2 Besondere mathematische Funktionen

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1 2 Besondere mathematische Funktionen Inhalt 2.1 Vorbemerkung Summenzeichen Produktzeichen Betragsfunktion Ganzzahlfunktion PotenzenundWurzeln Exponentialfunktionen Logarithmen Anwendung in Scilab Fazit Vorbemerkung Summen- und Produktzeichen kürzen die fortgesetzte Summation und Addition ab. Insbesondere das Summenzeichen wird häufig verwendet. Der Logarithmus und die Exponentialfunktion bereiten vielen Studierenden immer wieder Schwierigkeiten. Daher werden sie hier kurz mit anderen grundlegenden mathematischen Funktionen beschrieben. Ferner werden zwei spezielle Funktionen eingeführt, die in späteren Kapiteln verwendet werden. Es sind die Betragsfunktion und die Gauß-Klammer (Auf- und Abrundungsfunktion). In Kapitel 8 werden die Funktionen mit einer Variablen ausführlicher erklärt. Übersicht über die hier eingesetzten mathematischen Symbole: Summenzeichen Produktzeichen i, j Subskript, Index e Eulersche Zahl Betragsfunktion f (x) Funktion von x W. Kohn, R. Öztürk, Mathematik für Ökonomen, Springer-Lehrbuch, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

2 20 2 Besondere mathematische Funktionen log a x Logarithmusfunktion zur Basis a lnx Logarithmusfunktion zur Basis e, natürlicher Logarithmus, Ganzzahlfunktion x Wurzelfunktion 2.2 Summenzeichen Das Summenzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Addition. a i = a 1 + a a n (2.1) In der Gleichung (2.1) bezeichnet man i als Summationsindex, der hier mit eins beginnt und jeweils um eins hochgezählt wird bis die Obergrenze n erreicht ist. Der Index i kann mit jeder ganzen Zahl beginnen und enden. Beispiel x i = x 2 + x 1 + x 0 + x 1 i= 2 Mit negativen Indizes werden in der Ökonomie oft Werte aus der Vergangenheit, mit positiven Indizes zukünftige Werte und mit dem Index Null der Wert der Gegenwart bezeichnet. Das Summenzeichen ist nützlich, um größere Summen übersichtlich darzustellen, deren Wert zu berechnen ist. Es gelten die folgenden Rechenregeln, die sich aus den Rechengesetzen ergeben: Gleiche Summationsgrenzen: a i + b i = (a i + b i ) Beispiel ( ) 3 ( ) 3 ( ) = 1a b1 a2 b2 a3 b3 Additive Konstante: (a i + c)= a i + nc

3 2.2 Summenzeichen 21 Beispiel Multiplikative Konstante: Beispiel 2.4. Summenzerlegung: Beispiel 2.5. ( ai + 1 ) 10 =(a 1 + 1)+...+(a )= a i i 2 = 3 5 i = ca i = c a i 4 i 2 = 3 ( ) = 90 a i = 3 i + m a i + i=m+1 a i für m < n 5 i = = 15 i=4 Das Summenzeichen kann auch doppelt oder mehrfach hintereinander auftreten. Zwei Summenzeichen treten zum Beispiel hintereinander auf, wenn in einer Tabelle alle Werte addiert werden sollen. Die Zeilen einer Tabelle werden in der Regel mit i indiziert und die Spalten einer Tabelle mit j. Die Werte in den Tabellenfeldern werden dann mit a ij bezeichnet (siehe Tabelle 2.1). Tabelle 2.1: Zweidimensionale Tabelle mit Randsummen a 11 a 1 j a mj=1 1m a 1 j a i1 a ij a mj=1 im a ij a n1 a nj a mj=1 nm a nj n a i1 n a ij n a n mj=1 im a ij Wie in der oben stehenden Tabelle ersichtlich, können mit der Doppelsumme alle Werte der Tabelle addiert werden. Dabei ist es egal, ob erst die Zeilen und dann die Spalten addiert werden oder umgekehrt.

