ij. , d (k 1) + d (k 1)

Transkript

1 Dabei war ja die Idee, dass wir unser k Schritt für Schritt erhöhen bis wir bei n angekommen sind, denn dann haben wir das Problem gelöst. Dies ist im Grunde unser Algorithmus. Wir müssen diesen nur noch in drei Schleifen einbetten. Die Äußerste Schleife geht über k für k = 1... n die 2. über i für i = 1... n und die innerste über j für j = 1... n. Der folgende Algorithmus ist nur ein Beispiel für die vielfältigen Anwendungen, auf welche wir jedoch später eingehen werden. Und d (k) ist die Länge des kürzesten Weges in P (k). Algorithm 1: [Floyd-Warshall] Bestimmung aller kürzesten Wege im Graphen G = (V, E). 1: for i = 1,..., n do 2: for j = 1,..., n do 3: d (0) = { c(i, j): falls (i, j) E : sonst 4: end for 5: end for 6: for k = 1,..., n do 7: for i = 1,..., n do 8: for j = 1,..., n do 9: d (k) 10: end for 11: end for 12: end for = min(d (k 1), d (k 1) ik + d (k 1) kj ) Warum funktioniert der Algorithmus? Erklärung: d (k) ist die Länge eines kürzesten Weges von i nach j mit Zwischenknoten 1... k (Zwischenknoten sind alle Knoten außer die Anfangs- und Endknoten). 1. Fall : es gibt nur einen Weg, der k nicht benutzt = d (k) = d (k 1) 2. Fall : k kommt nicht mehrfach vor, daher ist die Länge des Stücks von i nach k = d (k 1) ik bzw. von k nach j = d (k 1) kj (Siehe Abbildung 1) Abbildung 1: Weg von i nach j über k 1

2 Laufzeit von Floyd-Warshall Θ(n 2 ) für die Schleifen (1... 3) und Θ(n 3 ) für die Schleifen ( ) Θ(n 3 ) also insgesamt. Dkstra hatte eine Laufzeit von : O(n(n + m)log(n)) wobei die Anzahl der Kanten maximal n 2 werden kann. Bei dichten Graphen wäre die Laufzeit somit Θ(n 3 log(n)) bei dünnbesetzten Graphen (wenn Anzahl der Kanten n2 nlog(n) ist es effizienter n mal Dkstras Algorithmus durchzuführen. Floyd-Warshall basiert auf der Idee des Dynamischen Programmierens. Man löst erst alle kleinere Teilprobleme um mit Hilfe derer Lösungen irgendwann am Ende das Gesamtproblem lösen zu können. Wie schon angemerkt ist der Algorithmus von Floyd und Warshall vielseitig einsetzbar. Er ist nicht nur effizient beim Finden aller kürzesten Wege in einem Graphen, sondern er liefert bei leichter Modifizierung der Operanden min und + in Zeile 7 durch und ersetzen folgt: { wahr: falls(i, j) E c =. falsch: sonst Also würde hier Floyd-Warshall gleich noch die Antwort auf die Frage geben, ob überhaupt ein Weg zwischen i und j existiert. Eine weitere Möglichkeit wäre die Ersetzung durch min und max welche dann die Kante mit maximalen Gewicht berechnen würde. Es gibt also unzählige Möglichkeiten den Floyd-Warshall Algorithmus sinnvoll zu modifizieren und nicht zuletzt ist auch der Algorithmus von Kleene eine mögliche Abwandlung. Beispiel. endlicher Automat mit Floyd-Warshall: d k = d(k 1) d (k 1) ik (d (k 1) kk ) k d (k 1) kj -1.1 Flussprobleme und Matching in Graphen Gegeben ist ein gerichteter Graph G = (V, E) (oft auch Netz oder Netzwerk) sowie spezielle Knoten Quelle (source) s V und Senke (target) t V genannt. Außerdem ist eine Kapazitätsfunktion c : E R 0 gegeben. Die Kapazität gibt an, wieviel Materialeinheiten (z.b. Wasser) maximal von s nach t geschickt werden können. Ziel ist es möglichst viel Materiealeinheiten zu schicken und somit einen maximalen Fluss für das Netzwerk von s nach t zu erzielen (Siehe Flussbeispiele in Abbildung 2 und 4).Das Flussproblem ist eines der zentralen algorithmischen Probleme Anwendungsbeispiele: Röhrensyteme für Flüssigkeiten Elektrisches Netz Verkehrsnetz Informationen in Kommunikationsnetzen... 2

