1.6 Stabilität von Gleichgewichtslagen

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1 40 Kapitel 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen Schauen wir uns Gradientenvektorfelder noch einmal genauer an. Ist f:d R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion in zwei Variablen, definiert auf einer offenen Teilmenge D R 2, so ist das zugehörige Gradientenvektorfeld f gegeben durch g(x,y) f(x,y) =, wobei g(x,y) = h(x, y) x f(x,y) und h(x,y) = y f(x,y). Betrachten wir jetzt das um 90 Grad gedrehte Vektorfeld F(x,y) = h(x,y). g(x, y) Wenn wir zusätzlich annehmen, dass F keine Nullstellen in D hat, dann sind alle Trajektorien von F eindimensional und schneiden die Gradientenlinien jeweils senkrecht. Genauer handelt es sich gerade um die Zusammenhangskomponenten der Niveaulinien von f. Die Funktion f liefert also eine simultane Zerlegung von D in zwei Scharen von Kurven, die überall aufeinander senkrecht stehen. Die Trajektorien des Vektorfeldes F sind Lösungskurven der sogenannten exakten Differentialgleichung df = gdx+hdy. Dazu mehr in den Übungen. 1.6 Stabilität von Gleichgewichtslagen Hier ist eine Präzisierung der intuitiven Vorstellung von Stabilität einer Gleichgewichtslage Definition Sei Y X 0 eine Gleichgewichtslage der Differentialgleichung Y = F(Y) für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F. Der Punkt X 0 heisst stabil, falls zu jedem ǫ > 0 ein δ > 0 existiert mit X X 0 < δ ϕ(t,x) X 0 < ǫ für alle t > 0, und andernfalls instabil. X 0 heisst Attraktor, falls ein δ > 0 existiert mit lim ϕ(t,x) = X 0 für alle X X 0 < δ. t X 0 heisst asymptotisch stabil, falls X 0 ein stabiler Attraktor ist. Es gibt folgendes Kriterium für Stabilität für lineare Vektorfelder: 1.52 Satz Sei A eine feste n n-matrix mit Eigenwerten λ 1,...,λ n. Wir setzen γ := max{re(λ j ) j = 1,...,n}. Ist γ < 0, so ist der Nullpunkt asymptotisch stabil für das durch A definierte dynamische System. Ist γ > 0, ist der Nullpunkt instabil.

2 1.6. Stabilität von Gleichgewichtslagen 41 Der Vergleich mit den Phasenbildern der ebenen linearen Vektorfelder zeigt, dass hier die intuitiv vorgenommene Einteilung mit der nun gegebenen Definition, sowie mit dem Kriterium für Stabilität übereinstimmt. Allgemeiner gilt folgendes Stabilitätskriterium für stationäre Punkte von stetig differenzierbaren Vektorfeldern (Prinzip der linearisierten Stabilität) Satz Sei F:D R n R n ein stetig differenzierbares Vektorfeld, und sei Y X 0 eine stationäre Lösung der Differentialgleichung Y = F(Y). Bezeichne weiter γ das Maximum der Realteile von Eigenwerten des Differentials DF(X 0 ) von F bei X 0. Entsprechend zu eben gilt: Ist γ < 0, so ist X 0 asymptotisch stabil für das durch F definierte dynamische System. Ist γ > 0, ist X 0 instabil Beispiel Wir betrachten die Differentialgleichung ẋ = x 2 λ (λ R). Die Gleichgewichtspunkte sind die Nullstellen der Funktion f(x) = x 2 λ, nämlich ± λ (falls λ 0). Der Phasenraum ist hier eindimensional, und im Phasenbild für λ > 0 gibt es die zwei Punkte ± λ. Im Komplement dieser beiden Punkte gibt es die drei Bahnen (, λ), ( λ, λ), ( λ, ). Das Differential von f lautet f (x) = 2x, und daher ist γ = ±2 λ. Der Punkt x = λ ist also stabil und der Punkt x = λ instabil. x(1+y) 1.55 Beispiel Das Vektorfeld F(x,y) = (für x,y R) hat zwei x y Nullstellen, nämlich den Nullpunkt und den Punkt p = ( 1, 1). Der entsprechende Fluss hat also zwei Gleichgewichtspunkte. ( Das) Differential des Vektorfeldes an (1+y) x einer Stelle(x,y)lautetDF (x,y) =. In den Gleichgewichtspunkten 1 1 haben wir also: DF (0,0) = und DF ( 1, 1) = Im Nullpunkt haben wir den doppelten Eigenwert 1, der Nullpunkt ist also asymptotisch stabil. Im Punkt p haben wir die Eigenwerte 1 2 (1± 5). Das ist ein positiver und ein negativer Eigenwert. Also ist der Punkt p instabil. Das Prinzip der linearisierten Stabilität lässt sich mithilfe einer Methode von Ljapunov beweisen Satz Sei F ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit Nullstelle X 0 und V C 1 (D,R) mit V(X 0 ) = 0 und V(X) > 0 für alle X X Ist t V(ϕ(t,X)) monoton fallend für alle X D und t 0, so ist X 0 stabil. 2. Ist t V(ϕ(t,X)) sogar streng monoton fallend für alle X X 0 und t 0, so ist X 0 asymptotisch stabil.

