Erforschung aktueller Quellen von Zufallszahlen

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1 Erforschung aktueller Quellen von Zufallszahlen Projektarbeit verfasst von Carole Bréda Matrikelnummer: Betreuer: Dipl. Math. Daniel Mohr Betreuerin: Dipl. Math. Nina Ovcharova Institut für Mathematik und Rechneranwendung Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Prof. Dr. sc. math. habil. Joachim Gwinner 4. Mai

2 INHALTSVERZEICHNIS 1. EINLEITUNG 2 2. DIE PROBLEMSTELLUNG DIE DREI SOFTWARES FÜR DIE ANALYSE: MS-EXCEL, MATLAB UND LINUX-KERNEL DIE ALGORITHMEN UNSERER QUELLEN 3 3. DIE UNTERSUCHUNG DER QUELLEN NIST TESTS EINE DEFINITION DER ZUFALLSZAHLEN UND DIE PRNG Echte Zufallszahlen Pseudozufallszahlen DIE NIST PROGRAMM DURCHFÜHRUNG Erstes Problem des zweiten Schrittes: Datei zu speichern und die Speichergrenze von MS-Excel Zweites Problem mit den Tests: Darstellung der reellen Zahlen und Entropieverlust DIE AUSLEGUNG DER ERGEBNISSE VON NIST TESTS Beschreibung von NIST statischen Tests und Bilanz 1 mit Pvalue Statistischen Tests von NIST Tests und Bilanz 2 mit Proportion DIE WEITERFÜHRUNG DER FORSCHUNG UND DIE AUSBLICKE MS-EXCEL DATEN SPEICHERN MERSENNE TWISTER UND AS 183 TESTEN PHYSIKALISCHE QUELLE TESTEN GENERATOREN FÜR DIE AUSWERTUNG VON PVALUE ANDERES TEST PROGRAMM ALS NIST TESTS SCHLUSS ANHANG LITERATUR BESCHRIFTUNG 18 1

3 1. EINLEITUNG Es gibt manchmal keine anderen Erklärungen als den Zufall für die Experimente, die Ingenieure durchführen. Zum Beispiel kann der Vorgang von Turbulenz an einer Grenzschicht durch Zufallsphänomene beschrieben werden. Die Wärmebewegung von Teilchen in Flüssigkeiten und Gasen wird im Jahr 1827 von Robert Brown als eine Zufallsbewegung bezeichnet. Die Simulationen solcher physikalischer Ereignisse benutzen Zufallszahlen. Auch in der Musik findet manchmal das Prinzip des Zufalls Anwendung, im Jahre 1952 komponierte John Cage 4 33, dieses Musikstück gehört zu der Fluxusbewegung, die auf Zufallsoperationen basiert. Samuel Beckett, irischer Schriftsteller, hat in seinem Wert Lessness 1 ebenfalls den Zufall gebraucht. Für Flugsimulationen sind Zufallszahlen ebenso notwendig, um eine zufällige Umgebung für den Piloten zu schaffen. Der Zufallszahlengenerator muss äußerst zuverlässig sein und einen möglichst idealen Zufall simulieren, daher sollte die Auswahl eines Zufallsgenerators gut durchdacht sein. Donald E Knuth schreibt: Random number generators should not be chosen at random, in seinem Buch The Art of Computer Programming 2. MATLAB und Microsoft Excel sind die unerlässlichen Werkzeuge für heutige Ingenieure. Unsere Voraussetzung ist, dass Linux-Kernel einen effizienten Zufallsgenerator hat. Es werden 15 Tests vom NIST in dem Artikel A Statistical Test Suite for Random and Pseudorandom Number Generators for Cryptographic Applications (Andrew Rukhin, 2010) durchgeführt, um Zufallsgeneratoren zu analysieren. Zunächst versuchen wir eine Definition der Zufallszahlen zu finden und dann untersuchen wir, wie sie erzeugt werden. Unsere drei Quellen, MS-Excel, MATLAB und Linux-Kernel, werden danach mit NIST Tests getestet. Wir werden am Ende andere Alternativen vorlegen, um diese Quellen zu untersuchen. 1 Mads Haahr und Elizabeth Drew, Possible Lessnesses, (Username: samuel und Password: beckett), 2000, Trinity College, Dublin 2 Donald E Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 2, Seminumerical algorithms,

