Berechnung von Tragwerksverformungen: Durchbiegungsberechnung - Plattenbalken

Transkript

1 1 Berechnung von Tragwerksverormungen: Durchbiegungsberechnung - Plattenbalken Dipl.-Ing. Maike Schneider (Ausgewählte Kapitel des Massivbaus) Wintersemester 2010/2011

2 Allgemeines 2 Durchbiegungsberechnung nach DAStb-Het 240 ür 1 Die Größe der Durchbiegung ist abhängig von: Materialeigenschaten E-Modul Beton und Stahl Zugestigkeit Beton Verbundestigkeit Stahl Beton Größe und zeitlicher Verlau von Kriechen und Schwinden geometrischen Größen Querschnittsabmessungen Lage der Bewehrung Einspanngrad der Bauteile an den Aulagern der wirklich autretenden Belastung Belastungsgeschichte

3 Allgemeines 3 Problem: Alle Parameter sind stochastische Größen, die von Bauteil zu Bauteil, längs der Achse des Bauteils, aber auch mit der Zeit Streuungen unterworen sind. Die daraus entstehende Durchbiegung ist somit ebenalls eine stochastische Größe, die nur unzulänglich mit Hile eines einzelnen Werts (z.b. Mittelwert oder Fraktilwert), besser durch die Parameter ihrer Verteilung oder praxisgerechter durch untere, mittlere und obere Rechenwerte dargestellt werden sollte. So ührt eine Verringerung des E-Modul von Beton um 25 % zu einer um 10 % vergrößerten Durchbiegung. Schematische Darstellung des oberen und unteren Rechenwertes sowie des wahrscheinlichen Wertes der Durchbiegung und deren zeitlicher Verlau

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5 5 (Plattenbalken) Systemskizze: q = 128 kn/m g = 117 kn/m Stahlbetonstützen b/h = 40/30 cm ,0 7,0 30

6 6 (Plattenbalken) Ersatzsystem: q g A 7,00 B 7,00 C Querschnitt: Stahl: BSt 500 Beton: C 30/37 h/d = 90/84

7 7 Schnittgrößen M Ed, Feld = (0,07 * 1,35 * ,096 * 1,5 * 128) * 7² M Ed, Feld = 1445 knm M Ed, B = -(1,35 * ,5 * 128) * 7² *1/8 M Ed, B = knm A = (0,375 * 1,35 * ,438 * 1,5 * 128) * 7 A = 1003 kn B = 1,25 * 350 * 7 B = 3063 kn Grenzmomentenlinie

8 8 Deinition der mitwirkenden Breite b e b e = Σ b e, i + b w mit b e, i =0,2 b i + 0,1 l 0 0,2 l 0 b i Dabei ist l 0 b i b w die wirksame Stützweite die tatsächlich vorhandene Gurtbreite die Stegbreite b e, 1 b e, 2 b 1 b 2 b w Für annähernd gleichmäßig verteilte Einwirkungen dar die wirksame Stützweite l 0 (entspricht dem Abstand der Momentennullpunkte) bei etwa gleichen Steiigkeitsverhältnissen der Einzelelder vereinachend dem olgenden Bild entnommen werden.

9 9 Deinition der mitwirkenden Breite b e b e = Σ b e, i + b w mit b e, i =0,2 b i + 0,1 l 0 0,2 l 0 b i Feld: mitwirkende Breite b e = 0,4 + 2 * (0,2 * 2,5 + 0,1 * 0,85 * 7) b e, 1 b e, 2 b 1 b 2 b e = 2,59 m = 2,60 m b w

10 10 Nachweis im Grenzzustand der Tragähigkeit ür Biegung (im Feld) Stahl: BSt 500 Beton: C 30/37 h/d = 90/ bezogenes Biegemoment: µ Eds = M Eds /(b * d² * cd ) = 1,445/(2,60 * 0,84² * 17) = 0, aus Bemessungstabelle abgelesen: ω = 0,048 ξ = 0,0723 erorderliche Feldbewehrung: er A s,f = 0,048 * 2,60 * 0,84 * 100² *1/435 * 17 er A s,f = 40,97 cm² Nulllinie liegt in der Platte: x = 0,0723 * 0,84 = 6,07 cm < 20 cm

11 11 Bemessungstabelle mit dimensionslosen Beiwerten ür den Rechteckquerschnitt ( C 50/60) Ablesung: ω = 0,048 ξ = 0,0723 Erorderliche Feldbewehrung: A s1 = 1/σ sd * (ω * b * d * cd + N Ed )

12 12 Die errechnete Bewehrung kann nicht in einer Lage eingebaut werden Nebenrechnung: er 7 Ø 28 vorh. A s = 43,1cm² Abstand der Stäbe = (bw 2 * nom c)/(n + (n 1)) mit: n Anzahl der Stäbe n 1 Anzahl der Zwischenräume (40 2 * 4)/(7 + 6) = 2,46 < ds = 2,8 cm gewählt: 6 Ø 28 unten; 1. Lage v. u. vorh. A s = 36,95 cm² 2 Ø 20 unten; 2. Lage v. u. vorh. A s = 6,28 cm² Σ A s,l = 43,23 cm²

