Lineare Abbildungen und Orthonormalsysteme

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1 KAPITEL Lineare Abbildungen und Orthonormalsysteme. Lineare Abbildungen und Koordinatendarstellungen.. Lineare Abbildungen und ihre Basisdarstellung. Seien V, W Vektorraume uber R. Mit einer Abbildung f : V W ( " von V in W\) wird jedem Vektor v V ein eindeutig bestimmter Vektor w = f( v) W, das sogenannte Bild von v unter f zugeordnet. Definition.. Eine Abbildung heit linear, wenn gilt L.: f ist homogen; d.h. f(α v) = α f( v) fur alle α R, v V, L.: f ist additiv; d.h. f( u + v) = f( u) + f( v) fur alle u, v V. Die Eigenschaften L. und L. sind aquivalent zu f(α u + v) = αf( u) + f( v) fur alle α R und alle u, v V. Man nennt lineare Abbildungen auch lineare Transformationen oder auch lineare Operatoren. Beispiele fur lineare Abbildungen: Beispiel.. Die Multiplikation mit einer festen m n-matrix A l : R n R m, l( x) := A x. Beispiel.. Die Abbildung f : R R mit f(x) = ist nichtlinear, da f(x + x) = f(x) = 4 f(x) + f(x) = f(x) = fur x. Beispiel.3. Der Dierentialoperator d dx : C (I) C d (I), dx f(x) := f (x). Mit C (I) bzw. C (I) bezeichnet man den Vektorraum aller auf dem Intervall I R stetigen bzw. stetig dierenzierbaren Funktionen. Beispiel.4. Das Integral f b a f(x)dx, f C (I). Beispiel.5. Die Werkstobeanspruchung eines elastischen Korpers, auf den von auen Krafte wirken, wird in der linearen Elastostatik durch den Spannungstensor S (3 3- Matrix) beschrieben.

2 . LINEARE ABBILDUNGEN UND ORTHONORMALSYSTEME Bemerkung.. Aus der Linearitat einer Abbildung folgt insbesondere, dass f( x) mit der Basisdarstellung x = x e + e x n e n berechnet werden kann als die Linearkombination f( x) = x f( e ) + f( e ) x n f( e n ). D.h. fur lineare Abbildungen genugt es zu wissen wie die Basisvektoren transformiert werden. Bemerkung.. Da zu linearen Abbildungen f, g : V W und α R, die Summe f + g : V W, (f + g)( v) := f( v) + g( v) und das α-fache αf : V W, (αf)( v) := αf( v) wieder lineare Abbildungen sind, bilden die linearen Abbildungen selbst wieder einen Vektorraum L(V, W) := {f; f : V W ist linear.} Satz.. Gegeben sei eine lineare Abbildung f : R n R m. Mit der Matrix F = (f( e, f( e ),..., f( e n )), deren Spalten aus den Bildern der Basisvektoren bestehen, gilt f( x) = F x. Man nennt F die Abbildungsmatrix von f bezuglich der Basis e, e,..., e n. Beweis: Fur x = x e x n e n folgt ( n ) f( x) = f x i e i = i= n x i f( e i ) = F x. # i= Bemerkung.3. Man beachte, dass die Matrix F die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung bzgl. der Basis e, e,..., e n ist. In einer anderen Basis sieht die Matrix anders aus! Beispiel.6. Die Abbildung f : R 3 R 3, f((x, y, z) T ) = (x, y + z, z) T

