1 Die Jordansche Normalform

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1 Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 4/5 A Die Jordansche Normalform Vierter Tag ( ) Im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme hilft die Jordansche Normalform. Die ist ein einfacher Vertreter der Äquivalenzklasse der zu einer trigonalisierbaren (charakteristisches Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren) Matrix ähnlichen Matrix. Definition. Jordan. (λ K, l N >0 ) Ein Jordan-Block (alt: Jordan-Kästchen) der Länge l ist eine Matrix der Form λ Kl l 0 λ 2. A in Jordanscher Normalform J 0 J 2 A =... 0 J r 3. B heißt Jordansche Normalform von A, falls B in JNF und ähnlich zu A. Satz. A hat genau dann eine JNF, wenn χ A in Linearfaktoren zerfällt. (Für abgeschlossene Körper gilt das für jede quadratische Matrix.) Meistens ist die JNF nicht eindeutig, da das Vertauschen der Jordan-Blöcke erlaubt ist, da dies nur eine Umordnung der Basisvektoren entspricht. Satz.2 A und B sind genau dann ähnlich, wenn ihre JNF bis auf die Reihenfolge der Blöcke übereinstimmen. Um nun die JNF zu berechnen, sind folgende Formeln wichtig: Satz.3 χ A zerfällt in Linearfaktoren, B ist JNF von A, λ K Eigenwert von A:. Anzahl der Jordan-Blöcke der Länge e mit λ: rg(a λi n ) e 2rg(A λi n ) e + rg(a λi n ) e+ 2. Gesamtlänge der Jordan-Blöcke mit λ ˆ=m a (λ)

2 3. Anzahl der Jordan-Blöcke mit λ ˆ=m g (λ) Beispiel.: JNF. A = R χ A = (5 λ) (6 λ) ( + λ) = 0 Damit sind die Eigenwerte -, 5 und 6, jeweils mit m a =. Also ist B = diag(, 5, 6). (Reihenfolge vertauschbar) A = 4 4 R Eigenwert - mit m a = 3. A+I 3 hat Rang, da Spaltenvektoren paarweise linear abhängig. Daher jeein Jordanblock mit Länge und 2. JNF = R 3 3 oder JNF = R A R 4 4 mit nur einem Eigenwert λ, rg(a I 4 ) = 2. Also gibt es 2-2=2 Jordanblöcke, entweder mit den Längen 2,2 oder,3. Berechne die Anzahl der Jordanblöcke mit Länge mit Formel aus Satz.3: λ λ 0 0. Fall: Ergebnis:, dann JNF = 0 λ λ oder JNF = 0 λ λ λ λ λ Fall: Ergebnis:0, dann JNF = 0 λ λ λ Neben der JNF an sich, ist auch die tranformierende Matrix von Interesse. Die erhält man aus der Jordan-Basis. Definition.2 Jordan-Basis Basis bezüglich der ϕ A, die JNF von A als Darstellungsmatrix hat Zusatz. Berechnen der Jordan-Basis. JNF von A bekannt 2. Suche die Basisvektoren zu dem längsten Jordan-Kästchen von λ 3. Berechne Hauptraum: E (e) λ := {v Kn (A λi n ) e v = 0} 4. Ergänze Basis des Unterraums E (e ) zu einer Basis von E (e) mit Keimen der Basisvektoren der Jordan-Kästchen 2

3 5. Ist v E (e) ein Keim: v e := v, v e := Av e λv e,..., v := Av 2 λv 2 6. (falls vorhanden) nun Jordan-Kästchen mit niedrigerer Länge (e-): Gegen lineare Abhängigkeit mit den schon vorhandenen Vektoren: ergänze Basen von E(e 2) und (A λi n ) E (e) zu einer Basis von E (e ) Beispiel.2: Wir verwenden aus Beispiel. die zweite Matrix. Wir kennen den (einzigen) Eigenwert - und den Eigenraum E = {( 0, 5ɛ + κ ɛ κ) T ɛ, κ R} Für das große Jordankästchen wählen wir einen Vektor außerhalb von E, zbsp. v 2 := e. Damit ergibt sich v := Av 2 ( )v 2 = ( 2 4 0) T Damit haben wir das Jordan-Kästchen mit Länge 2 fertig, jetzt zu dem mit Länge. Wir suchen den Eigenvektor, der v zu einer Basis von E ergänzt, also einen Vektor v 3 E, der linear unabhängig von v ist. Eine Möglichkeit ist v 3 = (0 2 ). Damit ergibt sich die transformierende Basis Satz.4 exp(a) Für A C n n konvergiert exp(a) = e A := k=0 A k k! Zusatz.2 Für B = S AS mit S GL n (C) gilt Zusatz.3 A,B C n n kommutierend. (A + B) n = ( ) n n i=0 A r i B n i 2. exp(a + B) = exp(a) exp(b) 2 Skalarprodukte exp(b) = S exp(a)s Bisher haben wir uns in beliebigen Körpern bewegt. Dabei gab es keinen Begriff im Zusammenhang mit Abstand. Zur Bestimmung von Längen, Abständen und Winkeln führen wir daher in diesem Kapitel das Skalarprodukt wie folgt ein: Für den reellen Vektorraum ist dies gleich, wie das Skalarprodukt aus der Schule. 3

