Fourier - Transformation

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1 Fourier - Transformation Kurzversion 2. Sem. Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach Hochschule Pforzheim, Tiefenbronner Str Pforzheim Überblick / Anwendungen / Motivation: Die Fourier-Transformation (FT) dient zur Frequenzanalyse von (Zeit-) Signalen (Signalverarbeitung), der Filterung und der Analyse von Schwingungen. Die FT ist auch die Grundlage bei der Spracherkennung. Bei der FT wird die Fourier-Amplitude über der Frequenz dargestellt, man erhält also Aussagen, welche Frequenz wie stark im Zeitsignal vertreten ist. Der zugehörige Algorithmus (Numerik) wird als Fast Fourier Transformation (FFT) bezeichnet. Zeitsignal Quelle: WIKIPEDIA Frequenzbereich mittels FT Zum Ausprobieren: GOOGLE PLAY: SimpleFFT, bs-spectrum, MS EXCEL Empfohlene Literatur: - Böhme: Analysis 2, Springer - Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln - Papula : Mathematik für Ing. und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg (nur Fourier-Reihe!) - Burg et al. : Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III, Teubner - Tilman Butz: Fourier-Transformation für Fußgänger, Teubner Blankenbach / SS2013 /

2 Idealisiertes Beispiel aus der Musik Fourier-Analyse von Musikinstrumenten Wie kann man Musikinstrumente unterscheiden, wenn alle dieselbe Frequenz (hier f o, z.b: 440 Hz) spielen? Da das bekanntlich möglich ist, müssen die Instrumente noch weitere Frequenzen aussenden, hier Oberwellen mit typischerweise Vielfachen der Grundfrequenz f o. rel. Lautstärke Trompete rel. Lautstärke Horn f o 2f o 3f o 4f o 5f o Frequenz f o 2f o 3f o 4f o 5f o Frequenz rel. Lautstärke Oboe rel. Lautstärke Clarinette f o 2f o 3f o 4f o 5f o Frequenz f o 2f o 3f o 4f o 5f o Frequenz Die Intensitäten (hier rel. Lautstärke, von der Mathe her Fourier-Amplitude) der Schwingungsfrequenzen untereinander sind charakteristisch für das jeweilige Musikinstrument Die Abbildungen der FT-Spektren sind idealisierte Betrachtung. Bei echter Messung im Zeitbereich und Fourier-Transformation verbreitern sich diese Peaks. Blankenbach / SS2013 /

3 Grundlegende Idee der Fourier-Transformation Bekannt: Numerische Approximation von Funktionen durch Reihen (z.b. Polynom): - e x 1 + x + x² + - sinx x + 1/6 x³ + Das Bespiel sin zeigt aber, dass diese Approximation für periodische Funktionen eher ungeeignet ist. Daher der Ansatz von Fourier, periodische Funktionen mit den periodischen Funktionen Sinus und Cosinus zu entwickeln: k 1 Fourier-Reihe: f (t) a a coskt b sinkt o k k k ist hier der Frequenzfaktor von (= 2 f). Es treten also nur ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz auf. Beispiel: Sägezahlfunktion (hier tritt nur Sinus auf, Plot nächste Folie): (f t) hier : 1 k k1 2 ( 1) sin( 1 k rel.amplitude Die Amplitude bei den jeweiligen Frequenzen k stellen eine Hyperbel (y = 1/x) dar kt) Explizite Beschreibung der ersten Glieder der Fourier-Reihe: k Amplitude /3 f(t) 2 sint - sin2t + 2/3 sin3t Hier: = 1 (s.o.) Grundfrequenz 1. harmonische 2. harmonische (Bedeutung) des Sägezahns Oberwelle Oberwelle Somit wird also die Sägezahnfunktion sukzessive durch Sinus mit steigender Frequenz approximiert (Numerik). Zum Ausprobieren: App Fourier Reihe (http://www.falstad.com/fourier/) Blankenbach / SS2013 /

4 Fourier-Darstellung Sägezahn y 4 Sägezahn (nicht maßstäblich) bis k=1 bis k=2 bis k= t Nullstellen-Versatz durch EXCEL-Schrittweite b k Fourier - Koeffizienten Sägezahn (Spektrum) 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, Liniendiagramm, da einzelne diskrete 'x-werte', hier k k Die b k s fallen relativ langsam, da die Spitzen des Sägezahnes nachgebildet werden müssen. Für k = 0 ist b k = 0; dies ist technisch dadurch erklärbar, dass das Sägezahn-Signal keinen Gleichspannungs-Anteil enthält. Die Fourier-Reihe liefert für mathematisch bekannte Funktionen die Reihenentwicklung nach Sinus und Cosinus. Dieses Verfahren klappt aber nicht bei messtechnisch erfassten Signalen, da ja hier nur AD-Werte und keine Funktion vorliegen. Deshalb kommt in der Praxis die Fourier-Transformation zum Einsatz! Blankenbach / SS2013 /

