Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik"

Transkript

1 für Wirtschaftsinformatik Sommersemester 2012 Hochschule Augsburg

2

3 : Gliederung 1 Folgen und Reihen 2 Komplexe Zahlen 3 Reelle Funktionen 4 Differenzieren 1 5 Differenzieren 2 6 Integration 7 Zinsen 8 Renten und Tilgung 9 Kursrechnung 6 Integration Unbestimmte Bestimmte Uneigentliche Mehrdimensionale 10 Lineare Algebra 11 Lineare

4 Einleitung Umkehrung der Fragestellung der Differentialrechnung Jetzt gesucht: Funktion, deren Änderungsverhalten bekannt ist Beispiel: Bekannt: Geschwindigkeit eines Körpers in Abhängigkeit der Zeit Gesucht: Ort in Abhängigkeit der Zeit 3. Uneigentliche Gliederung 1 Unbestimmte 2 Riemannsche Summen und bestimmte 3 Uneigentliche 4 Anmerkungen zu mehrdimensionalen n 93

5 Stammfunktion Eine differenzierbare Funktion F : D R mit D R heißt Stammfunktion der Funktion f : D R, wenn für alle x D gilt F (x) = f(x) Sind F, ^F beliebige Stammfunktionen von f, gilt für alle x D: 3. Uneigentliche ^F(x) F(x) = konstant Also: Hat man eine Stammfunktion F gefunden, gilt für alle anderen Stammfunktionen ^F(x) = F(x) + c 94

6

7

8 Unbestimmtes Integral Ist F : D R eine Stammfunktion von f : D R, so heißt f(x) dx = F (x) dx = F(x) + c für beliebiges c R das unbestimmte Integral der Funktion f. Weitere Bezeichnungen: x : Integrationsvariable f(x) : Integrand c : Integrationskonstante Unbestimmte Integration ist Umkehrung der Differentiation 3. Uneigentliche 95

9 Einige unbestimmte Sei f eine reelle Funktion und c R eine beliebige Konstante. Dann gilt: a) f(x) = a (a R) f(x) dx = ax + c b) f(x) = x n (n N, x R) f(x) dx = 1 f(x) = x m (m = 2, 3,..., x 0) f(x) = x r (r R, r 1, x > 0) f(x) dx = f(x) dx = 1 n + 1 xn+1 + c 1 m + 1 xm+1 + c r + 1 xr+1 + c c) f(x) = x 1 (x 0) f(x) dx = ln x + c d) f(x) = sin x (x R) f(x) dx = cos x + c f(x) = cos x (x R) f(x) dx = sin x + c e) f(x) = e x (x R) f(x) dx = e x + c f(x) = a x (a > 0, a 1, x R) f(x) dx = 1 ln a ax + c 3. Uneigentliche 96

10 Rechenregeln Summen und konstante Faktoren Für die reellen Funktionen f, g : D R, D R existiere das unbestimmte Integral. Dann gilt: a) b) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx af(x) dx = a f(x) dx für alle a R 3. Uneigentliche Partielle Integration Für zwei stetig differenzierbare Funktionen f, g : D R, D R gilt: f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx 97

11

12

13 Rechenregeln Substitutionsregel Die Funktion f : D R, D R besitze eine Stammfunktion F und g : D 1 R, D 1 R, g(d 1 ) D sei stetig differenzierbar. Dann existiert die zusammengesetzte Funktion f g : D 1 R mit z = f(y) = f(g(x)) = (f g) (x) und es gilt mit y = g(x) mit c R beliebig. f(g(x))g (x) dx = f(y) dy = F(y) + c = F(g(x)) + c = (F g) (x) + c 3. Uneigentliche 98

14 Riemannsche Summen Gegeben: Beschränkte und stetige Funktion f : [a, b] R mit a < b und f 0 Unterteilen von [a, b] in [a, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x i 1, x i ],..., [x n 1, b] mit a = x 0, b = x n In jedem Teilintervall: Wähle Maximum und Minimum: f(u i ) = min {f(x) : x [x i 1, x i ]} f(v i ) = max {f(x) : x [x i 1, x i ]}. und f(x) 3. Uneigentliche f f(v i ) f(u i ) a = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4... x i 1 x i... b = x n x 99

