: x xˆ cos ϕ x xˆsn ϕ x X cos X sn c De Darsellngen snd äqvalen nd n enander mrechenbar. ezendlch wrd ene snsförmge Fnkon drch nr dre Größen charakerser: de Amplde xˆ, de Kresfreqenz, de Phasenverschebng ϕ. mrechnng der Größen asgehend von Addonsheorem s [ cos cosϕ sn ] x xˆ cos ϕ ˆ ϕ x sn x ˆ X c X, s anϕ X X s c bzw. ˆ X c x cosϕ, X s xsnϕ ˆ Abgeleee Größen: Freqenz f π ekonsane τ π Perodendaer T Effekvwer X ˆx f

53 Grndlagen der Elekroechnk B S. 53 xˆ x T f τ ϕ Freqenz vs. Kresfreqenz: De Freqenz f wrd n Herz 5, Abkürzng: Hz /s gemessen. De Kresfreqenz nerschede sch nr m den dmensonslosen Fakor π von der Freqenz. Trozdem wrd für de Kresfreqenz nr de Enhe /s, manchmal ach rad/s, nemals jedoch Hz verwende. Egenschafen snsförmger Fnkonen: Der Melwer ener snsförmgen Fnkon über ene Perode s Nll: x Seen x, x snsförmge Fnkonen glecher Freqenz, so s de Sperposon x c x c x ebenfalls snsförmg m der glechen Freqenz De Ableng ener snsförmgen Fnkon s ebenfalls snsförmg m glecher Freqenz: x xˆ cos ϕ x xˆ sn ϕ Das Prodk zweer snsförmgen Fnkonen m belebgen Freqenzen s als Smme zweer snsförmger Fnkonen darsellbar, wobe de Smmen- nd Dfferenzfreqenzen afreen Addonsheorem der Trgonomere: x x x x xˆ cos ϕ, xˆ xˆ [ cos ϕ ϕ cos ϕ ϕ ] x xˆ cos ϕ 5 Des ha nchs m dem Herzschlag, sondern m Henrch Herz z n, der de as der Maxwellschen Theore reslerenden elekromagneschen Wellen erzege nd nachwes.

54 Grndlagen der Elekroechnk B S Komplexe Darsellng snsförmger Größen Imagnäre Enhe:, j n der Elekroechnk wrd j bevorzg Anbndng an de reellen ahlen: j Darsellng komplexer ahlen nach eal- nd Imagnärel: x x r jx Darsellng komplexer ahlen nach Berag nd Wnkel: x xe ˆ jϕ Im x x xˆ ϕ x r e Dam: ϕ e j cosϕ jsnϕ x ˆ x ϕ arccos x r x xr sgn x xˆ x r ˆx cosϕ x ˆxsnϕ Komplexe Darsellng reellwerger snsförmger Fnkonen: m x x xˆ cos ϕ e x xe ˆ j ϕ

55 Grndlagen der Elekroechnk B S. 55 Im x ϕ ϕ x r e x Komplexer Momenanwerzeger: x xe ˆ ˆ j ϕ jϕ j xe e xe ˆ j De komplexe Amplde x ˆ xe ˆ jϕ benhale de beden Kenngrößen Amplde nd Phasenverschebng der perodschen Fnkon. De Freqenz wrd dadrch nch angezeg. xˆ xˆ ϕ arg ˆ x Gebrächlch snd aßerdem de Effekvwerzeger: jϕ jϕ ˆ ˆ Xe X x xe

56 Grndlagen der Elekroechnk B S Snsförmge Größen an wepolen Annahme: Spannng nd Srom an enem wepol seen snsförmg nd von glecher Freqenz, jedoch m nerschedlcher Phasenlage: ϕ ϕ ˆ cos cos ϕ I ϕ ˆcos cos Phasenwnkel zwschen Srom nd Spannng: ϕ ϕ ϕ Achng: Vorzechenkonvenon des Phasenwnkels: ϕ > : Srom el der Spannng nach sog. ndkves Verhalen ϕ < : Spannng el dem Srom nach sog. kapazves Verhalen û î ϕ Im e ˆ j ϕ ϕ ϕ ϕ e ˆ j ϕ e

