Zyklische Codes Rechnernetze Übung SS2010

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1 Zyklische Codes

2 Binärcodes Blockcodes Lineare Codes Nichtlineare Codes Zyklische Codes Systematische Codes

3 Binärcodes Blockcodes Lineare Codes Nichtlineare Codes Zyklische Codes Systematische Codes

4 Durch bitweises Rotieren eines Codewortes entsteht wieder ein gültiges Codewort Ist (a 0, a 1,, a n-1 ) ein gültiges Codewort, dann ist auch (a 1,, a n-1, a 0 ) ein gültiges Codewort Vorteile: man kann Bitfolgen beliebiger Länge absichern keine Festlegung der Anzahl der Informationsbits vor Berechnung sind leicht als Automat zu realisieren

5 zyklische Redundanzprüfung (englisch: cyclic redundancy check) systematische, zyklische Codes beruht auf Polynomdivision Bitfolge der Coderepräsentation ti der Daten wird durch vorher festgelegtes Generatorpolynom Modulo 2 dividiert der Rest der Division ist der CRC-Wert

6 Anzahl der Prüfbits wird durch den Grad des Polynoms bestimmt bei der Übertragung des Datenblocks hängt man den CRC-Wert an den originalen Datenblock an und überträgt ihn mit (Redundanz)

7 0+0= = = = = = = = 0

8 Darstellung der Information als Polynom p(x) = a n-1 x n-1 + a n-2 x n a 1 x 1 + a 0 x 0 Generatorpolynom g(x) Modulo 2 Division von p( x) x g(x) r mit r = grad(g), g d.h. der höchste Exponent n in g(x) entspricht einer Verschiebung von p(x) um r Stellen nach links, aufgefüllt mit Nullen

9 Divisionsrest r m-1 r m-2 r 1 r 0 Übertragen wird a n-1 a n-2 a 1 a 0 r m-1 r m-2 r 1 r 0 Ergebnis der Division wird verworfen zum Prüfen des empfangenen Codeworts c(x) wird die Division c(x) : g(x) durchgeführt ist Rest gleich Null, dann ist kein erkennbarer Fehler aufgetreten

10 Erkennung zufälliger Fehler Ein-Bit-Fehler Fehler mit einer ungeraden Anzahl von Fehlerstellen, sofern das Generatorpolynom (x + 1) als Faktor hat Alle Fehler der Form e(x) = x i + x j = x i (1 + x j-i ), so lange g(x) nicht x k + 1 (für alle k i - j) ohne Rest teilt Fehlerbündel l (burst Fehler) der Länge k r mit r = grad(g) Blockweise Störung des Signals, häufig durch Störeinflüsse wie zum Beispiel Blitze oder auch Kratzer auf einer CD

11 Beispiel: Generatorpolynom g(x) = x 16 + x 15 + x (IBM-CRC-16) lässt sich als (x 15 + x + 1) (x + 1) faktorisieren, dadurch werden alle Fehler ungerader Anzahl erkannt die kleinste positive ganze Zahl k bei welcher das Generatorpolynom g(x) nicht x k + 1 teilt ist alle beliebig angeordneten, zweifachen Bitfehler werden erkannt, wenn die Blocklänge kleiner als ist alle Bündelfehler der Länge 16 oder kleiner werden erkannt Bündelfehler mit einer Länge von 17 sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99997 erkennbar Bündelfehler mit einer Länge von 18 und mehr sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99998 erkennbar

12 Muss ein primitives Polynom sein Restklasse von x i g(x) für i = 0, 1, 2, muss aus 2 r 1 Elementen bestehen Im Fall von Einzelfehlern lässt sich anhand des Divisionsrestes von der Restklasse auf das zu korrigierende Bit schließen

13 bewährte Generatorpolynome CRC-CCITT (CRC-4) x 4 +x+1 + CRC-CCITT (CRC-16) x 16 + x 12 + x CRC-32 (z.b. IEEE 802.3) x 32 + x 26 + x 23 + x 22 + x 16 + x 12 + x 11 + x 10 + x 8 + x 7 + x 5 + x 4 + x 2 + x + 1 Bluetooth x 5 +x 4 +x 2 + 1

14 g(x) = x 3 +x+1 + p(x) = x + 1 Wie lautet der CRC-Wert? Was wird übertragen? Wie wird geprüft?

15

16 einfach und billig in Hardware zu realisieren Generatorpolynom (x 3 + x + 1) in umgekehrter Reihenfolge ( -> 1 x x x x 3 ) mit XOR- Elementen Dividend id d wird mit der höchstwertigen h Stelle voran in die Schaltung geschoben

17 Divisionsrest ist der Inhalt der Speicherzellen, nachdem die Eingabe vollständig hineingeschoben worden ist Verwendung von D-Flipflops Hinweis: 0 XOR a = a, 1 XOR a = NOT a

18 Beispiel

19 Mit g(x) = x 4 +x+1sollen + folgende Informationen kodiert werden X 6 + x 4 + x 2 Realisieren Sie ein Programm in Python, welches per Kommandozeile eine Zeichenkette entgegennimmt und mit Hilfe des Polynoms g(x) = x4+x+1 den Divisionsrest berechnet Lösungen an

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