3 Abbildung 2: Beispielgraph für das Flussproblem Definition (Fluss). gegeben sei ein Netz (G, c, s, t) mit G = (V, E) Ein Fluss ist eine Funktion f : V V R mit: 1. ) f(u, v) c(u, v) u, v V 2. ) f(u, v) = f(u, v) u, v V (*) 3. ) v V f(u, v) = 0 u, v V \{s, t} Abbildung 3: Zulauf=Ablauf (*) Bedeutet: die Summe der zulaufenden Flüsse ist gleich der Summe der ablaufenden Flüsse (Siehe Abbildung 3). Der Wert des Flusses f : f = v V f(s, v). Somit ist der maximale Fluss ein Fluss mit maximalem Wert. Bemerkung. In der Realität hat man eine Menge von Quellen und Senken. Diese lassen lassen sich aber auf das Problem mit einer Quelle und Senke zurückführen. Dies geschieht, indem man die vielen Quellen durch eine Superquelle ersetzt (Siehe Abbildung 5). Von dieser Superquelle fließt zu jeder Quelle eine Kante mit unendlichem Gewicht (analog Supersenke). Definition Wenn X und Y Mengen von Knoten sind, dann ist der Fluss von X nach Y gleich der Summe aus der Summe von allen x X und y Y aller Flüsse von X nach Y f(x, Y ) = x X y Y f(x, y) (Abbildung 6). 3

4 Abbildung 4: Fluss mit Wert 10 [nur positive Flüsse] Lemma Es gilt: 1. f(x, X) = 0 X V 2. f(x, Y ) = f(y, X) X, Y V 3. f(x Y, Z) = f(x, Z) + f(y, Z) X, Y, Z V wobei X Y = 4. f(x, Y Z) = f(x, Y ) + f(x, Z) X, Y, Z V wobei X Y = Definition Ein augmentierender Weg ist ein Weg im Netz, wo die Kapazitäten noch nicht voll ausgenutzt sind (Beispiel in Abbildung 7). Der Fluss von s t kann noch erhöht werden. Bemerkung. Idee: Man beginnt mit Fluss = 0 entlang jeder Kante und erhöht die augmentierenden Wege um den größtmöglichen Wert. Diese Schleife wird solange durchgeführt bis kein besserer augmentierender Weg mehr gefunden wird. Wir werden zeigen, solange der Fluss nicht maximal ist, findet man immer einen größeren augmentierenden Weg Ford-Fulkerson-Methode Bemerkung. Um den maximalen Fluss bestimmen zu können, muss man erst den augmentierenden Weg für den Fluss finden. Ein maximaler Fluss ist ein Weg G von s nach t wo für jedes Knotennachbarnpaar e gilt, dass f(e) < C(e) Für die Ford-Fulkerson-Methode initialisiert man mit f = 0 folgende Schleife: 1. Finde einen augmentierenden Weg π! 4

5 Abbildung 5: Rückführung Superquelle und Supersenke Abbildung 6: Mengen X und Y 2. Erhöhe Fluss entlang π, um den größtmöglichen Wert, bis kein neuer augmentierender Weg mehr gefunden wird! Um den besten augmentierenden Weg zu finden konstruiert man das Restnetz bei zu einem gegebenen Fluss. Definition (Restnetz). : G f bei gegebenen Fluss f [Hilfstruktur] im Graphen. Falls man in G eine Kante mit K = b hat, dann gibt es in G f folgende 2 Kanten: 1. eine Kante von n V mit K = b a 2. eine Kante von V n mit K = a Daraus folgt dann, dass der Fluss f(u, v) um bis zu b a Einheiten erhöht werden kann und f(v, u) um bis zu a Einheiten erniedrigt werden kann. Desweiteren folgt daraus, dass die Kanten mit K = 0 wegfallen. Der augmentierende Weg hat nun eine Restkapazität > 0 (Siehe Abbildung 8). Definition In einem Einführenden Weg p von s nach t in G f Kapazität: C f (p) = min{c f (e) e Kante in G f }. ist die 5

6 Abbildung 7: augmentierender Weg Abbildung 8: Restkapazitäten 6