3 42 Kapitel 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen Beweis. Wir zeigen nur den ersten Teil. Wählen wir zunächst ǫ > 0 so klein, dass K ǫ (X 0 ) D. Auf dem kompakten Rand der Kugel nimmt die Funktion V ein positives Minimum c 0 > 0 an. Ausserdem ist V(X 0 ) = 0 < c 0. Also kann man δ > 0 finden, so dass V(X) < c 0 für alle X X 0 < δ. Sei jetzt X ein solcher Punkt mit X X 0 < δ. Weil nach Voraussetzung die Funktion V längs der Trajektorien monoton fallend ist, gilt V(ϕ(t,X)) < c 0 für alle t > 0. Die Trajektorie von X kann also die Kugel K ǫ (X 0 ) für positive Zeiten nicht verlassen, denn auf der Schnittstelle mit dem Rand müsste sie sonst einen Wert c 0 annehmen. q.e.d. Wenden wir diesen Satz von Ljapunov nun an, um zumindest in einem Spezialfall das Prinzip der linearisierten Stabilität zu beweisen Folgerung Sei F ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf der offenen Teilmenge D R n mit Nullstelle X 0. Das Differential DF(X 0 ) von F bei X 0 sei diagonalisierbar mit reellen negativen Eigenwerten λ 1,...,λ n. Nach einem linearen Koordinatenwechsel kann man erreichen, dass die Jacobimatrix A von F bei X 0 Diagonalform hat. Wir wählen als Ljapunov-Funktion jetzt V(X) := X X 0 2 für X D und behaupten, dass V längs von Trajektorien von Punkten X X 0, die genügend nahe bei X 0 liegen, streng monoton fallend ist. Nach dem Stabilitätssatz von Ljapunov folgt also, dass X 0 asymptotisch stabil ist. Beweis. Zu zeigen ist, dass t V(ϕ(t,X)) streng monoton fallend ist für X nahe bei X 0. Dies ist nach der Kettenregel gleichbedeutend mit 0 > d V(ϕ(t,X)) = V(ϕ(t,X)),F(ϕ(t,X)) < 0. dt Einerseits ist hier V(X) = 2(X X 0 ).Andererseits liefert diedreigliedentwicklung von F folgende Zerlegung von F in ein lineares Vektorfeld und einen nichtlinearen Störterm: F(X 0 +Y) = AY +R(Y) Y, wobei lim Y 0 R(Y) = 0. Also gilt an der Stelle X 0 +Y = ϕ(t,x) d dt V(ϕ(t,X)) = V(X 0 +Y),F(X 0 +Y) = 2 Y,AY +R(Y) Y. Bezeichnet γ < 0 das Maximum der Eigenwerte von A, so gilt die Abschätzung Y,AY γ Y. Ausserdem ist nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Y,R(Y) Y R(Y). Weil lim Y 0 R(Y) = 0, kann man ein δ > 0 finden, so dass für alle Y < δ gilt: Y R(Y) < 1 2 γ.

