1.3 Fehlerbetrachtung, Kalibrierung Genauigkeit und Statistische Beschreibung und Analyse von Messungen. Genauigkeit

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1 .3 Fehlerbetrachtg, Kalbrerg.3. Geagket d Stattche Bechrebg d Aale vo Mege Wederholg vo ezele Mege Ergeb eer Meg t ledglch Schätzwert für de wahre Wert eer Megröße 8 Ergeb der Meg Meabwechg (Fehler) ε: Dfferez zwche Mewert d wahrem Wert: ε Me Wahr Zele: Mmerg der Meabwechg (Ucherhet) Abchätzg der Meabwechg (Ucherhet) Sgal Otpt S 6 4 Stematcher Fehler (Ba) Wahrer Wert (Referezwert) } Zfällger Fehler Abchätzg der Mecherhet t Voraetzg für Etchedge, de af Mewerte berhe olle Mearemet Meg Geagket 3 Geagket 4 Geagket: Rchtgket d Präzo Rchtgket Amaß der Aäherg de Erwartgwerte de Ermttlgergebe a de Bezgwert (wahre Wert) Stematche Fehler (Meabwechge) Präzo Amaß der gegeetge Aäherg voeader abhägger Ermttlgergebe be mehrfacher Awedg ee fetgelegte Ermttlgverfahre ter vorgegebee Bedgge Zfällge Fehler Gte Rchtgket Gte Präzo Schlechte Rchtgket Gte Präzo Möglche Verbeerg: Kalbrerg Gte Rchtgket Schlechte Rchtgket Schlechte Präzo Schlechte Präzo Möglche Verbeerg: Mttelg

2 Dartellg vo Mege eem Htogramm 5 Dartellg vo Mege eem Htogramm 6 Freqec Häfgket 5 Zfällge Fehler: Mege tree m Mttelwert Wahrer (Referez) Wert ref (m Allgemee bekat) Stematcher Fehler X Mttelwert: Ergeb der Meg Größe zr Bechrebg eer Vertelg Poto: Mttelwert : Azahl der Mege : Ergeb der Meg (Zfallgröße) : Mttelwert Meda Be eer ach Größe orterte Folge vo Mewerte ( geordete Stchprobe ) t der Meda der Wert, der der Mtte legt (be eer gerade Azahl vo Mewerte da arthmetche Mttel der bede mttlere Werte). Modalwert, Mod Der häfgte Wert eer Häfgketvertelg 7 Größe zr Bechrebg eer Vertelg (II) Stregmaße Spawete: Dfferez zwche dem größte (Mamm) d dem klete Wert (Mmm) Varaz, Stadardabwechg ( ) Varaz eer Grdgeamthet: Stadardabwechg der Grdgeamthet: We vo Stchprobe (Mege) af Grdgeamthet gechloe werde oll: ( ) Varaz (emprche): ( ) Stadardabwechg (emprche): 8

3 Dartellg vo Mege eem Htogramm (II) 9 De Normalvertelg Freqec Häfgket 5 Wahrer (Referez) Wert (m Allgemee bekat) Stematcher Fehler ref Stadardabwechg (Maß für zfällge Fehler) ( ) X Mttelwert: Ergeb der Meg Vele Ergebe vo Epermete köe drch Glockekrve bechrebe werde N, Brete der Klae : Htogramm Wahrchelchketvertelg Wahrchelchketdchte Gaß- oder Normalvertelg (Wahrchelchketdchte) p ( µ ), ( µ, ) e π µ : Mttelwert : Stadardabwechg Normalvertelg De Normal- Vertelg Adere Wahrchelchketvertelge: Bomalvertelg Poovertelg Glechmäßge Vertelg Normal/Ga Vertelg legt am häfgte vor Grüde: Zetraler Grezwertatz: De (ormerte) Smme eer große Zahl vo abhägge, detch vertelte Zfallvarable t aäherd (tadard)ormalvertelt. Normalvertelg t Näherg der Bomalvertelg für große N (d p -q.5)

