Übungen zu Experimentalphysik 2

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1 Physik Department, Technische Universität München, PD Dr. W. Schindler Übungen zu Experimentalphysik 2 SS 13 - Lösungen zu Übungsblatt 4 1 Schiefe Ebene im Magnetfeld In einem vertikalen, homogenen Magnetfeld mit B = 0.5 T sind zwei leitende Schienen im Abstand d = 10 cm mit dem Neigungswinkel α = 30 gegen die Horizontale aufgestellt. Auf ihnen kann ein Leiter der Masse m reibungsfrei gleiten. Der Leiter hat den ohmschen Widerstand R 1 = 0.30 Ω. Der Widerstand der Schienen wird vernachlässigt. Der Leiter bleibt stets parallel zur Strecke CD, d.h. stets senkrecht zur Längsachse beider Schienen. (a) An den Punkten C und D wird eine Spannungsquelle mit U 0 = 0.30 V angeschlossen. Der Leiter bleibt in Ruhe. (i) Wie muss die Spannung gepolt sein? (ii) Welche Masse hat der Leiter? (b) Die Spannungsquelle wird entfernt und dafür an den Punkten C und D ein hochohmiges Voltmeter angeschlossen. Zum Zeitpunkt t 0 = 0 s wird der Leiter auf der schiefen Ebene losgelassen. (i) Wie lautet U(t) mit den gegebenen Werten für d, B und α? (ii) Welche Spannung zeigt das Voltmeter nach t 1 = 0.30 s an? (c) In einem neuen Versuch wird durch einen Widerstand R 2 = 0.20 Ω zwischen C und D der Stromkreis geschlossen. Der Leiter wird aus der Ruhe heraus von P nach Q (Abstand 0.20 m) mit der konstanten Beschleunigung a = 2.5 m/s 2 bewegt. Zum Zeitpunkt t 2 erreicht er Q. Wie groß ist die Stromstärke im Stromkreis zum Zeitpunkt t 2? (d) Das Schienenpaar wird horizontal gelegt und R 2 = 0.20 Ω bleibt angeschlossen. Der Leiter befindet sich zum Zeitpunkt t 0 = 0 s in Ruhe. (i) Welche äußere Kraft F ist zur konstanten Beschleunigung a = 2.5 m/s 2 des Leiters jeweils zu den Zeitpunkten t 0 = 0 s und t 3 = 2.0 s notwendig? (ii) Wie sieht der zeitliche Verlauf der Kraft aus (F-t-Diagramm)? Konstante: g = 9.81 m/s 2 (a) Die Gewichtskraft auf den Leiter lässt sich in eine Normalkraft senkrecht zu den Schienen und eine Hangantriebskraft parallel zu den Schienen zerlegen. Damit der Leiter in Ruhe bleibt, muss die Hangabtriebskraft durch eine entgegengesetzte Komponente 1

2 der Lorentzkraft, die der stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld erfährt, kompensiert werden. (b) Aus (i) Polung der Spannung: Damit die Lorentzkraft entgegen der Hangabtriebskraft zeigt, muss der Strom in der Skizze von vorne nach hinten fließen (technische Stromrichtung), d.h. bei C muss der Pluspol, bei D der Minuspol der Spannungsquelle angeschlossen werden. (ii) Masse des Leiters: Hangabtriebskraft (Betrag) auf Leiter: Lorentzkraft (Betrag) auf Leiter, senkrecht zu B: F H = mg sin α (1.1) F L = I B d Komponente der Lorentzkraft parallel zu den Schienen (d.h. entgegengesetzt zu F H ): F L, = I B d cos α (1.2) Gleichsetzen von (1.1) und (1.2): mg sin α = I B d cos α m = U B d gr cot α = 8.8 g U ind = N dφ(t) dt folgt wegen B = const. und N = 1 U ind = B da (t) dt, Die vom Leiter der Länge d auf der schiefen Ebene überstrichene Fläche ist A(t) = d 0.5at 2, mit der Beschleunigung a = g sin α (Hangabtrieb). Die für den magnetischen Fluss relevante Fläche senkrecht zum Magnetfeld ist A (t) = A(t) cos α. Eingesetzt: U ind (t) = B d ( d 1 ) dt 2 t2 g sin α cos α = B d t g sin α cos α = 0.21 V s 1 t Damit U ind (t 1 = 0.30 s) = V (c) Aus a = 2.5 m/s 2 und s P Q = 1 2 at2 2 erhält man t 2 = 2sP Q a = 0.4 s. 2

