MATHEMATIK. Fachabituiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik

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Gottlob Schmitt
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1 Fachabiuiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK Ausbildungsrichung Technik Diensag, 4. Juni 2013, Uhr Die Schülerinnen und Schüler haben je eine Aufgabe aus den Aufgabengruppen A und B zu bearbeien. Die Auswahl der Aufgaben riff die Schule.

2 -2- Aufgabengruppe A: Analysis AI BE ax + 2x Gegeben sind die reellen Funkionen f a : x f-> in der vom Parameer x + 1 a e IR \ {0} unabhängigen Definiionsmenge D = IR \ {-1}. Der Graph einer solchen Funkion wird mi G a bezeichne. 1.1 Besimmen Sie den Parameerwer a so, dass die zugehörige Funkion f a eine seig behebbare Definiionslücke besiz. Sellen Sie für diesen Fall die Funkionsgleichung in vereinfacher Form dar und zeichnen Sie den zugehörigen Graphen. 1.2 Ermieln Sie Anzahl und Lage der Nullsellen von f a in Abhängigkei von a. 1.3 Berechnen Sie die Parameerwere a so, dass der Graph G a genau zwei Punke mi waagrecher Tangene besiz. 2 [ Mögliches Teilergebnis: f (x) = - ] (x + 1) Geben Sie den Grenzwer der Ableiungsfunkion für x->±oo an. Lösen Sie außerdem die Gleichung f a (x) = a in Abhängigkei von a und inerpreieren Sie jeweils das Ergebnis Für die folgenden Teilaufgaben ha a den Wer 1, Ermieln Sie die Gleichungen aller Asympoen des Graphen Gj 25 und sellen Sie eine Gleichung der Tangene an den Graphen Gj 2s an der Selle x = -2 auf Unersuchen Sie das Seigungs- und Krümmungsverhalen des Graphen Gj Geben Sie die Nullsellen von fj 25 an und zeichnen Sie für -4<x<2 den Graphen G 12 5 mi seinen Asympoen und der Tangene in ein karesisches Koordinaensysem (Maßsab: 1 LE = 1 cm) Der Graph Gj 25 begrenz mi den beiden Koordinaenachsen ein endliches Flächensück im IV. Quadranen. Kennzeichnen Sie dieses Flächensück im Schaubild der Aufgabe und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhals. Forsezung siehe nächse Seie

3 BE Forsezung A I: 2.0 Für den Flächeninhal A (in m ) der Fläche, die Algen an der Oberfläche eines 50 m 2 großen Klärbeckens bedecken, gil in Abhängigkei von der Zei (in Wochen) näherungsweise die Formel A() = mi > 0 und c e IR A c > 0. l + 24-e" c ' Auf das Miführen der Einheien bei den Berechnungen kann verziche werden. 2.1 Berechnen Sie den Wer von c auf eine Nachkommaselle gerunde, wenn nach 10 Wochen die Algen eine Fläche von 5 m bedecken Für die folgenden Teilaufgaben ha c den Wer 0, Besimmen Sie den Flächeninhal des Algeneppichs zur Zei = 0 und für > oo Zeigen Sie, dass der Flächeninhal A() sreng monoon zunimm. 120-e _0 ' 1 ' [ Mögliches Teilergebnis: A() = - (l + 24-e" ü ' H ) Berechnen Sie den Flächeninhal des Algeneppichs zu dem Zeipunk, zu dem das Algenwachsum am größen is. Runden Sie das Ergebnis auf eine Nachkommaselle Sellen Sie den Flächeninhal A() für 0 < < 60 graphisch dar. Tragen Sie auch die Asympoe des Graphen ein. Maßsab auf der -Achse: 1 cm = 10 Wochen Maßsab auf der A-Achse: 1 cm = 10 m 2 70 I

