Kurvenintegrale und Potenzialfelder

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1 Kurvenintegrle und Potenzilfelder. Kurvenintegrle von Vektorfeldern Sei R n immer ein Gebiet, lso eine offene und zusmmenhängende Teilmenge des R n. Definition Ein Vektorfeld uf ist eine Abbildung F :! R n, x, F(x) (F (x),.., F n (x)) >. Ds Vektorfeld F heißt stetig, differenzierbr respektive C k, wenn es jede einzelne Komponente F,..,F n ist. œ Ein Vektorfeld ordnet lso jedem Punkt x 2 einen Vektor derselben Dimension zu. Abb Ein Vektorfeld in der Ebene

2 .Ò 2 Kurvenintegrle und Potenzilfelder Abb 2 Verschiedene Kurven.Ò Beispiele. Eine linere Abbildung A : R n! R n, x, Ax knn ls lineres Vektorfeld uf dem R n ufgefsst werden. b. Eine reelle Funktion f : R! R knn ls Vektorfeld uf R ufgefsst werden. Wir wollen Vektorfelder entlng Kurven integrieren. Dzu benötigen wir noch den Begriff der Kurve. Definition Eine Kurve in einem Gebiet ist eine stetige Abbildung : [, b]!, t, (t) (,.., n(t)) >. Sie heißt gltt, wenn jede Komponente stetig differenzierbr ist und (t) (,.., n(t)) > î, t 2 [, b]. œ Eine gltte Kurve ht lso überll einen nicht veschwindenden Geschwindigkeitsvektor (t) und dmit uch eine wohldefinierte Tngente. Mn nennt () den Anfngspunkt und (b) den Endpunkt dieser Kurve. Die Kurve heißt geschlossen, wenn () (b). Nun zur Definition des Integrls eines Vektorfeldes entlng einer Kurve. Definition des Kurvenintegrls Sei F :! R n ein stetiges Vektorfeld und : [, b]! eine gltte Kurve in. Dnn heißt b F d~s Õ F( (t)) (t) dt b (F ( (t)) (t) F n ( (t)) n(t)) dt ds Kurvenintegrl von F entlng. œ

3 Kurvenintegrle von Vektorfeldern. 3 Abb 3 Verschiedene geschlossene Kurven.Ò Beispiele. Ds Integrl eines konstnten Vektorfeldes F F entlng eines Gerdenstücks : [, b]! R n, (t) p + tv, ist b. Sei b b F d~s F dt F v dt (F v)(b F (y 2, ) >, >. ). Entlng der Kurve erhält mn : [, ]! R 2, (t) (t, t ) F d~s (t 2, ) (, t (t 2 + t t t ) dt + ) > dt 2 +. Ds Ergebnis hängt lso vom Weg b, uch wenn lle Kurven gleichen Anfngspunkt (, ) und gleichen Endpunkt (, ) hben. c. Auf R 2 ÿ {} sei y F w x 2 + y, x >. 2 x 2 + y 2 Für die Stndrdprmetrisierun des Einheitskreises, lso (t) (cos t, sin t) mit t 2, erhält mn

4 4 Kurvenintegrle und Potenzilfelder Abb 4 Integrtionswege /2 2 2 F w d~s ( sin t,cos t) ( sin t,cos t) > dt 2 (sin 2 t + cos 2 t)dt 2. Ist llgemeiner m 2 und m mit m(t) (cos mt, sin mt) der m-ml durchlufene Einheitskreis, so ist 2 F w d~s m(sin 2 t + cos 2 t)dt 2 m. m Ds Integrl misst lso, bis uf den Fktor 2, wie oft sich m um den Nullpunkt herum windet..ò Rechenregeln Folgendes rechnet mn sofort nch. 2 Linerität Ds Kurvenintegrl ist liner im Vektorfeld: (F + G) d~s F d~s + G d~s, F d~s F d~s. œ Interessnter ist, dss ds Wegintegrl sich nicht unter Prmetertrnsformtionen ändert, so lnge sie die Orientierung beibehlten. 3 Stz Sei : [, b]! eine gltte Kurve und ' : [ã, b]! [, b]