5 Fourier Transformation Idee : Analyse eines Zeitsignals im Frequenzbereich (Spektrum) Bezeichnung: f(t) F() komplexe Darstellung (e jt = cost jsint) Definition der Integrale Transformation vom Zeit- in den Frequenzbereich Rück-Transformation vom Frequenz- in den Zeitbereich Fourier- Integral 1 jt jt F( ) f( t) e dt f( t) F( ) e d 2 F() ist Fouriertransformierte von f(t) : Spektraldarstellung im Allgemeinen komplex, d.h. Amplitude + Phase ACHTUNG: - Nie = 2 / T verwenden, ist hier Variable. - Vereinfachung für reelle gerade bzw. ungerade Funktionen f(t): siehe Eigenschaften der FT #9 Aufsplittung von F() in Real- und Imaginärteil e -jt = cost - jsint (Euler): F( ) jt f ( t) e dt f ( t) cos( t) dt j f ( t) sin( t) dt F( ) R( ) j I( ) F( ) R²( ) I ²( ) : Betrag ( ) I R ( ) ( ) : Phase A() = F() : Amplitudenspektrum : Praxis! Blankenbach / SS2013 /

6 In der Praxis: Fertiger Algorithmus z.b. Butterfly (wird hier nicht beschrieben, da meist fertig implementiert) für 2 n Messstellen ( 512, 1024,..). Blankenbach / SS2013 /

7 Weitergehende Aspekte FT eines Rechteck-Pulses: sinx/x FT eines Rechteckpulses: F() ~ sinx/x Darstellung oft als Betrag sinx/x 1. Nebenmaximum (Sidelobe) Ableitung (sinx/x) = 0 (Maximum) bei = 3 / T mit 5% des Maximums bei Null (DC-Anteil) In der Technik oft als Betragsspektrum F() ² mit Skalierung in Dezibel db = 10 log 10 (x) für Spannung etc. mit log (1) = 0 (f = / 2) Ort. 1. Sidelobe 9/T über Ableitung (Steigung Null): Einsetzen: F() ² = A² T² sin²(t/2) / (T/2)² mit = 9/T F() ² = T² sin²(9/2) / (9/2)² 0,05 T² wobei für = 0 : F() ² = T² 1. Sidelobe ca. 5% des Maximums 10 log 10 (0,05) = -13 db Leistung: db = 20 log 10 (x) : Halbe Leistung: -3 db = 20 log(0,5) Blankenbach / SS2013 /

8 Beispiele Rechteck-Signale vs. Optik (Beugung) Blankenbach / SS2013 /

9 Tabelle Fourier-Transformierte (aus Föllinger, HÜTHIG) Vergleiche Rechteckimpuls und sinx/x (Si) Blankenbach / SS2013 /

10 Blankenbach / SS2013 /

11 Blankenbach / SS2013 /

12 Java-App zur Fourier-Trafo: Blankenbach / SS2013 /

13 Fourier-Transformierte und Fensterfunktionen Vorgehensweise: Erfassung (z.b. Oszi) und Multiplikation im Zeitbereich mit Fensterfunktion Fensterfunktionen dämpfen die Nebenzipfel (Frequenz im Original nicht vorhanden!) zu Lasten der Amplitude des Hauptmaximums ( Grund ist ja endliche Messzeit) Blankenbach / SS2013 /

14 Weitere Fensterfunktionen (aus Butz: FT für Fußgänger, Teubner) Blankenbach / SS2013 /

15 Frequenz Auflösung verschiedener Fensterfunktionen (aus Butz: FT für Fußgänger, Teubner) Gegeben ist folgende Funktion: f(t) = cos(t) cos(1,15 t) cos(1,25 t) cos(2 t) cos(2,75 t) cos(3t) Frequenz 1 1,15 1,25 2 2,75 3 Amplitude Frage: Mit welcher Fensterfunktion wird das Signal mit benachbarten Frequenzen und teilweise geringen Amplituden aufgelöst? Blankenbach / SS2013 /

16 Fourier-Fenster-Funktion: Rechteck Spaltfunktion (Zoom, s.u.) Verbreiterung des 10 Hz-Peaks F (Amplitudenspektrum) 1,2 Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung fo = 10 Hz, Meßdauer 1s : 10 gemessene Schwingungen 1 0,8 0,6 0,4 0, f /Hz F (Amplitudenspektrum) Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung fo = 10 Hz, Meßdauer 10s : 100 gemessene Schwingungen f /Hz Nebenzipfeldämpfung durch mehr Perioden (längere Messzeit), aber Gefahr der Unterabtastung (zu wenig Zeit-Messwerte pro Periode). Blankenbach / SS2013 /

17 Beispiel: Fourier-Transformation eines RLC-Schwingkreis mit schwacher Dämpfung Amplitude Gedämpfte Schwingungen 1 Einhüllende 0, Zeit -0,5-1 schw ach gedämpft Kriechfall Aperiodischer Grenzfall rel. Amplitude 10 FT gedämpfte Schwingung 8 6 A (d= 0,1) A (d = 0,25) A (d = 1) ,5 1 1,5 2 2,5 rel. Frequenz (w/w s ) Blankenbach / SS2013 /

18 Übungsaufgaben Fourier-Transformation 1. Berechne Fouriertransformierte eines Dreieckimpulses und skizziere das Ergebnis f(t) A - 0 Tmess/2 t Lösung: 8A T m (F ) sin² T ² 2 m 2. Berechne die FT des doppelten Rechteckpuls und skizziere das Ergebnis f(t) 1-3 T -T 0 T 3T t Lösung: F( ) 4 sint cos2 T 3. Führen Sie die Fourier-Transformation für sin(628 t) mit MS EXCEL sowie MATLAB durch. Weitere Aufgaben siehe Altklausuren. Blankenbach / SS2013 /

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