4 22 2 Besondere mathematische Funktionen m m m a 1 j + a 2 j + + a nj = j=1 a i1 + j=1 a i2 + + j=1 a im = j=1 m a ij = m j=1 m j=1 m j=1 Lediglich die Reihenfolge der Summation ist unterschiedlich. Nach dem ersten Kommutativgesetz führt dies zu keiner Ergebnisänderung. Beispiel j=1 a ij a ij a ij 3 (b ij + i j)=(b )+(b )+(b ) +(b )+(b )+(b ) 2 3 = 18 + b ij j=1 Übung 2.1. Berechnen Sie folgende Ausdrücke für x = 5,2,1,2 und y = 1,2,3,4: 4 x i 4 x i y i 4 ( xi + 3 ) Übung 2.2. Berechnen Sie die folgenden Summen: 5 5 ( 1 (n 1) 2 (n + 2) k 1 ) k + 1 n=2 Übung 2.3. Ist die Doppelsumme gleich der Summe 2 2 x ij j=1 2 x i j=1 k=1 2 x j?

5 2.4 Betragsfunktion Produktzeichen Das Produktzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Multiplikation. n a i = a 1 a 2 a n Das Produktzeichen wird wie das Summenzeichen zur übersichtlicheren Darstellung von größeren Produkten verwendet. Es gelten die folgenden Rechenregeln, die sich leicht aus den elementaren Rechenoperationen ableiten lassen: Gleiche Produktgrenzen: Multiplikative Konstante: n a i b i = n n a i n n c a i = c n b i a i Anmerkung: Im Text wird das Produktzeichen soweit es eindeutig ist durch einen kleinen Freiraum ersetzt. a b = ab Übung 2.4. Berechnen Sie folgende Ausdrücke für x = 5,2,1,2: 4 x i 5 i 4 2x i Übung 2.5. Schreiben Sie das Doppelprodukt aus. 2 2 j=1 x ij 2.4 Betragsfunktion Die Betragsfunktion liefert von einer reellen Zahl deren vorzeichenlosen Zahlenwert. { x für x 0 x = x für x < 0 Anschaulich kann der Betrag x als der Abstand auf der Zahlengeraden zwischen 0 und x interpretiert werden. Beim Rechnen mit Beträgen ist Folgendes zu beachten: x 0

6 24 2 Besondere mathematische Funktionen x y = x y x y = x für y 0 y x ± y x + y 2.5 Ganzzahlfunktion Die Gauß-Klammer wirdauchalsganzzahlfunktion bezeichnet. Ursprünglich bezeichnet sie die Abrundung einer reellen Zahl zur nächsten ganzen Zahl. Daher wird sie manchmal auch Abrundungsfunktion genannt. x = max { k k x } mit k Z Der senkrechte Strich bedeutet «für die gilt». Hier also «für die k, für die k x gilt». Beispiel 2.7. Die Zahl 2.8wirddurch 2.8 auf 2 abgerundet. 2.8 = 2 Die Zahl 2.8 wird durch die Abrundungsfunktion auf 3 abgerundet, weil 3 < 2.8 < 2 gilt. 2.8 = 3 Jedoch benötigt man manchmal auch die Aufrundung einer reellen Zahl auf die nächste ganze Zahl. Man schreibt dann in Anlehnung an die Abrundungsfunktion: x = min { k k x } mit k Z Beispiel 2.8. Die Zahl 2.8 wird durch die Aufrundungsfunktion 2.8 auf 3 aufgerundet. 2.8 = 3 Die Zahl 2.8 wird dementsprechend aufgerundet auf = 2

