Aufgabe 30: Periheldrehung
|
|
|
- Elisabeth Holst
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Aufge 30: Periheldrehung Auf einen Plneten soll zusätzlich zum Grvittionspotentil ds folgende Potentil einwirken U z = η r. (1 Im Folgenden sollen eene Polrkoordinten verwendet werden. Ds können wir mchen, d die Bewegung des Mssenpunktes in der Eene senkrecht zu L stttfindet, denn es gilt r L { = r r r } = 0 ( woei L sowohl vom Betrg ls uch von der Richtung her konstnt ist. Der Ortsvektor ht in diesen Koordinten die Form r = r e r mit den eiden orthonormierten Einheitsvektoren cos ϕ sin ϕ e r = sin ϕ und e ϕ = cosϕ. (3 0 0 Die Einheitsvektoren müssen trotz eener Polrkoordinten dreidimensionl sein, d ds Kreuzprodukt ( L nur für drei Dimensionen definiert ist. Die Geschwindigkeit ht dnn die Form Entsprechend ergit sich für die Beschleunigung r = d dt (r e r = ṙ e r r d dt e r = ṙ e r r ϕ e ϕ (4 r = d dt (ṙ e r r ϕ e ϕ = ( r r ϕ e r (ṙ ϕ r ϕ e ϕ (5 Energie- und Flächenstz in eenen Polrkoordinten Die Newtonsche Bewegungsgleichung für eine Zentrlkrft lutet llgemein m r = F( r = F(r e r = du(r dr e r (6 Drus erhlten wir durch Multipliktion eider Seiten mit r und identifizieren der zeitlichen Aleitungen den Energiestz in der Form ( m r r = d m r = du(r ( e r dt dr r Gl. (4 = du(r ( e r (ṙ e r r ϕ e ϕ dr = du(r dr dr dt = du(r dt (7 1
2 Mit dem Potentil in Gl. (1 für ds modifizierte Kepler-Prolem und der Geschwindigkeit in Polrkoordinten erhlten wir den Energiestz m ( r E = U(r = m (ṙ e r r ϕ e ϕ η r γmm r = m (ṙ r ϕ η r γmm = konstnt (8 r Weiter wissen wir, dss in einem Zentrlkrftfeld ( F = f( r e r r r der Drehimpuls erhlten leit d L dt = m d dt ( r r ( = m } r {{ } r r r }{{} = 0. (9 =0 Der Drehimpuls lutet in Polrkoordinten =0, d r r L = r m r = mr e r (ṙ e r r ϕ e ϕ = mr e r e }{{} r mr ϕ e r e ϕ = mr ϕ e z (10 }{{} =0 = e z Aus Gl. (9 folgt nun unmittelr, dss die Flächengeschwindigkeit c konstnt ist und dmit ds. Keplersche Gesetz erfüllt ist: Herleitung der Bhnkurve c = 1 r r = 1 m L = 1 r Gl. (9 ϕ = konstnt (11 Die Newtonsche Bewegungsgleichung sieht mit dem veränderten Potentil und der Beschleunigung in eenen Polrkoordinten gemäß Gl. (5 wie folgt us: m r = m (( r r ϕ e r (ṙ ϕ r ϕ e ϕ ( γmm = r η r 3 e r (1 Für diese Bewegungsgleichung hen wir im vorngegngenen Aschnitt schon den Energiestz hergeleitet. In Gl. (8 können wir nun ϕ durch den Drehimpuls usdrücken Der Energiestz lutet dnn ϕ = L mr. (13 E = m ṙ L mr η r γmm r = m ṙ U eff (r = konstnt (14
3 Diese Gleichung knn weiter umgeformt werden zu ṙ(t = ± m (E U eff(r (15 Dvon usgehend können wir nun durch Integrtion die Form der Bhnkurve estimmen. D für eine Plnetenhn eine Drstellung in Ahängigkeit vom Winkel ϕ nschulicher ist ls von der Zeit t, sustituieren wir r(t = r(ϕ(t. Dnn ist ṙ(t = dr(ϕ dϕ ϕ = dr(ϕ dϕ L (16 mr Dies in Gl. (15 eingesetzt knn dnn mit Trennung der Vrilen integriert werden r(ϕ r 0 =r(ϕ 0 Einsetzen von U eff (r ergit r(ϕ r 0 1 R r(ϕ r 0 1 R L mr m L m ± (E U m eff = ϕ ϕ 0 (17 ( E γmm = ±(ϕ ϕ 0 L η R mr R me γmm 1 ( = ±(ϕ ϕ 0 (18 1 mη 1 L L R L R Nun muss im Grunde genommen nur noch ds Integrl in Gl. (18 zur Lösung des Prolems erechnet werden. Die Berechnung eines Integrls des Typen I = 1 R mit den Prmetern (speziell für unser Prolem = 1 mη L, c R R (19 = γmm L und c = me L (0 geht entweder üer Formelsmmlung (uch ds will gelernt sein oder wie folgt (knn uch ml gnz nett sein zu sehen, wie mn solche Integrle mnuell lösen knn: Unter den Annhmen > 0 und = 4c > 0 und der Sustitution erhlten wir ds Integrl I = R = 1 u = du u u 1 du c u u u = du c u u 3
