Zur geometrischen Interpretation der Divergenz, Rotation und des Laplace-Operator im R 2

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1 Thomas Neukirchner 6. November 7 Zur geometrischen Interpretation der Divergenz, Rotation und des Laplace-Operator im R Vorbemerkung: Sein Nt cos t, sin t und JNt sin t, cos t. Dann gilt: A X R konstant a11 a 1 M a 1 a R analog: X, Nt dt x 1 cos t + x sin t dt 1 ANt, Nt dt πa 11 + a π SpA a 11 cos t + a sin +a 1 + a 1 cos t sin t dt ANt, JNt dt π a 1 a 1 3 Divergenz: Sei X XR ein Vektorfeld. Wir wollen den Fluss von X durch einen Kreis S r P um den Punkt p mit Radius r bestimmen - zumindest in 1.Ordnung bezüglich r. γ r t r cos t, r sin t parametrsiert S r. Nt cos t, sin t ist eine nach außen gerichtete Einheitsnormale der Kreislinie S r. Xp + γ r t, Nt ist die Normalkomponente von X im Punkt p + γ r t S r p Xp+h Xp+DXph+O h Taylorentwicklung von X um p bis zur 1.Ordnung. Dann gilt: Also Fluss von X durch S r p 1 Xp + γ r t, Nt γ rt dt r DX p Nt, Nt dt + or r X1 π p + X p + or x 1 x X, N div Xp lim r S rp volb r p 4 1

2 X N X JN Rotation: Sei X XR wieder ein Vektorfeld. Diesmal betrachten wir den Fluss von X längs der orientierten! Kreislinie S r P parametrisiert durch p + γ r t. Wir ersetzten also den Normalvektor N durch den um 9-gedrehten Vektor JNt sin t, cos t und erhalten: Fluss von X längs γ r t 1 3 Xp + γ r t, JNt γ rt dt r DX p Nt, JNt dt + or r X π p X 1 p + or x 1 x Dies ist gerade die Definition der Rotation in Dimension : X, JN rotxp lim r S r p volb r p 5 Bemerkung: Die Betrachtungen zur Divergenz lassen sich ohne Probleme auf den R 3 oder allgemein den R n ausdehnen, indem man den Fluss des Vektorfeldes durch eine n 1-dim. Sphäre vom Radius r betrachtet. Dahingegen läßt sich das Normalenfeld N schon auf einer -Sphäre nicht mehr zu JN drehen. Man behilft sich, indem man die Rotation auch in höheren Dimensionen als Fluss längs einer Kreislinie in einer von Vektoren v, w aufgespannten Ebene betrachtet. Dabei bestimmt die Reihenfolge des Vektorenpaares {v, w} den Durchlaufsinn des Kreises: rot Xv, w vx, w wx, v

3 Damit wird rot X M zu einer -Form auf der Untermannigfaltigkeit! In Dimension n reduziert sich die Rotation auf eine Zahl durch einsetzten einer ONB. Insbesondere erhalten wir die obige Definition im R zrück: rotx rotxe 1, e e 1 X, e e X, e 1 In Dimension n 3 nutzt man das Vektorprodukt, um der -Form rotx ein Vektorfeld zuzuordnen: rot X p v, w v w, rotx v, w T p M Laplace-Operator: Sei f C R eine glatte Funktion. Die Taylorentwicklung bis zur zweiten Ordnung um p lautet dann: fp + h fp + grad fp, h + 1 Hess fph, h + o h Wir vergleichen jetzt die Funktionswerte fx längs der Kreislinie x S r p mit fp und erhalten mit ähnlichen Argumenten wie oben: Abweichung von f auf S r p 1, r 3 fp + γ r t fp γ rt dt Hess fpnt, Nt dt + or 3 r 3 π SpHess fp + or3 Die Spur der Hesse schen Hess f ist aber gerade der Laplace-Operator f im R n, also: fp lim r fp + γ r t fp S r p r volb r p 6 fp + γ r t fp 3

4 Eine weitere Interpretation des Laplace-Operators ergibt sich sofort aus dessen Definition f divgrad f und 4, wenn wir mit f N grad f, N die Ableitung in Richtung der Normalen N auf S r p bezeichnen: fp lim r S r p f N volb r p 7 Den Zusammenhang zwischen 6 und 7 wollen wir im 1-dimensionalen Fall nochmals verdeutlichen. Das Integral wird dabei zur Summe über die beiden Punkte {p r, p + r} S r p R: 6 lim r fp + r fp + fp r fp r r L Hospital f p f p + r f p r lim 7 r r Bemerkung: Die hier hergeleiteten Zusammenhänge 4, 5 und 7 sind die infinitesimalen Versionen der Sätze von Gauß, Stokes und Green für ein Gebiet R mit nach außen gerichteten Normalenfeld N auf dem Rand : Gauss: X, N div X Green/Stokes: Green sche Identität: X, JN rot X f N f mit f N grad f, N Wellengleichung einer schwingenden Saite oder Membran: Die Auslenkung einer Saite aus ihrer Ruhelage werde durch den Graph der Funktion f modeliert. Wir betrachten die auf die Randpunkte eines kleinen Segments [p r, p + r] wirkenden Zugkräfte F p+r, F p r. Der Betrag T der Zugkraft soll in der gesamten Saite konstant sein, also F p±r T. Unter der Vorraussetzung f 1 ist die resultierende Kraft F p im Punkt p annähernd vertikal und für ihren Betrag gilt: F p F p+r + F p r T f p + r f p r fp fp + r F p+r F p r fp r F p F p+r + F p r 4

5 Die auf die Saite wirkende Kraftdichte Kraft pro Linienelement ist somit gegeben durch: F p f p + r f p r lim T lim T f p T fp 8 r r r r Nach dem Newton schen Gesetz ruft die Kraftdichte eine Beschleunigung umgekehrt proportional zur Massendichte ρ der Saite hervor. Sei nun also fx, t die Auslenkung der Saite zur Zeit t and am Ort x, dann erhalten wir als Schwingungsgleichung: f t T ρ f Vollkommen analog erhält man die Schwingungsgleichung einer Membran, wobei wir diesmal in 8 die resultierende Kraftdichte bequem mit 7 bestimmen können. 5