13 13 Überprüung, ob bei der 2-lagigen Bewehrung die stat. Nutzhöhe mit d = 84cm richtig angesetzt wurde: Abstand der Ø 28 vom unteren Rand: a 1 = nom c + 0,5 * 2,8 a 1 = 5,4 cm Abstand der Ø 20 vom unteren Rand: a 2 = nom c + 2,8 + 2,8 + 0,5 * 2,0 a 2 = 10,6 cm Schwerpunkt der Bewehrung: a = (5,4 * 36, ,6 * 6,28) / 43,24 = 6,16 cm ~ 6,0 cm

14 Allgemeines 14 Schematische Darstellung des oberen und unteren Rechenwertes sowie des wahrscheinlichen Wertes der Durchbiegung und deren zeitlicher Verlau

15 15 Berechnung des Grundwertes der Durchbiegung (nach der Elastizitätstheorie) Nach der Elastizitätstheorie bestimmt sich die Durchbiegung eines einseitig eingespannten Eineldträgers zu: el 4 2 q l = 369 E I das Trägheitsmoment des Plattenbalkens kann anhand nacholgender Tabelle bestimmt werden:

16 16 b 0 = 0,40 d = 0,2 d 0 = 0,90 b m = 2,60 b m /b 0 = 2,6/0,40 = 6,5 d/d 0 = 0,2/0,9 = 0,22 Ablesen: b i /b m = 0,318 y u /d 0 = 0,7135 b i = 0,318 * 2,60 = 0,827 Trägheitsmoment: I = 0,827*0,9³/12 = 0,05 m 4

17 17 Die Durchbiegungsberechnung wird mit Gebrauchslasten durchgeührt. Der ständig wirkende Verkehrslastanteil wird mit 30 % abgeschätzt. Damit ermittelt sich die elastische Durchbiegung zu: b = 2 ( 0, ,3 0,128 ) ,05 4 b = 0, m

18 18 Rechenwerte der Durchbiegung zum Zeitpunkt t = 0 Der untere Rechenwert der Durchbiegung bestimmt sich zu: I I 0 = κ 0 b Der obere Rechenwert der Durchbiegung bestimmt sich zu: = 0 κ 0 d h 3 b b i m b Die Korrekturaktoren κ 0I und κ 0 zur Berücksichtigung der Bewehrungsmenge und -anordnung können in Abhängigkeit vom Verhältnis der Elastizitätsmoduli von Beton und Stahl und der eingelegten Bewehrungsmenge den Taeln 6.8 und 6.9 entnommen werden.

19 19 Beiwerte κ 0I, κ ki, und κ SI zur Berücksichtigung der Bewehrung bei der Berechnung des unteren Rechenwertes der elastischen Durchbiegung sowie der zusätzlichen Durchbiegung inolge Kriechen und Schwinden des Betons ür Plattenbalken Tael 6.8

20 20 Beiwerte κ 0, κ k, und κ S zur Berücksichtigung der Bewehrung bei der Berechnung des oberen Rechenwertes der elastischen Durchbiegung sowie der zusätzlichen Durchbiegung inolge Kriechen und Schwinden des Betons ür Plattenbalken Tael 6.9

21 21 Vorwerte: n = / = 6,27 µ Feld = 43,1 * 10-4 / (2,60 * 0,84) = 0,001973

22 22 Beiwerte κ 0I, κ ki, und κ SI zur Berücksichtigung der Bewehrung bei der Berechnung des unteren Rechenwertes der elastischen Durchbiegung sowie der zusätzlichen Durchbiegung inolge Kriechen und Schwinden des Betons ür Plattenbalken Eingangswerte ür Ablesung im Diagramm: n * µ Feld (b m /b 0 )*(h/d 0 ) = 0,075 abgelesen: I κ 0 = 0,88 Tael 6.8

23 23 Beiwerte κ 0, κ k, und κ S zur Berücksichtigung der Bewehrung bei der Berechnung des oberen Rechenwertes der elastischen Durchbiegung sowie der zusätzlichen Durchbiegung inolge Kriechen und Schwinden des Betons ür Plattenbalken Eingangswerte ür Ablesung im Diagramm: n * µ Feld = 0,01237 abgelesen: κ 0 = 8,8 Tael 6.9

24 24 Unterer Rechenwert der Durchbiegung: I 0 = 0,88 0, = 0,00112 m Oberer Rechenwert der Durchbiegung: 3 0,9 (0,318 2,6 ) = 8,8 0, = 0, ,84 2,60 m

25 25 Rechenwerte der Durchbiegung zum Zeitpunkt t = Bei der Ermittlung des Rechenwertes der Durchbiegung zum Zeitpunkt t = wird noch der Kriech- und Schwindanteil addiert: der untere Rechenwert der Durchbiegung zum Zeitpunkt t = bestimmt sich zu: I = I I I I s, D κ k ϕ + α s κ s l der obere Rechenwert der Durchbiegung zum Zeitpunkt t = bestimmt sich zu: ε d = s, D κk ϕ + αs κ s l ε h Die κ-werte können wieder aus den Taeln 6.8 und 6.9 entnommen werden.