4 De Normalvertelg 3 Abwechge 4 Be Zfallvarable (Meg), de der Normalvertelg folgt: Wahrchelchket t drch Itegral über Wahrchelchketdchte gegebe: µ µ (, µ, ) P( µ µ ) p d. 683 µ µ (, µ, ) P( µ µ ) p d.954 Probablt Det Varable X Bezechg Wahrchelcher Fehler Stadardabwechg Berech ±.67 ± ± 3 ± 6.5 Wahrchelchket, da Abwechg kleer t Wahrchelchket, da Abwechg größer t µ 3 µ 3 (, µ, ) P( µ 3 µ 3 ) p d.997 Probablt Det Varable X Fehlerfortpflazg 5 Fehlerfortpflazggeetz (I) 6 Fortpflazg der Ucherhet für zfällge Fehler (Abwechge): Meergeb t Fkto mehrerer gemeeer Größe f (,,.. ) Betrachtg eer a zwe (mt Ucherhete behaftete) Megröße berechete Größe : f (, ) Mttelwerte d Abwechge: Afgabe: Abchätzg der Ucherhet der berechete Größe Lögaatz: Betrachtg eer Näherg erter Ordg Voraetzg: Abwechge (Fehler) d korrelert Gaßche Fehlerfortpflazggeetz:... z z Talor-Rehe (Totale Dfferetal): f (, ) Abwechg (Sbtrakto de Mttelwert f (, ) ) Glechg ()

5 7 Fehlerfortpflazggeetz (II) Berechg der Varaz vo be Mege:... ) ( : Ergeb der Meg (d Berechg). Eetze vo Glechg (): Größe korrelert 8 Fehlerfortpflazggeetz (III) Berechg der Stadardabwechg: Stadardabwechg de Mttelwert Stadardfehler Emprche Stadardabwechg bechrebt Ucherhet be eer ezele Meg Meergeb wrd drch Berechg de Mttelwert ermttelt Afgabe: Qatfzerg der Ucherhet de Mttelwert, de Stadardfehler Stadardabwechg de Mttelwert Stadardfehler: Herletg (I) Fehlerfortpflazggeetz für Varable.. (Her adere Bezechg tatt,, ) Mttelwert: Betrachtg der Ezelmege,,.. al abhägge Varable mt glecher Stadardabwechg ),.., ( f

6 Stadardabwechg de Mttelwert Stadardfehler: Herletg (II) Awedg de Fehlerfortpflazggeetze Mt (glt für alle ) folgt:... Alo folgt be Varable... (.. ) Stadardabwechg de Mttelwert (Stadardfehler) De Stadardabwechg de Mttelwert (Stadardfehler) a Mege t drch gegebe. ( wrde der Herletg al bezechet, m Verwechelge mt (..) z vermede) Sehr wchtge Ergeb: De Ucherhet eer Meg lät ch drch wederholte Mege verrger (de t e wchtger Grd, warm Mttelwert berechet wrd!) Aber: Verbeerg t drch Wrzelfkto gegebe Verrgerg der Ucherhet m z.b. Faktor erfordert -fache Azahl vo Mege Zet, Kote Ud: Stematche Fehler werde cht verrgert Ablck: Agabe vo Kofdeztervall mt t-faktor (ehe z.b. DIN 39) Fehlerfortpflazg für tematche Fehler 3 Elmerg vo tematche Fehler (Praktch) 4 Awrkg vo tematche Fehler ka drch drekte Eetze de Glechg betrachtet werde Adere Möglchket: Totale Dfferetal Idetfkato vo tematche Fehler: Meg ee Normal Meg der Megröße mt zertfzerter Methode (z.b. zertfzert drch PTB, NIST) Aale de Megerät f (,.. )... Elmerg vo tematche Fehler: Kalbrerg Nachträglche recherche Korrektr

7 Zammefag 5 Volltädge Meergeb 6 Emprche Stadardabwechg: Stadardabwechg der Ezelmeg: ( ) Stadardabwechg de Mttelwert (Stadardfehler): Fehlerfortpflazggeetz für Varable.. f,,.. ) ( : Azahl der Mege : Mewert der Meg : Mttelwert Rdg de Mttelwert af e oder zwe Stelle der Stadardabwechg ( ± ) Abhägg vo der Art der Meg wrd de Stadardabwechg der Ezelmeg getzt oder de Stadardabwechg de Mttelwert Zätzlch: Agabe der Art der Stadardabwechg (z.b. Stadardabwechg de Mttelwert) d der Azahl der Mege Bepel: Meg der Läge l A Mege berecheter Mttelwert: l,534 µm Stadardabwechg de Mttelwert,5783 µm Meergeb: l (,5 ±,5) µm, Mege, Stadardabwechg de Mttelwert.3. Kalbrerg 7 Kalbrerg (Praktch) 8 Kalbrerg Tätgket zr Ermttlg de Zammehag zwche de agegebee Werte ee Megeräte oder eer Meerchtg oder de vo eer Maßverkörperg oder vo eem Referezmateral dargetellte Werte d de zgehörge, drch Normale fetgelegte Werte eer Megröße ter vorgegebee Bedgge Erter Schrtt: Mege vo Normale (bekate Megröße) Zweter Schrtt: Betmmg de Zammehag zwche Megröße X d gemeeem Sgal S, der Kalbrerfkto: S f (X) Ncht z verwechel mt der Echg, de r vo de dafür ztädge Behörde vorgeomme werde darf (z.b. PTB) Drtter Schrtt: Berechg der Skala, der gemeee Größe al Fkto de Sgal S X f(s)