57 Grndlagen der Elekroechnk B S Impedanz nd Admanz Annahme: Spannng nd Srom enes wepols seen snsförmg m glecher Freqenz. ˆ cos ϕ cos ϕ ˆcos ϕ I cos ϕ Darsellng m Effekvwer- bzw. Momenanwerzegern: e jϕ I Ie jϕ Qoen der Momenanwerzeger: e, e, e Ie j j e j jϕ j ϕ ϕ e j jϕ Ie I e Ie I Der Qoen s ner besmmen Vorassezngen konsan nd wrd Impedanz oder komplexer Wdersand genann: I I e j ϕ ϕ I e jϕ De Impedanz als Verhälns von Spannng z Srom läss sch als freqenzabhängger Wechselspannngswdersand affassen. Weere abgeleee Begrffe: Wrkwdersand oder essanz: Blndwdersand oder eakanz: e cosϕ X Im snϕ Schenwdersand Dam: jx jϕ e Der Kehrwer der Impedanz heß Admanz oder komplexer ewer:

58 Grndlagen der Elekroechnk B S. 58 Y I I e j ϕ ϕ I e jϕ Weere abgeleee Begrffe: Wrklewer oder Kondkanz Blndlewer oder Sszepanz G e Y Y cosϕ B Im Y Y snϕ Schenlewer Dam: Y Y Y G jb Ye jϕ mrechnngen zwschen Admanzen nd Impedanzen: G X B X X X G G G Y Y X G B Y B Y Offene Fragen zr Enführng von Impedanz nd Admanz: Wann gb es überhap snsförmge Sröme nd Spannngen an wepolen? ner welchen Bedngngen s Qoen der komplexen eger nr abhängg von der Freqenz nd nabhängg von der Amplde nd den Anfangsphasenwnkeln? Verschebng deser allgemenen Fragen af Abschn 9.8. nächs Berachng von Wdersand, Sple, Kondensaor als Bespele:

59 Grndlagen der Elekroechnk B S Impedanzen nd Admanzen von Wdersand, Kondensaor nd Drossel Wdersand: e e j j e e Ie j j e e Ie e j Ie I j Das Ohmsche Gesez gl also ach für de komplexen eger! Impedanz nd Admanz des Wdersands snd also: Kondensaor: e e, Y G j d j Ie e e j d j Ie e e Ie Ie j j d d d je I d j j e j j, Y j De Dfferenzaon nach der e geh be der echnng m komplexen egern n ene Mlplkaon m j über: d d e j je j Krz: d d j Daher nenn man j ach Dfferenzaloperaor.

60 Grndlagen der Elekroechnk B S. 6 Drossel: e e j d j e e Ie j d j e e Ie e e j j d d d d jie ji j Ie j j, Y j Im Im Im I I e e e I Im Im Im j e e e j Wdersand Kondensaor Sple egerdagramme für Wdersand, Kondensaor nd Sple. De Wahl der absolen Wnkel für de Spannng- nd Sromzeger s wllkürlch, her s der Spannngszeger n chng der reellen Achse gezechne.

61 Grndlagen der Elekroechnk B S ehenschalng nd Parallelschalng ehenschalng zweer wepole: e j j j e e e e e I I I I m De Impedanz n ener ehenschalng besmm sch drch de komplexe Smme der Telmpedanzen. Für de reslerende Gesamadmanz gl demnach Y Y Y Y Y Y Y Im I e egerdagramm für de ehenschalng Achng: war adderen sch de komplexen Spannngszeger be der Parallelschalng,, ˆ ˆ ˆ, nch aber de reellen Effekvwere oder reellen Amplden! Im Allgemenen gl

62 Grndlagen der Elekroechnk B S. 6 Parallelschalng zweer wepole: m e j j j Ie e I e e I e I Y Y I I I I Y Y I Y Y Y Y bzw. Im I I I e egerdagramm für de Parallelschalng Achng: war adderen sch de komplexen eger be der Parallelschalng, I I I, ˆ ˆ ˆ, nch aber de reellen Effekvwere oder reellen Amplden! Im Allgemenen gl I I I..

63 Grndlagen der Elekroechnk B S. 63 Faz: Jeder as den elemenaren wepolen Wdersand, Kondensaor, Sple drch Parallelnd ehenschalng afgebae wepol besz selbs ene Impedanz, de nach den angegeben Glechngen besmm werden kann.