15 Riemannsche Summen Untere und obere Grenze I n min I In max für Flächeninhalt unter Kurve mit: n I n min = n f(u i )(x i x i 1 ), I n max = f(v i )(x i x i 1 ) i=1 i=1 f(x) f f(v i ) f(u i ) a = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4... x i 1 x i... b = x n x 3. Uneigentliche 100

16 Riemannsche Summen Untere und obere Grenze I n min I In max für Flächeninhalt unter Kurve mit: n I n min = n f(u i )(x i x i 1 ), I n max = f(v i )(x i x i 1 ) i=1 i=1 Jetzt: Verfeinerung der Unterteilung von [a, b] Folgen (I n min ) und (In max) Existieren für n die Grenzwerte der beiden Folgen und gilt für den wahren Flächeninhalt I unter der Kurve lim n In min = lim n In max = I dann heißt f Riemann-integrierbar im Intervall [a, b] Schreibweise: b I = f(x) dx a Bezeichnungen: I Bestimmtes Integral von f im Intervall [a, b] x Integrationsvariable f(x) Integrand a, b Integrationsrenzen 3. Uneigentliche 100

17

18 Existenz von bestimmten n Gegeben: Reelle Funktion f : [a, b] R. Dann gilt: a) f stetig in [a, b] b a f(x) dx existiert b) f monoton in [a, b] b a f(x) dx existiert 3. Uneigentliche 101

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

Differential- und Integralrechnung

Differential- und Integralrechnung Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mthemtik für Wirtschftsinformtik Wintersemester 202/3 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Existenz von bestimmten Integrlen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Gegeben: Reelle Funktion f : [, b] R. Dnn gilt:

Mehr

Einführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005

Einführung in die Integralrechnung. Mag. Mone Denninger 13. November 2005 Einführung in die Integralrechnung Mag. Mone Denninger. November 5 INHALTSVERZEICHNIS 8. Klasse Inhaltsverzeichnis Einleitung Berechnung einfacher Stammfunktionen. Integrationsregeln.........................

Mehr

Kapitel 5 Differential- und Integralrechnung in einer Variablen

Kapitel 5 Differential- und Integralrechnung in einer Variablen Kapitel 5 Differential- und Integralrechnung in einer Variablen Inhaltsverzeichnis DIE ABLEITUNG... 3 DEFINITIONEN... 3 EIGENSCHAFTEN UND ABLEITUNGSREGELN... 4 TAYLOR SCHE FORMEL UND MITTELWERTSATZ...

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Zwischenwertsatz Gegeben: f : [a, b] R stetig Dann gilt: f(a) < f(b) y [f(a), f(b)] x [a, b] mit f(x) = y 9.1. Grundbegriffe

Mehr

13. WEITERE INTEGRATIONSMETHODEN

13. WEITERE INTEGRATIONSMETHODEN 06 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

Integralrechnung. Mathematik-Repetitorium

Integralrechnung. Mathematik-Repetitorium Integralrechnung 6.1 Geometrische Interpretation 6.2 Grundaufgabe 6.3 Basisintegrale, Regeln 6.4 Produktregel: Partielle Integration 6.5 Quotienten 6.6 Variablensubstitution 6.7 Integration von Potenzreihen

Mehr

Integration. Kapitel Stammfunktionen

Integration. Kapitel Stammfunktionen Kapitel 5 Integration 5. Stammfunktionen Definition: Eine auf dem Intervall I differenzierbare Funktion F ist eine Stammfunktion der Funktion f : I R, wenn F (x) = f(x) für alle x I. Fakt : Sind F und

Mehr

Folien zur Vorlesung Mathematik Plus: Ergänzugen Mathematik I

Folien zur Vorlesung Mathematik Plus: Ergänzugen Mathematik I Bachelor Informatik Mathematik Plus Titel Folien zur Vorlesung Mathematik Plus: Ergänzugen Mathematik I Hochschule Stralsund Fakultät Elektrotechnik und Informatik Prof. Dr. W. Kampowsky Bachelor Informatik

Mehr

Differential- und Integralrechnung

Differential- und Integralrechnung Universität Paerborn, en 16.07.2007 Differential- un Integralrechnung Ein Repetitorium vor er Klausur Kai Gehrs 1 Übersicht Inhaltlicher Überblick: I. Differentialrechnung I.1. Differenzierbarkeit un er