5 Kurvenintegrle von Vektorfeldern. 5 eine Prmetertrnsformtion, lso eine bijektive und stetig differenzierbre Abbildung mit ' > uf gnz [ã, b]. Dnn ist Õ ' : [ã, b]! eine zweite Prmetrisierung derselben Kurve in, und es gilt F d~s F d~s. œ Dies ist fst eine Übung. Mit der klssischen Kettenregel gilt b F d~s F( (t)) (t) dt b ã b ã F( ('(s))) ('(s)) ' (s) ds () F( (s)) (s) ds F d~s. 4 ustz Kehrt ' die Prmetrisierung um, gilt lso ' < uf [ã, b], so ist F d~s F d~s. œ Gleichung () gilt dnn mit vertuschten Integrtionsgrenzen, ws beim Übergng zur nächsten eile zu einem Minuszeichen führt. Oft sind Kurven nicht durchgehend gltt sind, sondern weisen endlich viele Ecken oder Spitzen uf. Solche heißen stückweise gltt. Definition Eine Kurve : [, b]! heißt stückweise gltt, wenn es eine Teilung t <t <..<t m b von [, b] gibt, so dss die Einschränkung von uf jedes Teilintervll [t i,t i ] gltt ist. Ds Kurvenintegrl entlng einer solchen Kurve wird entsprechend zusmmengesetzt: mx F d~s F d~s F d~s m wobei i [t i,t i ]. œ i i F d~s,

6 6 Kurvenintegrle und Potenzilfelder Berechnung von Kurvenintegrlen Ein klssiches Integrl bestimmt mn, indem mn eine Stmmfunktion des Integrnden findet. Bei Kurvenintegrlen übernimmt diese Rolle ds Potenzil eines Vektorfeldes wenn es eins geben sollte. Definition Existiert eine differenzierbre Funktion :! R, so dss > F grd xn, so heißt F ein Grdienten- oder Potenzilfeld und sein Potenzil. œ 5 Stz Sei F ein Potenzilfeld uf mit Potenzil. Dnn gilt für jede stückweise gltte Kurve : [, b]! F d~s (b) () ( (b)) ( ()). Der Wert des Kurvenintegrls ist lso die Potenzildifferenz zwischen Endund Anfngspunkt der Kurve. œ Aufgrund der Kettenregel ist F( (t)) (t) r ( (t)) (t) d dt ( )(t). Mit dem klssischen Huptstz der Integrlrechnung ist dher b F d~s F( (t)) (t) dt b b d dt ( )(t) dt ( ) (b) (). 6 Folgerung In einem Potenzilfeld hängt ds Wegintegrl nur vom Anfngsund Endpunkt eines Weges b, nicht ber von seinem Verluf. Insbesondere ist ds Wegintegrl über jeden geschlossenen Weg Null..Ò Beispiele. Die Vektorfelder von Beispiel, F (y 2, ) > y, F w x 2 + y, x >, 2 x 2 + y 2 sind keine Potenzilfelder, d Integrle von F Integrle von F w über geschlossene Wege nicht Null sind. b. Ein zentrles Krftfeld von der Form F '(kxk)x, x î, œ nicht wegunbhängig, und

7 .Ò Potenzilfelder.2 7 mit einer stetigen Funktion ' : (, )! R ist ein Potenzilfeld. Ein Potenzil uf R n ÿ {} ist zum Beispiel gegeben durch (x) kxk t'(t) dt. Denn für die euklidische Norm gilt und somit rkxk x kxk, x î, r (x) (t'(t)) tkxk rkxk '(kxk)x. c. Jedes linere Vektorfeld F(x) Ax mit einer symmetrischen Mtrix A ist ein Potenzilfeld, mit (x) Ax x. 2.2 Potenzilfelder Die Frge ist, worn mn ein Potenzilfeld erkennt. Eine notwendige Bedingung hierfür ist leicht gefunden. 7 Stz Ein stetig differenzierbres Potenzilfeld F erfüllt notwendigerweise die und i, i, j n. œ (2) Denn ist F r, so ist lso i, ist zweiml stetig differenzierbr. Also drf mn zwei prtielle Ableitungen vertuschen und @x j i i. Ds Vektorfeld F w von Beispiel erfüllt diese Integrbilitätsbedingung, wie mn leicht nchrechnet. Trotzdem ist es kein Potenzilfeld, d j ds Integrl über den Einheitskeis nicht verschwindet. Die Bedingung ist somit notwendig, ber nicht hinreichend.