64 Grndlagen der Elekroechnk B S Impedanzen enger wepole wepol j Abkürzngen j j j jτ τ j jτ jτ τ j j j j jd j d j jτ τ j / jτ j jτ τ j j j j j / jd d

65 Grndlagen der Elekroechnk B S Allgemene Vorrassezngen für de echnng m Impedanzen nd Admanzen Afgrefen der offenen Fragen as 9.4: Wann snd Sröme nd Spannngen an enem wepol snsförmg? Wann snd de Qoenen der komplexen eger Impedanz, Admanz nabhängg von Amplde nd Phasenlage? Offenschlch s des der Fall, wenn en elekrscher wepol as den elemenaren Elemenen Wdersand, Kondensaor nd Sple afgeba wrd. Des soll nn aber ner ewas allgemeneren Annahmen berache werden. Das Verhalen von Srom nd Spannng enes wepols werde drch ene allgemene Dfferenzalglechng der Form a d d n a a... an b b b... n b m m d m d beschreben. De Dfferenzalglechng s von endlcher Ordnng lnear, d.h.: seen, ;, zwe ösngen, so s m belebgen Konsanen c,c ach c c, c c ene ösng. zenvaran: Se, ene ösng, so s ach T, T für belebge everschebng T ene ösng. egen Se de lezen beden Pnke drch Ensezen! wepole bzw. Syseme, de dese Vorrassezngen erfüllen, heßen lnear zenvaran lnear me-nvaran, krz I- oder TI-Syseme. Allgemen läss sch zegen, dass sch für TI-Syseme de oben gesellen Fragen posv beanworen lassen. Für dese Syseme gb es ses snsförmge Sröme nd Spannngen als ösng nd der Qoen / I s nabhängg von den Amplden nd I, nabhängg von den absolen Phasenwnkeln ϕ, ϕ ; nr der Dfferenz- Phasenwnkel ϕ ϕ ϕ geh en. Nr ner desen Vorrassezng s es möglch, Impedanzen z besmmen nd dam z arbeen!

66 Grndlagen der Elekroechnk B S. 66 De obge allgemene Dfferenzalglechng mfass ene drchas mfangreche Klasse TI- Sysemen, nch aber alle denkbaren. Der Nachwes wrd her nr af solche TI-Syseme beschränk, de sch drch ene solche Dfferenzalglechng darsellen lassen: Der Ansaz j e e j Ie e wrd n de Dfferenzalglechng engesez: [ ] [ ] m n j n n j j b j b j b b Ie j a j a j a a e... e... e m n j n n j b j b j b b Ie j a j a j a a Es gb snsförmge ösngen m n n m n j a j a j a a j b j b j b b I Der Qoen, de Impedanz, s also asächlch nabhängg von Amplde nd Anfangsphasenwnkels nd ergb sch allen as den Koeffzenen der Dfferenzalglechng: n n m n j a j a j a a j b j b j b b j......

67 Grndlagen der Elekroechnk B S Orskrve nd Bodedagramm Orskrve: De Darsellng ener Impedanz, Admanz Y oder Überragngsfnkon H n der komplexen Ebene n Abhänggke der Freqenz. Bodedagramm: De Darsellng von Berag nd Phase n zwe separaen Dagrammen, z. B. H H über nd ϕ arg H über. Dese heßen Amplden- oder Beragsgang nd Phasengang. Vorelhaferwese sell man de Freqenz nd den Berag H logarhmsch dar. ogarhmsche Darsellng n Dezbel: db lg x x dbx 4, -, -4 * 3, 6, / -3, / -6, * Movaon der db-defnon: Ene Erhöhng ener Spannng oder enes Sroms an enem ohmschen Wdersand m db resler n ener -fachen esng. De logarhmsche Darsellng s nr für enheenlose Größen möglch. Während also Ampldengänge ener Srom- oder Spannngsversärkng drek logarhmsch dargesell werden können, s ene Impedanz oder Admanz zvor af enen geegneen Bezgswer z bezehen. Denkbar s, dese enfach af z bezehen, doch vorelhafer verwende man ene naürlche, sch as der Problemsellng ergebende Bezgsgröße, bespelswese de Kenn-Impedanz. In der doppel-logarhmschen Darsellng werden Ampldengänge der Form x A m posven oder negaven Exponenen n, welche häfg als Asympoen komplzerer Ampldengänge afreen, als Geraden dargesell: n

68 Grndlagen der Elekroechnk B S. 68 Dese Geraden haben also de Segng db A n lg, db A n lg /, üblcherwese als n db/ Dekade bezechne.