7 2.6 Potenzen und Wurzeln Potenzen und Wurzeln Sowohl in der Finanzmathematik als auch in der Analysis tauchen Potenzen auf. Man spricht von einer Potenz mit natürlichem Exponent, wenn man eine reelle Zahl n-mal mit sich selbst multipliziert. a n = a... a }{{} n-mal mit a R,n N Die Zahl a wird Basis genannt und die Zahl n wird als Exponent bezeichnet. Der Gesamtausdruck heißt Potenz a hoch n. Auch in der Potenzrechnung gilt Punktrechnung vor Strichrechnung. Beispiel 2.9. (3 4 )= 81, aber ( 3) 4 = 81 (4 5) 3 = 20 3 = 8000, aber = Für den Umgang mit Potenzen bei natürlichem Exponent gelten folgende fünf Rechenregeln. Regel Beispiel 1. a m a n = a m+n mit a R ;m,n N = am a n = a m n mit a R ;a 0;m,n N 3. ( a b ) n = a n b n mit a,b R ;n N ( a ) n 4. = an b b n mit a,b R ;b 0;n N 5. (a m ) n = a m n mit a R ;m,n N = 2 ( ) = = 36 ( ) 6 2 = = 4 ( 2 3 ) 2 = 2 6 = 64 Für die Addition und Subtraktion von Potenzen existieren keine Rechengesetze. Ausdrücke wie zum Beispiel x 2 + y 2 oder x 2 + x 3 können nicht vereinfacht werden. Die Potenzrechnung wird nun auf ganze Zahlen ausgedehnt. Mit dieser Erweiterung können rationale Zahlen dargestellt werden. a n = 1 a n mit a R \{0},n N a 0 = 1 mit a R \{0} Das Zeichen \ bedeutet ohne die Menge {}. Im vorliegenden Fall ist es die Menge der reellen Zahlen ohne die Null. Schließlich ist es sinnvoll, die Potenzrechnung nochmals zu erweitern, um zum Beispiel folgende Gleichung zu lösen:

8 26 2 Besondere mathematische Funktionen x 2 = 2 Potenziert man beide Seiten mit 1 2, so ergibt sich: ( x 2 ) 1 2 = x = Der gesuchte Wert ergibt sich in Form einer Potenz mit der Basis 2 und dem Exponenten 1 2. Weil diese Gleichungen häufig auftreten, wird die Lösung als Quadratwurzel bezeichnet und als x = 2 2 = 2 geschrieben. Bei der Quadratwurzel entfällt häufig der Wurzelexponent. Die Wurzel von einer negativen Zahl x ist in den reellen Zahlen nicht definiert. Um solche Funktionen zu berechnen, sind imaginäre Zahlen nötig, die zusammen mit den reellen die komplexen Zahlen ergeben (siehe Kapitel 1.2.3). Beispiel ist nicht in R definiert, aber 16 = 4 Daher heißt es etwas allgemeiner: Die nicht negative Lösung x von a = x 2 mit a R + heißt Quadratwurzel. x 2 = x für x R Sucht man die Lösung für eine Potenz größer als 2, so spricht man von der n-ten Wurzel. a = x n mit x R +,n R,n 0 x = a 1 n = n a Nun kann man auch folgende Gleichung lösen: a m = x n mit x R +,m,n R,n 0 x = a m n = n a m Das Wurzelziehen ist also die Umkehroperation zum Potenzieren. Zieht man die n-te Wurzel und potenziert hoch n, dann gelangt man wieder zur Ausgangszahl. Beispiel = 8 Mit der Wurzel lassen sich reelle Zahlen darstellen, die nicht ausgeschrieben werden können, wie zum Beispiel 2. Beispiel = 2 2 = = = 2 = Die fünf Potenzregeln bleiben auch für die Potenzen a m n gültig. Beispiel = = = = 4 3 = 64