4 2. DIE PROBLEMSTELLUNG 2.1 DIE DREI SOFTWARES FÜR DIE ANALYSE: MS-EXCEL, MATLAB UND LINUX-KERNEL Das Ziel ist es, die pseudozufälligen Folgen von verschiedenen Quellen zu untersuchen. Tabelle 1: Die drei Quellen für das Projekt Quelle MS- Excel 2010 Befehle ZUFALLSZAHL() ZUFALLSBEREICH(0,n) Ergebnis Eine Zufallszahl zwischen 0 und 1 Eine Zufallszahl zwischen 0 und n Quelle MATLAB- Klasse: Randstream Befehle rand(n) randi(n) Ergebnis Eine m-matrix von Zufallszahlen zwischen 0 und 1 Eine Zufallszahl liegt im Intervalle [1,n] Quelle Befehl Ergebnis Linux-Kernel /dev/urandom Eine Datei, in der Benutzer Zufallszahlen lesen kann In Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden. sind die drei Quellen für das rojekt dargestellt. Diese werden in Kapitel näher erklärt. Siehe für eine Beschreibung von /dev/urandom. 2.2 DIE ALGORITHMEN UNSERER QUELLEN Diese drei Quellen sollen verglichen werden. Sie benutzen verschiedenen Algorithmen um die Zufallszahlen zu erstellen. Für den Befehle rand von MATLAB wird der Algorithmus Mersenne Twister (Nishimura) angewendet. Excel benutzt Algorithm AS183 (Microsoft Hilfe und Support). Der Yarrow Algorithmus (Schneier) wird unter anderem in FreeBSD für /dev/random benutzt. 3. DIE UNTERSUCHUNG DER QUELLEN Wir möchten die Qualität dieser Pseudozufallszahlen überprüfen. Diese ist jedoch abhängig von der Anwendung. Der Zweck unserer Quellen ist es oft, eine Simulation durchzuführen. Die Eigenschaften, die pseudozufälligen Folgen haben müssen, unterscheiden sich je nach Anwendung. 3.1 NIST TESTS NIST Tests werden schon unter einem Programm geschrieben und sie werden benutzt, um die genannten Quellen zu untersuchen 3. Es werden 15 Tests durchgeführt, bei denen jeweils die folgenden verschiedenen Merkmale der zufälligen Folgen überprüft werden: 3 Siehe : die Seiten von dem NIST Artikel A Statistical Test Suite for Random and Pseudorandom Number Generators for Cryptographic Applications für eine Beschreibung der Tests 3

