Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Transkript

1 Mthemtik für Wirtschftswissenschftler (Mster Economics) Prof Dr Alfred Müller Universität Siegen Wintersemester 8/9

2 Vorwort Dieses Mnuskript enthält den wesentlichen Inhlt der Vorlesung Mthemtik für Wirtschftswissenschftler, die im Wintersemester 8/9 n der Universität Siegen für Studierende im Msterstudiengng Economics gehlten wurde

3 Inhltsverzeichnis Integrlrechnung 4 Ds unbestimmte Integrl und Stmmfunktionen 5 Ds bestimmte Integrl und Flächeninhlte 8 3 Spezielle Integrtionstechniken 3 4 Uneigentliche Integrle 7 5 Integrtion von Funktionen mehrerer Veränderlicher 9 Linere Algebr Definition von Eigenwerten Determinnten 4 3 Linere Unbhängigkeit, Bsis und Dimension 3 4 Rng einer Mtrix 33 5 Lösungsmengen linerer Gleichungssysteme 35 6 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 38 3 Differentil- und Differenzengleichungen 4 3 Differentilgleichungen 4 3 Differenzengleichungen 48

4 Integrlrechnung Unter Integrtion versteht mn die Umkehrung der Differentition Mn sucht lso zu einer gegebenen Ableitung f die ursprüngliche Funktion f Ein ökonomisches Beispiel soll die Problemstellung verdeutlichen Beispiel Ein Unternehmen, ds nur ein Produkt herstellt, sehe sich folgender Grenzkostenfunktion K gegenüber: K (x) = 3x 4x + () Wie knn mn drus die Gesmtkostenfunktion K ermitteln? Gesucht ist lso eine Funktion x K(x) derrt, dss die Ableitung K genu mit der Grenzkostenfunktion () übereinstimmt Mit Kenntnissen der Differentilrechnung knn mn ds Ergebnis errten Die Ableitung von x 3 ist 3x, dher ist 3x die Ableitung von x 3 Anlog: 4x ist die Ableitung von x 3 ist die Ableitung von x Also ht die Funktion K(x) = x 3 x + x () die gewünschte Ableitung K Mn knn offensichtlich zur Kostenfunktion () noch einen beliebigen festen Fixkostenwert K f ddieren, ohne dss sich die Grenzkosten () ändern, K(x) = x 3 x + x + K f, (3) d beim Ableiten die Konstnte K f verschwindet Die Kostenfunktion (3) ist lso erst durch Vorgbe der Fixkosten eindeutig bestimmt Wir wollen diese Problemstellung nun genuer untersuchen 4

5 Ds unbestimmte Integrl und Stmmfunktionen Eine der zwei Huptufgben der Integrlrechnung besteht drin, zu einer gegebenen Ableitung die ursprüngliche Funktion (uch Stmmfunktion) zu finden Es wird lso Integrtion ls Umkehrung der Differentition betrchtet Definition Sei f eine gegebene stetige Funktion im Intervll [, b] Eine differenzierbre Funktion F : [, b] R heißt Stmmfunktion zu f, flls gilt: F (x) = f(x) für lle x (, b) Wie wir n obigem Beispiel schon gesehen hben, sind Stmmfunktionen nicht eindeutig Wenn mn zu einer Stmmfunktion eine Konstnte ddiert, erhält mn eine weitere Stmmfunktion Genuer gilt folgender Schverhlt Stz 3 Sei f stetig uf [, b], und F eine Stmmfunktion zu f Dnn erhält mn sämtliche Stmmfunktionen F zu f durch Der Stz enthält lso zwei Aussgen F(x) = F (x) + c, c R Wenn F(x) eine Stmmfunktion zu f ist, so uch F(x)+c für jede beliebige Konstnte c Wenn F und F Stmmfunktionen zu f sind, so gilt stets F (x) = F (x) + c mit einer Konstnten c Beispiel 4 Sei f(x) = x Dnn rechnet mn leicht nch, dss durch F (x) = 3 x3 eine Stmmfunktion gegeben ist Sämtliche Stmmfunktionen lssen sich dnn drstellen in der Form F(x) = 3 x3 + c, lso zb 3 x3 + 5 oder 3 x3 + ln() usw Wir führen nun ein Symbol ein für die Menge ller (sich nur um Konstnten unterscheidenden) Stmmfunktionen Definition 5 Die Menge ller Stmmfunktionen zu f in [, b] wird unbestimmtes Integrl gennnt und mit f(x)dx bezeichnet, dh f(x)dx = {F F (x) = f(x)} Die Schreibweise scheint im Moment unnötig kompliziert zu sein, weil mn j vielleicht uch kürzer f oder f(x) schreiben könnte Der Grund für die scheinbr kompliziertere Schreibweise wird später klr werden, wenn wir die Huptsätze der Differenzil- und Integrlrechnung sowie Substitutionsregel uä kennenlernen werden Wir werden häufig die (mthemtisch nicht gnz korrekte) Schreibweise f(x)dx = F(x) + c verwenden Dies ist mthemtisch nicht gnz korrekt, weil links vom Gleichheitszeichen eine Menge steht und rechts eigentlich ein Repräsentnt der Menge, ber dies führt eigentlich nie zu Missverständnissen und ist deshlb eine bequeme Schreibweise 5