4 Weiter mchen wir eine qudrtische Ergänzung im Rdiknd u u c = ( u }{{} 4 =q = 4 c und sustituieren weiter x = u du = dx. Ds Integrl ht lso nun die Form I = 1 dx q x = 1 rcsin ( x C q Rücksustitution zuerst von x(u und dnn von u(r liefert uns die gewünschte Stmmfunktion I = 1 rcsin (1 ( u ±(ϕ ϕ 0 = 1 rcsin = 1 ( rcsin R r(ϕ r0 Ds Integrl us Gl. (1 in Gl. (18 eingesetzt ergit uns die Bhnkurve ( r 0 ( r 1 rcsin { r = sin ( } r (ϕ ϕ 0 rcsin 0 r(ϕ = } {{ } =K 1 sin( (ϕ ϕ 0 K Im Argument des Sinus wählen wir nun willkürlich ds ls Vorzeichen, d der Unterschied der Vorzeichen lediglich in der Drehrichtung der Bhnkurve esteht. Weiter wollen wir Gl. ( uf Huptchsenform trnsformieren, ds ist die Drstellung in der die eiden Huptchsen mit den Koordintenchsen zusmmenfllen und sich ein Brennpunkt im Ursprung efindet. In dieser Drstellung ht die Bhnkurve folgende Form r(ϕ = 1 cos( ϕ = p 1 ɛ cos(αϕ Dfür müssen wir die Konstnten r 0 = r(ϕ 0 und ϕ 0 in Gl. ( so wählen, dss der Sinus zum Kosinus wird, d.h. es muss gelten ( (3 ϕ 0 K = π (4 4
5 Die Prmeter p, ɛ und α in Gl. (3 können wir dnn mit Hilfe der Prmeter us Gl. (0 estimmen: p = = ɛ = α = = L γmm = η γmm 1 E (γmm ( L m η (5 (6 1 mη L (7 Die geometrische Bedeutung dieser Ellipsenprmeter ist in A. (1 drgestellt. Wichtig ei diesen Resultten ist uch zu sehen, dss nch Einsetzen von η = 0 die Lösung und Prmeter des einfchen Kepler-Prolems wieder heruskommen. y r(ϕ = p 1ɛcos ϕ e = ɛ r p ϕ x p ɛ große Huptchse kleine Huptchse Hlprmeter Exzentrizität A. 1: Ellipse und Prmeter in Huptchsenform Beim Betrchten der Gl. (3 knn mn schon erhnen, dss die Trjektorien nicht denen des einfchen Keplerprolems entsprechen, d der Kosinus nicht mehr π-periodisch ist und dmit ei ϕ = 0 und ϕ = π nicht denselen Wert ht und dementsprechend uch r(0 und r(π verschieden sind. Ursche eines solchen zusätzlichen Potentils liegt in der llgemeinen Reltivitätstheorie egründet. Für Plneten die sich reltiv nh n großen Mssen ewegen, ist durch die Rumzeitkrümmung ds Grvittionspotentil verändert. Bei einer Tylorentwicklung der Änderung des Potentils ergit sich ls erster zusätzlicher Term einer proportionl zu 1 /r. Zu Beochten ist es z.b. in der Periheldrehung des Merkurs, die dmit erklärt werden konnte. Im nächsten Aschnitt sind ein pr Grphen für verschiedene α geplottet. 5
6 c Grphen für verschiedene η Hier sind nun Grphen für 0 < ɛ < 1 (entspricht E < 0, lso geundenen Zuständen und verschiedene α ufgetrgen. ɛ = 0.8, α = 0.9 (η < 0 ɛ = 0.8, α = 1.1 (η > 0 ɛ = 0.8, α = 0.14 (η < 0 ɛ = 0.8, α = 3.14 (η > 0 6
Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)
. Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom
MC-Serie 12 - Integrationstechniken
Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz
( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )
4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:
Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,
Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i
Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen
Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).
MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012
Prof. Dr. O. Junge, A. Bittrcher Zentrum Mthemtik - M3 Technische Universität München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT Wintersemester / Tutorübungsufgben (3..-4..) Aufgbe T Seien R und α positiv. Die
1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)
Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ
10 Anwendungen der Integralrechnung
9 nwendungen der Integrlrechnung Der Inhlt von 9 wren die verschiedenen Verfhren zur Berechnung eines Integrls Der Inhlt von sind die verschiedenen Bedeutungen, die ein Integrl hen knn Die Integrlrechnung
f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.
Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine
11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.
1. Welche Idee steckt hinter dem Integrl? 2. Welche geometrische Bedeutung ht ds Integrl? 3. Wie erechnet mn ein Integrl? Aufsummieren unendlich vieler infinitesiml kleiner Beiträge, die lle die Form eines
Hyperbeln INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL. Text Nr Stand 29. Mai 2016
Hpereln Tet Nr. 54070 Stnd 9. Mi 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mthe-cd.schule 54070 Hpereln ls lgerische Kurven Vorwort Um 980 herum wren Hpereln und Ellipsen ls sogennnte
Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b
6 Vektoren 66 Ds Vektorprodukt Definition des Vektorprodukts Wir etrchten im dreidimensionlen Rum zwei nicht kollinere Vektoren R, \{0} Gesucht ist ein Vektor x R, der uf jedem der eiden Vektoren und senkrecht
Die Keplersche Fassregel
Die Keplersche Fssregel K. Gerer Bei vielen Aufgen, z.b. ei der Lösung von Differentilgleichungen, tucht die Schwierigkeit uf, dss Integrtionen nicht durchgeführt werden können. So können z.b. die folgenden
Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung
Anltische Geometrie Anltischen Geometrie in vektorieller Drstellung Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form () Mit Hilfe von Vektoren lssen sich geometrische Ojekte wie Gerden und Eenen eschreien
5.5. Integralrechnung
.. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds
4 Hyperbel. 4.1 Die Hyperbel als Kegelschnitt
1 4 Hperel 4.1 Die Hperel ls Kegelschnitt Wird ein Kreiskegel mit dem hlen Öffnungswinkel α von einer Eene σ geschnitten, die mit der Kegelchse einen Wink β < α einschliesst, so entsteht ls Schnittkurve
Notizen zur Vorlesung Analysis 3
Notizen zur Vorlesung Anlysis 3 Henrik chumcher TUHH, 26. Jnur 207 2 Integrtion über Oberflächen 2. Oberflächenintegrl einer Funktion Definition 2.37 (Metrische Fundmentlform) ei R 2 ein reguläres Gebiet
Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b
Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende
Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -
Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..
ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-CHSE Wie wir die Fläche zwischen einer Funktion und der -chse erechnen, hen wir rechentechnische ereits geklärt.
Wir wählen einen Punkt O des zwei- bzw. dreidimensionalen euklidischen Raums als Ursprung oder Nullpunkt. b 3 c. b 2
IV. Teilung und Teilverhältnis im Punktrum ================================================================ 4.1 Der Punktrum Wir wählen einen Punkt O des zwei- zw. dreidimensionlen euklidischen Rums ls
Theorie der Kondensierten Materie I WS 2016/2017
Krlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Mterie Theorie der Kondensierten Mterie I WS 06/07 Prof. Dr. A. Shnirmn Bltt PD Dr. B. Nrozhny, M.Sc. T. Ludwig Lösungsvorschlg.