4 Definition 2. Standard-Skalarprodukt Das Standard-Skalarprodukt auf R n von v = v. v n und w = w. w n R n ist: n v, w := x i y i i= (= v T w) R Es gelten folgende Eigenschaften:. Bilinearität (a R): u, v + a w = u, v + a u, w & u + a v, w = u, w + a v, w 2. Symmetrie: v, w = w, v 3. (Positiv semi-definit:) v, v > 0 für v 0 Durch das Skalarprodukt erhält man neue Möglichkeiten zur Charakterisierung von Abbildungen. Definition 2.2 symmetrische Bilinearform V V R, (v, w) v, w heißt, falls sie symetrisch und bilinear ist. Die zusätzliche Eigenschaft positiv definit führt zum Skalarprodukt. (Skalarprodukt und reeller Vektorraum zusammen heißen euklidischer Raum.) Im komplexen Raum funktioniert die Definition des Standard-Skalarproduktes nicht, da es auch negativ sein kann. Daher müssen wir hier anders vorgehen. Mit Hilfe der Komplex-konjugierten z := a ib (statt + bei z) definiert man mit den Rechenregeln für komplexe Zahlen: z + w = z + w z w = z w z z = a 2 + b 2 z := z z Mit diesen Regeln erhält man als Skalarprodukt im komplexen Vektorraum: Definition 2.3 komplexes Skalarprodukt v, w := n x i y i i= ( v T w) C Zusätzlich weichen auch die Begrifflichkeiten im komplexen Vektorraum von denen des reellen ab: Definition 2.4 V komplexer Vektorraum: V V C, (v, w) v, w heißt 4

5 . sesquilinear, falls u, v + a w = u, v + a u, w & u + a v, w = u, w + ā v, w 2. hermitesch, falls v, w = w, v 3. positiv definit, falls v, v R& v, v 0 bei v 0. heißt Sesquilinearform, 2. hermitesche Form, komplexes Skalarprodukt. Kompl. Vektorraum und kompl. Skalarprodukt ergeben den unitären Raum. Mit dem Skalarprodukt haben wir nun ein Mittel für die Bestimmung von Längen: Definition 2.5 Länge/Norm und Abstand v := v, v R 0 ist die Länge bzw. Norm von v. d(v, w) := v w R 0 ist der Abstand von v und w. Für diese gilt nun: Zusatz 2. Schwarzsche Ungleichung v, w n w (Gleicheit bei linearer Abhängigkeit ((anti-)parallele Vektoren)) Und zusätzlich: Satz 2. Eigenschaften. v > 0 bei v 0 2. a v = a v (a Skalar) 3. v + w v + w (Dreiecksungleichung) 4. d(v, w) > 0beiv w 5. d(v, w) = d(w, v) 6. d(u, w) d(u, v) + d(v, w) (siehe 3.) Zusatz 2.2 (für spätere Vorlesungen interessant). v v erfüllt normierter Vektorraum 2. d: V V R 0 erfüllt Metrik metrischer Raum 3. Banachraum (vollständig (jede Cauchy-Folge konvergiert) und normiert), Hilbertraum (vollständig und euklidisch/unitär) Außer für den Abstandsbegriff benötigt man das Skalarprodukt auch für die Festlegung von Winkeln zwischen Vektoren: Definition 2.6 Winkel (zwischen v und w) V euklidisch/unitär cos(α) = v, w v w 5