69 Grndlagen der Elekroechnk B S ehenschalng j jτ, Y jτ, τ Orskrven Bodedagramm

70 Grndlagen der Elekroechnk B S. 7 Anwor des Sroms af Sprng der Spannng

71 Grndlagen der Elekroechnk B S Parallelschalng j jτ, Y jτ, τ Orskrven Bodedagramme

72 Grndlagen der Elekroechnk B S. 7 Anwor der Spannng af Sprng des Sroms

73 Grndlagen der Elekroechnk B S Parallelschalng Ω Ω Ω jd j dj j j j Ω Ω Ω j jd j jd j j Y, d, Normere Freqenz oder Versmmng: Ω Orskrven

74 Grndlagen der Elekroechnk B S. 74 Bodedagramme Besmmng der esonanzüberhöhng: Maxmm der Impedanz: Ω Ω Ω jd j 4 Ω Ω Ω d [ ] [ ] [ ] Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω d d d d d Maxmm be max Ω Berag der Impedanz an deser Selle max max Q d p Das Verhälns von maxmaler Impedanz zm Kennwdersand heß Güe: max d Q p

75 Grndlagen der Elekroechnk B S. 75 Anwor der Spannng af Sprng des Sroms

76 Grndlagen der Elekroechnk B S ehenschalng Ω Ω Ω j jd j jd j j Ω Ω Ω jd j Y jd j Y j j Y, d, Ω, Y Orskrven

77 Grndlagen der Elekroechnk B S. 77 Bodedagramme Besmmng der esonanzüberhöhng: Maxmm der Admanz be Ω max Maxmaler Berag der Admanz an deser Selle Güe des ehenschwngkreses: Q s Ymax Y max YQ s d Ymax Q s Ymax Y d

78 Grndlagen der Elekroechnk B S. 78 Anwor des Sroms af Sprng der Spannng

79 Grndlagen der Elekroechnk B S Überragngsfnkonen De Impedanz bzw. de Admanz wrde engeführ als Qoen der komplexen eger der dalen Größen an enem wepol Klemmen-Srom nd Klemmen-Spannng. Ene Überragngsfnkon s der Qoen belebger komplexer eger n enem Nezwerk, z. B.: H I I H Sez man zwe Spannngen bzw. zwe Sröme ns Verhälns, sprch man von Spannngsversärkng bzw. Sromversärkng: H I H I

80 Grndlagen der Elekroechnk B S Überragngsverhalen enes Oszlloskop-Taskopfes Taskopf Oszlloskop, j jτ j jτ H Wrd τ τ gewähl, folg H De Versärkng der komplexen Spannngszeger wrd dadrch nabhängg von der Freqenz! Annahme herbe: De Impedanz des nernen Versärkers se genügend hochohmg. Gesammpedanz des Taskopfes: Dese bleb freqenzabhängg!

81 Grndlagen der Elekroechnk B S Überragngsverhalen enes -ehenschwngkreses Ω Ω Ω j jd j j Ω Ω Ω Ω jd j j H / Ω Ω Ω jd j j H Ω Ω Ω jd j d H Achng: esonanzmaxmm von H leg weder be Ω m max H De Maxma von H nd H haben aber andere esonanzen: Maxmm von H : [ ] [ ] [ ] Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω d d d d H d Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω d d d d d d

82 Grndlagen der Elekroechnk B S. 8 Maxmm wrd angenommen be sofern Ω >, d Q s d < bzw. Q s > esonanzüberhöhng von H : H max d d Q s Q s De gleche esonanzüberhöhng ergb sch für H, H max d d Q s Q s desmal aber be der Freqenz Ω d Q s < Es gl Ω Ω Für große Güe bzw. klene Dämpfng gl de Näherng H max H max Q s Für de Freqenz Ω gl sogar exak vgl. Freqenzkennlnen H nd H jqs. jq s

83 Grndlagen der Elekroechnk B S. 83 Beragsgang für Güe Q db Amplde db - 4dB Dek db Dek -4dB Dek -db Dek H -4, normere Kresfreqenz db H H Phasengang Phase rad, normere Kresfreqenz

84 Grndlagen der Elekroechnk B S. 84 Beragsgang für Güe Q 6,3dB 6,3dB Amplde db - 6dB H H H -4, normere Kresfreqenz Phasengang Phase rad, normere Kresfreqenz Beragsgang für Güe Q.5 6dB Amplde db - H H H -4, normere Kresfreqenz Phasengang Phase rad, normere Kresfreqenz

85 Grndlagen der Elekroechnk B S. 85 esng be snsförmgen Vorgängen. Momenan-, Wrk-, Blnd- nd Schenlesng cos ϕ I cos ϕ Momenane esng am wepol Anwendng der rgonomerschen Addonsheoreme: p I I I cos ϕ cos ϕ [ cos ϕ ϕ cos ϕ ϕ ] [ cosϕ cos ϕ ϕ ] De Momenanlesng beseh as enem zelch konsanen Term nd enem m der doppelen Freqenz oszllerenden Term. Weere mformng: p I I Alernave echnng m komplexen egern: [ cosϕ cosϕ cos ϕ snϕ sn ϕ ] cosϕ[ cos ϕ ] I snϕ sn ϕ e e [ ] j j * e e e j [ ] j j * Ie Ie I e j p e I j * j j * j [ e e ][ Ie I e ] * * j * * j [ I I Ie I e ] * j I e Ie j ϕ ϕ j ϕ ϕ e e I e e I cosϕ I cos ϕ ϕ oder andere Darsellng:

86 Grndlagen der Elekroechnk B S. 86 p I e I e I e I cosϕ I cosϕ j ϕ ϕ j ϕ ϕ e I e e jϕ j ϕ ϕ e I e e jϕ jϕ j ϕ e I e e I[ cosϕ cos ϕ snϕ sn ϕ ] cos ϕ I snϕ sn ϕ De mlere esng ener Perode heß Wrklesng: De Blndlesng wrd defner als: De Schenlesng wrd defner als: Der Term Es gl: P p I cosϕ Q I snϕ S I cos ϕ heß esngsfakor oder Wrkfakor. S P Q Geomersche Inerpreaon der Bezehng zwschen Wrk-, Blnd-, Schenlesng nd dem Phasenwnkel: S Q ϕ P Also P S cosϕ Q S snϕ M I folg m Übrgen P e I I, Q Im I XI, S I I

87 Grndlagen der Elekroechnk B S. 87 bzw. P e Y G, Q Im Y B, S Y Y Dam läss sch de Momenanlesng schreben als cos ϕ Qsn ϕ p P oder p P S cos ϕ ϕ û î ϕ π P S p P P S π Im j Se ϕ ϕ Q S ϕ P S P p P S e Inerpreaon als der Momenanlesng als ealel enes komplexen egers:

88 Grndlagen der Elekroechnk B S. 88 m dem komplexen esngszeger j ϕ ϕ S Se p e * S I P jq Begrffe für Verbracherzählrchng: P > verbrachend, dssperend oder moorsch P < erzegend oder generaorsch Q > ndkv Q < kapazv Enheen P Q S W VA VA VA De Enhe VA wrd be Blnd- nd Schenlesng nch z W zsammengefass. Für de Blndlesng s de Enhe VAr zwar we verbree r für reacve, also für de Blndkomponene, doch wrd des beres drch den Begrff Blndlesng bzw. drch das Symbol Q hnlänglch zm Asdrck gebrach. De Enhe VAr s m Sysem der nernaonalen Enheen nch vorgesehen. Bedeng der Blnd- nd Schenlesng Elekroechnsche Komponenen nd Syseme werden mes nach dem Srom I nd nach der Spannng bemessen nd asgeleg enfachses Bespel: Kabel. Das Prodk beder Größen s de Schenlesng. De Schenlesng s also en Maß für de Bemessng, dam ach für de Kosen ener elekroechnschen Komponene oder enes elekroechnschen Sysems. Be Sysemen der Energeüberragng nd -wandlng möche man häfg be gegebener Schenlesng möglchs vel Wrklesng mzsezen, also enen esngsfakor cos ϕ möglchs nahe errechen. Der normale Hashalssromzähler mss nr de Wrklesng, de Blndlesng bleb aßer Ach. De Energeversorgngsnernehmen EV sellen jedoch be großen Sromverbrachern ach de beregeselle Blndlesng n echnng bzw. sezen Grenzwere für den zlässgen esngsfakor des Verbrachers.

89 Grndlagen der Elekroechnk B S. 89. esng nd Energe Nach obgen Abschn gl cos ϕ Qsn ϕ p P Nach Abschn 6 gl ach de Energeblanz: p p w As ener Melwerbldng über ene Perode folg, dass de zgeführe Wrklesng m zelchen Mel de m Innern des wepols verbrache dsspere esng sen mss, denn für perodsche Vorgänge mss gelen P p p w, w, p Ene enfache ordnng der m Kosns nd Sns oszllerenden Terme n der Momenanlesng z den Termen p nd w gelng m Allgemenen jedoch nch. Es gelng m Allgemenen ach nch, allen drch Berachng von Wrk- nd Blndlesng ohne Kennns der nneren Srkr des wepols ene Assage über de mlere gespechere Energe z gewnnen. Für Kondensaoren nd Splen können wr aber drch Kennns der nneren sammenhänge als mlere gespechere Energen angeben: W w Q S I W Q w I Für de Scheelwere der gespecheren Energen gl: S I wˆ W Q wˆ W Q

90 Grndlagen der Elekroechnk B S. 9.3 Wrk- nd Blndsrom Wrksrom: Blndsrom: I w I cosϕ I b I snϕ Dam lassen sch Wrk- nd Blndlesng schreben als P I w Q I b Im I b I w ϕ I e In Parallelschalngen adderen sch de Wrk- nd Blndsröme der enzelnen wepole: Ebenso gl: I w I wk, I k k b I bk P P k, Q Q k, k k ach S S k k Solches gl aber nch für de Smme der Schenlesngen k S! k