5 - Gleichverteilung (Frequency und Block Frequency Tests) - Lineare Unabhängigkeit (Rank Test) - Unvorhersehbarkeit (FFT, Non Overlapping Template und Overlapping Template Tests) - Gleichmäßigkeit (Runs, Longest Runs und Serial Tests) - Inkompressibilität (Universal Test) - Hohe Entropie (Linear Complexity, Approximate Entropy Tests). Die Entropie ist ein Maß der Informationsdichte. Sie misst die Komplexität von der Dynamik der Folge. Drei andere Tests (Cumulative Sums, Random Excursions, Random Excursions Variant) betreffen die praktische Anwendung der Zufallszahlen. Sie testen die Sequenzen mit einem random walk, oder Zufallsbewegung. Tabelle 2: Die Tests und ihre Merkmale Eigenschaften zu haben Defekt zu ermitteln 15 Tests Gleichverteilung zu vielmal null oder eins? Frequency Unabhängigkeit Unvorhersagbarkeit zu schnelle oder zu langsame Schwankung von null oder eins? (Sequenzielle Abhängigkeit) Ablenkungen aus erwarteten rank Distribution? (Lineare Unabhängigkeit) wiederholende Bitmuster? (Periodische Abhängigkeit) Block Frequency Runs Longest Runs Rank FFT Gleichmäßigkeit Inkompressibilität/ Komplexität aperiodische Häufigkeit von Standardtemplate? wiederholender Randomwalk? Ungleichmäßigkeit in der Distribution für m Bits Sequenzen? linear feedback shift register zu kurz? Non Overlapping Template Overlapping Template Cumulative Sums Random Excursions Random Excursions Variant Serial Universal Linear Complexity Approximate Entropy In Tabelle 2 sind die verschiedenen Tests und ihre Merkmale dargestellt. In Kapitel 3.3 ist ein Schaubild des NIST Programmes zu sehen. 3.2 EINE DEFINITION DER ZUFALLSZAHLEN UND DIE PRNG Bevor wir die Zufallszahlen testen können, müssen wir eine Definition der Zufallszahlen vornehmen. Hier wird die Komplexität dieser Definition sichtbar. Excel und MATLAB können die Unterscheidung zwischen echten Zufallszahlen und Pseudozufallszahlen nicht erfüllen. Sie können double oder integer Darstellung Zahlen schaffen. Linux-Kernel kennt zwei verschiedene Befehle aber erzeugt stets binärförmige Zufallszahlen. 4

6 3.2.1 Echte Zufallszahlen Eine Zufallsfolge ist eine Zahlenfolge, die als die unabhängigen Darstellungen oder Realisationen, einer gleichen Zufallsvariable X dargestellt werden kann. Um die Zufallsfolge zu erhalten muss n mal ein gleiches zufälliges Experiment unabhängig voneinander durchgeführt werden. Das Ergebnis ist also unbestimmt und unvorhersehbar. Die nachfolgenden Ergebnisse werden gespeichert und stellen die Zufallsfolge dar. Einige Beispiele sollen dies erläutern. Eine reguläre Münze wird n mal geworfen. gilt 1 oder 0, bzgl. Kopf oder Zahl. Diese Zufallsfolge ist nur aus 0 und 1 zusammengesetzt, daher ist sie binär und gleichverteilt. Die echten Zufallszahlen werden mit Hilfe physikalischer Phänomene erzeugt. Sie sind Elemente einer unendlichen Folge, wobei die Folge folgende Eigenschaften hat: - Folgenelemente aus einer Menge, nicht notwendig bei endlichen Folgen - gegebene Verteilung der Folgenglieder - die bedingte Entropie des i-ten Folgengliedes ist maximal. Zum Beispiel besitzt der Linux-Kernel auch ein RNG 4, /dev/random, wobei die CPU 5 benutzt wird. Um kryptographische Schlüssel wie zum Beispiel: Sprache ssh, https - zu erzeugen, werden echte Zufallszahlen benutzt, da diese eine maximale Sicherheit aufweisen. Die echte Zufallszahl ist der output von RNG. RNG benutzt eine nichtdeterministische Quelle, auch Entropiequelle genannt, um die zufälligen Zahlen zu erzeugen. Ein physikalischer Vorgang ist notwendig. Hierbei werden beispielsweise Impulsschwankungen einer elektronischen Schaltung - z. B. thermisches Rauschen eines Widerstands - oder radioaktive Zerfallsvorgänge ausgenutzt. Die echten Zufallszahlen sind bei Glückspiel oder Kryptographie vorzuziehen. Das Problem von RNG ist seine Effizienz, die nicht so wertend ist. Generell ist viel Zeit erforderlich, um Zufallszahlen zu erzeugen Pseudozufallszahlen Linux-Kernel hat auch einen Befehl /dev/urandom, der Pseudozufallszahlen erzeugt. Diese sind beispielsweise für Monte-Carlo Simulationen nötig. Sie haben statische Eigenschaften ähnlich denen echter Zufallszahlen: gleichmäßige Häufigkeitsverteilung und geringe Korrelation. Nach einem festen reproduzierbaren Verfahren werden sie erzeugt, weswegen sie sich aber vorhersagen lassen. Pseudozufallszahlen sind Folgenelemente aus einer endlichen Folge, wobei sie folgende Eigenschaften haben: - Folgenlänge deutlich größer als Mächtigkeit der endlichen Menge - Gleichverteilung aller Folgenglieder auf jeder nicht zu kleinen Skala - die bedingte Entropie des i-ten Folgengliedes unter den vorhergehenden Folgengliedern ist Nahe der maximalen Entropie skaleninvariant, praktisch unkorreliert. PRNG 6 erzeugt Pseudozufallszahlen, die durch einen deterministischen Algorithmus berechnet werden. Ein Staat (seed) oder eine Ansatzzahl ist für die Initialisierung ist erforderlich und wird mit jedem Start neu erzeugt. Für die Verschlüsslung die Kryptographie muss er geheim bleiben, falls satt RNG ein PRNG benutzt wird. PRNG ist auch periodisch, das heißt, dass die Zufallsfolge sich endlich oft wiederholen muss. Der Zyklus sollte allerdings sehr lang sein. Auf diese Weise kann die Folge zufällig betrachtet werden. 4 Random Number Generator oder Zufallszahlengenerator 5 Central Processing Unit 6 Pseudo Random Numbers Generator 5