9 = = = = Exponentialfunktionen = = = = ( 4 9 ) 1 2 = = 36 = = ( ) = = = 4 = 2 25 ) = ( = = = 256 = Exponentialfunktionen Um das Wort «exponentiell» zu erklären, beginnen wir mit einem Beispiel aus der Biologie. Beispiel Wir betrachten eine Bakterienkultur, deren Wachstumsprozess durch die Zellteilung zustande kommt. Wir gehen davon aus, dass zu Beginn Bakterien existieren und sich jede Stunde die Anzahl der Bakterien verdoppelt. An einem Zeitstrahl würde dies wie folgt aussehen: Stunden Bakterien Da sich die Anzahl der Bakterien pro Stunde verdoppelt, muss die Anzahl der Bakterien zu Beginn mit 2 multipliziert werden, um deren Anzahl nach einer Stunde zu berechnen. Für jede weitere Stunde muss nun der jeweils vorherige Wert wiederum mit 2 multipliziert werden usw. Mit der Exponentialfunktion f (x)=a x mit a,x R wird die obige Populationsänderung beschrieben. a x bedeutet das x-fache Produkt von a.fürx N kann man also a x = a a... a }{{} x-mal schreiben. Wird für a der Wert 2 eingesetzt, so erhält man mit x = 0,...,5dieWerte in der Tabelle. Eine übliche Form die Funktion aufzuschreiben, ist f (x)=ca bx,

10 28 2 Besondere mathematische Funktionen f(x) f (x)= x x Abb. 2.1: Entwicklung einer Bakterienpopulation wobei a,b,c Koeffizienten sind. Mit den Koeffizienten verändert sich die Kurvenform der Exponentialfunktion. Oft wird für die Basis a die Eulersche Zahl everwendet. ( e = lim ) x x x Beispiel Ein weiteres Beispiel für ein exponentielles Wachstum ist die Zinseszinsrechnung. Es wird ein Kapitalbetrag von e zu 5 Prozent über 5 Jahre angelegt. Jahr e Der Betrag am Ende jeden Jahres wird mit dem Faktor 1.05 multipliziert. Für das erste Jahr errechnet sich das angesparte Kapital wie folgt: 1050 = = 1000( ) 1050 = Für das Kapital nach dem zweiten Jahr kann die Exponentialfunktion wieder verwendet werden.

11 = = = Exponentialfunktionen 29 Die Exponentialfunktion besitzt hier die Koeffizienten a = 1.05, b = 1 und c = 1000 f (x)= x Im Allgemeinen gilt, dass im Exponenten jede reelle Zahl stehen kann. Das können negative und positive Zahlen, aber auch Brüche und die Null sein. Mit der Exponentialfunktion können daher sowohl Wachstums- als auch Abnahmeprozesse berechnet werden. Beispiel Eine Maschine kostet e. Es wird angenommen, dass sie jedes Jahr 20 Prozent an Wert verliert. Diese Form des Wertverlusts wird als geometrisch degressive Abschreibung bezeichnet. Die zeitliche Entwicklung des Wertes sieht dann wie folgt aus: Jahr Wert Der Wertverlust der Maschine kann auch mit der Exponentialfunktion beschrieben werden. f (x)= x = x Nach 5 Jahren liegt der Restwert der Maschine bei f (5)= = e Da stets 80 Prozent des Restwerts bestehen bleiben, wird die Maschine nie einen Restwert von Null besitzen. Wir haben bereits gesehen, dass die Exponentialfunktion durch die allgemeine Form f (x)=ca bx mit a,b,c,x R definiert ist. Der Funktionswert f (x) ändert sich, sobald sich die Variable x ändert. Betrachten wir nun eine Änderung der Variablen x um s, also einen neuen Wert x+s. Wie verhält sich der Funktionswert f (x + s)? Da f (x + s)=ca b(x+s) ca b(x+s) = ca bx a bs

