Aufgaben zu Kapitel 9

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1 Aufgabe zu Kapitel 9 Aufgabe zu Kapitel 9 Verstädisfrage Aufgabe 9. Hadelt es sich bei de folgede für z C defiierte Reihe um Potezreihe? Falls ja, wie lautet die Koeffizietefolge ud wie der Etwicklugspukt? a c 3! j0 x! j x j b d x x x cos x Aufgabe 9. Welche der folgede Aussage über eie Potezreihe mit Etwicklugspukt z 0 C ud Kovergezradius ρ sid richtig? a Die Potezreihe kovergiert für alle z C mit z z 0 <ρabsolut. b Die Potezreihe ist eie auf dem Kovergezkreis beschräkte Fuktio. c Die Potezreihe ist auf jedem Kreis mit Mittelpukt z 0 ud Radius r<ρeie beschräkte Fuktio. d Die Potezreihe kovergiert für kei z C mit z z 0 ρ. e Kovergiert die Potezreihe für ei ẑ C mit ẑ z 0 ρ absolut, so gilt dies für alle z C mit z z 0 ρ. Aufgabe 9.3 Bestimme Sie mithilfe der zugehörige Potezreihe die folgede Grezwerte, a lim x 0 cos x x si x, e six4 b lim x 0 x cosx. Aufgabe 9.4 Zeige Sie die Formel vo Moivre, cos ϕ + i si ϕ cosϕ + i siϕ für alle ϕ R, Z. Beutze Sie diese Formel, um die Idetität für alle ϕ R, N 0 zu beweise. cosϕ k cos k ϕ si k ϕ k Aufgabe 9.5 Fide Sie je ei Paar w, z vo komplexe Zahle, sodass die Fuktioalgleichug des Logarithmus für β 0, β ud β erfüllt ist. Recheaufgabe Aufgabe 9.6 Bestimme Sie de Kovergezradius ud de Kovergezkreis der folgede Potezreihe. k! 4 a 4k! zk b z c d + i i + i i i z z + i Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

2 Aufgabe zu Kapitel 9 Aufgabe 9.7 Für welche x R kovergiere die folgede Potezreihe? a b c +!! x x [ ] + + x + Aufgabe 9.8 Für welche z C kovergiert die Potezreihe i z i? + i Aufgabe 9.9 Gesucht ist eie Potezreihedarstellug der Form a x zu der Fuktio a Zeige Sie a k!. fx b Für welche x R kovergiert die Potezreihe? Aufgabe 9.0 Gegebe ist die Fuktio D C mit ex x, x R \{}. fz z z +, z D. a Bestimme Sie de maximale Defiitiosbereich D C vo f. b Stelle Sie f als eie Potezreihe mithilfe des Asatzes dar. Was ist der Kovergezradius dieser Potezreihe? z z + a z Aufgabe 9. Bereche Sie eie Potezreihedarstellug der ratioale Fuktio fz + z3 z, z C \{}, idem Sie die geometrische Reihe verwede. Aufgabe 9. Bestimme Sie die erste beide Glieder der Potezreiheetwicklug vo um de Etwicklugspukt x 0. fx + x /, x >, Aufgabe 9.3 Bestimme Sie alle z C, die der folgede Gleichug geüge. a coshz, b cosh z 8ie z + i. Aufgabe 9.4 Bestimme Sie jeweils alle z C, die Lösuge der folgede Gleichug sid. a cos z cos z, b e iz e iz. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

3 Aufgabe zu Kapitel 9 3 Awedugsprobleme Aufgabe 9.5 Bereche Sie mithilfe der Potezreihedarstellug der Expoetialfuktio die erste 5 Stelle der Dezimaldarstellug vo e. Überlege Sie sich dazu eie Abschätzug, die Ihe die Richtigkeit Ihres Ergebisses garatiert. Aufgabe 9.6 Bereche Sie mit dem Tascherecher die Differez sisihx sihsix für x {0., 0.0, 0.00}. Erkläre Sie diese Beobachtug, idem Sie das erste Glied der Potezreiheetwicklug dieser Differez um de Etwicklugspukt 0 bestimme. Aufgabe 9.7 Wie scho i der Aufgabe 6.5 betrachte wir die Va-der-Waals-Gleichug, p + a V V b RT, die de Zusammehag zwische dem Druck p, der Temperatur T ud dem molare Volume V eies Gases beschreibt. Dabei ist R die uiverselle Gaskostate, a der Kohäsiosdruck ud b das Kovolume, die beide vom betrachtete Gas abhäge. Im Allgemeie gilt b V. Stelle Sie de Druck p als eie Potezreihe im Kehrwert des molare Volumes auf. Was erhalte Sie, we Sie ur de erste Term dieser Reihe berücksichtige? Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

