Man kann das Dominanzkonzept leicht abschwächen... um schärfere Prognosen zu bekommen. Man kann unterstellen, dass die Spieler nicht nur

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1 1 Schwache Dominanz Man kann das Dominanzkonzept leicht abschwächen um schärfere Prognosen zu bekommen. Man kann unterstellen, dass die Spieler nicht nur... keine strikt dominierten Strategien spielen sondern auch keine schwach dominierten

2 2 Schwache Dominanz x y z a 0,0 0,5 3,2 b 2,1 0,0 4,0 Es gibt kein strikt dominierten Strategien! Aber betrachte Strategie a von SP1: gegen alle Strategien von SP2 ist b mindestens gleich gut wie a und gegen x oder z ist b sogar strikt besser als a Wir sagen: a ist schwach dominiert durch b

3 Definition Sei G ein Spiel in Normalform. Eine Strategie ŝ i S i heisst schwach dominiert, wenn es eine andere Strategie s i S i gibt, so dass u i (ŝ i, s i ) u i (s i, s i ) für alle s i S i (1) u i (ŝ i, s i ) < u i (s i, s i ) für mindestens ein s i S i (2) 3 Bemerkung: Analog zur wiederholten Elim. strikt dominierter Strategien können wir nun schwach dominierte Strategien eliminieren dies führt im allgemeinen zu einer stärkeren Einschränkung der möglichen Spielausgänge

4 Wiederholte Eliminierung schwach dominierter Strategien x y z a 0,0 0,5 3,2 b 2,1 0,0 4, 0 c 1, 1 2,0 1,3 Runde 1: a ist schwach dominiert durch b Runde 2: y ist schwach dominert durch z Runde 3: c ist strikt dominiert durch b Runde 4: x ist strikt dominiert durch z Also: (b, z) ist schwache Dominanzlösung Beachte: Alle Strategien überleben Wdh. El. strikt dom. St. 4

5 5 Schwache Dominanz und Rationalität x y a 2,0 2,0 b 0,3 0,1 b is strikt dominiert durch a, y schwach dominiert durch x Also wird SP1 a spielen dann ist SP2 aber indifferent zwischen x und y er könnte also auch seine schwach dominierte Strategie spielen Rationalität allein impliziert also streng genommen nicht dass keine schwach dominierten Strategien gespielt werden Schwache Dominanz ist eher Plausibilitätskriterium

6 6 Zweitpreisauktion Die Zweitpreisauktion ist ein oft verwendetes Auktionsverfahren z.b. ebay verwendet eine Version einer Zweitpreisauktion Auktionsregel: Das höchstes Gebot gewinnt Der Gewinner zahlt das zweithöchste Gebot Zweitpreisauktion ist schwach dominanzlösbar!

7 7 Zweitpreisauktion Es gibt ein Auktionsobjekt und n Spieler (Bieter) Die Bewertung des Objektes von SPi sei v i > 0 Jeder SP kann ein (nicht negatives)gebot abgeben: S i = [0, ) Falls s i > s j für alle j i, dann u i (s i, s i ) = v i max{s i,..., s i 1, s i+1,..., s n } Falls s i > s j für ein j i, dann: u i (s i, s i ) = 0 Falls s i = s j für ein j i, dann entscheidet Los Bsp: n = 2, s 1 = 3, s 2 = 5. SP2 gewinnt und u 2 = v 2 3.

8 8 Zweitpreisauktion Behauptung: Bieten der eigenen Wertschätzung ist schwach dominante Strategie, d.h.: Jede Strategie s i v i ist schwach dominiert durch die Strategie s i = v i. Vorteil der Zweitpreisauktion: Einfach zu spielen

9 9 KAP 3. Nash-Gleichgewicht Dominanz beschreibt, was rationale Spieler (nicht) tun, wenn sie überlegen, was Gegenspieler (nicht) tun i.d.s. erfasst Dominanz den Kern strategischen Denkens - Spieler nutzen ihr Wissen über ihre Gegenspieler um deren Verhalten zu prognostizieren Man sagt: Dominanz ist ein deduktives Lösungskonzept