Mehr

Substitution bei bestimmten Integralen. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Substitution bei bestimmten Integralen. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Substitution bei bestimmten Integralen -E Ma Lubov Vassilevskaya -E Ma Lubov Vassilevskaya Substitution bei bestimmten Integralen: Lernziele Was wir wissen: Wann berechnet man Integrale mit Hilfe einer

Mehr

Kapitel 16 : Differentialrechnung

Kapitel 16 : Differentialrechnung Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen

Mehr

8.2. Integrationsregeln

8.2. Integrationsregeln 8.. Integrationsregeln Jeder Differentiationsregel entspricht wegen der Beziehung F ( x ) f( x ) F( x ) + C f( x ) dx eine Integrationsregel. Wir kennen schon die Additionsregel c f( x ) + d g( x )

Mehr

Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen

Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Integralrechnung 03.12.08 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral als Umkehrung der Ableitung Idee:

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

= 3 e e x 1 + 2x 2. + x 2. = x. x 1 = 5 x 2 = 2

= 3 e e x 1 + 2x 2. + x 2. = x. x 1 = 5 x 2 = 2 Lösungsvorschläge zu Blatt 7: ) x ( ) 3 3 e + e ( ) ( ) ( )! x x + x + x x + x x x Wir haben hier also zwei verschiedene Darstellungen für einen Vektor, da zwei verschiedene Basen verwendet werden. b b

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung KAPITEL 4 Differentialrechnung. Eigenschaften der Ableitung und Differentationsregeln.. Definition der Ableitung. Definition 4.. Ableitung. Die Funktion f sei auf dem Intervall I R deniert und x 0 I. )

Mehr

16. Differentialquotient, Mittelwertsatz

16. Differentialquotient, Mittelwertsatz 16. Differentialquotient, Mittelwertsatz Gegeben sei eine stetige Funktion f : R R. Wir suchen die Gleichung der Tangente t an die Kurve y = f(x) im Punkt (x, f(x ), x R. Das Problem dabei ist, dass vorderhand

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4

Mehr

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Teil 10: Integralrechnung Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Sommersemester 2010/11 Internetseite zur Vorlesung: http://www.mathematik.hu-berlin.de/

Mehr

4.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral

4.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral Kapitel 4 Integration 4. Stammfunktionen: das unbestimmte Integral Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation: zu einer gegebenen Funktion f(x) sucht man eine Funktion F (x), deren Ableitung

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg elementarer Funktionen Gegeben: f : D R, mit D R und a > 0, b R. Dann gilt: f(x) f (x) 1 ln x x 1 log a x x ln a e x e

Mehr

Der Begriff des bestimmten Integrals

Der Begriff des bestimmten Integrals Der Begriff des bestimmten Integrals Das ursprüngliche Problem, das zum Begriff des bestimmten Integrals führte, war ein geometrisches, die Bestimmung von Flächeninhalten. 1-E Archimedes von Syrakus Infinite

Mehr

Prof. Dr. Rolf Linn

Prof. Dr. Rolf Linn Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem

Mehr

x 1 keinen rechtsseitigen Grenzwert x 0+ besitzen. (Analog existiert der linksseitige Grenzwert nicht.)

x 1 keinen rechtsseitigen Grenzwert x 0+ besitzen. (Analog existiert der linksseitige Grenzwert nicht.) Differentialrechnung 1 Grenzwerte Gegeben sei ein Intervall I R, a I {, } und f : I\{a} R. Die Funktion f kann sehr wohl auch an der Stelle x = a erklärt sein, wir wollen aber nur wissen wie sich die Funktion

Mehr

Lösung zur Klausur zur Analysis II

Lösung zur Klausur zur Analysis II Otto von Guericke Universität Magdeburg 9.7.4 Fakultät für Mathematik Lösung zur Klausur zur Analysis II Vorlesung von Prof. L. Tobiska, Sommersemester 4 Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes

Mehr

Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:

Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist: Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,

Mehr

Übungen Analysis I WS 03/04

Übungen Analysis I WS 03/04 Blatt Abgabe: Mittwoch, 29.0.03 Aufgabe : Beweisen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt: n ( ) n (x + y) n = x i y n i, i (b) n ν 2 = ν= i=0 n(n + )(2n + ), 6 (c) 2 3n ist durch 7 teilbar. Aufgabe