4 4 Hiweise zu Kapitel 9 Hiweise zu Kapitel 9 Verstädisfrage Aufgabe 9. Überlege Sie sich, ob Sie die Reiheglieder geschickt umschreibe köe. Sid bekate Formel awedbar? Aufgabe 9. Die Aussage lasse sich bis auf die letzte direkt aus de Sätze über Potezreihe ud ihre Kovergezkreise aus dem Kapitel ableite. Für die letzte Aussage ka ma das Majorate-/Mioratekriterium awede. Aufgabe 9.3 Stelle Sie die Fuktioe im Zähler ud Neer als Potezreihe dar. Die Darstellug ka durch Nutzug der Ladau-Symbolik vereifacht werde. Aufgabe 9.4 Beutze Sie die Euler sche Formel für de Nachweis der Formel vo Moivre. Die Idetität ergibt sich als Realteil der rechte Seite. Aufgabe 9.5 Wähle Sie sich zuächst ei festes w mit Re w > 0 ud fide Sie heraus, wie sich die beide Seite der Fuktioalgleichug für verschiedee z verhalte. Recheaufgabe Aufgabe 9.6 Versuche Sie, das Quotiete- oder das Wurzelkriterium auf die Reihe azuwede. Aufgabe 9.7 De Kovergezradius ka ma etweder mit dem Quotiete- oder dem Wurzelkriterium bestimme. Für die Radpukte muss ma das Majorate-/Mioratekriterium oder das Leibiz-Kriterium bemühe. Aufgabe 9.8 Zur Bestimmug des Kovergezradius köe Sie das Wurzelkriterium verwede. Versuche Sie für z auf dem Rad des Kovergezkreises eie kovergete Majorate zu bestimme. Aufgabe 9.9 Teil a löse Sie durch Koeffizietevergleich. Zur Bestimmug des Kovergezradius i Teil b ka das Quotietekriterium agewadt werde. Aufgabe 9.0 Aus dem Asatz ka ma durch Koeffizietevergleich eie Rekursiosformel für die Koeffiziete herleite. Idem Sie die erste paar Koeffiziete ausreche, köe Sie eie explizite Darstellug fide. Zum Bestimme des Kovergezradius ist das Wurzelkriterium geeiget. Aufgabe 9. Klammer Sie im Neer aus, damit Sie die geometrische Reihe awede köe. Aufgabe 9. Beutze Sie das Cauchy-Produkt. Zur eifachere Darstellug sollte Sie die Ladau-Symbolik verwede. Aufgabe 9.3 Nutze Sie die Darstellug der cosh-fuktio durch die Expoetialfuktio. Führe Sie aschließed eie Substitutio durch, die auf eie quadratische Gleichug führt. Aufgabe 9.4 Drücke Sie die Kosius- durch die Expoetialfuktio aus. Mithilfe der Euler sche Formel köe Sie sich überlege, wie die komplexe Kojugatioe umgeformt werde köe. Awedugsprobleme Aufgabe 9.5 Schreibe Sie die Partialsumme mit N Glieder auf ud schätze Sie de Rest der Reihe durch eie geometrische Reihe ab. Aufgabe 9.6 Beutze Sie die Ladau-Symbolik zur Darstellug der Potezreihe. Aufgabe 9.7 Löse Sie ach p auf ud verwede Sie die geometrische Reihe für b/v. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