Kegelschnitte. Geschichte der Kegelschnitte
Kegelschnitte Kegelschnitte ds sind geometrische Figuren, die sich ergeen, wenn mn einen Kegel und eine Eene einnder schneiden lässt. Wir unterscheiden 3 Tpen von Kegelschnitten: Prel, Ellipse und Hperel.
Flächenberechnung. Aufgabe 1:
Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die
Quadratische Funktionen
Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung
v P Vektorrechnung k 1
Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. Simone Wrzel Mx Lein Husufgben 1. Flächeninhlte Teil 1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik Mthemtik 4 für Physik Anlysis 3 Wintersemester 9/1 Lösungsbltt 1.1.9 Wie gross ist der Flächeninhlt
π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt
7 Bewegung von Punkten
81 7 Bewegung von Punkten 7.1 Übersicht Bewegung von Punkten Differenzierbrkeit. Wo liegt die Ableitung Tylorreihe, Vektordreieck Physiklische Bezeichnungen Abstnd zu einer Kurve Geschwindigkeit Bogenlänge
Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z
Reltionen, 11 Reltionen Reltion ist einfch gesgt eine Beziehung zwischen Elementen von Mengen. In der Geometrie sind z.b. die Reltionen "ist gleich", "ist senkrecht zu", "ist prllel zu" eknnt. Die letzten
Darstellung von Ebenen
Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor
Abiturvorbereitung Mathematik Analysis. Copyright 2013 Ralph Werner
Aiturvorereitung Mthemtik Anlysis Copyright 2013 Rlph Werner 1 Aleitung einer Funktion Geometrische Entsprechung: Aleitung Die Aleitung einer Funktion f (2) = 4 y = 4 x - 4 n der Stelle x 0 f (x 0 ) git
Herleitung der Strasse für quadratische Räder
Herleitung der Strsse für qudrtische Räder P = P( P / y P ) sei der Berührungspunkt des Rdes mit der Strsse bzw mit der gesuchten Kurve P = P ( / y ) sei der Mittelpunkt der entsprechenden Qudrtseite des
Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren
Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der
5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln
5 Ellipsen, Prbeln und Hperbeln Ellipsen: Seien b > reelle Zhlen und E = E,b := { + b = } Eine Qudrik Q R heißt Ellipse, wenn es reelle Zhlen b > gibt, so dss q E,b. Die Kurven E,b heißen Ellipsen in metrischer
Der Begriff der Stammfunktion
Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung
G2.3 Produkte von Vektoren
G Grundlgen der Vektorrechnung G. Produkte von Vektoren Ds Sklrprodukt Beispiel: Ein Schienenfhrzeug soll von einem Triler ein Stück s gezogen werden, der neen den Schienen fährt (vgl. Skizze). Wir wollen
Integralrechnung. Kapitel Integration von Funktionen einer Veränderlichen
Kpitel 8 Integrlrechnung 8 Integrtion von Funktionen einer Veränderlichen Die Funktion f() sei eine für (, ), < stetige (oder stückweise stetige Funktion) Ds Intervll (, ) wird durch eine Intervlleinteilung
Integrationsmethoden
Universität Perborn Dezember 8 Institut für Mthemtik C. Kiser Integrtionsmethoen Prtielle Integrtion (Prouktintegrtion) Unbestimmte Integrtion er Prouktregel (u v) () = u ()v() + u()v () liefert (u v)()
Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen
Physikdeprtment E13 WS 211/12 Üungen zu Physik 1 für Mschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschum, Dr. Ev M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, Dvid Mgerl, Mrkus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung 24.11.211,
Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:
Berechnung von Flächen unter Kurven
Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert
Crashkurs - Integration
Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).
ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT DS VEKTORPRODUKT Definition: Ds vektorielle Produkt (oder Kreuprodukt) weier Vektoren und ist ein Vektor mit
Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt.
Vektorlger Vektorlger Vektoren sind Grössen, die einen Betrg sowie eine Rihtung im Rum hen. Im Gegenstz zu den Vektoren estehen Sklre nur us einer Grösse ls Zhl. In Bühern wird nsttt v oft v geshrieen.