Mehr

12 Gewöhnliche Differentialgleichungen

12 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2 2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Einleitung Sei f : D R wobei D R 2. Dann nennt man y = f(x, y) (5) eine (gewöhnliche) Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung. Als Lösung von (5) akzeptiert

Mehr

Inhalt. Vorwort Mittelwertsatz der Integralrechnung... 31

Inhalt. Vorwort Mittelwertsatz der Integralrechnung... 31 Inhalt Vorwort... 5 1 Stammfunktionen... 7 1.1 Erklärung der Stammfunktionen........................................... 7 1.2 Eigenschaften der Stammfunktionen.................................... 10 1.3

Mehr

Analysis I Mathematik für InformatikerInnen II SoSe 12 Musterlösungen zur Prüfungsklausur vom 18. Juli 2012

Analysis I Mathematik für InformatikerInnen II SoSe 12 Musterlösungen zur Prüfungsklausur vom 18. Juli 2012 Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Faultät II Institut für Mathemati Unter den Linden 6, D-0099 Berlin Prof. Andreas Griewan Ph.D. Dr. Thomas M. Surowiec Dr. Fares Maalouf

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen Stetigkeit von Funktionen Definition. Es sei D ein Intervall oder D = R, x D, und f : D R eine Funktion. Wir sagen f ist stetig wenn für alle Folgen (x n ) n in D mit Grenzwert x auch die Folge der Funktionswerte

Mehr

Integralrechnung. Petra Grell, WS 2004/05

Integralrechnung. Petra Grell, WS 2004/05 Integralrechnung Petra Grell, WS 2004/05 1 Einführung Bei den Rechenoperationen, die wir im Laufe der Zeit kennengelernt haben, kann man feststellen, dass es immer eine Umkehrung gibt: + : log a aˆ So

Mehr

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn

Mehr

Arbeitsblatt 1. Ergebnisse: a) Schätzen:... b) Abzählen:... c) Berechnen: (unter Angabe der geometrischen Figuren)

Arbeitsblatt 1. Ergebnisse: a) Schätzen:... b) Abzählen:... c) Berechnen: (unter Angabe der geometrischen Figuren) Arbeitsblatt 1 Für das nächste Frequency-Festival pachtet der Veranstalter zusätzliche Fläche für die Besucherzelte beim benachbarten Landwirt. Zur Ermittlung des Pachtpreises muss die Fläche ausgemessen

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 1. Klausur Sommersemester

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 1. Klausur Sommersemester Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 1. Klausur Sommersemester 2012 24.07.2012 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................

Mehr

Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs

Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 Hilfskräfte: A. Weiß, W. Thumann 6.3.29 NWF I - Mathematik Universität Regensburg Aufgaben zur Analysis I aus dem Wiederholungskurs Die folgenden

Mehr

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen 1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09

Mehr

Brückenkurs Rechentechniken

Brückenkurs Rechentechniken Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige

Mehr

Übung (13) dx 3, 2x 1 dx arctan(x3 1).

Übung (13) dx 3, 2x 1 dx arctan(x3 1). Übung (3) () Bilden Sie folgende Ableitungen: d xe x dx x ln x, d dx +cos (x), d d dx 3, x dx arctan(x3 ). () Geben Sie die Näherung. Ordnung für den Ausdruck / p v /c für v

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8 8.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (

Mehr

5. Die Integralrechnung

5. Die Integralrechnung 5. Die Integralrechnung 5.1 Die ursprüngliche Einführung des Integrals Ursprünglich wurde das Integral zur Flächendefinition und -erechnung eingeführt: x Aszissenachse (Blaue) Oersummen als oere Schranke,

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

K A P I T E L - I N T E G

K A P I T E L - I N T E G Seitee 1 / 17 K A P I T E L - I N T E G R A L R E C H N U N G 1 Grundlagen Ist eine gegebene Funktion die Ableitung einer Funktion,, also, so heißt STAMMFUNKTION oder ein INTEGRAL von. Die Integration

Mehr

Analysis I. 2. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 2. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Die Produktmenge aus zwei Mengen L und M.