10 Dominanz ist allerdings ungeeignet für gute Prognosen über reale soziale Zusammenhänge, denn: (a) zu geringe Vorhersagekraft: viele Strategien können überleben (b) Spieler müssen um potentiell sehr viele Ecken denken können - eher unrealistisch Auswege (a) kann man Dominanz ein wenig verfeinern ( Rationalisierbarkeit ) (b) ersetze deduktives durch steady-state Lösungskonzept - welche Spielausgänge sind stabil insofern, als rationale Spielern nicht davon abweichen wollen? 10

11 11 Anna und Otto treffen sich zu Kaffee und Kuchen Anna Otto Kaffee Kuchen Kaffee 0,0 1,2 Kuchen 2,1 0,0 Keine strikt dominierten Strategien! Angenommen, Anna und Otto treffen sich regelmässig - es erscheint unplausibel, dass sie immer jeweils das gleiche mitbringen Man würde erwarten, dass sie sich auf Dauer irgendwie einigen darauf, dass der eine Kaffee, der andere Kuchen mitbringt

12 12 Anna und Otto treffen sich zu Kaffee und Kuchen Kaffee Kuchen Kaffee 0,0 1,2 Kuchen 2,1 0,0 Sie könnten sich etwa darauf absprechen, dass Otto Kuchen und Anna Kaffee mitbringt Diese Absprache ist stabil, denn wenn beide glauben, dass der andere sich daran hält, will keiner davon abweichen

13 13 Anna und Otto treffen sich zu Kaffee und Kuchen Kaffee Kuchen Kaffee 0,0 1,2 Kuchen 2,1 0,0 Wenn Anna glaubt, Otto bringt Kuchen, dann bekommt sie 1, wenn sie Kaffee bringt aber nur 0, wenn sie Kuchen bringt Analoges gilt für Otto Also will keiner von der Absprache (Kuchen, Kaffee) abweichen

14 14 Anna und Otto treffen sich zu Kaffee und Kuchen Kaffee Kuchen Kaffee 0,0 1,2 Kuchen 2,1 0,0 Die Absprache (Kaffee, Kaffee) ist hingegen nicht stabil! Otto würde zu Kuchen abweichen wollen, denn wenn er glaubt, Anna bringt Kaffee dann bekommt er 2, wenn er Kuchen bringt aber nur 0, wenn er Kaffee bringt Entsprechend würde Anna zu Kuchen abweichen wollen

15 15 Stabile soziale Konventionen Eine Verhaltensregel (oder soziale Konvention) ist stabil, wenn gilt: gegeben alle anderen Spieler halten sich daran so ist es für jeden Spieler individuell optimal, sich auch daran zu halten Man sagt auch: selbstdurchsetzend (self-enforcing) Soziale Konventionen, die nicht stabil sind werden sich auf Dauer nicht etablieren... denn für einige Spieler ist es lohnend, davon abzuweichen Als systematische Prognose sollte ein Spielausgang stabil sein

16 16 Stabile soziale Konventionen Formal ist eine soziale Konvention nichts anderes als ein Strategienprofil s = (s 1,..., s n ) wobei s i die individuelle Regel für Spieler i ist Ein Strategienprofil, das stabil (self-enforcing) ist, wird nun als Nash-Gleichgewicht definiert

17 Definition Sei G eine Normalform. Das Strategienprofil s = (s 1,..., s n) heisst Nash-Gleichgewicht von G, wenn für alle i gilt: 17 u i (s i, s i ) u i(s i, s i ) für alle s i S i In Worten: Für jeden Spieler i gilt: Wenn alle anderen s i spielen, habe ich keinen Anreiz, von s i zu einer anderen Strategie s i abzuweichen Nash-GG ist das wichtigste Konzept der Spieltheorie John Nash: Nobelpreis 1994 Biografie: Sylvia Nasar - A beautiful mind (Film mit Russell Crowe)

18 18 Anna und Otto treffen sich Kaffee Kuchen Kaffee 0,0 1,2 Kuchen 2,1 0,0 (Kaffee, Kuchen) ist N-GG, denn u O (Kaffee, Kuchen) = 1 > 0 = u O (Kuchen, Kuchen) u A (Kaffee, Kuchen) = 2 > 0 = u A (Kaffee, Kaffee) Genauso: (Kuchen, Kaffee) ist N-GG BEACHTE: N-GG ist definiert als ein Strategienprofil das Nutzenpaar (1,2) oder (2,1) ist KEIN N-GG