Visualisierung von Graphen

Transkript

1 1 Visualisierung von Graphen Hierarchische Zeichnungen 6. Vorlesung Sommersemester 2015 (basierend auf Folien von Marcus Krug, KIT)

2 2 Beispiel -Graph zwischen Einrichtungen der Fak. für Informatik, KIT

3 3 Hierarchisches Zeichnen Problemstellung Gegeben: Gesucht: Desiderata Zuordnung der Knoten auf (wenige) horizontale Linien möglichst viele Kanten aufwärtsgerichtet möglichst wenige Kantenkreuzungen Kanten möglichst vertikal, geradlinig und kurz Knoten gleichmäßig verteilt Kriterien widersprechen sich! gerichteter Graph D = (V, A) Zeichnung von D, die Hierarchie möglichst gut wiedergibt

4 4 Klassische Vorgehensweise [Sugiyama, Tagawa, Toda 81]

5 5-3 Schritt 1: Aufbrechen gerichteter Kreise Vorgehen, anschaulich Finde minimale Menge A von Kanten, die nicht aufwärts gezeichnet werden. Entferne Kanten in A und füge dazu Inverse ein. Problem Minimum Feedback Arc Set (FAS): Gegeben: gerichteter Graph D = (V, A) Gesucht: minimale Menge A A, so dass D A azykl.... ist NP-schwer :-(

6 5-4 Schritt 1: Aufbrechen gerichteter Kreise Vorgehen, anschaulich Finde minimale Menge A von Kanten, die nicht aufwärts gezeichnet werden. Entferne Kanten in A und füge dazu Inverse ein. Problem Minimum Feedback Arc Set (FAS): Gegeben: gerichteter Graph D = (V, A) D A + A Gesucht: minimale Menge A A, so dass D A r azykl.... ist NP-schwer :-(

7 6 Greedy-Heuristik für FAS GreedyMakeAcyclic(Digraph D = (V, A)) A foreach v V do if outdeg(v) > indeg(v) then A A out(v) else A A in(v) A A \ (out(v) in(v)) return (V, A ) Laufzeit: O(V + A) Qualitätsgarantie: A = {vw vw A} ={uv uv A} A /2

8 7 Verbesserte Greedy-Heuristik für FAS Betrachte in foreach-schleife immer Quellen und Senken, falls vorhanden, und sonst den Knoten v mit outdeg(v) indeg(v) maximal. Laufzeit: O(V + A) [ Ersetze Prioritätsschlange durch Feld[0..n 1] ] von Knotenlisten; führe Maximum mit Qualitätsgarantie: A A /2 + V /6

9 8 Schritt 2: Lagenzuordnung Problemstellung Gegeben: azyklischer, gerichteter Graph D = (V, A) Gesucht: Abbildung y : V {1,..., V }, so dass für alle uv A gilt y(u) < y(v). Zielfunktionen: minimiere... Anzahl der Lagen, d.h. y(v ) Länge der längsten Kante, d.h. max uv A y(v) y(u) Gesamtlänge der Kanten (d.h. Anzahl der Dummy-Knoten)

10 9 Algorithmus zur Minimierung der Lagenanzahl für jede Quelle q setze y(q) := 1 für jede Nichtquelle v setze y(v) := max { y(u) uv A } + 1 Beob. y(v) ist... Länge eines längsten Wegs von einer Quelle zu v plus also optimal bezüglich der Lagenanzahl! Frage: Berechnung in Linearzeit?

11 10 Linearzeit-Implementierung ComputeLayering(AcyclicDigraph D = (V, A)) y = new int[1.. V ] // alle == 0 foreach Quelle q V do y(q) 1 foreach Nichtquelle v V do ComputeYRec(D, v, y) return y ComputeYRec(AcyclicDigraph D = (V, A), Vertex v, int[ ] y) if y(v) == 0 then y(v) max { ComputeYRec(D, u, y) uv A } + 1 return y(v) für jede Quelle q setze y(q) := 1 für jede Nichtquelle v setze y(v) := max { y(u) uv A } + 1

12 11 Unser Beispiel Alles optimal oder? Zeichnungen können seeehr breit werden :-(

13 12 Ziel: schmalere Lagenzuordnung Problem: Lagenzuordnung bei vorgegebener Breite Gegeben: Gesucht: ebenfalls! azyklischer, ger. Graph D = (V, A), Breite B > 0 Partition der Knotenmenge in minimale Anzahl von Lagen, so dass jeder Lage höchstens B Elemente enthält. Problem: Precedence-Constrained Multi-Processor Scheduling Gegeben: Gesucht: n Aufträge mit Bearbeitungsdauer 1, B ident. Maschinen und partielle Ordnung < auf den Aufträgen Ablaufplan, der < berücksichtigt und minimale Gesamt-Bearbeitungsdauer hat. NP-schwer, (2 2/B)-Approx., keine (4/3 ε)-approx.