Mehr

differenzierbare Funktionen

differenzierbare Funktionen Kapitel IV Differenzierbare Funktionen 18 Differenzierbarkeit und Rechenregeln für differenzierbare Funktionen 19 Mittelwertsätze der Differentialrechnung mit Anwendungen 20 Gleichmäßige Konvergenz von

Mehr

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung Katharina Brazda 5. März 007 Inhaltsverzeichnis Motivation. Das Tangentenproblem................................... Das Problem der Momentangeschwindigkeit.......................3 Differenzenquotient und

Mehr

Polynomiale Approximation. und. Taylor-Reihen

Polynomiale Approximation. und. Taylor-Reihen Polynomiale Approximation und Taylor-Reihen Heute gehts um die Approximation von glatten (d.h. beliebig oft differenzierbaren) Funktionen f nicht nur durch Gerade (sprich Polynome vom Grade 1) und Polynome

Mehr

Klausur Analysis für Informatiker Musterlösung

Klausur Analysis für Informatiker Musterlösung Prof. Dr. Torsten Wedhorn WS 9/ Dr. Ralf Kasprowitz Elena Fink Klausur Analysis für Informatiker Musterlösung 9.2.2 Name, Vorname Studienfach Matrikelnummer Semester Übungsgruppe Zugelassene Hilfsmittel:

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 4: Konvergenz und Stetigkeit Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. November 2007) Folgen Eine Folge

Mehr

Teil III. Fourieranalysis

Teil III. Fourieranalysis Teil III Fourieranalysis 3 / 3 Fourierreihen Ziel: Zerlegung einer gegebenen Funktion in Schwingungen Konkret: f : (, L) R gegebene Funktion Gesucht: Darstellung der Form ( f (x) = a + a n cos ( n L x)

Mehr

Mathematik und Statistik für Raumplaner

Mathematik und Statistik für Raumplaner Mathematik und Statistik für Raumplaner Differential- und Integralrechnung Wintersemester 2006/2007 Leiter und Autor: A.Prof. Dr. Wolfgang Feilmayr Institut für Stadt- und Regionalforschung Technische

Mehr

Totale Ableitung und Jacobi-Matrix

Totale Ableitung und Jacobi-Matrix Totale Ableitung und Jacobi-Matrix Eine reelle Funktion f : R n R m ist in einem Punkt x differenzierbar, wenn f (x + h) = f (x) + f (x)h + o( h ) für h 0. Totale Ableitung 1-1 Totale Ableitung und Jacobi-Matrix

Mehr

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007 Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.

Mehr

Formelsammlung. Folgen und Reihen

Formelsammlung. Folgen und Reihen Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Formelsmmlung Folgen und Reihen en Folge n ) n N0 : D R, n n := n) mit D N 0 n-te Prtilsumme von n

Mehr

Anwendungen der Differentialrechnung

Anwendungen der Differentialrechnung KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................

Mehr

Zwischenprüfung Winter 2016 Analysis I D-BAUG

Zwischenprüfung Winter 2016 Analysis I D-BAUG ETH Zürich Zwischenprüfung Winter 216 Analysis I D-BAUG Dr. Meike Akveld Wichtige Hinweise Prüfungsdauer: 9 Minuten. Zugelassene Hilfsmittel: Keine, ausser das verteilte Blatt mit Standardintegralen. Es

Mehr

Meine persönliche Einschätzung der Aufgaben der Klausur vom :

Meine persönliche Einschätzung der Aufgaben der Klausur vom : Meine persönliche Einschätzung der Aufgaben der Klausur vom.9.: a) h) Einige leicht, andere Standard, einige zum (kurzen) Nachdenken. ) Standard. Vergleiche Aufgabe 9, Bonusaufgabe a) Standard. Vergleiche

Mehr

Lösungsvorschlag Klausur MA9802

Lösungsvorschlag Klausur MA9802 Lehrstuhl für Numerische Mathematik Garching, den 3.8.22 Prof. Dr. Herbert Egger Dr. Matthias Schlottbom Lösungsvorschlag Klausur MA982 Aufgabe [3 + 3 Punkte] Berechnen Sie, falls existent, die folgenden

Mehr

5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen f(x 0 ) x 0 Graph einer stetigen Funktion. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 127 Häufungspunkt und Abschluss.

