Aufgabe 30: Periheldrehung

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1 Aufge 30: Periheldrehung Auf einen Plneten soll zusätzlich zum Grvittionspotentil ds folgende Potentil einwirken U z = η r. (1 Im Folgenden sollen eene Polrkoordinten verwendet werden. Ds können wir mchen, d die Bewegung des Mssenpunktes in der Eene senkrecht zu L stttfindet, denn es gilt r L { = r r r } = 0 ( woei L sowohl vom Betrg ls uch von der Richtung her konstnt ist. Der Ortsvektor ht in diesen Koordinten die Form r = r e r mit den eiden orthonormierten Einheitsvektoren cos ϕ sin ϕ e r = sin ϕ und e ϕ = cosϕ. (3 0 0 Die Einheitsvektoren müssen trotz eener Polrkoordinten dreidimensionl sein, d ds Kreuzprodukt ( L nur für drei Dimensionen definiert ist. Die Geschwindigkeit ht dnn die Form Entsprechend ergit sich für die Beschleunigung r = d dt (r e r = ṙ e r r d dt e r = ṙ e r r ϕ e ϕ (4 r = d dt (ṙ e r r ϕ e ϕ = ( r r ϕ e r (ṙ ϕ r ϕ e ϕ (5 Energie- und Flächenstz in eenen Polrkoordinten Die Newtonsche Bewegungsgleichung für eine Zentrlkrft lutet llgemein m r = F( r = F(r e r = du(r dr e r (6 Drus erhlten wir durch Multipliktion eider Seiten mit r und identifizieren der zeitlichen Aleitungen den Energiestz in der Form ( m r r = d m r = du(r ( e r dt dr r Gl. (4 = du(r ( e r (ṙ e r r ϕ e ϕ dr = du(r dr dr dt = du(r dt (7 1

2 Mit dem Potentil in Gl. (1 für ds modifizierte Kepler-Prolem und der Geschwindigkeit in Polrkoordinten erhlten wir den Energiestz m ( r E = U(r = m (ṙ e r r ϕ e ϕ η r γmm r = m (ṙ r ϕ η r γmm = konstnt (8 r Weiter wissen wir, dss in einem Zentrlkrftfeld ( F = f( r e r r r der Drehimpuls erhlten leit d L dt = m d dt ( r r ( = m } r {{ } r r r }{{} = 0. (9 =0 Der Drehimpuls lutet in Polrkoordinten =0, d r r L = r m r = mr e r (ṙ e r r ϕ e ϕ = mr e r e }{{} r mr ϕ e r e ϕ = mr ϕ e z (10 }{{} =0 = e z Aus Gl. (9 folgt nun unmittelr, dss die Flächengeschwindigkeit c konstnt ist und dmit ds. Keplersche Gesetz erfüllt ist: Herleitung der Bhnkurve c = 1 r r = 1 m L = 1 r Gl. (9 ϕ = konstnt (11 Die Newtonsche Bewegungsgleichung sieht mit dem veränderten Potentil und der Beschleunigung in eenen Polrkoordinten gemäß Gl. (5 wie folgt us: m r = m (( r r ϕ e r (ṙ ϕ r ϕ e ϕ ( γmm = r η r 3 e r (1 Für diese Bewegungsgleichung hen wir im vorngegngenen Aschnitt schon den Energiestz hergeleitet. In Gl. (8 können wir nun ϕ durch den Drehimpuls usdrücken Der Energiestz lutet dnn ϕ = L mr. (13 E = m ṙ L mr η r γmm r = m ṙ U eff (r = konstnt (14

3 Diese Gleichung knn weiter umgeformt werden zu ṙ(t = ± m (E U eff(r (15 Dvon usgehend können wir nun durch Integrtion die Form der Bhnkurve estimmen. D für eine Plnetenhn eine Drstellung in Ahängigkeit vom Winkel ϕ nschulicher ist ls von der Zeit t, sustituieren wir r(t = r(ϕ(t. Dnn ist ṙ(t = dr(ϕ dϕ ϕ = dr(ϕ dϕ L (16 mr Dies in Gl. (15 eingesetzt knn dnn mit Trennung der Vrilen integriert werden r(ϕ r 0 =r(ϕ 0 Einsetzen von U eff (r ergit r(ϕ r 0 1 R r(ϕ r 0 1 R L mr m L m ± (E U m eff = ϕ ϕ 0 (17 ( E γmm = ±(ϕ ϕ 0 L η R mr R me γmm 1 ( = ±(ϕ ϕ 0 (18 1 mη 1 L L R L R Nun muss im Grunde genommen nur noch ds Integrl in Gl. (18 zur Lösung des Prolems erechnet werden. Die Berechnung eines Integrls des Typen I = 1 R mit den Prmetern (speziell für unser Prolem = 1 mη L, c R R (19 = γmm L und c = me L (0 geht entweder üer Formelsmmlung (uch ds will gelernt sein oder wie folgt (knn uch ml gnz nett sein zu sehen, wie mn solche Integrle mnuell lösen knn: Unter den Annhmen > 0 und = 4c > 0 und der Sustitution erhlten wir ds Integrl I = R = 1 u = du u u 1 du c u u u = du c u u 3