4 1.7. Vektorfelder auf Flächen und Eulercharakteristik 43 Zusammen folgt für alle Y < δ : d V(ϕ(t,X)) = 2( Y,AY + Y,R(Y) Y ) < γ Y < 0. dt q.e.d. Hier ist noch ein Anwendungsbeispiel der Ljapunov-Methode, bei dem das Prinzip der linearisierten Stabilität nicht funktioniert: y x Beispiel Das Vektorfeld F(x,y) = x y 3 auf R 2 hat eine Nullstelle im 0 1 Nullpunkt. Die Jacobimatrix im Nullpunkt lautet hier: A = und hat die 1 0 Eigenwerte ±i. In diesem Fall macht das Eigenwertstabilitätskriterium also keine Aussage. Aber mit der Ljapunov-Methode kommt man hier trotzdem zum Ziel. Als Ljapunov-Funktion wählen wir V(x,y) = x 2 + y 2. Die Positivität ist dann sicher gewährleistet. Ausserdem rechnet man nach d dt V(ϕ(t,x,y)) = V(x,y),F(x,y) = 2x( y x3 )+2y(x y 3 ) = 2x 4 2y 4 < 0 für alle (x,y) (0,0). Also ist der Nullpunkt sogar asymptotisch stabil. 1.7 Vektorfelder auf Flächen und Eulercharakteristik Ein stetiges Vektorfeld auf einer Fläche M ist definiert als eine stetige Zuordnung F:M TM mit der Eigenschaft, dass F(p) T p M für alle p M. Jedem Punkt der Fläche wird also auf stetige Art ein Tangentialvektor an dieser Stelle zugeordnet. Überträgt man mithilfe einer Kartenabbildung ein Teilstück der Fläche in eine flache offene Teilmenge von R 2, so kann man mit dem Differential der Kartenabbildung auch das Vektorfeld auf die Karte übertragen. Ist umgekehrt Φ:U V eine bijektive, differenzierbare Abbildung von einer offenen Teilmenge U R 2 auf ein Flächenstück V M, so liefert jedes Vektorfeld F auf U ein Vektorfeld F auf V, nämlich: F(Φ(a)) := DΦ a (F(a)) a U. Ist ein Vektorfeld auf M sogar stetig differenzierbar, dann definiert es auch einen Fluss auf M. Dies ergibt sich sofort aus der Beschreibung in den Karten. Während es zum Beispiel auf dem Torus stetige Vektorfelder gibt, die keine Nullstellen haben, existiert so etwas auf der Kugeloberfläche nicht. Genauer gilt folgendes: 1.59 Satz Jedes stetig differenzierbare Vektorfeld auf S 2 hat mindestens eine Nullstelle. Diese bemerkenswerte Aussage ist bekannt unter dem Namen Igelsatz. Es bedeutet nämlich, dass man einen (kugelförmigen, überall mit Stacheln besetzten)

5 44 Kapitel 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen Igel nicht stetig kämmen kann. Wir werden diesen Satz am Ende des Paragraphen beweisen, treffen aber erst einige Vorbereitungen. Sei zunächst F:D R 2 ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge der Ebene Definition Sei γ:[a, b] D ein stetig differenzierbarer, geschlossener Weg auf D, auf dem keine Nullstellen von F liegen. Unter dem Index von γ bezogen auf F versteht man die orientierte Anzahl Umläufe, die das Vektorfeld F längs γ macht, oder anders gesagt, die Umlaufzahl von F γ um den Nullpunkt in R 2. Wenn wir hier R 2 mit der komplexen Zahlenebene identifizieren, können wir wie in der Funktionentheorie schreiben: index(γ,f) := ν F γ (0) = 1 2πi Hier sind einige wichtige Eigenschaften des Indexes Bemerkung Der Index hängt sowohl von γ als auch von F stetig ab. F γ dz z. Deformiert man den Weg γ, ohne dabei Nullstellen des Vektorfeldes F zu überqueren, dann ändert sich der Index nicht. Deformiert man das Vektorfeld F stetig, ohne dass während der Deformation längs γ Nullstellen entstehen, dann bleibt der Index von γ dabei unverändert. Ist γ der Rand einer Kreisscheibe K r (p) D um eine Nichtnullstelle p, die keine Nullstellen von F enthält, dann ist index(γ,f) = Lemma Ist p eine Nichtnullstelle des Vektorfeldes F, dann kann man F in der Nähe von p stetig in ein konstantes Vektorfeld deformieren, ohne dass dabei unterwegs Nullstellen entstehen. Beweis. Weil das Vektorfeld F stetig ist und nach Voraussetzung F(p) 0, können wir eine positive Zahl M und eine Kreisscheibe K um p finden, so dass F(q) > M und F(q) F(p) < M/2 für alle q K. Nun definieren eine stetige Familie von Vektorfeldern F s (mit 0 s 1) auf K durch F s (q) := F(p)+s(F(q) F(p)) für q K. Offenbar ist F 0 ein konstantes Vektorfeld und F 1 = F. Ausserdem hat F s keine Nullstellen auf K (für jedes s), denn F s (q) = F(p)+s(F(q) F(p)) F(p) s F(q) F(p) M M/2 = M/2 > 0. q.e.d. Wir können nun auch jeder isolierten Nullstelle des Vektorfeldes einen Index zuordnen Definition Ist p eine isolierte Nullstelle von F, dann setzt man index(p,f) := index(γ r,f), wobei γ r (t) = p+re it (fürt [0,2π])denpositivorientierten Randeiner Scheibe von Radius r um p bezeichnet, die so klein gewählt ist, dass sie keine weiteren Nullstellen von F ausser p enthält. Wie eben bemerkt, hängt der Index nicht von der genauen Wahl von r ab, der Index von p ist also wohldefiniert.