6 Wir erhlten folgende Tbelle für einige der wichtigsten Integrle: f(x) f(x)dx Bemerkungen c c = const x n n+ xn+ + c n (x + b) n (x+b) n+ + c n, n+ /x ln(x) + c x > x+b e x ln(x + b) + c x + b >, e x + c e x+b ex+b + c Beispiel 6 (i) dx = x + c; (ii) x 7 dx = 8 x8 + c; (iii) xdx = x / dx = 3 x3/ + c; (iv) (3z ) dz = (3z ) 3 + c; 3 3 (v) e t dt = e t + c Bemerkung: Obwohl mn zeigen knn, dss jede stetige Funktion uch eine Stmmfunktion besitzt, ist es nicht immer möglich, diese Stmmfunktion in geschlossener Form (dh durch Kombintion endlich vieler elementrer Funktionen) drzustellen Dies gilt zb für folgende Integrle: e x e x dx; x dx; dx ln(x) Einige elementre Rechenregeln für unbestimmte Integrle enthält der folgende Stz 6

7 Stz 7 Es seien f, g stetige Funktionen Dnn gilt: ) f(x)dx = f(x)dx, b) (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx Der Beweis folgt sofort jeweils durch Ableiten der beiden Seiten unter Bechtung von d f(x)dx = f(x) dx Die Eigenschften us Stz 7 bezeichnet mn uch ls Linerität des Integrls Sie lässt sich uch in einer einzigen Gleichung zusmmenfssen ls (f(x) + bg(x))dx = f(x)dx + b g(x)dx Beispiel 8 ( ) 8x 3 + dx = x x c 4x + 9 Leider gibt es keine vergleichbre einfche Regel für die Intregrtion von Produkten Aus der Produktregel der Differenzition (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) f (x)g (x) knn mn leider keine einfche Regel für die Integrtion von Produkten herleiten Es gilt insbesondere (f (x)g (x))dx f(x) g(x) 7

8 Ds bestimmte Integrl und Flächeninhlte Es sei f : [, b] R eine positive stetige Funktion Dnn besteht die zweite Huptufgbe der Integrlrechnung drin, den Inhlt A der Fläche zu bestimmen, die vom Grphen der Funktion, der x-achse sowie den Senkrechten x = und x = b begrenzt wird Dzu muss zunächst forml definiert werden, ws unter dem nschulich klren Begriff des Flächeninhlts im llgemeinen Fll verstnden werden soll Dies geschieht mit Hilfe des Grenzwertbegriffes, indem die Fläche von unten und oben ngenähert wird durch stückweise konstnte Funktionen, für deren Flächenberechnung mn nur wissen muss, dss der Inhlt eines Rechtecks mit Kntenlängen und b gleich dem Produkt b ist Wir zerlegen lso ds Intervll [, b] in Teilintervlle [x i, x i+ ] mit Auf dem Intervll [x i, x i+ ] seien = x < x < < x n = b u i := min{f(x) : x i x x i+ } und o i := mx{f(x) : x i x x i+ } der kleinste bzw grösste Funktionswert von f Ds bedeutet, dss ein Rechteck mit Höhe u i unter den Funktionsgrphen psst, und ein Recheck der Höhe o i den Funktionsgrphen einschliesst Für eine derrt gegebene Zerlegung Z definieren wir die zugehörige Untersumme und Obersumme durch n n U(Z, f) = u i (x i+ x i ) und O(Z, f) = o i (x i+ x i ) i= Offensichtlich ist U(Z, f) O(Z, f) und bei einer vernünftiger Definition sollte der Flächeinhlt A zwischen diesen beiden Werten liegen Je feiner die Zerlegung Z, desto näher sollten die oberen und unteren Schrnken m gesuchten Flächeninhlt liegen Forml wird deshlb ds Feinheitsmß Z = mx x i+ x i i=,,n definiert ls die Breite des längsten Intervlls der Zerlegung, und die Fläche A wird definiert durch Grenzübergng Z, dh i= A := lim U(Z, f) = lim O(Z, f), (4) Z Z flls diese beiden Grenzwerte übereinstimmen Mn knn zeigen, dss diese beiden Grenzwerte immer existieren und übereinstimmen, flls f stetig ist Mn nennt diesen Grenzwert ds bestimmte Integrl Definition 9 Sei f : [, b] R eine stetige Funktion Dnn nennt mn den Grenzwert in (4) bestimmtes Integrl von f über [, b] und benutzt dfür folgende Schreibweise: f(x)dx = lim U(Z, f) = lim O(Z, f) Z Z Dbei heißt untere Integrtionsgrenze und b obere Integrtionsgrenze Die Funktion f heißt Integrnd und x heißt Integrtionsvrible 8