5 Lösuge zu Kapitel 9 5 Lösuge zu Kapitel 9 Verstädisfrage Aufgabe 9. a Nei, b ei, aber als Potezreihe darstellbar mit Etwicklugspukt, c ja, mit Etwicklugspukt ud a /!, d ei, aber als Potezreihe darstellbar mit Etwicklugspukt 0 ud a k /k!. Aufgabe 9. a Richtig, b falsch, c richtig, d falsch, e richtig. Aufgabe 9.3 a /, b. Aufgabe 9.4 Aufgabe 9.5 Für i, i mit β 0, für i, mit β ud für i, i mit β. Recheaufgabe Aufgabe 9.6 a Kovergezradius 56, Etwicklugspukt 0, b Kovergezradius 0, Etwicklugspukt, c Kovergezradius 3/4, Etwicklugspukt 0, d Kovergezradius / 5, Etwicklugspukt i. Aufgabe 9.7 a Kovergez für x 0, ], b Kovergez für x 0, 4, c Kovergez für x [ 3, ]. Aufgabe 9.8 Die Reihe kovergiert für alle z mit z i /. Aufgabe 9.9 Die Reihe kovergiert geau für x,. Aufgabe 9.0 a D C \{ i, i}, b a k Kovergezradius ist. Aufgabe 9. fz + z + z z für z <. k+, ak+ Aufgabe 9. + x / + x + Ox für alle N ud x. Aufgabe 9.3 a z + πi, Z, b z l + π 4 + π i, Z. Aufgabe 9.4 a Jedes z C erfüllt diese Gleichug. b z π, Z. k+, jeweils für k N0. Der Awedugsprobleme Aufgabe 9.5 Es sid die 3 Glieder iklusive dem 0-te Glied aufzusummiere. Der berechete Wert ist Aufgabe 9.6 Die erste 8 Nachkommastelle sid i alle drei Fälle ull. Für die Differez ergibt sich /45 x 7 + Ox 8 für x 0. Aufgabe 9.7 p RT /b b/v ab/rt V, der erste Term liefert die Gleichug des ideale Gases p RT/V. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

6 6 Lösugswege zu Kapitel 9 Lösugswege zu Kapitel 9 Verstädisfrage Aufgabe 9. a Da Poteze vo /x auftrete, hadelt es sich icht um eie Potezreihe. b I der vorliegede Form ist die Reihe keie Potezreihe. Mit dem Asatz erhält ma aber die Gleichug a x x x [ ] x + x + a x x, aus der durch Koeffizietevergleich die a bestimmt werde köe. c Aus der allgemeie biomische Formel folgt x + j0 x j. j Daher lautet die Reihe /!x +, ist also eie Potezreihe mit Etwicklugspukt ud Koeffizietefolge /!. d I der vorliegede Form ist die Reihe keie Potezreihe. Mit der Reihedarstellug des Kosius ud dem Cauchy-Produkt erhält ma aber x cos x x x! k x. k! Ma ka diese Reihe also als eie Potezreihe mit Etwicklugspukt 0 ud Koeffizietefolge k /k! darstelle. Aufgabe 9. a Die Aussage ist richtig, siehe die Defiitio des Kovergezradius. b Die Aussage ist falsch, siehe etwa die Reihe z /, die für z < kovergiert, aber für z ubeschräkt wird. c Die Aussage ist richtig, da eie Potezreihe im Iere des Kovergezkreises eie stetige Fuktio ist. Der Kreis mit Radius r bildet eie kompakte Mege ud auf kompakte Mege sid stetige Fuktioe beschräkt. d Auf dem Rad des Kovergezkreises ist sowohl Kovergez als auch Divergez möglich. Die Aussage ist also falsch. e Für eie Potezreihe a z z 0 ud ei beliebiges z C mit z z 0 ρ gilt a z z 0 a ρ a ẑ z 0. Da die Potezreihe i ẑ absolut kovergiert, bildet die Reihe a ẑ z 0 eie kovergete Majorate. Die Aussage ist also richtig. Aufgabe 9.3 a Die Potezreihe cos x x si x! x x 4 x4 + Ox 6 +! x+ x 6 x4 + Ox 6 Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