6 . orthogonale (senkrechte) Vektoren: v, w = 0 2. S V Orthogonalsystemn, falls zwei verschiedene Vektoren paarweise orthogonal 3. S Orthonormalsystem, falls 2. und v = v 4. S Orthonormalbasis, falls 3. und Basis 5. orthogonales Kompliment zu Unterraum U V : U := {v V v, u u U} Um für den durch die Vektoren aufgespannten Raum eine ONB zu erzeugen, geht man wie folgt vor: Zusatz 2.3 Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren Vektoren v,..., v k Orthonormalbasis {u,..., u m } des erzeugten Unnterraums.. m := 0 2. Für i=,...,k : Schritte 3. und w i 0 m := m+ und w i = v i m u j, v i u j j= u m := w i w i Beispiel 2.: 3 V := 0, 0, Als erster normieren wir einen der Vektoren. u = w w = 3 3/5 5 0 = 0 4 4/5 Den zweiten normierten Vektor erhalten wir mit w 2 = v 2 u, u 2 u = 25 (6 0 2)T : 4/5 u 2 = 0 3/5 Der dritte Vektor ist u 3 = w 3 = v 3 u, v 3 u u 2, v 3 u 2 = 0. Die ONB ist also {u, u 2 }. (Man sieht schon aus den Vektoren am Anfang, dass nur zwei Vektoren übrig bleiben, da v 3 = 2 (v + v 3 ).) Zwischen euklidischen bzw. unitären Veoktorräumen kann man strukturerhaltende Abbildungen studieren. 6

7 Definition 2.7 orthogonale bzw. unitäre Abbildung V, W euklidisch/unitär, ϕ : V W orthogonal, falls ϕ(v), ϕ(w) = v, w v, w ist injektiv und abstandserhaltend ( d(ϕ(v), ϕ(w)) = d(v, w) ϕ(v) = v ( ˆ= Isometrie) Zum Abschluss legen wir noch ein paar Begriffe fest: Definition 2.8 spezielle Matrizen. A R n n orthogonal, wenn Satz 2.5 erfüllt. Gleichbedeutend: Spalten bzw Zeilen bilden Orthonormalbasis von R n 2. A C n n unitär, wenn Satz 2. erfüllt. Gleichbedeutend: Spalten bzw Zeilen bilden Orthonormalbasis von C n 3. orthogonale Gruppe: O n := {A R n n A T A = I n } GL n (R) spezielle orthogonale Gruppe: SO n := O n SL n (R) 4. unitäre Gruppe: U n := {A C n n A T A = I n } GL n (C) spezielle unitäre Gruppe: SU n := U n SL n (C) 3 Hauptachsentransformation Vereinbarung: A R n n Ziel des Kapitels ist der Nachweis, dass jede symmetrische, reelle Matrix diagonalisierbar ist. Wir fangen mit drei Hilfssätzen an: Zusatz 3.. Sei λ C ein Eigenwert von A ( C n n ), dann λ R 2. Unterraum {0} U R n mit u U : A u U U enthält einen Eigenvektor von A 3. λ und µ verschiedenen Eigenwerte von A und v E λ, w E µ : v, w = 0 Das Hauptergebis des Kapitels ist die Hauptachsentransformation. (Sie dient dazu, um Gleichungen von Hyperflächen (Dimension um geringer als umgebenden Raum) zweiter Ordnung in einer NOrmalform darzustellen.) Satz 3. Hauptachsentransformation Für symmetrischen Matrizen A gibt es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. S O n (R) mit, S AS = S T AS Diagnomalmatrix. A ist diagonalisierbar. (Satz gilt allgemein für R, jedoch nicht für C und Q.) Beispiel 3.: 2 A = 2 hat χ A = (x ) 2 (x 4). 2 7

8 Mit E 4 = haben wir schon den ersten normierten Vektor u 3 = 3. Auf E = 0, 0 und u = 6 u = Damit ist S bekannt und S AS = erhalten wir duch das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren WICHTIG: Dies gilt alles nur für R, nicht für C oder Q. Zusätzlich sind folgende Definitionen sinnvoll. Definition 3. Eine symmetrische Matrix A heißt. positiv definit: alle Eigenwerte positiv 2. pos. semidefinit: alle Eigenwerte nicht negativ 3. negativ definit: alle Eigenwerte negativ 4. neg. semidefinit: alle Eigenwerte nicht positiv 5. indefinit: pos. und neg. Eigenwerte Gleichbedeutend ist folgendes: Satz 3.2 A positiv definit genau dann, wenn v R n \{0} : v, A v > 0 Für die anderen Fälle, ersetze > durch, < oder. 8