3 Die Induktionsspannung hängt wieder von der zeitliche Änderung der Fläche ab, d.h. U ind (t) = B d ( d 1 ) dt 2 a t2 cos α = B d a t cos α = V Mit dem Gesamtwiderstand des Stromkreises R = R 1 + R 2 = 0.5 Ω erhält man für die Stromstärke zu diesem Zeitpunkt I(t 2 ) = U ind(t 2 ) R = A (d) Mit m = 8.8 g ist am Anfang die beschleunigende Kraft F (t 0 = 0 s) = ma = N erforderlich. Wenn sich der Leiter bewegt, wird wieder eine Spannung induziert. Da der Stromkreis geschlossen ist (durch den Widerstand) fließt auch ein Strom, der gemäß Lenz scher Regel seiner Ursache (der Bewegung des Leiters) entgegenwirkt. Das heißt die Lorentzkraft, die der stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld erfährt, ist entgegengesetzt zur beschleunigenden Kraft. Zur beschleunigenden Kraft muss also ein (zeitabhängiger) Term addiert werden, der betragsmäßig gleich der Lorentzkraft ist: F (t) = ma + I(t) d B = ma + U ind(t) R d B (1.3) Die für U ind relevante Änderung der überstrichenen Fläche ist: da(t) = d ( ) 1 dt dt 2 at2 d = a t d Einsetzen in (1.3) liefert F (t) = ma + ad2 B 2 R t = N N s 1 t d.h. im F-t-Diagramm erhält man eine Gerade. Zum Zeitpunkt t 3 = 2.0 s ist die beschleunigende Kraft F (t 3 = 2.0 s) = N nötig. 2 Fahrraddynamo Eine eisenlose flache zylindrische Spule mit N Windungen und dem Durchmesser d rotiert mit konstanter Drehzahl f in einem homogenen Magnetfeld der magnetischen Flussdichte B. Die Rotationsachse läuft entlang des Durchmesser des Zylinders und steht senkrecht auf den magnetischen Feldlinien. (a) Induzierte Spannung (i) Wie hängt der Scheitelwert Û der induzierten Spannung U ind(t) von den vier oben angegebenen Größen ab? 3