7 Lösugswege zu Kapitel 9 7 sid auf gaz R absolut koverget. Somit gilt b Es gilt cos x lim lim x 4 x4 + Ox 6 x 0 x si x x 0 x 6 x4 + Ox 6 lim 4 x + Ox 4 x 0 6 x + Ox 4. six 4 e six4 +! x4+ x 4 6 x + Ox 0,! six4 x 4 + x8 + Ox, Es folgt also x cosx! x+ x4 4 x6 + Ox 8. lim x 0 e six4 x cosx lim x 0 x 4 + x8 + Ox x4 4 x6 + Ox 8 + lim x4 + Ox 8 x 0 4 x + Ox 4. Aufgabe 9.4 Nach der Euler sche Formel gilt für alle ϕ R ud alle Z Damit ist die Formel vo Moivre scho bewiese. cos ϕ + i si ϕ e iϕ cosϕ + i siϕ. Adererseits ist ach der biomische Formel für ϕ R ud N 0 cos ϕ + i si ϕ i k cos k ϕ si k ϕ. k Betrachtet ma ur de Realteil dieser Gleichug, so bleibe ur die Terme i der Summe mit geradem k bestehe, ud es folgt cosϕ Re cos ϕ + i si ϕ i k cos k ϕ si k ϕ k k cos k ϕ si k ϕ. k Aufgabe 9.5 Zuächst wähle wir w i. Für z i folgt da l w + l z i π + i π iπ Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

8 8 Lösugswege zu Kapitel 9 ud lwz l iπ. Die Fuktioalgleichug gilt also mit β 0. Für z folgt l w + l z i π + i π i 3π ud lwz l i i π. Die Fuktioalgleichug gilt also mit β. Für w z i dagege gilt ud l w + l z i π i π iπ lwz l iπ. Die Fuktioalgleichug gilt also mit β. Recheaufgabe Aufgabe 9.6 a Wir bestimme [k +!] 4 z k+ 4k! 4k + 4! k! 4 z k k + 4 4k + 44k + 34k + 4k + z z 4 4 k Nach dem Quotietekriterium kovergiert die Reihe absolut für z < ud divergiert für z > 56. Der Kovergezradius ist also 56, der Etwicklugspukt, d. h. der Mittelpukt des Kovergezkreises, ist 0. b Wir wede das Wurzelkriterium a. Für z 0 gilt z z. Die Potezreihe kovergiert ur für z 0. Der Kovergezradius ist also 0 ud der Kovergezkreis besteht ur aus dem isolierte Pukt {0}. c Wir wede wieder das Quotietekriterium a. Mit i + i + i z+ i + z +! + + i +!+! z + i!!! i + + i i + z 4 z z. Nach dem Quotietekriterium kovergiert die Reihe demach für z < /. Der Kovergezkreis ist der Kreis um ull mit Radius 3/4. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

9 Lösugswege zu Kapitel 9 9 d Hier gilt + i i i z + i + i i i + i z + i. Da lim i/ + i 0, folgt mit dem Eischließugskriterium auch lim i + i. Also ist + i lim i i z + i + i z + i 5 z + i. Nach dem Wurzelkriterium kovergiert die Reihe geau für z + i < / 5 absolut. Der Kovergezradius ist / 5, der Etwicklugspukt ist i. Aufgabe 9.7 a Das Quotietekriterium soll zur Bestimmug des Kovergezradius agewedet werde. Wir erhalte x lim + + x + + lim + x + x Die Potezreihe kovergiert ach dem Quotietekriterium für x < absolut. Wir erhalte als Kovergezkreis das Itervall 0,. Für x 0 laute die Reiheglieder + + < ud damit erhalte wir Divergez mit dem Miorate-/Majoratekriterium. Für x sid die Glieder + + alteriered ud ihr Betrag ist streg mooto falled ist falled, wachsed. Mit dem Leibiz-Kriterium folgt, dass die Reihe kovergiert. Isgesamt erhalte wir Kovergez der Potezreihe für x 0, ]. b Ma ka das Quotietekriterium awede. Dazu bestimme wir +!! +! x +! x +!! x x. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