91 Grndlagen der Elekroechnk B S. 9.4 Wrk- nd Blndspannng Wrkspannng: w cosϕ Blndspannng: b snϕ Dam lassen sch Wrk- nd Blndlesng schreben als P Q w b I I Im b ϕ I w e In ehenschalngen adderen sch de Wrk- nd Blndspannngen der enzelnen wepole: Ebenso gl: w wk, k k b bk P P k, Q Q k, S k k k S k

92 Grndlagen der Elekroechnk B S. 9.5 Wrk- nd Blndlesngsblanz sowe Gesamenerge n Nezwerken As den Abschnen.3 nd.4 folg, dass sch Wrk- nd Blndlesng über de Elemene enes Nezwerks blanzeren: sowe P P k, Q k k S S k k Ähnlches gl nch für de Smme der Schenlesngen S k, ebenso nch für de k Phasenwnkel. As der Blanz der Blndlesngen ergb sch, dass Elemene m posver nd negaver Blndlesng sch gegenseg kompenseren können. Des s der wesenlche Gedanke be der Blndlesngskompensaon, be der de häfg ndkve Blndlesng enes Verbrachers drch enen Blndlesngskompensaor m engegengesezer mes kapazver Blndlesng kompenser wrd. Wrd en Nezwerk as elemenaren,, -Elemenen afgeba, läss sch für de mlere m gesamen Nezwerk gespechere Energe nach Abschn. fnden: Q k W W k Q k k k Afgrnd der Beragsbldng n der Smme läss sch de Gesamenerge m Allgemenen nch as der Gesamblndlesng besmmen.

93 Grndlagen der Elekroechnk B S Tabelle für Schen-, Wrk- nd Blndlesng ϕ S P Q I I π π I I arcan I I I arcan I I I arcan arcan

94 Grndlagen der Elekroechnk B S. 94 eale Baelemene,,. Normrehen Sandardsere Baelemene werden für besmme Nennwere beregehalen. De Were ergeben sch drch logarhmsche Telng ener Dekade nd ndng af möglchs glae Were. Es gb de Normrehen E3, E6, E, E4: E3 E6 E E4 exake logarhmsche Telng,,,,,,,7,,,5,3,3335,5,5,5,4678,6,656,8,8,7783,,9573,,,,,544,4,374,7,7,6 3,,873 3,3 3,3 3,3 3,63 3,6 3,487 3,9 3,9 3,83 4,3 4,7 4,7 4,7 4,7 4,7 4,646 5, 5,9 5,6 5,6 5,634 6, 6,897 6,8 6,8 6,8 6,89 7,5 7,4989 8, 8, 8,54 9, 9,85,. Kennwere Idealsere Baelemene werden allen drch den Wer hres Wdersands, der Indkvä oder der Kapazä besmm. eale Baelemene werden darüber hnas drch ene ahl weerer Spezfkaonen beschreben. Grndsäzlch lassen sch de angegebenen Daen enelen n zwe Kaegoren enelen: Berebskennwere, de das Verhalen m normalen Bereb charakerseren Grenzwere, de kenesfalls verlez werden dürfen

95 Grndlagen der Elekroechnk B S. 95 Je nach Baelemen nd Ensazberech snd des z.b.: Berebskennwere: Kennwer des Wdersands, der Indkvä der Kapazä Toleranzen der Kennwere ypsche Verlslesng Angaben über parasäre Effeke z. B. Innenwdersand nd Kapazä be Splen Grenzfreqenz Temperarkoeffzen Angaben über Abwechngen von der nearä geomersche Abmaße Schzklasse sw. Grenzwere: maxmale Spannng maxmaler Srom maxmale Änderngsrae von Srom oder Spannng Srom- oder Spannngsselhe maxmale Spzen-Verlslesng maxmale Daerlesng zlässger Berech der Berebsemperar zlässger Berech der ffechgke zlässge mgebngsbedngngen z.b. explosve Gase zlässge Bereche der Temperar nd ffechgke für Transpor, agerng nd Monage öemperar mechansche Beansprchbarke ebensdaer, ahl der Temperarzyklen sw.