4 (ii) Wie groß ist der Effektivwert U eff der induzierten Spannung für eine Spule mit N = 700 Windungen und dem Durchmesser d = 3.0 cm, die mit der Frequenz f 0 = 127 Hz in einem Magnetfeld mit B = 50 mt rotiert? (b) Die elektrischen Eigenschaften der Spule werden untersucht: Bei der Gleichspannung U 0 = 6.3 V wird die Stromstärke I = 0.7 A gemessen. Beim Anlegen einer sinusförmigen Wechselspannung mit U eff = 10 V hat die Stromstärke den Effektivwert I eff = 0.39 A. Die Zeitverschiebung zwischen Strom und Spannung beträgt t = s. Wie groß sind Gleichstromwiderstand R 0, Wechselstromwiderstand Z und die Selbst- Induktivität L der Spule? Wie groß ist die Frequenz f 0 der angelegten Wechselspannung? (c) An eine sinusförmige Wechselspannung U (t) mit f 0 = 127 Hz und U eff = 14.0 V werden eine Spule (Induktivität L = 30 mh, ohmscher Widerstand R 0 = 9.0 Ω) und zwei parallelgeschaltete Glühlämpchen (Nennspannungen / -ströme: G 1 : 6 V / 0.1 A; G 2 : 6 V / 0.4 A ) angeschlossen. Wie groß sind der induktive Widerstand R L der Spule, der Gleichstromwiderstand R und der Wechselstromwiderstand Z der gesamten Anordnung, sowie die Gesamtstromstärke I eff? (d) In der Anordnung aus der vorherigen Teilaufgabe wird die Wechselspannung U (t) nun wie in Teilaufgabe (a) durch Induktion in der sich mit f 0 = 127 Hz drehenden Spule erzeugt. Das Ganze kann dann als Modell eines Fahrraddynamos mit der dazugehörigen Lichtanlage angesehen werden. (i) Wie groß sind U eff, induktiver Widerstand R L der Spule, Wechselstromwiderstand Z der Anordnung sowie Stromstärke I eff für die Frequenzen 1 4 f 0, f 0, 2f 0, 3f 0? (ii) Welchen Vorteil bietet diese Lichtanlage für die Stromstärke im Bereich hoher Drehzahlen des Fahrraddynamos? Die Glühlämpchen sind überlastbar, ihr Widerstand sei stromunabhängig. (a) Induzierte Spannung (i) Wegen B = const. gilt wieder U ind (t) = NB da(t) dt Die von B durchsetzte Fläche A(t) ist, je nach Winkel α = ωt zwischen Zylinderquerschnitt  = π(d/2)2 und Magnetfeld, so dass man A(t) =  sin ωt = π d2 4 sin ωt, U ind (t) = N B π d2 ω cos ωt = Û cos ωt 4 mit dem Scheitelwert (mit ω = 2πf) erhält. Û = π2 2 Nd2 Bf (ii) Effektivwert Da es sich um eine sinusförmige Wechselspannung handelt, gilt U eff = Û 2, also U eff = π ( m) T 127 s 1 14 V 4

5 (b) Elektrische Eigenschaften der Spule: Gleichstromwiderstand R 0 : R 0 = U 0 I 0 = 6.3 V 0.7 A = 9 Ω Wechselstromwiderstand Z: Z = R0 2 + R2 L = U eff = 10 V I eff 0.39 A = 25.6 Ω Damit ist R L = ωl = Z 2 R Ω. Für den Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung erhält man damit aus tan φ = R L R 0 = 24 Ω 9 Ω 2.66 den Wert φ Da sich φ zum vollen Kreis wie die Zeitverschiebung t zur Umlaufdauer T verhält, also φ 360 = t T, resultiert daraus T 7.88 ms und f = 1/T 127 Hz. Aus R L = ωl folgt somit für die Induktivität L = R L 2πf 30 mh (c) Da L = 30 mh, R 0 = 9 Ω und f 0 = 127 Hz wieder die für die Spule in (b) berechneten Werte sind, gilt wieder R L 24 Ω (2.1) Für die Widerstände der Lämpchen errechnet man aus den Nenngrößen R 1 = 6 V 0.1 A = 60 Ω R 2 = 6 V 0.4 A = 15 Ω Der Gesamtwiderstand der parallelgeschalteten Lämpchen ist damit ( 1 R G = + 1 ) 1 = 12 Ω R 1 R 2 Daraus resultiert für den Gleichstromwiderstand der gesamten Anordnung: R = R 0 + R G = 21 Ω Wechselstromwiderstand der gesamten Anordnung: Z = RL 2 + R Ω Effektive Stromstärke: (d) Fahrraddynamo I eff = U eff Z 0.44 A 5

6 (i) Werte für verschiedene Rotationsfrequenzen der Spule Es gelten die Formeln U eff = Û = π Nd2 Bf, R L = 2πfL, Z = R 2 + RL 2 mit R = 21 Ω I eff = U eff Z. Damit erhält man die folgende Tabelle: f U eff /V R L /Ω Z/Ω I eff /A f 0 / f 0 = 127 Hz f f (ii) Vorteil für die Stromstärke im Bereich hoher Drehzahlen des Fahrraddynamos: Aus der Tabelle oben und aus dem I eff f-diagramm unten wird ersichtlich, dass sich die Stromstärke im Bereich hoher Drehzahlen nur langsam ändert. 6