4 Weiter mchen wir eine qudrtische Ergänzung im Rdiknd u u c = ( u }{{} 4 =q = 4 c und sustituieren weiter x = u du = dx. Ds Integrl ht lso nun die Form I = 1 dx q x = 1 rcsin ( x C q Rücksustitution zuerst von x(u und dnn von u(r liefert uns die gewünschte Stmmfunktion I = 1 rcsin (1 ( u ±(ϕ ϕ 0 = 1 rcsin = 1 ( rcsin R r(ϕ r0 Ds Integrl us Gl. (1 in Gl. (18 eingesetzt ergit uns die Bhnkurve ( r 0 ( r 1 rcsin { r = sin ( } r (ϕ ϕ 0 rcsin 0 r(ϕ = } {{ } =K 1 sin( (ϕ ϕ 0 K Im Argument des Sinus wählen wir nun willkürlich ds ls Vorzeichen, d der Unterschied der Vorzeichen lediglich in der Drehrichtung der Bhnkurve esteht. Weiter wollen wir Gl. ( uf Huptchsenform trnsformieren, ds ist die Drstellung in der die eiden Huptchsen mit den Koordintenchsen zusmmenfllen und sich ein Brennpunkt im Ursprung efindet. In dieser Drstellung ht die Bhnkurve folgende Form r(ϕ = 1 cos( ϕ = p 1 ɛ cos(αϕ Dfür müssen wir die Konstnten r 0 = r(ϕ 0 und ϕ 0 in Gl. ( so wählen, dss der Sinus zum Kosinus wird, d.h. es muss gelten ( (3 ϕ 0 K = π (4 4

5 Die Prmeter p, ɛ und α in Gl. (3 können wir dnn mit Hilfe der Prmeter us Gl. (0 estimmen: p = = ɛ = α = = L γmm = η γmm 1 E (γmm ( L m η (5 (6 1 mη L (7 Die geometrische Bedeutung dieser Ellipsenprmeter ist in A. (1 drgestellt. Wichtig ei diesen Resultten ist uch zu sehen, dss nch Einsetzen von η = 0 die Lösung und Prmeter des einfchen Kepler-Prolems wieder heruskommen. y r(ϕ = p 1ɛcos ϕ e = ɛ r p ϕ x p ɛ große Huptchse kleine Huptchse Hlprmeter Exzentrizität A. 1: Ellipse und Prmeter in Huptchsenform Beim Betrchten der Gl. (3 knn mn schon erhnen, dss die Trjektorien nicht denen des einfchen Keplerprolems entsprechen, d der Kosinus nicht mehr π-periodisch ist und dmit ei ϕ = 0 und ϕ = π nicht denselen Wert ht und dementsprechend uch r(0 und r(π verschieden sind. Ursche eines solchen zusätzlichen Potentils liegt in der llgemeinen Reltivitätstheorie egründet. Für Plneten die sich reltiv nh n großen Mssen ewegen, ist durch die Rumzeitkrümmung ds Grvittionspotentil verändert. Bei einer Tylorentwicklung der Änderung des Potentils ergit sich ls erster zusätzlicher Term einer proportionl zu 1 /r. Zu Beochten ist es z.b. in der Periheldrehung des Merkurs, die dmit erklärt werden konnte. Im nächsten Aschnitt sind ein pr Grphen für verschiedene α geplottet. 5

6 c Grphen für verschiedene η Hier sind nun Grphen für 0 < ɛ < 1 (entspricht E < 0, lso geundenen Zuständen und verschiedene α ufgetrgen. ɛ = 0.8, α = 0.9 (η < 0 ɛ = 0.8, α = 1.1 (η > 0 ɛ = 0.8, α = 0.14 (η < 0 ɛ = 0.8, α = 3.14 (η > 0 6

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