14. INTEGRATION VON VEKTORFUNKTIONEN
120 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Lineare Abbildung des Einheitskreises
Linere Abbildung des Einheitskreises Peter Stender 27.06.2017 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises 27.06.2017 1 / 14 Mtrix und Dynmik m Kreis Fälle, bei denen B nicht uf der berechneten Prbel
Einführung in die Festkörperphysik I Prof. Peter Böni, E21
Einführung in die Festkörperphsik I Prof. Peter Böni, E21 Lösung zum 2. Übungsbltt (Besprechung: 0. - 1. Oktober 2006) P. Niklowitz, E21 Aufgbe 2.1: Zweidimensionle Wigner-Seitz-Zellen Vernschulichen Sie,
9.5. Uneigentliche Integrale
9.5. Uneigentliche Integrle Bestimmte und unestimmte Integrle hängen zwr eng zusmmen, er die Existenz des einen grntiert nicht immer die des nderen: Eine integrierre Funktion muß keine Stmmfunktion esitzen,
Integralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C
Integrlrechnung 9 5 Integrlrechnung 5. Ds unbestimmte Integrl Wird eine Funktion f bgeleitet, so erhält mn die Ableitungsfunktion f. Nun knn mn sich frgen, ob es einen Weg zurück gibt, d.h. ob mn us der
3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade
3 3 ANALYSIS 3.3 Extrem I: Winkel Eene/Gerde In diesem Aschnitt gehen wir von einer Gerde g und einer g nicht enthltenden Eene ε us und wollen unter llen möglichen spitzen Schnittwinkeln zwischen g und
Mathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk. SoSe16 Arbeitsheft Blatt 3
Mthemtik fu r Ingenieure (Mschinenu und Sicherheitstechnik). Semester Apl. Prof. Dr. G. Herort Dr. T. Pwlschyk SoSe6 Areitsheft Bltt Hinweis: Besuchen Sie die Vorlesung und vervollst ndigen Sie Areitsheft.
1 Folgen von Funktionen
Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen
Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt
Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,
Lernkarten. Analysis. 11 Seiten
Lernkrten Anlysis Seiten Zum Ausdrucken muss mn jeweils eine Vorderseite drucken, dnn ds Bltt wenden, nochmls einlegen und die Rückseite drucken. Am esten druckt mn die Krten uf festem Ppier oder uf Visitenkrten-
Bestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen
III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter
f(x) = x F(x) = f(x) dx b n x dx = x a b ( ) n 1 b a +
Mthemtik 7 Integrlrechnung Prolemstellung: Lösungsidee: Die Berechnung einer Fläche unter einer Funktion zwischen zwei äußeren Grenzen. Zerlegung der Gesmtfläche in rechteckige Bänder (Ausschöpfungsmethode),
Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2
R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise
Analysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
Aufgaben zur Analytischen Mechanik SS 2013 Blatt 10 - Lösungen. Aufgabe 1 Wiederholung Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte)
Aufgben zur Anlytischen Mechnik SS 013 Bltt 10 - en Aufgbe 1 Wiederholung Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte Bestimmen Sie Eigenwerte λ 1 und λ sowie die Eigenvektoren v 1 und v der folgenden Mtrix:
Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen
Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius
1 Koordinatentransformationen
Technische Universität München Andres Wörfel Ferienkurs Anlysis für Physiker Vorlesung Mittwoch SS 0 Them des heutigen Tges sind zuerst Koordintentrnsformtionen, dnn implizite Funktionen. Diese zwei Kpitel
1. Stegreifaufgabe aus der Physik Lösungshinweise
. Stegreifufgbe us der Physik Lösungshinweise Gruppe A Aufgbe Ds.Newtonsche Gesetz lässt sich zum Beispiel so formulieren: Wirkt uf einen Körper keine Krft (oder ist die Summe ller Kräfte null) so bleibt
Mathematik 1, Teil B
FH Oldenurg/Ostfrieslnd/Wilhelmshven Fch. Technik, At. Elektrotechnik u. Informtik Prof. Dr. J. Wiee www.et-inf.fho-emden.de/~wiee Mthemtik, Teil B Inhlt:.) Grundegriffe der Mengenlehre.) Mtrizen, Determinnten
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
Orientierungstest Mathematische Grundlagen
Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls
Das Bogenintegral einer gestauchten Normalparabel
Ds Bogenintegrl einer gestuchten Normlprbel Jn Günther und Luks Vrnhorst Im Mthemtikleistungskurs der Jhrgngsstufe sind wir uf folgende Aufgbe gestoÿen: Bestimmen Sie eine Stmmfunktion von f(x) + x mit
$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ
Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 $Id: kurven.tex,v 1. 9/1/3 19:13:57 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.3 Kurvenintegrle zweiter Art Wir htten ds vektorielle Kurvenintegrl ls K ds F ((t Summtion des
8.4 Integrationsmethoden
8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung
KLASSISCHE KINEMATIK UND GRAVITATION
KLASSISCHE KINEMATIK UND GRAVITATION KLAUS KRÖNCKE Die klssische Kinemtik wurde im wesentlichen von Isc Newton (643-727) egründet und fußt uf folgenden Annhmen: Der solute Rum leit vermöge seiner Ntur
Grundlagen der Integralrechnung
Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe
Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke
Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.
