Gaußsches Integral und Stirling-Formel

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1 Gaußsches Itegral ud Stirlig-Formel Lemma. Gaußsches Itegral Es gilt für alle a > : e ax dx π a Beweis: Wir reche: e dx ax e ax dx e ay dy e ax e ay dx dy mit dem Satz vo Fubii e ax +y dx dy. Nu verwede wir Polarkoordiate: f : + ], π[ \ + {}, fr, φ x, y x r cos φ, y r si φ Die Abbildug f ist ei Diffeomorphismus also stetig differezierbar mit stetig differezierbarer Umkehrug mit der Jacobimatrix cos φ r si φ Dfr, φ si φ r cos φ ud der Jacobidetermiate mit det Dfr, φ r cos φ + r si φ r. Der Wertebereich W f \ + {} vo f uterscheidet sich vo ur um die positive x-achse + {}, die de Flächeihalt besitzt. Es folgt mit der Trasformatiosformel: e ax +y dx dy e ax +y dx dy W f e ar cos φ +r si φ r dr dφ + ],π[ e ar r dr dφ + ],π[ π e ar r dr π e ar r dr. dφ

2 Wir substituiere u ar, du/dr ar ud erhalte π e ar r dr π a e u du π a. Ma beachte, dass hier a > verwedet wird. Damit ist gezeigt: e ax dx π a also ach Wurzelziehe die Behauptug, da das Itegral positiv ist. Lemma. Asymptotik des mittlere Biomialkoeffiziete Es gilt: π lim Beweis: Für N ud x gilt ach der biomische Formel Itegriere wir vo π/ bis π/: cos x cos x e ix + e ix e ikx e i kx k k e ik x. k k π/ cos x dx π/ k k π/ e ik x dx π/ Das Itegral im mittlere Summade, k, lautet π/ π/ e i x dx π/ π/ dx π. Alle adere Summade, k, verschwide, de hier gilt π/ π/ [ e e ik x ik x dx ik ] π/ x π/ wege der π-periodizität vo x e ik x. Damit ist gezeigt: π/ π/ cos x dx π. 3

3 Wir werte das letzte Itegral asymptotisch auch aders aus, idem wir es mit eiem Gaußsche Itegral vergleiche: Für π/ < x < π/ ud N gilt: cos x e x Das sieht ma so: Wege der Symmetrie des Kosius reicht es, x < π/ zu betrachte. Für diese x gilt cos x > ud log cos x x ta u du x wege d si x log cos x dx cos x ta x ud ta u u für u < π/. Es folgt Wir erhalte: π/ cos x dx π/ Zusamme ergibt das aders geschriebe: u du x cos x e log cos x x e e x. 4 π/ π/ π e x dx π, π. e x dx Um zu sehe, dass diese Formel asymptotisch für sogar scharf ist, betrachte wir die Substitutio u x ud erhalte π/ cos x dx ] π/, π/[ u cos u du, 5 π/ wobei wir die Itegralgreze u mit eier Idikatorfuktio { für u A A u : für u / A geschriebe habe. Der Itegrad besitzt wege der Abschätzug 4 eie itegrierbare Majorate: ] π/, π/[ u cos u u exp e u. π Er kovergiert auch puktweise gege diese obere Schrake, also u exp lim ] π/, π/[u cos 3 u e u

4 für alle u. Um das zu sehe, verwede wir die Tayloretwicklug log cos x x + rx mit eiem estterm rx mit lim x x rx. Es folgt für > u /π : ] π/, π/[ u cos u e exp lim u log cos u u + r e u. Aus dem Satz vo der domiierte Kovergez folgt ] π/, π/[ u cos u du e u du π Fasse wir zusamme: Mit de Formel 3 ud 5 erhalte wir: π π/ cos x dx π π/ π ] π/, π/[ u cos u du. Die folgede Stirlig-Formel liefert eie Näherugsformel für die Fakultätsfuktio: Lemma.3 Stirlig-Formel Für alle N gilt: Isbesodere folgt: π + e! π + e + 6! π + e 7 Beweis: Vereifacht gesagt beruht der Beweis auf der Approximatio der Summe durch das Itegral Dabei wird m log! log m m log x dx. log m log + log [log m + logm + ] als eie Summe vo Trapezfläche iterpretiert. 4 m