7 Zum Schluss des Kapitels haben wir eine Tabelle aufgestellt um die Unterscheidung zwischen echten und Pseudo- Zufallszahlen herauszustellen. Tabelle 3: Vergleich zwischen echte und Pseudo - Zufallszahlen Echte Zufallszahlen Nicht-deterministische Entropiequelle sehr schlechte Effizienz unabhängigen gleichverteilte Pseudozufallszahlen Deterministischer Seed mit sehr schnellen Geschwindigkeit Realisationen Folge Algorithmus der Zufallsgenerator Effizienz der Algorithmus Unvorhersehbar Periodisch Ergebnisse aus Zufallsgenerator Glückspiel Simulation Anwendungen Kryptographie /dev/random /dev/urandom Befehle von Linux-Kernel Nach John Von Neumann, einem österreichisch - ungarischen Mathematiker: Any on who considers arithmetical methods of producing random digits is of course in a state of sin, aus Various techniques used in connection with random digits in Monte Carlo Method, Es ist schwer zu begreifen, wie ein Computer durch einen Algorithmus Zufallszahlen erzeugen kann. 3.3 DIE NIST PROGRAMM DURCHFÜHRUNG Abbildung 1: NIST Programme, ein globales Schaubild 6

8 Der Benutzer des Programms kann diese Parameter wählen. Wir mussten auf diese Auswahl achten. Fünf Schritte um Programm durchzuführen: 7 1) Generatoren DES 8, von ANSI X9.17, oder FIPS 186, bezogen auf SHA 9, auswählen. Wir haben die Standardauswahl zunächst nicht geändert. 2) Sequenzen aus Daten testen, aus MS-Excel, MATLAB oder Linux-Kernel für uns. IN Kapitel befindet sich eine Erklärung für m und n. 3) 15 NIST Tests ausführen. Das Vorgehen des NIST Programmes und seine Struktur ist im Anhang A (siehe Kapitel 6) beschrieben. 4) Pvalue ausführen. In Kapitel 4 befindet sich eine Definition der Pvalue. 5) Das Signifikanzniveau muss gleichzeitlich gewählt werden. Das Signifikanzniveau bestimmt, ob die Tests bestanden sind, falls die Pvalue größer als das Signifikanzniveau ist. Wir haben zunächst nicht die Standardauswahl für das Signifikanzniveau von 0,01 geändert Erstes Problem des zweiten Schrittes: Datei zu speichern und die Speichergrenze von MS-Excel Zunächst müssen die Daten von unserer Quelle vorbereitet werden, damit NIST Tests sie lesen können. Wir haben die Daten im.csv Format von Excel gespeichert. MATLAB Daten werden im.txt Format gespeichert. Auf diese Weise kann das NIST Programm die Daten als ASCI-Code auffassen. Linux liefert geradewegs binäre Daten 10. NIST testet m Sequenzen von n Bits der Daten. Die Zahl n.m stellt die Anzahl unserer Daten dar. Für uns ist n = die Anzahl, die NIST empfohlen hat und m =, um eine große Zahlenfolge zu testen, sogenannt bit stream oder Datenblöcke sind beispielsweise Bits notwendig. Wir brauchen folglich Bits, damit diese Tests zuverlässig sind. Aus dem gleichen Grund mussten ganzzahlige 32-Bit-Zufallszahlen erstellt werden. Wir hätten auch ganzzahlige n-bit-zufallszahlen mit n 32 erschaffen können, dann wären aber nur n zufällige Bits entstanden. Um möglichst viele Bits gleichzeitig