Spezielle Matrizen. Invertierbarkeit.

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1 Spezielle Matrizen. Invertierbarkeit. Lineare Algebra I Kapitel 4 2. Mai 2012

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag Webseite: holtz Assistent: Sadegh Jokar, MA 620, Sprechstunden Donnerstag 11:30-13 Tutoren: Cronjäger, Guzy, Kourimska, Rudolf Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030) Vorlesungen: VL am Dienstag im MA004, Mittwoch 8-10 im H0104 Klausur? Mittwoch 8-10 H0104 Der Kurs gilt mit 50% Punkten für Hausaufgaben als bestanden

3 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB).

4 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB). Beweis: a) Sei D = [d ij ] = (A B) C, D = [ d ij ] = A (B C). Es gilt d ij = ( s m ) a ik b kl c lj = l=1 k=1 s m (a ik b kl ) c lj l=1 k=1

5 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB). Beweis: a) Sei D = [d ij ] = (A B) C, D = [ d ij ] = A (B C). Es gilt d ij = ( s m ) s m a ik b kl c lj = (a ik b kl ) c lj l=1 k=1 l=1 k=1! Distributivität in R

6 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Seien A = [a ij ] R n,m, Ã = [ã ij] R n,m, B = [b ij ] R m,s, B = [ b ij ] R m,s, C = [c ij ] R s,t, r R. Dann gilt: a) (Ass ) (A B) C = A (B C), b) (Distr 1) (A + Ã)B = AB + ÃB, c) (Distr 2) A(B + B) = AB + A B, d) (I n, I m ) I n A = AI m = A, e) (r A)B = r(ab) = A(rB). Beweis: a) Sei D = [d ij ] = (A B) C, D = [ d ij ] = A (B C). Es gilt ( s m ) s m d ij = a ik b kl c lj = (a ik b kl ) c lj = l=1 k=1 l=1 k=1! Distributivität in R ) s m m a ik (b kl c lj ) = b kl c lj l=1 k=1 k=1 a ik ( s l=1 = d ij. b)-e) Übung!

7 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T.

8 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ ],

9 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ ], A T =

10 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ A = ], A T = ,.

11 Transponierte Matrix Sei A = [a ij ] R n,m. Dann heißt die Matrix B = [b ij ] R m,n mit b ij = a ji, i = 1,..., m, j = 1,..., n, transponierte Matrix zu A. Wir schreiben B = A T. Beispiele: A = [ A = ], A T = , A T = A..

12 Eigenschaften der Transponierten Lemma. Seien A, Ã Rn,m, B R m,s, r R. Dann gilt a) (A + Ã) T = A T + Ã T, b) (ra) T = ra T, c) (AB) T = B T A T, d) (A T ) T = A.

13 Eigenschaften der Transponierten Lemma. Seien A, Ã Rn,m, B R m,s, r R. Dann gilt a) (A + Ã) T = A T + Ã T, b) (ra) T = ra T, c) (AB) T = B T A T, d) (A T ) T = A. Beweis. a), b), d) sind offensichtlich. c) Sei A B = C = [c ij ] mit c ij = m C T = [c ij ]. Es gilt k=1 a ik b kj und A T = [a ij ], BT = [b ij ], c ij = c ji = m a jk b ki = k=1 m a kj b ik = k=1 m b ik a kj. k=1 und damit C T = B T A T.

14 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T.

15 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1.

16 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist.

17 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist.

18 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist. e) A heißt Permutationsmatrix, falls in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag 1 ist und alle anderen Einträge 0 sind.

19 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist. e) A heißt Permutationsmatrix, falls in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag 1 ist und alle anderen Einträge 0 sind. Beispiele: [ ], [ ], [ ].

20 Invertierbarkeit von Matrizen Definition Eine Matrix A R n,n heißt invertierbar, wenn es ein à R n,n gibt mit ÃA(= AÃ) = I n. Man schreibt dann à = A 1, und nennt à die inverse Matrix zu A.

21 Invertierbarkeit von Matrizen Definition Eine Matrix A R n,n heißt invertierbar, wenn es ein à R n,n gibt mit ÃA(= AÃ) = I n. Man schreibt dann à = A 1, und nennt à die inverse Matrix zu A. Beachte, obwohl die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist vertauscht eine invertierbare Matrix A R n,n mit ihrer Inversen!

22 Invertierbarkeit von Matrizen Definition Eine Matrix A R n,n heißt invertierbar, wenn es ein à R n,n gibt mit ÃA(= AÃ) = I n. Man schreibt dann à = A 1, und nennt à die inverse Matrix zu A. Beachte, obwohl die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist vertauscht eine invertierbare Matrix A R n,n mit ihrer Inversen! Lemma Seien A, B R n,n invertierbar. Dann ist AB invertierbar und es gilt (AB) 1 = B 1 A 1.

23 Invertierbarkeit von Matrizen Definition Eine Matrix A R n,n heißt invertierbar, wenn es ein à R n,n gibt mit ÃA(= AÃ) = I n. Man schreibt dann à = A 1, und nennt à die inverse Matrix zu A. Beachte, obwohl die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist vertauscht eine invertierbare Matrix A R n,n mit ihrer Inversen! Lemma Seien A, B R n,n invertierbar. Dann ist AB invertierbar und es gilt (AB) 1 = B 1 A 1. Beweis: Es gilt (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n, (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 I n B = B 1 B = I n und damit folgt die Behauptung.

24 Die Gruppe GL n Frage: ist jede quadratische Matrix invertierbar?

25 Die Gruppe GL n Frage: ist jede quadratische Matrix invertierbar? Gar nicht. Beispiele: [ ] [ ] [ ] ,,

26 Die Gruppe GL n Frage: ist jede quadratische Matrix invertierbar? Gar nicht. Beispiele: [ ] [ ] [ ] ,, Theorem Die Menge der invertierbaren Matrizen in R n,n ist bezüglich der Matrizenmultiplikation eine (nicht kommutative) Gruppe. Wir bezeichnen diese Menge mit GL n (R) (General Linear group). Beweis: Die Assoziativität und die Abgeschlossenheit dieser Menge (unter Multiplikation) haben wir bereits gezeigt. Das Einselement ist durch die Einheitsmatrix I n gegeben und die Existenz von multiplikativen Inversen gilt per Definition.