8 8 Kurvenintegrle und Potenzilfelder Abb 5 Einfch zusmmenhängende Menge, und nicht Es stellt sich herus, dss mn zusätzlich noch folgende topologische Gestlt des Gebietes benötigt. Definition Eine offene Menge heißt zusmmenhängend, wenn je zwei Punkte in durch eine gltte Kurve in verbunden werden können. Sie heißt einfch zusmmenhängend, wenn jede geschlossene Kurve in sich innerhlb von uf einen Punkt zusmmenziehen lässt. œ.ò Beispiele. Jede offene oder bgeschlossene Kugel im R n ist einfch zusmmenhängend. Ebenso der R n selbst. b. Im R 2 ist die punktierte Kreisscheibe Ḃ r {x : < kxk <r} nicht einfch zusmmenhängend. Ebenso nicht R 2 ÿ {}. c. Im R 3 dgegen ist eine punktierte Kugel einfch zusmmenhängend, ebenso R 3 ÿ {}. d. Die geschlitzte Ebene R 2 ÿ(, ] ist einfch zusmmenhängend. 8 Stz Erfüllt ds Vektorfeld F :! R n die Integrbilitätsbedingung (2) und ist einfch zusmmenhängend, so ist F ein Potenzilfeld. Sein Potenzil ist bis uf eine dditive Konstnte eindeutig. œ Beweisidee Mn zeigt zunächst, dss jedes Wegintegrl in nur vom Anfngs- und Endpunkt bhängt, d sich verschiedene Wege stetig ineinnder deformieren lssen und ds Integrl sich dbei ufgrund der Integrbilitätsbedingung nicht ändert. Dher knn mn eine Funktion uf eindeutig definieren, indem mn einen beliebigen Anfngspunkt 2 fixiert und (x) Õ x F d~s definiert, wobei mn über einen beliebigen Weg von nch x integiert. Für die so erklärte Funktion zeigt mn dnn, dss r F..Ò

9 .Ò Potenzilfelder.2 9.Ò Beispiele. Auf dem R 2 erfüllt F (2xy,x 2 + 3y 2 ) > die Integrbilitätsbedingung, wie mn sofort verifiziert. Ein Potenzil findet mn durch sukzessives Integrieren. Aus F x folgt 2xy dx + c(y) x 2 y + c(y). Mit F 2 y folgt dnn c y 3y 2, lso c y 3 + c. Somit ist (x, y) x 2 y + y 3 + c, c 2 R ein Potenzil. D ds Ergebnis nur noch von einer dditiven Konstnte bhängt, sind dies uch lle möglichen Potenzile. b. Auf dem R 3 sei y cos(xy) B x cos(xy) + 2yz 3 C A 3y 2 z 2 gegeben sind leicht verifiziert. Also existiert ein Potenzil uf dem R 3. Aus x F folgt y cos(xy) dx + c(y, z) sin(xy) + c(y, z). Aus y F 2 ergibt sich c y (y, z) 2yz 3, lso c(y, z) 2yz 3 dy + d(z) y 2 z 3 + d(z). Somit ist sin(xy) + y 2 z 3 + d(z). Schließlich ergibt z F 3 die Gleichung d z. Also ist d eine von z unbhängige Konstnte, und es gilt (x, y, z) sin(xy) + y 2 z 3 + c, c 2 R. Ntürlich sollte mn m Ende überprüfen, dss ttsächlich r F.

10 .Ò Kurvenintegrle und Potenzilfelder.3 Rottion und Divergenz Die Integrbilitätsbedingung (2) lässt sich im R 3 Rottion usdrücken. x B C B C A z bequem mithilfe der forml ls 3-Vektor, dessen Komponenten us prtiellen Ableitungsopertoren bestehen. Definition Die Rottion eines 3-dimensionlen Vektorfeldes F (F,F 2,F 3 ) > ist erklärt ls B rot F Õr z C B F F 2 F y F z F 2 C z F x F 3 x F y F und dmit wieder ein 3-dimensionles Vektorfeld. œ y (z 2 z (xz) x B C B.Ò Beispiel z ( x (z 2 C B C ) A. z x y ( y) z + 9 Stz Für ein 3-dimensionles Vektorfeld F ist die Integrbilitätsbedingung (2) äquivlent mit rot F. œ Für ein 2-dimensionles Vektorfeld definiert mn eine Rottion, indem mn eine trivile dritte Komponente hinzufügt. Für F (F,F 2, ) > ist rot F (,,@ x F y F ) >. Die einzige nichttrivile dritte Komponente definiert mn ls Rottion von F (F,F 2 ) >. Stz Definiert mn für ein 2-dimensionles Vektorfeld F (F,F 2,) > rot F x F y F, so ist die Integrbilitätsbedingung (2) ebenflls äquivlent mit rot F. œ In diesem Fll ist lso rot F kein Vektorfeld, sondern eine sklre Funktion! Der Stz über Potenzilfeldern erhält dmit folgende Fssung.