zu erhalten, haben wir das größte n gewählt. Wir wissen nicht genau, ob MS-Excel mehr als n=32 wirklich verarbeiten kann. Wir sind also auf der sicheren Seite, wenn wir in Excel mit 32-Bit-Zahlen arbeiten. Wir haben MATLAB unterstellt, dass es nur 32 Bits vom Random-Stream verwendet, somit konnten wir hier nicht mehr als 32 zufällige Bits verwenden. Daher haben wir hier mit ganzzahlige 32-Bit-Zufallszahlen gearbeitet, um die Daten mit MS-Excel, MATLAB und /dev/urandom von Linux-Kernel zu erstellen. Somit hatten wir auf diese Weise sicher keine Probleme der Existenz. 7 Siehe: die Seite 89 von dem NIST Artikel und die Datei sts-2,1,1,zip auf 8 Data Encryption Standard, siehe die Datei Anlage für den Bericht/Literatur/fipes46-3.pdf auf und fipes186-2.pdf 9 Secure Hash Algorithm, siehe die Anlage für den Bericht/Literatur/fipes186-2;pdf auf 10 Siehe: die Anlage für den Bericht/daten zu schaffen auf 7

9 Mit einer 32 Bits Darstellung wurde hier die Grenze des Prozessors des Computers erreicht, um die Daten mit Excel zu speichern. Die 32 Bit Version von MS-Excel lässt es leider nicht zu, mit großen Datenmengen zu arbeiten. Daher mussten wir uns auf wenige Datenblöcke beschränken. Im Kapitel 4.1 wird ein Ausblick vorgeschlagen, um das Problem zu lösen. Wir haben es also mit Bits versucht und die Daten konnten mit MS-Excel gespeichert werden. Dies resultiert aus einem relativ großen Konfidenzintervall der Proportionen; Proportion wird im Kapitel definiert. Somit bleibt die Aussagekraft vage. Wir haben zu wenige Daten, um eine zuverlässige Aussage über NIST Test zu machen. Mit Bits, ist das Konfidenzintervall zu groß Zweites Problem mit den Tests: Darstellung der reellen Zahlen und Entropieverlust MS-Excel und MATLAB haben bzgl. der Befehle: zufallszahl() und rand() die Tests mit Bezug auf die Entropie mit einer Fließkommazahl nicht bestanden. Es war nicht zu erwarten, dass diese Programme nicht bestehen. Dafür gibt es aber eine Erklärung. Unsere Hypothese war, dass es während der Umwandlung in einen Algorithmus von integer zu double einen Verlust der Entropie gibt. Dieser Algorithmus ändert sich von einem integer i durch die Beziehung: zu einem double mit 32 Bits Darstellung. Um einen Beweis zu finden, haben wir die double-zahlen-folge als Byte-Folge interpretiert und ein Histogramm über die Byte-Wertigkeiten erstellt, was in Abbildung 2 dargestellt ist Siehe: die Anlage für den Bericht/Arbeit von Ergebnisse mit Matlab/Projekt.zip/hypothese auf 8

10 Abbildung 2: Histogramme der Double Darstellung der Zufallszahlen (Excel, Matlab und Hypothese) Man erkennt eine eindeutige Struktur. Dies ist ein Hinweis darauf, dass die Entropie nicht maximal ist. MS-Excel und MATLAB scheinen sich gleich zu verhalten. Tests mit Integer Darstellung haben bestanden, was im Kapitel 3.4 erklärt wird. Wir haben mit 32 Bits Darstellung gearbeitet, damit wir nur anstatt Zahlen (bzw anstatt Zahlen) speichern müssen. 9