10 0 Lösugswege zu Kapitel 9 Für / x <, also für x 0, 4, kovergiert die Reihe absolut, für x > divergiert sie. Im Radpukt x 0 lautet die Reihe!! [ + ].! Da / + /! /, bilde die Reiheglieder keie Nullfolge, die Reihe divergiert also. Im Radpukt x 4 erhält ma aalog die Reiheglieder /! + /, die ebefalls keie Nullfolge bilde. Auch hier divergiert die Reihe. Die Reihe kovergiert demach geau für x 0, 4. c Es gilt + + x x x + + x x +. Also kovergiert die Potezreihe ach dem Wurzelkriterium für x + <, d. h. x 3,. Sie divergiert für x + >. We x + ist, zeigt die Abschätzug , dass durch eie kovergete Majorate gegebe ist. Also kovergiert die Potezreihe für x ud x 3, isgesamt also für x [ 3, ]. Aufgabe 9.8 Um de Kovergezradius zu bestimme, wede wir das Wurzelkriterium a. Es gilt i z i + i z i + i z i 4 + z i. Damit kovergiert die Potezreihe für z i < / ud divergiert für z i > /. Wir betrachte u ei z auf dem Rad des Kovergezkreises, also gilt z i /. Es ist da i z i. Damit folgt iz i + i + i 4 +. Die Reihe / bildet demach eie kovergete Majorate. Also kovergiert die Reihe auch für jedes z auf dem Rad des Kovergezkreises. Isgesamt folgt die Kovergez für alle z mit z i /. Aufgabe 9.9 a Es muss gelte x a x! e x x!. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

11 Lösugswege zu Kapitel 9 Die like Seite wird umgeformt zu: x a x a x x + Durch Koeffizietevergleich ergebe sich die Bediguge a 0, a 0 + a a x. a a +!, N. Die Behauptug folgt jetzt durch vollstädige Iduktio. De Iduktiosafag bildet die Relatio a 0. Der Iduktiosschritt: Aus a ud a + a + k! +! folgt + a + k! + +! k!. Dies ist die Behauptug. b Es gilt + a + x + k! lim a x lim x e x x. e k! Nach dem Quotietekriterium ist der Kovergezradius der Potezreihe also. Im Radpukt x hat die Reihe die Form a.daa aber keie Nullfolge ist, ka diese Reihe icht kovergiere. Aalog ist die Reihe für x vo der Form a, daher divergiert auch diese Reihe, da a keie Nullfolge ist. Isgesamt kovergiert die Potezreihe ur auf dem Itervall,. Aufgabe 9.0 a Die Fuktio ist für alle z mit z + 0 defiiert. Also ist D C \{ i, i}. b Es muss gelte z z + Jetzt köe wir eie Koeffizietevergleich durchführe: Wir bestimme die erste paar Folgeglieder, a z a z + + a z a z + a z a 0 + a z + a + a z. a 0, a, a a,. a 0, a, a 4, a 3 4, a 4 8, a 5 8, Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

12 Lösugswege zu Kapitel 9 ud vermute a k k+, a k+ k+, k Z 0. Diese Vermutug lässt sich mit vollstädiger Iduktio zeige. De Kovergezradius ka ma mit dem Wurzelkriterium bestimme. Dafür betrachte wir a z : k a k z k k+ a k+ z k+ z z, k k+ z z, k+ k+ jeweils für k. Die Folge a z ist koverget mit Grezwert z /. Für absolute Kovergez muss dieser Grezwert kleier als sei, also z <. Der Kovergezradius ist also. Aufgabe 9. Die geomerische Reihe ist Setze wir q z/, so erhalte wir q q für q <. z z für z <. Damit folgt fz + z 3 z z z +3 + z z z + z z 3 für z <. Aufgabe 9. Der Asatz fx a k x k führt auf die Gleichug + x a k x k. Wir müsse also die erste Glieder vo Poteze eier Potezreihe bestimme. Mit dem Cauchy-Produkt ud der Ladau- Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

13 Lösugswege zu Kapitel 9 3 Symbolik erhalte wir a k x k a 0 + a x + Ox, a k x k a0 + a 0a + a a 0 x + Ox, a k x k a0 3 + a 0 a + a0 a x + Ox, jeweils für x. Dies legt die Vermutug a k x k a0 + a 0 a x + Ox für alle N ud x ahe, die wir mit vollstädiger Iduktio beweise. De Iduktiosafag habe wir scho erbracht. Aus der Aahme, dass die Vermutug für ei bestimmtes N richtig ist, folgt + a k x k a0 + a 0 a x + Ox a 0 + a x + Ox a a 0 a x + a 0 a x + Ox a a 0 a x + Ox für x. Damit ist die Vermutug für alle N bewiese. Durch Koeffizietevergleich ergibt sich u a 0, a 0 a, ud daher Es ist also a 0, a. + x / + x + Ox für alle N ud x. Aufgabe 9.3 a Wir schreibe die Gleichug i die Form w + mit w e z. w um. Das ist äquivalet zu Die Lösug ist w. Das führt auf e z, d. h. w + w + w + 0. z l + πi πi + πi + πi, Z. b Mit der Formel cosh z ez + e z erhält ma e z + e z 8i e z + i, Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