11 Rottion und Divergenz.3 Stz über Potenzilfelder Auf einem einfch zusmmenhängenden zweioder dreidimensionlen Gebiet ist ein Vektorfeld ein Potenzilfeld genu dnn, wenn seine Rottion verschwindet. œ Ergänzungen Für den formlen Differenzilopertor z ) > sind uch die üblichen nderen Vektoropertionen erklärt. Definition Die Divergenz eines Vektorfeldes F (F,F 2,F 3 ) > ist erklärt ls div F Õr F x F y F 2 z F 3, beziehungsweise in höheren Dimensionen div F Õ P n xi F i. œ y B C.Ò Beispiel xz x ( y) y (xz) z (z 2 ) 2z. z 2 Mn knn r uch sklr mit sich selbst multiplizieren:.ò Definition Mn nennt nx Õr r 2 x i den Lplceopertor uf dem R n. œ Der Lplceopertor bildet us einer hinreichend oft differenzierbren Funktion eine neue Funktion. Eine Funktion mit.ò Beispiel Die Funktionen x 2 y 2, xy, log p x 2 + y 2 u heißt hrmonisch. sind hrmonsich uf R 2 respektive R 2 ÿ {}. Dzu mehr im Kpitel zur Funktionentheorie..Ò Die verschiedenen r-opertionen bewirken im R 3 lso Folgendes: grd: Funktion f é rf Vektorfeld rot: Vektorfeld F é r F Vektorfeld div: Vektorfeld F é r F Funktion div grd: Funktion f é f Funktion Außerdem gilt noch der

12 2 Kurvenintegrle und Potenzilfelder 2 Stz Für jedes Vektorfeld F respektive jede Funktion f gilt div rot F, rot grd f. œ Für 3-Vektoren gilt im Vektorklkül für ds Sptprodukt ~u (~v ~w) ~w (~u ~v). Dher gilt uch div rot F r (r F) F (r r) F. Die zweite Gleichung folgt direkt mit r (rf) (r r)f..4 Kurvenintegrle sklrer Funktionen Entlng gltten oder stückweise gltten Kurven können wir uch sklre Funktionen integrieren dies liegt vielleicht sogr näher ls ds Integrl von Vektorfeldern. Ist die Funktion konstnt, so ist ds Ergebnis ds Produkt us Funktionswert und Länge der Kurve. Für stückweise konstnte Funktionen erhält mn eine entsprechende riemnnsche Summe. Im Limes immer kleiner werdender Konstnzintervlle gelngt mn zu folgender Definition dieses Integrls. Definition Sei : [, b]! D eine stückweise gltte Kurve und f : D! R stetig. Dnn heißt b f ds Õ f ( (t)) k (t)k dt ds Kurvenintegrl von f entlng, und ds Õk (t)k dt ds sklre Bogenelement von. œ Bemerkung Hier ist k k die euklidische Länge des Vektors. Es genügt uch, dss f nur uf der Spur von erklärt und stetig ist. «

13 Kurvenintegrle sklrer Funktionen.4 3.Ò Beispiele. Ds klssische Integrl über ein Intervll erhlten wir mit (t) (t, ) für t bund einer Funktion f, die nur von der ersten Koordinte bhängt. In diesem Fll ist b f ds f ( (t)) k (t)k dt b f (t) dt. b. Die Länge einer stückweise gltten Kurve : [, b]! R n erhlten wir mit f : L( ) b k (t)k dt ds. c. Für (t) (t, t 2 ) mit t c und f (x, y) 3p xy erhlten wir c f ds t p + 4t 2 dt 2 ( + 4t2 ) 3/2 Es ist klr, dss ds sklre Kurvenintegrl liner im Integrnden ist: (f + bg) ds f ds + b g ds. Es gilt uch der Mittelwertstz in folgenden Form. 3 Mittelwertstz Sei : [, b]! eine stückweise glte Kurve und f :! R stetig. Dnn existiert ein Punkt x (t ) uf der Kurve, so dss f ds f (x ) L( ), wobei L( ) die Länge von bezeichnet. œ Hierbei ist f Definitonsgemäß ist b f ds Õ f ( (t)) k (t)k dt. stetig und k (t)k nichtnegtiv. Nch dem zweiten Mittelwertstz der Integrlrechnung existiert dher ein t 2 [, b], so dss b mit x (t ). f ( (t)) k (t)k dt f ( (t )) b c. k (t)k dt f (x ) L( ).Ò Auch ds sklre Kurvenintegrl ist invrint unter orientierungserhltenden Prmetertrnsformtionen:

14 4 Kurvenintegrle und Potenzilfelder 4 Stz Sei : [, b]! eine stückweise gltte Kurve und ' : [ã, b]! [, b] eine orientierungserhltende Prmetertrnsformtion, lso bijektiv und stetig differenzierbr mit ' >. Dnn gilt f ds f ds mit der umprmetrisierten Kurve ' : [ã, b]!. œ Der Beweis ist genu derselbe wie für Kurvenintegrle von Vektorfeldern. Wegen ' > knn mn ' unter den Betrg k k ziehen. Abschließende Bemerkung wischen den Kurvenintegrlen von sklren Funktionen und Vektorfeldern besteht folgender usmmenhng. Für eine gltte Kurve ist b F d~s F( (t)) (t) dt Setzen wir lso so wird b (t) F( (t)) k (t)k dt. k (t)k (t) f ( (t)) Õ F( (t)) k (t)k, b F d~s f ( (t)) k (t)k dt f ds.