11 3.4 DIE AUSLEGUNG DER ERGEBNISSE VON NIST TESTS Beschreibung von NIST statischen Tests und Bilanz 1 mit Pvalue Für die 15 Tests werden m Pvalue herauskommen. Das Vorgehen ist im Anhang A (Kapitel 6) beschrieben. 12 Pvalue ist die Wahrscheinlichkeit der Hypothese gegebene Folge erscheint unter diesen Test als zufällig. Diese ergibt sich aus den verschiedenen statistischen Tests. Die Referenz-Verteilung der statistischen Tests ist die Standard Normal und die chi-square, χ². NIST testet die Daten, welche die Befehle randi( von Linux-Kernel geliefert haben. ) von MATLAB und /dev/urandom Für jeden Test erwarten wir, dass alle Pvalue ähnlich sind, weil jede Folge unserer Daten gleiche Merkmale haben muss. Wir haben also Histogramme von Pvalue für jeden der Tests 13 erstellt. Die Tests mit m= 10 Bits können wir nicht erfassen, siehe Anhang B (Kapitel 6). Die Anfangsanzahl des Pvalue war zu schwach, um eine Gleichverteilung der Häufigkeit von Pvalue zu beobachten. Wir haben danach mit m= Bits gearbeitet. Abbildung 3: Histogramme der Pvalue für jeden der 15 verschiedenen Tests mit m= und die Daten aus MATLAB 12 Pvalue von dem Test Frequency mit MATLAB, zum Beispiel, sind zugänglich auf in der Datei: Anlage für den Bericht/Analyse von NIST/ AlgorithmTesting_1000bits_matlab.zip/sts-2.1/experiment/AlgorithmTesting/Frequency/results.txt. 13 Siehe: die Datei Anlage für den Bericht/Arbeit von Ergebnisse mit Matlab/Projekt.zip/pvalue auf 10

12 Abbildung 4: Histogramme der Pvalue für jeden der 15 verschiedenen Tests mit m= /dev/urandom aus Linux- Kernel und die Daten aus Für die Tests Random Excursions und Random Excursions Variant klar sein, dass diese Tests praktische Anwendung der Zufallszahlen analysieren. Sie testen die Sequenzen mit einer Zufallsbewegung. Es könnte die Anfangserklärung für die Form der Histogramme sein Statistische Tests von NIST Tests und Bilanz 2 mit Proportion NIST Tests geben auch einen Wert Proportion für jeden Test in der Datei finalanalysis.txt aus. 14 Für die m geprüften Folgen ist eine bestimmte Anzahl von Pvalue größer als das Signifikanzniveau, das heißt, dass diese Tests für diese Folge bestanden haben. Die Proportion ist das Verhältnis der Anzahl von Pvalue zur Anzahl der geprüften Folgen m. Wenn m gleich ist und 800 Pvalue größer als 0,01 sind, ist das Standardsignifikanzniveau, die Proportion gleich. Eine Sequenz hat diese 15 Tests bestanden, wenn alle Proportion für jeden Test im Konfidenzintervall unter einem Signifikanzniveau α liegen. 15 Das Konfidenzintervall ist bestimmbar durch: Die unterbrochene Linien in Abbildung 5 und Abbildung 6 bilden das jeweilige Konfidenzintervall ab. 14 Siehe: die Anlage für den Bericht/Analyse von NIST/ AlgorithmTesting_1000bits_urandom.zip und AlgorithmTesting_1000bits_matlab.zip auf 15 Siehe: Seite 90 vom NIST Artikel 11