96 Grndlagen der Elekroechnk B S Baformen.3. Wdersände SMD-Wdersand,5 W bs 7 º SMD-esngs-Wdersand W, zlässge Berebsspannng 3 V bs 55 º Drahwdersände 4 W Toleranz ±5%. Nch gewckel, sehr gernge Indkvä Drahwdersände 5Ω/5 W Drahwdersände Ω/ W Toleranz 5%. Drahwdersände 3 W. Bremswdersände für Schalschränke,,-5 kw z. B. für Anrebe m Freqenzmrchern.

97 Grndlagen der Elekroechnk B S. 97 Wdersandsspannngseler für Hochspannngs-Messng ca. 5kV.3. Kondensaoren Keramscher Kondensaor, npolar, Hohe esonanzfreqenz bs MHz. Spannng 5 V SMD Keramscher Kondensaor, npolar, Nennspannng 5V Tanal-Kondensaor m radalen Anschlüssen, Polaräskennzechnng, klener Verlsfakor. SMD Tanal-Kondensaor bs 35V. Freqenzberech bs MHz Elekrolykondensaor, ow-es besonders m Freqenzberech khz MHz, Temperarberech: -55 bs 5 º.

98 Grndlagen der Elekroechnk B S. 98 SMD Elekrolykondensaor bs 5V, Polaräskennzechnng -, Temperarberech: -4 bs 85 º Folenkondensaor, Temperarberech -55 bs º. Hochspannngskondensaor, Ensaz für Schalnezele, Kapazäsoleranz ±% Temperarberech 9-4 bs 5, 9-5 bs 5. Schrabenkondensaor, für hochprofessonelle Sromversorgngsgeräe, hohe Srombelasbarke, spannngslose agerng bs Jahre möglch.

99 Grndlagen der Elekroechnk B S Drosseln SMD Drossel bs mh Freqenzberech bs MHz Nennsrom 4 o 35 ma Ensördrosseln, z. B. für Thyrsor- nd Trac-Schalngen fsple Ensördrossel m Ferr-ngkern Drossel m EI-Ferrkern

100 Grndlagen der Elekroechnk B S..4 eales Verhalen Modellerng des realen Verhalens drch Ersazschalblder m dealen Elemenen. De Wahl des passenden Ersazschalbldes also des Modells s abhängg von der Problemsellng nd der nowendgen Deallerngsefe. De Enschedng für en Modell erfolg afgrnd: Modell-Verfkaon drch Messng ner Problem-ypschen Bedngngen drch Verglech verschedener Modellerngsansäze wenn Messngen nch möglch snd Erfahrng Bespele für verschedene Modelle bzw. Ersazschalblder: Wdersand s s s dealer Wdersand m parasärer Indkvä nsb. be gewckelen Drahwdersänden aßerdem m parasärer Kapazä

101 Grndlagen der Elekroechnk B S. Kondensaor e dealer Kondensaor m Innenwdersand Keenleermodell m Enladewdersand Sple s deale Sple m Innenwdersand m parasärer Kapazä

102 Grndlagen der Elekroechnk B S. Enfache magnesche Syseme m Kern nd fspal. Ersazschalbld des magneschen Kreses l N AFe l Fe Sple m Kern m fspal m Kern fsple Schalzechen Magnescher Flss: φ b da A Magnesche Spannng: b: magnesche Flssdche h: magnesche Feldsärke θ h ds l Annahme sückwese homogener Felder m k-en Elemen des magneschen Kreses: φ k A b k k θ k l k h k Annahme enes lnearen Maeralgesezes:

103 Grndlagen der Elekroechnk B S. 3 ergb bk µ rk µ θ φ m dem magneschen Wdersand oder der magneschen elkanz k k k h k θk k φ k l A µ k k rkµ Der Kehrwer des magneschen Wdersands s de magnesche efähgke φ Ak µ rkµ l k Λ k k θk Im enfachen magneschen Kres gl Qellenfrehe des magneschen Feldes: Das Indkonsgesez: Wrd en ohmscher Innenwdersand De Größe heß Verkengsflss. Der Drchflngssaz: φ φ k cons. N φ ψ k der Sple berückschg, lae de Glechng: N φ ψ ψ Nφ θ k N. De Qelle der magneschen Spannng N heß Drchflng. Es folg k ψ N magn m dem gesamen magneschen Wdersand

104 Grndlagen der Elekroechnk B S. 4 magn Fe Häfg kann der Kernwdersand be hochpermeablem Maeral gegenüber enem fspal vernachlässg werden: magn φ θ Fe Nφ N Fe θ elekrsches Telsysem magnesches Telsysem gekoppele Telsyseme. Indkvä nd Energe Vgl. Abschne 4.4 nd 5.! ψ N magn Je gernger der magnesche Wdersand, deso größer de Indkvä. Ohne fspal wrd be ansonsen glech blebenden Parameern de größe Indkvä errech: N Λ ψ N AFeµ l Fe rfe µ Energe vgl. Abschn 4.4: w Anschenend seg de specherbare Energe m der Indkvä. Das s aber en Trgschlss bzw. nr für de Berachng konsanen Sroms rchg. Andere Darsellng der Energe: w ψ φ magn