14 13 Ein Approximationsalgorithmus für PCMPS Eingabe: Präzedenzgraph (schon in Lagen eingeteilt, aber beliebig breit) A 8 B C D F G E Anzahl der Maschinen sei B = 2. Ausgabe: Ablaufplan M 1 M 2 t A B 7 C D 8 E F 9 G 10 Frage: Güte/Approximationsfaktor?

15 14 Algorithmus Aufträge sind in Liste L gespeichert (in beliebiger Reihenfolge, z.b. topologisch sortiert). Versuche zu jedem Zeitpunkt t = 1, 2,... so viele Aufträge zu bearbeiten wie momentan möglich. Ein Auftrag in L ist verfügbar, falls seine Vorgänger komplett abgearbeitet sind. Solange es zum aktuellen Zeitpunkt noch freie Maschinen und verfügbare Aufträge gibt, lösche den ersten verfügbaren Auftrag aus L und ordne ihn einer freien Maschine zu.

16 15 Analyse für B = 2 Präzedenzgraph G < A B C D E F G Ablaufplan M 1 M 2 t Die Kunst der unteren Schranke OPT n/2 und OPT l := Anz. Lagen von G < Ziel: Finde Algorithmus, dessen Güte sich mithilfe der unteren Schranke(n) messen lässt. Beh. ALG Allg. (2 1/B) OPT n+l 2 n/2 + l/2 3/2 OPT Injektion der Pausen ( ) des Ablaufplans (außer der letzten) in die Lagen von G < A B 7 C D 8 E F 9 G 10

17 16 Schritt 3: Kreuzungsreduktion Problemstellung Gegeben: Gesucht: Graph G, Lagenzuordnung y : V {1,..., V } (Um-)Ordnung der Knoten innerhalb der Lagen, so dass die Anzahl der Kreuzungen minimiert wird. Problem ist NP-schwer, sogar für 2 Lagen [Garey & Johnson 83] kaum Ansätze, die echt über mehrere Layer optimieren

18 17 Iterative Kreuzungsreduktion Idee Füge Dummy-Knoten für Kanten der (vert.) Länge > 1 ein. Betrachte nacheinander jeweils benachbarte Lagen (L 1, L 2 ), (L 2, L 3 ),.... Minimiere Kreuzungen durch Permutieren von L i+1 bei gegebener Ordnung von L i. Beob. Kreuzungszahl hängt nur von der Permutation der Knoten auf den benachbarten Lagen ab.

19 18 Iterative Kreuzungsreduktion Algorithmus (1) wähle zufällige Permutation für unterste Lage L 1 (2) betrachte iterativ jeweils benachbarte Lagen L i und L i+1 (3) minimiere Anzahl der Kreuzungen durch Umordnen der Knoten in L i+1 (L i fest) Einseitige Kreuzungsminimierung (4) wiederhole Schritte (2) (3) in umgekehrter Richtung ausgehend von oberster Lage L h (5) wiederhole Schritte (2) (4) bis keine Verbesserung mehr erzielt wird (6) wiederhole Schritte (1) (5) mit unterschiedlichen Startpermutationen

20 19 Einseitige Kreuzungsminimierung Problemstellung Gegeben: Gesucht: bipartiter Graph G = (L 1 L 2, E), Permutation π 1 von L 1 Permutation π 2 von L 2, die die Anzahl der sich kreuzenden Kantenpaare minimiert Einseitige Kreuzungsminimierung ist NP-schwer. [Eades & Whitesides 94] Algorithmen Schwerpunktheuristik Medianheuristik Greedy-Switch ILP... Abb. aus [Kaufmann und Wagner: Drawing Graphs] (c) Springer-Verlag

21 20 Schwerpunktheuristik [Sugiyama et al. 81] Intuition: wenige Kreuzungen, wenn Knoten nah bei Nachbarn Schwerpunkt von u ist Durchschnitt der x-koordinaten der Nachbarn von u in Lage L 1 [x 1 π 1 ] x 2 (u) := bary(u) := 1 x 1 (v) deg(u) v N(u) lineare Laufzeit relativ gute Ergebnisse optimal, falls keine Kreuzung benötigt wird Faktor-O( n)-approximation Schlechtes Bsp.? u v }{{} k 2 1 k 1 bei gleichen Werten werden Knoten um kleines δ versetzt Übung! }{{}