26 26 Beiwerte κ 0I, κ ki, und κ SI zur Berücksichtigung der Bewehrung bei der Berechnung des unteren Rechenwertes der elastischen Durchbiegung sowie der zusätzlichen Durchbiegung inolge Kriechen und Schwinden des Betons ür Plattenbalken Eingangswerte ür Ablesung im Diagramm: n * µ Feld (b m /b 0 )*(h/d 0 ) = 0,075 abgelesen: I κ k = 0,75 I κ s = 0,43 Tael 6.8

27 27 Beiwerte κ 0, κ k, und κ S zur Berücksichtigung der Bewehrung bei der Berechnung des oberen Rechenwertes der elastischen Durchbiegung sowie der zusätzlichen Durchbiegung inolge Kriechen und Schwinden des Betons ür Plattenbalken Eingangswerte ür Ablesung im Diagramm: n * µ Feld = 0,01237 abgelesen: κ k = 0, 12 κ s = 1,05 Tael 6.9

28 28 Der Beiwert α s berücksichtigt den Einluss des statischen Systems bei der Ermittlung der Durchbiegung inolge Schwinden und ergibt sich ür: rei drehbare gelagerte Eineldträger: α s = 0,125 Innen- und Randelder von Durchlauträgern: α s = 0,063 Kragplatten: α s = 0,50 Die Endkriechzahl und das Endschwindmaß kann nach DIN 4227 bzw. nach EC 2 bzw. nach DIN ermittelt werden: ε s, = -30 * 10-5 ϕ = 2,4

29 29 Der untere Rechenwert der Durchbiegung zum Zeitpunkt t = bestimmt sich zu: I = I 0 + I 0D I k κ ϕ + α s κ I s ε s, d l 2 I = 0, , ,75 2,4 + 0,063 0, , I = 0,00358 m Der obere Rechenwert der Durchbiegung zum Zeitpunkt t = bestimmt sich zu: = 0 + 0D k κ ϕ + α s κ s ε s, h l 2 = 0, ,0044 0, 12 2,4 + 0,063 1, , = 0,00675 m

30 30 Wahrscheinliche Werte der Durchbiegung Der wahrscheinliche Wert der Durchbiegung liegt zwischen dem oberen und unteren Rechenwert. Es bietet sich deshalb an, bei der Berechnung des wahrscheinlichen Wertes der Durchbiegung die Kenntnis über die mit linearen M - κ Beziehungen berechneten oberen und unteren Rechenwerte zu nutzen und den Einluss der lastabhängigen m - κ Beziehung au den wahrscheinlichen Wert durch eine Korrektur der Dierenz zwischen oberen und unteren Rechenwert zu berücksichtigen. Diese Korrekturbeiwerte hängen in erster Linie von der Länge des gerissenen Balkenteils und der Form der Momentenlinie ab. Der wahrscheinliche Wert der Durchbiegung ergibt sich näherungsweise zu: MRiss I 0,8 M I = 0 ( 0 0 ) Riss = ( ) 0 MFeld M Feld Die Größe des Rissmomentes bestimmt sich zu: 1 2 MRiss = ρm ctm b d 6 (d: Bauteildicke!; ρ m berücksichtigt die eingelegte Bewehrungsmenge)

31 31 Der Faktor ρ m kann anhand nacholgender Tabelle bestimmt werden:

32 32 Der Faktor ρ m kann anhand nacholgender Tabelle bestimmt werden: mit n * µ Feld (b m /b 0 )*(h/d 0 ) = 0,075 =>ρ m0 = 1,15

33 33 mit n * µ Feld (b m /b 0 )*(h/d 0 ) = 0,075 =>ρ m0 = 1,15 = ρ M0 ρm ρ 0, 806 y m = = u 2 d 0 1,15 2 0, MRiss = 0,88 2,9 0,7 0,9 = 241 knm 6 das maximale Feldmoment (ohne Sicherheitsbeiwerte) ergibt sich zu: M Feld = (0,07 * ,096 * 128) * 7² = 1003 knm M I ( ) Riss 0 = MFeld = 0,00443 = 1003 ( 0, ,00112) 0, ,8 M I ( ) 0, = Riss = 0,00675 ( 0, ,00358 ) = M 0,00609 Feld

34 34 Zusammenstellung der Ergebnisse: unterer Rechenwert oberer Rechenwert wahrscheinlicher Wert der Durchbiegung t = 0 0,112 cm 0,44 cm 0,357 cm t = 0,358 cm 0,675 cm 0,609 cm elastische Durchbiegung ür (g + 0,3 q): elastische Durchbiegung ür (g + 1,0 q): el = 0,1268 cm el = 0,25 cm l/500 = 700 / 500 = 1,4 cm > 0,609 cm