Integralrechnung. 1. Stammfunktionen
Integrlrechnung. Stmmfunktionen In der Differentilrechnung hen wir gelernt, durch Aleiten einer Funktion f eine neue Funktion f zu finden, die uns hilft, Eigenschften von f zu estimmen (z.b. Hoch- oder
4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis
4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche
Die Näherung ist umso genauer, je kleiner die Zellen sind. Der Grenzwert ist
Höhere Mthemtik Mehrfhintegrle sind Integrle üer eiete R n Zweifhintegrle treten B ei der Berehnung des Fläheninhltes und von Flähenträgheitsmomenten uf Dreifhintegrle kommen ei der Berehnung des Volumeninhltes
Erweiterung der Euklidischen Flächensätze auf das allgemeine Dreieck nebst Anwendung zur Volumenbestimmung des allgemeinen Tetraeders.
Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 1 Erweiterung der Euklidischen Flächensätze uf ds llgemeine Dreieck nest Anwendung zur Volumenestimmung des llgemeinen Tetreders. Arno Fehringer Juni
Die Geschwindigkeit v ist die lokale Änderungsrate des Ortes x d.h. v = lim. Zeit 3s 7s Entfernung vom Bezugspunkt. 3s 2 m = 6 m 6 m + 1 Bezugspunkt s
6 Integrlrechnung ================================================================== 6.1 Lokle Änderungsrte und Gesmtänderung ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zwei Kreise im gleichseitigen Dreieck
-. ein Aufgbe us der pnischen Tempelgeometrie 3. August 006 Gegeben sei ds gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge. Auf der öhenlinie h c = CD befinden sich die Mittelpunkte der Kreise k 1 und k.
Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben
Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 8
Mthemtik für Wirtschftswissenschftler im WS /3 Lösunen zu den Übunsufben Bltt 8 Aufbe 3 Berechnen Sie die folenden Interle durch prtielle Intertion. ) c) e d. (Hinweis: Interieren Sie zweiml prtiell).
Simulation von Störungen mit zeitlichen Schranken
Simultion von Störungen mit zeitlichen Schrnken Die geräuchlichen sttistischen Verteilungen können elieig große Werte hervorringen, ws ei der Simultion von Störungen oft nicht erwünscht ist. Verwendet
Einführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind
Differenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH
/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene
AnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα.
Trigonometrie Wenn mn die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tngens berechnen will, ist es wichtig, uf welchen Winkel sie sich beziehen. Die Kthete, die direkt m Winkel nliegt, heißt Ankthete
Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr
Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber
v, a Aufgabe D1 H11 Geg.: a = c w v 2, c w = const, c w > 0, v 0, τ Ges.:
Aufgbe D1 H11 Nchdem seine Mschinen gestoppt werden, verringert ein Continerschiff seine nfängliche eschwindigkeit v 0 lleine durch Reibung im Wsser. Für die Beschleunigung soll ngenommen werden, dss diese
2.4 Elementare Substitution
.4 Elementre Substitution 7.4 Elementre Substitution Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Linere Substitution (LSub): Aufgbe 4.5 (S.4) und Aufgbe
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010
R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl
Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.
Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x
VI. Das Riemann-Stieltjes Integral.
VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition
Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2
Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes
Fur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b
. Integrtionsregeln.. Linerität. Fur ds unbestimmte Integrl gilt (f(x) bg(x)) = f(x) b g(x),, b R... Prtielle Integrtion. Fur je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und