4 Aufgabengruppe A: Analysis All BE 1.0 Gegeben is die reelle Funkion f:xh4x ln(0,25 x) mi der Definiionsmenge D f =]0;oo[ Berechnen Sie die Nullselle von f und unersuchen Sie das Verhalen der Funkionswere f(x) an den Rändern der Definiionsmenge. 1.2 Berechnen Sie die Ar und die exaken Koordinaen des Exrempunkes des Graphen von f. [ Mögliches Teilergebnis: f 7 (x) = x-[l + 2-ln(0,25-x)] ] 1.3 Unersuchen Sie das Krümmungsverhalen des Graphen von f und berechnen Sie die exaken Koordinaen des Wendepunkes. 1.4 Lösen Sie die Gleichung f (x) = 2,5 mihilfe des Newonschen Verfahrens, benuzen Sie x 0 = 4,5 als Sarwer, führen Sie einen Näherungsschri durch und runden Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommasellen. 1.5 Berechnen Sie den rechsseiigen Grenzwer der Ableiungsfunkion f an der Selle x = 0 und beschreiben Sie die Bedeuung des Ergebnisses für den Verlauf des Graphen von f. 1.6 Zeichnen Sie mihilfe bisheriger Ergebnisse und geeigneer Funkionswere den Graphen von f für 0 < x < 5 in ein karesisches Koordinaensysem (Maßsab: 1 LE = 1 cm) Gegeben is nun die Funkion F:xh >-x ln(0,25-x)-- mi der Definiionsmenge D F = D f. Zeigen Sie, dass F eine Sammfunkion von f is. 1.8 Der Graph von f, die x-achse und die Gerade mi der Gleichung x = 0,1 schließen rechs der Geraden ein Flächensück A ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächensück im Schaubild aus Aufgabe 1.6 und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhals. Runden Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommasellen. Forsezung siehe nächse Seie

5 BE Forsezung A II 2.0 Die Geschwindigkei v (in ) eines Fallschirmspringers bei ungeöffneem Falls e 3 -l schirm kann näherungsweise durch die Funkion v: H> 60 mi > 0 e 3 +l beschrieben werden. Dabei bezeichne die Zei (in Sekunden) nach dem Absprung. Auf das Miführen der Einheien bei den Berechnungen kann verziche werden. Ergebnisse sind gegebenenfalls auf eine Nachkommaselle zu runden. 2.1 Berechnen Sie, welche Geschwindigkei der Fallschirmspringer nach 5 Sekunden besiz und nach welcher Zei er die Geschwindigkei 55 erreich. s [ Hinweis: Benuzen Sie die Subsiuion u = e 3 ] 2.2 Weisen Sie nach, dass die Geschwindigkei v sreng monoon zunimm. Berechnen Sie außerdem den Grenzwer lim v() und erläuern Sie seine Bedeuung für den Fallschirmspringer. [ Mögliches Teilergebnis: v() = 40 e 3 (e 3 +l) Während des gesamen Sprungs mi ungeöffneem Fallschirm gil: v() < 0 -»oo (Nachweis nich erforderlich). Begründen Sie, dass die Ableiungsfunkion v die Weremenge W = ]0; 10] besiz. 2.4 Sellen Sie die Funkion v für 0 < < 16 graphisch dar. Wählen Sie dazu selbs einen geeigneen Maßsab. e6 _ _ Q Zeigen Sie, dass die Funkion s :11 > 360 ln( ) mi > 0 eine Samm- 2 funkion von v is, die s(0) = 0 erfüll. Berechnen Sie s(10), geben Sie die Bedeuung dieses Weres für den Fallschirmspringer an und kennzeichnen Sie den Wer im Schaubild der Aufgabe 2.4. i _i Der Fallschirmspringer is in 4000 Meer Höhe abgesprungen. In 1000 Meer Höhe öffne er den Fallschirm. Berechnen Sie näherungsweise die Zei zwischen Absprung und Fallschirmöffnung. Ersezen Sie dazu zunächs in s() aus 2.5 den Term e 6 durch 0 und begründen Sie danach, warum das hier zulässig is.