13 Abbildung 5: Proportion von Folge für m= 10, die Tests bestanden haben. Abbildung 6: Proportion von Folge für m=, die Tests bestanden haben. Für jeden Test erwarten wir, dass jede Proportion im Konfidenzintervall eingeschlossen ist. Für m=10 ist MATLAB durchgefallen. Die Proportionen der Tests 2, 4 und 15 liegen nicht im Konfidenzintervall. MATLAB ist also nicht zuverlässig, was überraschend ist. Jedoch sind alle Proportionen mit m=, im Konfidenzintervall eingeschlossen. MATLAB hat bei allen Tests bestanden. Also sind die Ergebnisse mit mehreren getesteten Zufallssequenzen wirklich besser. 4. DIE WEITERFÜHRUNG DER FORSCHUNG UND DIE AUSBLICKE 4.1 MS-EXCEL DATEN SPEICHERN Wie bereits erwähnt, werden Bits für unsere Daten benötigt. Diese legt MS-Excel beim Speichern eines Blattes mit Zahlen ab. Wir haben den Befehl, ZUFALLSBEREICH(0, ) angewendet. Die erste Idee war, Zahlen in vier Dateien aufzuteilen. Auf diese Weise ändern wir jedoch das Seed, und wir verdrehen das Konzept des Algorithmus, um die Zufallszahlen zu erzeugen. 12

14 Das richtige Vorgehen wäre mit einem 64-Bit-System mit einer 64-Bit-Version von MS- Excel zu arbeiten. Es ermöglicht größere Datenmengen zu erstellen. Jedoch hatten wir diese Möglichkeit nicht. 4.2 MERSENNE TWISTER UND AS 183 TESTEN Die ursprünglichen Algorithmen, Mersenne Twister (Nishimura, 1998) für MATLAB oder AS 183 (Schneier) für MS- Excel erzeugen jeweils nur eine integer Zufallszahl. Wir haben früher vermutet, dass die Software von MS- Excel oder von MATLAB während der Umwandlung von integer zu double mit einem Algorithmus zufällige Charaktere der den Zahlen verliert. Um unsere Hypothese zu bestätigen wäre es interessant, die ursprünglichen Algorithmen mit NIST Tests zu untersuchen. Wenn unsere Hypothese gültig ist, sind die Tests mit den ursprünglichen Algorithmen besser als die heutigen Tests. 4.3 PHYSIKALISCHE QUELLE TESTEN Bislang haben wir nur Generatoren getestet, die Zufallszahlen mit Algorithmen erzeugen. Es wäre auch interessant, die physikalischen Generatoren zu untersuchen. Diese Generatoren scheinen praxisnäher für die Simulation zu sein. Zum Beispiel verwendet Random.org (Mosurski, 2005) die Schwankungen von der Amplitude des atmosphärischen Rauschens mit einem normalen Radio, um echte Zufallszahlen zu schaffen. Eine andere Idee war auch mit einer Webcam zu arbeiten um echten Zufallszahlen zu erzeugen. Der Zufall stammt aus dem elektronische Rausche, das der Bildsensor produziert. 4.4 GENERATOREN FÜR DIE AUSWERTUNG VON PVALUE NIST Tests benutzen kryptographische Generatoren, DES von ANSI X9.17 und FIPS 186, um Pvalue zu berechnen und um unsere Daten zu testen. Vielleicht hätten wir andere Ergebnisse mit anderen Generatoren für die Auswertung. Wir können auch neue Generatoren in das NIST Programm einsetzen. 4.5 ANDERES TEST PROGRAMM ALS NIST TESTS Für Bemerkung haben wir auch andere Tests gefunden, um Zufallszahlen zu testen. Beispielsweise wurde Diehard Battery of Tests of Randomness (Marsaglia, 1995) 1995 von George Marsaglia programmiert. 13