105 Grndlagen der Elekroechnk B S. 5 Be gegebenem magneschem Maeral s de Flssdche begrenz nd som ach der Flss nd Verkengsflss begrenz. Be enem maxmal möglchen Flss nmm de specherbare Energe also m segender Indkvä ab! Physkalsche Inerpreaon: De magnesche Energe wrd m fspal, nch m Esen gespecher. Ene Drossel, de Energe spechern soll, mss enen fspal oder enen äqvalenen magneschen Wdersand haben. Das hochpermeable Kernmaeral den ledglch der Flssführng nd Flsskonzenraon drch de Wcklng. Vele weere snnvolle Darsellngsformen für de magnesche Energe: w ψ φn φ φ θk V k k k k magn φ θ A b l k k k V b h k k k bh dv k h k Her be snd V A l k k k de Volmna der Elemene nd V das Gesamvolmen. De Größe s de Energedche des magneschen Feldes. bh

106 Grndlagen der Elekroechnk B S. 6.3 Bezehngen zwschen Schenlesng, Geomere nd Maeral Fe A Fe A W A Fe : Qerschnsfläche des Kerns A W : Fläche des Fensers für de Wcklng Snsförmge Spesng: ψ cos sn Scheelwer der Flssdche: ψ b cos bˆ sn NA NA Fe Fe bˆ N A Fe Be ener gegebenen maxmalen Flssdche ˆb max des Kernmaerals folg de maxmale Spannng max bˆ max N A Fe Fenser Wndow für Wcklng: A W A k c N N : Wndngszahl

107 Grndlagen der Elekroechnk B S. 7 A : Drahqerschn k : Füllfakor, ypsche Were:,5-,65 Drahwcklngen bs,9 für Formsplen Maxmaler Srom be gegebener maxmaler Sromdche J max Effekvwer: I A J max max A W k N J max Maxmale Schenlesng: S max max I max J max bˆ max k A Fe A W Das Prodk A p A Fe A W heß Flächenprodk nd s ene ypsche Kenngröße magnescher Baelemene Enhe: 4 m. Werden magnesche Baelemene glecher Konsrkon, aber nerschedlcher geomerscher Größe, de drch ene charakerssche ängenabmessng l beschreben werde, menander verglchen, ergeben sch de folgenden Wachsmgeseze: änge Volmen Masse Flächen Flächenprodk Schenlesng l 3 V ~ l 3 M ~ l AFe, AW ~ l 4 ~ l A p 4 Smax Ap ~ l ~ ~ V 4 / 3 Nach Abschn. gl Aßerdem gl nach Abschn. W w S W w φ 4 magn bˆ max A Fe magn Daras folg der benöge magnesche Wdersand z magn S bˆ max max AFe J max bˆ bˆ k max max AFe A Fe A W J bˆ max max k A Fe A W Alernaver Weg:

108 Grndlagen der Elekroechnk B S. 8 NI φ NI bˆ A max magn max Fe bˆ max NS A Fe max max Der nowendge magnesche Wdersand wrd enweder be hochpermeablen Kernen drch enen ensprechenden fspal oder drch Kernmaeral m passender Permeablä realser. Be hochpermeablem Kernmaeral wrd der magnesche Gesamwdersand m Wesenlchen allen drch den fspal besmm, magn µ l A Fe nd es folg für de nowendge fspalbree l µ S µ A µ J max max ˆ Fe magn bˆ max AFe bmax k A W Wrd der magnesche Wdersand ohne fspal, aber m Kernmaeral mlerer Permeablä Index Fe wrd weerhn verwende, folg as dem magneschen Wdersand magn l µ µ Fe rfe A Fe für de nowendge Permeabläszahl lfe lfebˆ max AFe µ rfe A µ µ S Fe magn max bˆ µ J max l max Fe k A W In desem Fall werden ypscherwese Kerne as plverseren Maeralen Plverkerne engesez. Typsche Were abhängg vom Maeral nd der gewünscher Asnzng: Maeral ˆb max /T µ r Ferre Nn, Mnn,-,5 - Dynamobleche Fe -,5 - Permalloy, MMeall FeN -5 Fe-Plverkerne,5-,9 - FeN-Plverkerne -,5-3 FeSAl-Plverkerne 5-