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3 Analysis I Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni 1 Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3 zu 3.1 3.1.1 Bestimmen Sie den Abschluss, den offenen Kern und den Rand folgender Teilmengen

Mehr

Anleitung zu Blatt 4, Analysis II

Anleitung zu Blatt 4, Analysis II Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. Hanna Peywand Kiani Anleitung zu Blatt 4, Analysis II SoSe 1 Potenzreihen III, Integration I Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen

Mehr

Verallgemeinerte Funktionen

Verallgemeinerte Funktionen Verallgemeinerte Funktionen. Der Raum der Grundfunktionen Für den Vektorraum R n, n N, über R betrachten wir die Euklidische Norm kk W R n! R; v x 7! p ux x > x WD t n und bezeichnen eine Menge A R n als

Mehr

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein

Mehr

5.4 Uneigentliche Integrale

5.4 Uneigentliche Integrale 89 Wir dividieren die Potenzreihe von sin(t) gliedweise durch t und erhalten sint t = t (t t3 3! + t5 5! + ) = t2 3! + t4 5! +. Diese Reihe ist konvergent für alle t R. Nun integrieren wir gliedweise.

Mehr

Modellfall. Orthogonalität trigonometrischer Funktionen. Anwendungen: f : (0, L) R gegeben.

Modellfall. Orthogonalität trigonometrischer Funktionen. Anwendungen: f : (0, L) R gegeben. Modellfall Anwendungen: Fragen: Digitalisierung / digitale Darstellung von Funktionen, insbesondere für Ton- und Bilddaten Digitale Frequenzfilter Datenkompression: Abspeichern der unteren Frequenzen Lösung

Mehr

Folgen und Reihen von Funktionen

Folgen und Reihen von Funktionen Folgen und Reihen von Funktionen Sehr häufig treten in der Mathematik Folgen bzw. Reihen von Funktionen auf. Ist etwa (f n ) eine Folge von Funktionen, dann können wir uns für ein festes x fragen, ob die

Mehr

e x e x x e x + e x (falls die Grenzwerte existieren), e x e x 1 e 2x = lim x 1

e x e x x e x + e x (falls die Grenzwerte existieren), e x e x 1 e 2x = lim x 1 Aufgabe a Hier kann man die Regel von de l Hospital zweimal anwenden (jeweils und die Ableitung des Nenners ist für hinreichend große x ungleich. Dies führt auf e x e x e x + e x e x + e x e x e x e x

Mehr

Klausurvorbereitung Höhere Mathematik Lösungen

Klausurvorbereitung Höhere Mathematik Lösungen Klausurvorbereitung Höhere Mathematik Lösungen Yannick Schrör Christian Mielers. Februar 06 Ungleichungen Bestimme die Lösungen für folgende Ungleichungen. x+ > x + x + Fall : x, x + > x + 6 Lösung im

Mehr

Analysis I. 12. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 12. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 2. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Ein angeordneter Körper. (2) Eine Folge in

Mehr

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen Definition. Seien X und Y metrische Räume und E X sowie f : X Y eine Abbildung und p ein Häufungspunkt von E. Wir schreiben lim f(x) = q, x p falls es

Mehr

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden

Mehr

Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2010

Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2010 Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2 Heinz-Willi Goelden, Wolfgang Lauf, Martin Pohl Am 5. Mai 2 fand die Mathematische Zulassungsprüfung statt. Die Prüfung bestand aus einer 9-minütigen

Mehr

2. Integration. {x : f(x) <a+ 1 n }

2. Integration. {x : f(x) <a+ 1 n } 9 2.1. Definition. 2. Integration in Maß ist eine nichtnegative, abzählbar additive Mengenfunktion. in Maßraum ist ein Tripel (X,,µ) bestehend aus einem messbaren Raum X mit der -lgebra und einem auf definierten

Mehr

Integrationsregeln, Integration durch Substitution. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Integrationsregeln, Integration durch Substitution. 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Integrationsregeln, Integration durch Substitution 1-E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya 1-E2 Ma 1 Lubov Vassilevskaya 1-E3 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Integrationsregeln Faktorregel: b a b C f x dx = C a f x dx

Mehr

Analysis für Informatiker

Analysis für Informatiker Analysis für Informatiker Wintersemester 2016/2017 Carsten.Schneider@risc.jku.at 1 Bemerkung: Dies ist kein Skript, welches den gesamten Inhalt der Vorlesung abdeckt. Es soll den Studierenden aber während

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 0

Aufgaben zu Kapitel 0 Aufgaben zu Kapitel 0 0.1. Seien A und B zwei Mengen. Wie kann man paarweise disjunkte Mengen A 1, A 2 und A 3 so wählen, dass A 1 A 2 A 3 = A B gilt? 0.2. Seien E ein Menge und A eine Teilmengen von E.