15 5. SCHLUSS Der Zufall ist ein sehr weitreichendes Thema. Jedoch bleibt selbst nach weitgehender Forschung noch ein unklarer Teil. Viele Leute sind immer noch neugierig, mehr über den Zufall zu erfahren. In der Zukunft sollten die Ausblicke des Kapitels 412 näher untersucht und weitergeführt werden. Unter den gegebenen technischen Bedingungen war eine abschließende Klärung bis zum Schluss nicht möglich. Es kann jedoch mit Sicherheit gesagt werden, dass /dev/urandom des Linux-Kernels alle von uns gewünschten Eigenschaften erfüllt. Mit dieser Quelle gab es keine Probleme und die Leistungsfähigkeit muss somit hervorgehoben werden. Wenn immer möglich, würden wir daher diese Quelle verwenden. Die Aussagen zu Excel können auf Grund der technischen Bedingungen nicht ausreichend bewertet werden. In Kapitel haben wir die Probleme mit den double-zufallszahlen von der MATLAB-Funktion rand() versucht zu erklären, dem gegenüber war die Leistungsfähigkeit des MATLAB Befehls randi() durchaus überzeugend. Das Problem mit rand() könnte auch in der Theorie begründet sein. Die MATLAB - Funktionen ermöglichen allerdings den Seed gezielt zu setzen und somit immer dieselbe Pseudozufallsfolge wiederholt zu verwenden. Dies ist ein großer Vorteil dieser Anwendung. Dadurch wird eine exakte Reproduzierbarkeit ermöglicht. Dies ist besonders in der Test- und Entwicklungsphase ein entscheidender Vorteil. Nach unserer Einschätzung würden wir nach der Test- und Entwicklungsphase im praktischen Einsatz allerdings zur Quelle /dev/urandom des Linux-Kernels wechseln. 14

16 2. Vorgehen des NIST Programms 1. Struktur des NIST Programms 6. ANHANG Anhang A: Struktur und Vorgehen des NIST Programm 15

17 aus MATLAB ausaus Linux- Kernel Anhang B : Histogramme der Pvalue für jeden der 15 verschiedenen Tests mit m= 10 16

18 7. LITERATUR Andrew Rukhin, J. S. (April 2010). A Statistical Test Suite for Random and Pseudorandom Number Generators for Cryptographic Applications. National Institute of Standards and Technology Special Publication. Siehe: die Datei Anlage für den Bericht/NIST.pdf auf Marsaglia, G. (1995). The Marsaglia Random Number CDROM including the Diehard Battery of Tests of Randomness. Abgerufen am März 2011 von Research Sponsored by the National Science Foundation: oder Mosurski, C. K. (2005). Random Number Generators: An Evaluation and Comparison of Random.org and Some Commonly Used Generators. Management Science and Information Systems Studies, Nishimura, M. M. (1998). Mersenne Twister: A 623- dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator. ACM Trans. on Modeling and Computer Simulation, S Siehe: und die Datei Anlage für den Bericht/Ausblicke/ Mersenne_Twister auf Schneier, B. (kein Datum). Yarrow, a secure pseudorandom numbergenerator. Abgerufen am Januar 2011 von Support, M. H. (2008). Beschreibung der Funktion ZUFALLSZAHL in Excel 2007 und Excel Abgerufen am Dezember 2010 von Siehe: für den Code des AS183 Algorithmus 17

19 8. BESCHRIFTUNG Tabelle 1: Die drei Quellen für das Projekt...3 Tabelle 2: Tests und ihre Merkmale...4 Tabelle 3: Vergleich zwischen echte und Pseudo - Zufallszahlen...6 Abbildung 1: NIST Programme, ein globales Schaubild...6 Abbildung 2: Histogramme der Double Darstellung der Zufallszahlen (Excel, Matlab und Hypothese)...9 Abbildung 3: Histogramme der Pvalue für jeden der 15 verschiedenen Tests mit m= und die Daten aus MATLAB...10 Abbildung 4: Histogramme der Pvalue für jeden der 15 verschiedenen Tests mit m= und die Daten aus /dev/urandom aus Linux- Kerne..11 Abbildung 5: Proportion von Folge für m= 10, die Tests bestanden haben Abbildung 6: Proportion von Folge für m=, die Tests bestanden haben...12 Anhang A: Struktur und Vorgehen des NIST Programm aus MATLAB...15 Anhang B : Histogramme der Pvalue für jeden der 15 verschiedenen Tests mit m=