5 Daher verwede wir als ei Hilfmittel die Trapezregel zur umerische Itegratio mit verschiedee Darstelluge des estglieds. Ist f : [, ] glatt, so erhalte wir mit partieller Itegratio: fx dx [x fx] x Nu gilt eierseits, ochmals mit partieller Itegratio: also i 8 eigesetzt: x f x dx [f + f] x f x dx. 8 x f x dx [ x xf x] x x xf x dx, fx dx [f + f] x xf x dx x xf x dx. 9 Ist f kokav, also f, so eiget sich diese estglieddarstellug gut für eie utere Schrake des Itegrals, da die Gewichtsfuktio x x ichtegative Werte aimmt. Für obere Schrake ist sie i userem Fall weiger gut geeiget. Wir köe aber die Itegratioskostate bei der zweite partielle Itegratio auch alterativ so wähle, dass ei zu f f proportioaler adterm etsteht. 3 x f x dx [ x x + 6 f x] x x x + f x dx 6 [f f ] x x + f x dx. 6 Für usere gewüschte Quadraturfehlerschrake ist die Gewichtsfuktio x x + 6 im letzte Itegrade immer och icht gut geeiget, da sie kei eiheitliches Vorzeiche Ma ka die folgede echug auch als eie Herleitug der erste Istaze der Euler-McLaurische Summeformel auffasse. Die Itegratioskostate bei de i de Stammfuktioe verwedete Polyome B x x, B x x x + 6, B 3x x 3 3 x + x ist dabei jeweils so gewählt, daß B jx dx für j,, 3 gilt. Die Polyome B j x heiße auch Beroulli-Polyome. 3 Beim Aufsummiere zur iterierte Trapezregel liefert dieser adterm eie Teleskopsumme. Davo mache wir später Gebrauch. 5

6 besitzt. Deshalb itegriere wir das letzte Itegral zwei weitere Male partiell: x x + 6 f x dx [ 6 x3 3 x + xf x] x 6 x3 3 x + xf x dx [ 4 x4 x 3 + x f x] x + 4 x x f x dx. 4 x4 x 3 + x f x dx 6 x3 3 x + xf x dx Ma beachte, dass die Gewichtsfuktio x x im Itegrade u ichtegativ ist. I eigesetzt erhalte wir: fx dx [f + f] + [f f ] + 4 x x f x dx. Die beide Formel 9 ud ka ma als Trapezregel mit zwei verschiedee Darstelluge des estglieds auffasse. Wir verwede diese beide Formel für eie obere bzw. utere Schrake des Trapezregel-Quadraturfehlers : + log t dt [log + log + ]. Wede wir also die beide Formel 9 ud auf fx logx +, f x /x +, f x x + < ud f x 6x + 4 < mit N a. Zuächst mit Formel 9: + log t dt logx + dx [log + log + ] + [log + log + ], x xx + dx wobei wir verwedet habe, dass der Itegrad x xx + im letzte Itegral ichtegativ ist. Adererseits mit Formel : + log t dt logx + dx [log + log + ] + [log + log + ] + +, + 4 x x x + dx wobei wir auch hier die Nichtegativität des Itegrade 4 x x x + verwedet habe. Zusamme ist damit gezeigt:. + 6

7 Wir setze für N: L : log! + log + log! + e. Um die Quadraturfehler i eier Teleskopsumme aufzusummiere, schreibe wir sie wie folgt als Differeze: + log t dt [log + log + ] [ + log + + ] [ log ] [log + log + ] [log! + log + ] [log +! + + log ] L L +, wobei wir log +! log! log + verwedet habe. Summiere wir für,..., mit atürliche Zahle < als Teleskopsumme auf verwede die Quadraturfehlerschrake : L L + L L + 3 Isbesodere ist L N eie mooto fallede Cauchyfolge, also koverget: L : lim L. Aus 3 erhalte wir im Limes für alle N: L L. 4 Um die Kostate L zu idetifiziere, verwede wir die Asymptotik des mittlere Biomialkoeffiziete aus Lemma. wie folgt:! + e expl L + e!, π also Die Schrake 4 laute damit L lim L L log π. L log π log woraus die Stirligformel 6 folgt.! π + e, 7