6 -6- Aufgabengruppe B: Lineare Algebra und analyische Geomerie Bl BE 1.0 In einem karesischen Koordinaensysem des IR is die Menge der Ebenen ^2\ (-\\ E a :x = 0 mi X,[i,aelR gegeben, außerdem die Menge vh +x- l + H- voy va + l y der Punke C km (2k-3m-l m-3 -k + m + 4) mi k, melr. 1.1 Besimmen Sie eine Gleichung der Ebene F in Koordinaenform, auf der alle Punke C^ m liegen. [ Mögliches Ergebnis: F: xj + x 2 + 2x 3-4 = 0 ] Zeigen Sie, dass die Ebene F auch in der Menge der Ebenen E a enhalen is Die Ebene F schneide die X] -Achse im Punk Sj und die x 2 -Achse im Punk S 2. Diese Punke bilden mi dem Koordinaenursprung und dem Punk P(l l l) eine dreiseiige Pyramide. Berechnen Sie die Volumenmaßzahl dieser Pyramide. 1.4 Es gib zwei verschiedene Ebenen E a und E a, die mi der Ebene F jeweils einen Winlcel von 45 einschließen. Besimmen Sie die zugehörigen Were aj und a 2 auf zwei Nachkommasellen gerunde. ^m 1.5 Zeigen Sie, dass die Gerade g mi der Gleichung x = + v -1, mi v e IR, vly in allen Ebenen E a enhalen is, und berechnen Sie den Absand des Koordinaenursprungs von dieser Geraden g mihilfe des Lofußpunkes L. In einem karesischen Koordinaensysem des IR sind in Abhängigkei von r e IR die Ebenen G r, H r und K r gegeben: G r : X]+17-x 2 -r-x3+19 = 0 H r : x 1 +(r-6)-x 2-2-x 3 +7 = 0 K r : -2-x 1-14-x 2 +r-x 3-22 = 0 Ermieln Sie die Were für r, für welche die Ebenen G r, H r und K r keinen Schnipunk, genau einen Schnipunk bzw. unendlich viele Schnipunke haben. 30

7 7- Aufgabengruppe B: Lineare Algebra und analyische Geomerie BU BE 1.0 Die folgenden Informaionen beziehen sich auf ein karesisches Koordinaensysem des 3 IR. Für die Einheien auf den Koordinaenachsen gil jeweils 1 LE = 1 m. Auf das Miführen der Einheien bei den Berechnungen kann verziche werden. Ergebnisse sind gegebenenfalls auf eine Nachkommaselle zu runden. An einem Hang soll eine Scheune erriche werden mi den Eckpunken A(01010), B(81 010,4), C(81810,8) und D(01810,4), die in einer Ebene liegen. Die vier Seienwände der Scheune verlaufen senkrech zur xjx 2 -Ebene. Die Scheune soll in dem Viereck ABCD in den Hang hineinragen und ihr Boden soll in der Xjx 2 -Ebene verlaufen, weshalb ein Teil des Hangs abgeragen werden muss. 1.1 Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm, aber kein Recheck is, und berechnen Sie dessen Flächeninhal. Berechnen Sie außerdem das Volumen der Erde, die vom Hang abgeragen werden muss Die eine Dachfläche lieg in der Ebene E: -3xi+4x 3 =16. In der anderen Dachfläche liegen die Punke U(6 l 5,5), V(4 4 7) und W(8 6 4), durch welche auch die Ebene F fesgeleg wird. Die beiden Dachflächen reffen im Dachfirs aufeinander und werden durch die Seienwände der Scheune begrenz Beschreiben Sie die Lage der Ebene E im Koordinaensysem und ermieln Sie eine Gleichung der Ebene E in Parameerform. Sellen Sie außerdem die Gleichung der Ebene F in parameerfreier Form auf. [ Mögliches Teilergebnis: F: 1,5xj + 2x 3 = 20 ] Berechnen Sie die Neigungswinkel ß E und ß F der beiden Dachflächen bzgl. der Xjx 2 -Ebene und den Winkel y, uner dem beide Dachflächen aufeinanderreffen Besimmen Sie die Koordinaen der beiden Endpunke R und R 2 des Dachfirss Die Dachflächen sollen nun über die Scheunenwände hinaus verlänger werden. Zur Sabilisierung werden Süzbalken zwischen den Seienwänden und den verlängeren Dachflächen angebrach. Eine dieser Süzen soll an einer Seienwand im Punk P(0 4 3) angebrach werden. Berechnen Sie die Mindeslänge dieser Süze und besimmen Sie den anderen Endpunk L dieser Süze. Süzbalken

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