12 30 2 Besondere mathematische Funktionen ist, entsteht daraus f (x + s)= f (x)a bs, d. h., wächst die Variable x additiv um s, so ändert sich der Funktionswert multiplikativ um a bs. Übung 2.6. Berechnen Sie für ein Kapital von e, das zu 5 Prozent über 10 Jahre angelegt wird, den Endwert. Übung 2.7. Angenommen das Kapital aus Übung 2.6 wird nur für 9 Jahre angelegt. Wie können Sie aus dem Endkapital, das Sie in der Übung 2.6 berechnet haben, den Endwert nach 9 Jahren berechnen? Übung 2.8. Ein Gewinn soll sich in den nächsten 15 Jahren verdoppeln. Welche durchschnittliche jährliche Wachstumsrate ist dazu notwendig? 2.8 Logarithmen Wie werden Exponentialgleichungen nach x umgestellt? Logarithmen sind zum Lösen von Exponentialgleichungen oder zum Beschreiben von Wachstumsprozessen wichtig. Der Logarithmus (genau genommen handelt es sich um die Logarithmusfunktion) ist die Umkehrung des Potenzierens. y = a x x = log a y mit a,y R + und a 1 (2.2) Wurde beim Radizieren die Basis a errechnet, so sucht man jetzt bei bekanntem Potenzwert y und Basis a den Exponenten x. Der Logarithmus einer beliebigen positiven Zahl y zur Basis a ist derjenige Exponent x, mit dem die Basis a potenziert werden muss, um den Numerus y zu erhalten. Beispiel Hierfür wird die Gleichung aus Beispiel 2.15 betrachtet = x Es ist die Anlagedauer x gesucht. Durch Logarithmieren der Gleichung (siehe Rechenregeln auf der folgenden Seite) log = log x log1.05 erhält man die Variable x in einer lineare Beziehung, so dass durch Division die Lösung berechnet werden kann. x = log log1000 log1.05 = 2

13 2.8 Logarithmen 31 Beispiel = 2 3 log 2 8 = 3 Aus der Definition des Logarithmus (2.2) folgen die Beziehungen: Weitere Rechenregeln sind: log a a = 1 denn a 1 = a log a 1 = 0 denn a 0 = 1 log a a n = n denn a n = a n log a (c d)=log a c + log a d log a c d = log a c log a d log a b n = nlog a b log a n b = 1 n log a b Logarithmen mit gleicher Basis bilden ein Logarithmensystem, von denen die beiden gebräuchlichsten die dekadischen (Basis a = 10, oft mit log bezeichnet) und die natürlichen Logarithmen (mit der Eulerschen Zahl a = e als Basis mit der Bezeichnung ln) sind. Auf dem Taschenrechner sind meistens die beiden oben genannten Logarithmensysteme vorhanden. Wie kann der Logarithmus x = log 2 8 mit einem Taschenrechner berechnet werden? Dazu folgende Überlegungen: Ausgehend von der Gleichung y = a x ergeben sich mit den beiden obigen Logarithmen die beiden folgenden Gleichungen: logy = xloga x = logy loga lny = xlna x = lny lna Daraus ergibt sich nun die Gültigkeit der folgenden Beziehung: x = log a y = logy loga = lny lna Somit ist die Berechnung des Logarithmus log 2 8 kein Problem. x = log 2 8 = log8 log2 = ln8 ln2 = 3

14 32 2 Besondere mathematische Funktionen Logarithmen werden auch für die grafische Darstellung von Wachstumsprozessen verwendet. Angenommen, ein Wert wächst in jeder Periode um 10 Prozent (p = 0.1), dann ist die Wachstumsrate konstant, die resultierenden Werte nehmen aber exponentiell zu (siehe obere GrafikinAbb.2.2). x t = x t 1 (1 + p) t mit t = 1,...,n Wird der Wachstumsprozess in einer Grafik mit logarithmierten Werten auf der Ordinaten abgetragen, so sieht man die Konstanz der Wachstumsrate. log a x t = log a x t 1 + t log a (1 + p) mit a > 0 und a 1 (2.3) In der Gleichung (2.3) handelt es sich um eine Gerade mit Achsenabschnitt log a x t 1 und Steigung log a (1 + p) (siehe untere Grafik inabb.2.2).hierwurdea = e, also der natürliche Logarithmus ln verwendet. normale Ordinate p = t logarithmierte Ordinate zur Basis e 2 10 x ln x 1 10 p = t Abb. 2.2: Exponentieller Wachstumsprozess Übung 2.9. Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf. y = e a+bx e ax = 0.5