6 1.7. Vektorfelder auf Flächen und Eulercharakteristik Beispiele Ist F(v) = v für alle v R 2, so ist index(0,f) = 1. Fassen wir dagegen die komplexe Abbildung G(z) = z n ( z C, n Z fest) als ebenes Vektorfeld auf, so ist index(0,g) = n. Auf ähnliche Art, wie man den Residuensatz beweist, kann man folgendes zeigen: 1.65 Satz Sei D R 2 ein sternförmiges offenes Gebiet und F:D R 2 ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit nur endlich vielen Nullstellen. Ist γ eine einfach geschlossene, positiv orientierte Kurve in D, so gilt index(γ,f) = r index(p k,f), wobei p 1,...,p r diejenigen Nullstellen von F bezeichnet, die im Innern von γ liegen Folgerung Ist der Index einer einfach geschlossenen Kurve bezogen auf F ungleich 0, so enthält γ im Innern mindestens eine Nullstelle von F. Betrachten wir nun Vektorfelder auf der 2-Sphäre Satz Ist F ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf S 2 mit nur endlich vielen Nullstellen p 1,...,p n, dann gilt: n index(p k,f) = 2. InsbesonderehatjedesstetigdifferenzierbareVektorfeldaufS 2 mindestens einenullstelle. Die Summe des Indizes sämtlicher Nullstellen ist also unabhängig von der Wahl des Vektorfeldes. Sie stimmt überein mit der sogenannten Eulercharakteristik der 2-Sphäre. Allgemeiner gilt folgendes: 1.68 Satz Ist M eine geschlossene glatte Fläche und F ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf M mit nur endlich vielen Nullstellen p 1,...,p n, dann ist n index(p k,f) = χ(m). Dabei ist χ(m) eine Zahl, die nur von M abhängt. Man nennt diese Zahl die Eulercharakteristik von M. Zum Beispiel ist die Eulercharakteristik des Torus gleich 0. Bevor wir den Satz über Vektorfelder auf der Kugeloberfläche beweisen, schauen wir uns zwei Beispiele genauer an Beispiele Sei zuerst F ein Vektorfeld auf S 2, dessen Flusslinien die Längengrade sind und mit zwei Nullstellen im Nord- und im Südpol. Wenn mandas Vektorfeld jeweils in Karten um die Pole anschaut, stellt man fest, dass die beiden Indizes jeweils gleich 1 sind. In der Summe kommen wir also wie behauptet auf 2.

7 46 Kapitel 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen Gehen wir jetzt von einem konstanten Vektorfeld auf der Ebene aus. Die Flusslinien sind also parallele Geraden. Durch Umkehrung der stereographischen Projektion wird daraus ein Vektorfeld auf S 2. Die Flusslinien dieses Vektorfeldes bilden eine Schar von Kreisen, die sich alle im Nordpol berühren. Hier haben wir nur eine Nullstelle, nämlich den Nordpol, und der Index dieser Nullstelle ist gleich 2. Hier nun der angekündigte Beweis von Satz 1.45: Beweis. Nehmen wir an, das Vektorfeld F auf S 2 habe nur endlich viele Nullstellen. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass der Südpol keine Nullstelle ist. Also können wir (nach dem obigen Lemma) F in einer kleinen Umgebung um den Südpol herum so deformieren, dass F in einer passenden Karte des Südpols als konstantes, nichtverschwindendes Vektorfeld erscheint. Die Fortsetzung dieses konstanten Vektorfeldes auf die gesamte Ebene liefert auf S 2 ein Vektorfeld, das wir F nennen wollen. Sei jetzt γ ein positiv orientierter Kreis in dieser kleinen Südpolumgebung. Zeichnen wir diesen Kreis in der Nordpolkarte, enthält er dort sämtliche Nullstellen p 1,...,p n von F. Nach dem oben angegebenen Satz gilt für den Index von γ bezogen auf F in der Nordpolkarte: index(γ,f) = n index(p k,f). Andererseits ist, wie im obigen Beispiel gezeigt, wiederum in der Nordpolkarte index(γ, F) = 2. Weil längs γ das Vektorfeld F mit F übereinstimmt, müssen auch die Indizes übereinstimmen, und daraus folgt die Behauptung. q.e.d Folgerung Sei f:s 2 R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit nur endlich vielen kritischen Punkten. An jeder kritischen Stelle p sei die Hessesche Matrix der entsprechenden Funktion auf einer Karte um p regulär. Dann gilt: { 1 falls f bei p ein lokales Extremum hat index(p, f) = 1 falls f bei p einen Sattelpunkt hat Bezeichnen m 1,m 2 und m 3 jeweils die Anzahlen der lokalen Maxima, der lokalen Minima und der Sattelpunkte von f, dann ist: m 1 +m 2 m 3 = 2. Beweis. Siehe Übungsaufgabe. q.e.d.