3 ist linear, da αf. LINEARE ABBILDUNGEN UND KOORDINATENDARSTELLUNGEN 3 x y z = + βf y z x = α y + z z αx + β αy + βy + (αz + βz ) αz + βz Die Abbildung besitzt bezuglich der Basis e =, e = die Abbildungsmatrix und damit ist f( x) = f((x, y, z) T ) = F = (f( e ) f( e ) f( e 3 )) = x = + β = f, e 3 = y + z z αx + β αy + βy αz + βz x y z =. x y + z z. Definition.. Fur eine lineare Abbildung f : V W, heit die Menge aller x V mit f( x) = Kern der linearen Abbildung f, wir schreiben dafur kerf, die Menge aller y W, fur die mindestens ein x V existiert mit y = f( x) Bild der linearen Abbildung f, wir schreiben dafur im f, die Dimension des Kerns von f Defekt der lineare Abbildung, wir schreiben: def f := Dim ker f, und die Dimension des Bildes von f Rang der linearen Abbildung, wir schreiben rang f := Dim imf. Satz.. Rangsatz: Fur jede lineare Abbildung f : V W, gilt rang f + def f = DimV die Dimension des Vektorraums V.

4 4. LINEARE ABBILDUNGEN UND ORTHONORMALSYSTEME Beispiel.7. Die lineare Abbildung A : R 3 R 4 sei durch die Matrix A = gegeben. Der Kern der Abbildung ist die Menge aller x R 3 mit A x = R 4, also die Losungsmenge des homogenen Gleichungssystems A x =. Mittels Gau-Algorithmus erhalt man die einparametrige Losung: x = t, t R, folglich ist die Losungsmenge ein eindimensionaler Unterraum des R 3 mit dem Basisvektor. Somit gilt, das der Defekt, d.h. die Dimension des Kerns, def A = ist. Wir bestimmen nun die Dimension des Bildes der lineare Abbildung A. Die Menge aller y = y y y 3 y 4 A x = = x x x 3 = + x + + x 3 x + x 3 + x 3 folglich ist Dimension des Bildes gleich der Anzahl der linear unabhangigen Spalten der Matrix A = Spaltenrang von A = Zeilenrang von A = Rang von A. Wir berechnen den Rang der Matrix A. Aquivalente Zeilenumformungen verandern den Rang der Matrix nicht. rang A = rang = rang = rang, =. Damit gilt, wie im Rangsatz behauptet, rang A + def A = + = 3 = Dim R 3.

5 . LINEARE ABBILDUNGEN UND KOORDINATENDARSTELLUNGEN 5 Bemerkung.4. Wird die lineare Abbildung A : R n R m durch die Abbildungsmatrix A dargestellt, so ist der Rang der linearen Abbildung A gleich dem Rang der Matrix A. Bemerkung.5. Hat das homogenen Gleichungssystem A x = nur die triviale Losung x =, so ist die Dimension des Kerns der linearen Abbildung A gleich Null. Beispiel.8. Es sei P k die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich k. Wir betrachten die lineare Abbildung: D : P 3 P mit Dp(x) = p (x) fur alle p P 3. (D ist der Operator der ersten Ableitung.) Eine Basis des Raums P k sind die Polynome: p (x) =, p (x) = x, p (x) =,..., p k (x) = x k, die Dimension ist deshalb gerade k +. Oensichtlich ist die (erste) Ableitung ein linearer Operator, da D(αp + p ) = αdp + Dp ist. Wir betrachten den Kern von D. Da Dp(x) = fur alle x nur fur Konstanten gilt, besteht der Kern des Operators (der Abbildung) D aus den Funktionen p(x) = const = α = αp (x). Somit ist die Dimension des Kerns gerade, da der Kern als Unterraum vom Basisvektor p (x) aufgespannt wird. Betrachten wir nun das Bild des Operators (der Abbildung) D. Fur ein beliebiges (allgemeines) Element von P 3 gilt p(x) = α p (x) + α p (x) + α p (x) + α 3 p 3 (x) = α + α x + α + α 3 x 3 Dp(x) = α + α x + 3α 3 = α p (x) + α p (x) + 3α 3 p (x) und deshalb ist die Dimension des Bildes gerade 3. Das stimmt wiederum mit dem Rangsatz uberein, da rang D + def D = 3 + = 4 = Dim P 3.