14 4 Lösugswege zu Kapitel 9 also e z + 8i e z 4 + 4i. Nach der Substitutio w e z ud aschließeder Multiplikatio mit w ergibt sich die quadratische Gleichug w 4 + 4iw+ 8i 0. Diese Gleichug löst ma durch quadratisches Ergäze: 0 w + i + i + 8i w + i 4 8i i w + i. Also ist w + i, isbesodere also w ud argw π/4. Mit dem komplexe Logarithmus ergibt sich z l π + i 4 + π, Z. Aufgabe 9.4 a Mit der Euler sche Formel ist cos z eiz + e iz. Für jedes z C folgt also cos z e iz + e iz e + e iz e + e iz cos z. Jedes z C erfüllt also diese Gleichug. b Falls z C Lösug der Gleichug ist, folgt e iz e iz e iz, also e iz. Die Substitutio w e iz führt auf w also w ±. Nu wedet ma de komplexe Logarithmus a: w : w : iz l + πi πi, iz l + iπ + π + πi, jeweils für Z. Fasst ma beide Fälle zusamme, erhält ma z π für Z. Umgekehrt stellt ma fest, dass jedes solche z tatsächlich die Gleichug erfüllt. Awedugsprobleme Aufgabe 9.5 Es gilt e N!! + N+ De letzte Summade schreibe wir durch eie Idexverschiebug um zu N+! N+!. N + +!. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

15 Lösugswege zu Kapitel 9 5 Nu schätze wir ab, N + +! N +! N +! N + N +! N. N + N+ Es folgt N e! N+ N + N +! N. Wir köe also füf korrekte Dezimalstelle garatiere, we wir N so groß wähle, dass die rechte Seite kleier als wird. Für N erhalte wir N+ N N +! N Die Abschätzug ist also erfüllt. Der so berechete Wert ist , die korrekte Darstellug auf 6 Stelle lautet Aufgabe 9.6 Auf 8 Nachkommastelle gerudet, ergibt sich i alle drei Fälle eie Differez vo 0. Bei eiem Tascherecher ohe wisseschaftliche Zahledarstellug ist dies das Ergebis, dass agezeigt wird. Um diese Beobachtug zu erkläre, stelle wir die Poteze vo six als Potezreihe dar: six x 6 x3 + 0 x x7 + O x 8, si x six six x 3 x x6 + O x 8, si 3 x six si x x 3 x x7 + O si 5 x si x si 3 x x x7 + O x 9, si 7 x si x si 5 x x 7 + O Diese Ausdrücke setze wir i die Potezreihe vo sih ei ud erhalte x 9, x 9. sihsix six + 6 si3 x + 0 si5 x si7 x + O si 8 x x 6 x3 + 0 x x7 + x 3 6 x x7 + x x x7 + O x 8 x 5 x x7 + O x 8. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008

16 6 Lösugswege zu Kapitel 9 Nu der umgekehrte Fall, zuächst bestimme wir die Poteze vo sihx: sihx x + 6 x3 + 0 x x7 + O x 8, sih x sihx sihx x + 3 x x6 + O x 8, Eigesetzt i die Sius-Fuktio ergibt sich sih 3 x sihx sih x x 3 + x x7 + O sih 5 x sih x sih 3 x x x7 + O x 9, x 9, sih 7 x sih x sih 5 x x 7 + O x 9. Daher ist sisihx sihx 6 sih3 x + 0 sih5 x sih7 x + O si 8 x x + 6 x3 + 0 x x7 x x x7 + x x x7 + O x 8 x 5 x5 90 x7 + O x 8. sihsix sisihx 45 x7 + Ox 8 für x 0. Aufgabe 9.7 Nach p aufgelöst, ergibt sich p Durch Eisetze der geometrische Reihe erhalte wir RT V b a V RT V b/v a V. p RT V RT V b a V V + brt a V + RT b 3 b. V Berücksichtigt ma ur de erste Term der Reihe, so erhält ma p RT/V, die Gleichug des ideale Gases. Ares et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 008