8 Bepel: Kalbrerg Detektor (z.b. Photooatodetektor PID): 9 Berechg der Kalbrerfkto d der Aalefkto 5 3 Bekat: Sgal (Strom I) t leare Fkto der Kozetrato c I / pa 5 Erter Schrtt: Meg vo bekate Probe (Normale) Ergeb: Kozetrato c / ppm Strom I / pa c / ppm Zweter Schrtt: Berechg der Kalbrerfkto I( c ) mc. b Drtter Schrtt: Berechg der Skala (Aalefkto) c( I) I b m Leare Regreo 3 Leare Regreo 3 Mege zr Kalbrerg ethalte Ucherhet Berechg der Kalbrerfkto mt der Methode der klete Qadrate Sgal S Megröße X Aahme: Normal (Megröße) t bekat Sgal S t mt Ucherhet behaftet Zel: Leare Fkto f() fde, de Mege am bete appromert, d.h. Betmmg vo a, b: 8 a b Defto: Redm R für Meg R ( a b ) [ ] Mmerg vo R.. ; R Sgal S Megröße X : Azahl Mege

9 Leare Regreo 33 Leare Regreo 34 Partelle Abletge ( ) [ R ] [( ( a b ) ) ] a a ( [ ] a[ ] b[ ] a ab[ ] b [ ] ) [ ] a b [ ] a [ R ] ( [ ] a[ ] b[ ] a ab[ ] b [ ]) [ ] a[ ] b[ ] b [ ] a b[ ] [ ] a[ ] b[ ] Zwe Glechge für a d b b Abletg be Mmm Abletg be Mmm Leare Glechgtem (a ad b d Varable, [..] d Koeffzete) Berechg vo a d b a [ ][ ] [ ][ ] [ ] [] b [ ] [ ][ ] [ ] [] Polome d adere Learkombatoe vo Fktoe köe aalog zr Appromato egeetzt werde Leare Regreo 35 Korrelato 36 Abwechg der gemeee vo Regreofkto: [ ] R Varaz der Stegg (Fehlerfortpflazg) b [( ) ] Varaz vo a Stadardfehler: : Mttelwert (Ererg: [ ]: Smme) a [ ] [( ) ] [ ] R Um Wertepaare (, ) af ee leare Abhäggket h z terche, ka der Korrelatokoeffzet r berechet werde [ ] [ ][ ] r (Ererg: [ ] Smme über ) [ ] [] [ ] [ ] Werteberech: - r Uabhägge Größe: r Umkehrchl cht möglch: A r folgt ledglch, da ke learer Zammehag beteht Lear abhägge Größe: r ±

10 Korrelato 37 Normale für Kalbrerge 38 r r,85 r,998 r -,998 Aber: Korrelato t cht glech Kaaltät J. G. Webter (Edtor): The Mearemet, Itrmetato, ad Seor Hadbook CRC Pre, 999. Bedetg vo Normale (Stadard) Meprotokoll 4 Ethält alle Iformatoe, de für Betmmg de Mewerte otwedg d d de Fehlerbetrachtg Wederholbarket. Afgabetellg mt Erläterg. Ort, Datm, Uhrzet, Name 3. Bechrebg de Meverfahre 4. Tpebezechg, Seremmer der Prüflge 5. Schaltbld, evtl. Letgführg 6. Meergebe, Tabelle - graphche Dartellg 7. Zammefag, krtche Dko J. G. Webter (Edtor): The Mearemet, Itrmetato, ad Seor Hadbook CRC Pre, 999.

11 Dartellg der Mewerte 4 U (V) 4 3,5 3,5,5 Uf (I) Drch Regreo ermttelte Fkto zr Appromato der Meg We möglch: Fehlerbalke,5 3 I (ma)