15 2.9 Anwendung in Scilab 33 Übung Ein Kapital K 0 soll sich verdoppeln. Es ist ein Zinssatz von 5 Prozent pro Jahr gegeben. Wie viel Jahre muss das Kapital angelegt werden? Übung Berechnen Sie folgende Logarithmen: log 2 5 log 3 4 Übung Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit den Rechenregeln der Logarithmusrechnung: ( ln 2x 4 ) x 2 y ln ( ) 2x 4 u 2 x) ln (5x 2 pq 2 4 (a 2 b) Anwendung in Scilab Reelle Zahlen werden in Scilab mit einem Punkt als Dezimalzeichen eingegeben. 3.4 Eine Summe wird in Scilab mit sum() berechnet. Soll eine Summe von beliebigen Zahlen berechnet werden, so sind die Zahlen in eckigen Klammern und durch Kommas getrennt einzugeben. sum(1:6) -> 21 sum(3*(1:4)^2) -> 90 sum([3,6,1]) -> 10 Für eine Doppelsumme muss zuerst ein Zahlenfeld (siehe auch Kapitel 5) in Scilab eingegeben werden. Die Zeilen werden durch Semikolon getrennt. Die Doppelsumme über das Zahlenfeld wird durch den einfachen Summenbefehl berechnet. Soll nur die Summe über die Spalten berechnet werden, so muss nach der Angabe der Variablen ein weiteres Argument angegeben werden. In diesem Fall ist es eine 1. Für die Summe über die Zeilen ist das Argument eine 2. tab = [2,3,4;5,6,7] sum(tab) -> 27 sum(tab,1) -> sum(tab,2) 9 18

16 34 2 Besondere mathematische Funktionen Das Produkt eines Zahlenfelds wird mit dem Befehl prod() berechnet. prod(tab) -> 5040 prod(tab,1)-> prod(tab,2) Den Betrag einer Zahl erhält man in Scilab mit dem Befehl abs(). abs(-2) -> 2 Die Gauß-Klammer wird durch die Abrundungsfunktion floor() berechnet. floor(2.8) -> 2 Die Aufrundungsfunktion ist durch die Funktion ceil() definiert. ceil(2.8) -> 3 Potenzen und Wurzeln können in Scilab mit dem «Dach»-Operator berechnet werden. 2^4 -> 16 2^0.25 -> sqrt(2) Für die 2-te Wurzel steht auch die gesonderte Funktion sqrt zur Verfügung. Die Exponentialfunktion zur Basis e wird mit dem Befehl exp() aufgerufen. exp(1) -> Die Berechnung des Logarithmus zur Basis e erfolgt mit log, also der ln in der Notation des Buches. Es stehen noch weitere Logarithmusfunktionen in Scilab zur Verfügung. log(2) -> log10(2) -> log2(2) -> 1 Für alle Funktionen steht eine Hilfe zur Verfügung. Sie wird mit help aufgerufen. Für die Summenfunktion ist es beispielsweise help sum

17 2.10 Fazit Fazit Das Summenzeichen wird viel in der linearen Algebra und Polynomen verwendet. Das Produktzeichen findet vor allem in der Kombinatorik seine Anwendung. Die Logarithmus- und die Exponentialfunktion sind wichtige mathematische Funktionen, die zur Beschreibung von Wachstumsprozessen und zur Auflösung von Gleichungen herangezogen werden. Insbesondere in der Finanzmathematik werden diese Funktionen verwendet.

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