Mehr

6.1 Die Ableitung einer reellwertigen Funktion

6.1 Die Ableitung einer reellwertigen Funktion 6 Differenzierbarkeit In diesem Kapitel sind alle Funktionen, sofern nicht anders angegeben, reellwertige Funktionen, die auf Intervallen definiert sind. Es bezeichnet I in diesem Kapitel stets ein Intervall.

Mehr

Lebesgue-Integral und L p -Räume

Lebesgue-Integral und L p -Räume Lebesgue-Integral und L p -Räume Seminar Integraltransformationen, WS 2012/13 1 Treppenfunktionen Grundlage jedes Integralbegriffs ist das geometrisch definierte Integral von Treppenfunktionen. Für A R

Mehr

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Aufgabe 98 12.12.2012 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/

Mehr

Wichtige Klassen reeller Funktionen

Wichtige Klassen reeller Funktionen 0 Wichtige Klassen reeller Funktionen Monotone Funktionen sind i.a. unstetig, aber man kann etwas über das Grenzwertverhalten aussagen, wenn man nur einseitige Grenzwerte betrachtet. Definition 0. : Sei

Mehr

5. DIFFERENZIEREN UND INTEGRIEREN

5. DIFFERENZIEREN UND INTEGRIEREN 5. DIFFERENZIEREN UND INTEGRIEREN 1 Sei f eine auf R oder auf einer Teilmenge B R definierte Funktion: f : B R Die Funktion heißt differenzierbar in x 0 in B, falls sie in diesem Punkt x 0 lokal linear

Mehr

Analysis I. 1. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 1. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Das Bild einer Abbildung F: L M. (2) Eine Cauchy-Folge

Mehr

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Teil 10: Integralrechnung Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Sommersemester 2010/11 Internetseite zur Vorlesung: http://www.mathematik.hu-berlin.de/

Mehr

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis

Mehr

Integralrechnung. Aufgabe 62. Gegeben seien die beiden Funktionen f; g W R! R mit. f.x/ D 2x C 10 sowie g.x/ D x 2 C 2 :

Integralrechnung. Aufgabe 62. Gegeben seien die beiden Funktionen f; g W R! R mit. f.x/ D 2x C 10 sowie g.x/ D x 2 C 2 : Integralrechnung Aufgabe 62 Integralrechnung: Fläche zwischen Kurven (Flaeche2) Gegeben seien die beiden Funktionen f; g W R! R mit f.x/ D 2x C sowie g.x/ D x 2 C 2 : a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte

Mehr

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11 Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel

Mehr

Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen

Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben

Mehr

x(t) := 1 k definierte Funktion. (a) Berechnen Sie ẋ(t) und ẍ(t). (b) Zeigen Sie, daß die Funktion x = x(t) eine Lösung der Differentialgleichung

x(t) := 1 k definierte Funktion. (a) Berechnen Sie ẋ(t) und ẍ(t). (b) Zeigen Sie, daß die Funktion x = x(t) eine Lösung der Differentialgleichung Übungen (Aufg. u. Lösungen) zu Mathem. u. Lin. Algebra II SS 26 Blatt 7 3.5.26 Aufgabe 33: Die Funktion f : R R sei stetig. Betrachten Sie die durch x(t) : 1 k f(u) sin (k(t u)) du definierte Funktion.

Mehr

Analysis 1 für Informatiker (An1I)

Analysis 1 für Informatiker (An1I) Hochschule für Technik Rapperswil Analysis 1 für Informatiker (An1I) Stand: 2012-11-13 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen 3 1.1 Gerade, ungerade und periodische Funktionen..................... 3 1.2 Injektive,

Mehr