22 21-3 Medianheuristik [Eades & Wormald 94] {v 1,..., v k } := N(u) mit π 1 (v 1 ) < π 1 (v 2 ) < < π 1 (v k ) { 0 falls N(u) = x 2 (u) := med(u) := π 1 (v k/2 ) sonst. verschiebe Knoten u und v geeignet um δ, falls x 2 (u) = x 2 (v) lineare Laufzeit relativ gute Ergebnisse optimal, falls keine Kreuzung benötigt wird Faktor-3-Approximation Beweis siehe [DETT]

23 21-6 Medianheuristik [Eades & Wormald 94] {v 1,..., v k } := N(u) mit π 1 (v 1 ) < π 1 (v 2 ) < < π 1 (v k ) { 0 falls N(u) = x 2 (u) := med(u) := π 1 (v k/2 ) sonst. verschiebe Knoten u und v geeignet um δ, falls x 2 (u) = x 2 (v) lineare Laufzeit relativ gute Ergebnisse optimal, falls keine Kreuzung benötigt wird Faktor-3-Approximation Beweis siehe [DETT] Schlechtes Beispiel? u v }{{} k }{{} k + 1 }{{} k + 1 }{{} k 2k(k + 1) + k 2 vs. (k + 1) 2 #

24 22 Greedy-Switch-Heuristik vertausche iterativ jeweils benachbarte Knoten, falls dadurch weniger Kreuzungen induziert werden Laufzeit O(L 2 ) pro Iteration; maximal L 2 Iterationen als Post-Processing für andere Heuristiken geeignet Schlechtes Beispiel? L 2 L 1 }{{} k k 2 /4 2k

25 23 Ganzzahliges lineares Programm [Jünger & Mutzel, 97] Konstante c ij := Anzahl von Kreuzungen zwischen Kanten, die zu v i oder v j inzident sind, falls π 2 (v i ) < π 2 (v j ) Variable für 1 i < j n 2 := L 2 v i v j x ij = { 1 falls π2 (v i ) < π 2 (v j ) 0 sonst Anzahl Kreuzungen für feste Permutation π 2 cross(π 2 ) = n 2 1 n 2 (c ij c ji )x ij + n 2 1 n 2 c ji i=1 j=i+1 i=1 j=i+1 } {{ } konstant

26 24 Fortsetzung ILP Minimiere Anzahl der Kreuzungen: minimiere Nebenbedingungen: n 2 1 i=1 n 2 j=i+1 (c ij c ji )x ij 0 x ij + x jk x ik 1 für 1 i < j < k n 2 d.h. wenn x ij = 1 und x jk = 1, dann auch x ik = (Transitivität) Lösung mit Branch-and-Cut bei wenigen Knoten pro Lage relativ schnell.

27 25 Unser Beispiel iterativ

28 26 Schritt 4: Knotenpositionierung Ziel: Exakt: geringe Abweichung der Kanten-Pfade von Geraden Quadratisches Programm (QP) Heuristik: iterativ

29 27 Quadratisches Programm Betrachte Kanten-Pfad p e = (v 1,..., v k ) zu Kante e = v 1 v k mit Dummy-Knoten v 2,..., v k 1 x-koordinate von v i bei gerader Kante v 1 v k (bei Einheitslagenabstand): x(v i ) = x(v 1 ) + i 1 ( x(vk ) x(v 1 ) ) k 1 definiere Abweichung von gerader Kante dev(p e ) := k 1 i=2 ( ) 2 x(v i ) x(v i ) v i v 1 v k

30 28 Fortsetzung (QP) Zielfunktion: min e E dev(p e ) Nebenbedingungen: für alle Knoten v und alle Knoten w im gleichen Layer mit w rechts von v x(w) x(v) ρ(w, v) ρ(w, v) ist minimaler horiz. Abst. zw. Knoten w und v Problem: QP und potentiell exponentielle Breite

31 29 Iterative Heuristik berechne Initial-Layout führe die folgenden Schritte so lange aus, bis Abbruchbedingung erfüllt ist: (1) positioniere Knoten, (2) ziehe Kanten gerade, (3) kompaktifiziere Layout in x-richtung.

32 30 Unser Beispiel

33 31 Schritt 5: Kanten zeichnen

34 32 Schritt 5 anschaulich Alle Abb. aus [Kaufmann und Wagner: Drawing Graphs]

35 33 Unser Beispiel