9 Die Integrtionsvrible knn offensichtlich beliebig umbennnt werden Es gilt f(x)dx = f(z)dz = f(t)dt Eine beliebige (evtl nicht stetige) Funktion f heißt (Riemnn-)integrierbr, flls die beiden Grenzwerte in (4) existieren und übereinstimmen Es ist leicht einzusehen, dss uch stückweise stetige Funktionen mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen integrierbr sind Nur sehr usgefllene Funktionen sind nicht Riemnn-integrierbr wie zb die Funktion {, flls x Q, f(x) =, sonst Beispiel Wir wollen mit der Definition des Integrls die Trpezfläche xdx berechnen Aus der Elementrgeometrie sollte beknnt sein, dss für die zugehörige Fläche gilt xdx = + b (b ) = (b ) Für den formlen Nchweis dieser Formel mit obiger Definition zerlegen wir ds Intervll [, b] in n äquidistnte Teilintervlle der Länge (b )/n Also ist x i = +i(b )/n Wegen der Monotonie der Funktion f(x) = x ist deshlb Drus ergibt sich u i = + i b n und o i = + (i + ) b n Wegen ergibt sich dmit n U(Z, f) = u i (x i+ x i ) i= n = i= = b n ( + i b n n i = i= ( ) n + b n (n )n b n ) n i i= U(Z, f) = b ( n n + b ) (n )n n = (b ) + n (b ) n 9

10 Durch Grenzübergng Z bzw n erhält mn (b ) lim U(Z, f) = (b ) + Z = b Anlog erhält mn für die Obersumme O(Z, f) wegen o i = u i + (b )/n O(Z, f) = U(Z, f) + b n den gleichen Grenzwert und somit b n n = U(Z, f) + (b ) n xdx = lim U(Z, f) = lim O(Z, f) = b Z Z Folgende elementren Eigenschften des bestimmten Integrls lssen sich einfch us der Definition herleiten und sind nschulich klr Stz Es seien f, g stetige Funktionen Dnn gilt: ) b) cf(x)dx = c (f(x) + g(x))dx = f(x)dx, f(x)dx + Ausserdem gilt offensichtlich folgende Intervlldditivität Stz Es sei f in [, b] und in [b, c] integrierbr Dnn gilt: c f(x)dx = f(x)dx + c b f(x)dx g(x)dx Aus Stz lässt sich sofort folgern, dss eine stückweise stetige Funktion mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen < < < < n < b integrierbr ist, und dss mn ds Integrl usrechnen knn, indem mn die Integrle i+ i f(x)dx, i =,,n, (mit := und n+ := b) usrechnet ls Integrle stetiger Funktionen uf den jeweiligen Intervllen, und nschliessend ufddiert Wir untersuchen nun den Zusmmenhng zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integrl Dzu definieren wir die Integrlfunktion (Flächeninhltsfunktion) F(x) = x f(t)dt ls den Flächeninhlt unter dem Grphen zwischen den Punkten und x Wir erhlten folgenden Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung

11 Stz 3 Sei f : [, b] R stetig Dnn ist die Integrlfunktion F(x) von f uf [, b] differenzierbr und es gilt F (x) = f(x) (5) Beweis Aus Stz folgt sofort für ein beliebiges h > und x [, b] Sei Dnn gilt F(x + h) F(x) = = x+h x+h x f(t)dt f(t)dt x f(t)dt m h := min{f(t) : x t x + h} und M h := mx{f(t) : x t x + h} hm h F(x + h) F(x) hm h, lso F(x + h) F(x) m h M h h Aus der Stetigkeit von f folgt lim h m h = lim h M h = f(x) und somit folglich F (x) = f(x) f(x) lim h F(x + h) F(x) h f(x), Wir wollen nun noch für spätere Zwecke bestimmte Integrle uch für den Fll = b und > b definieren, uch wenn diese keine Bedeutung ls Flächeninhlte hben Es ist nheliegend, ds bestimmte Integrl im Flle = b uf Null zu setzen Dmit dnn weiterhin Stz gilt, muss mn dnn folgende Definition wählen Definition 4 Sei f : [, b] R integrierbr Dnn setzt mn ) f(x)dx =, b) Dmit gilt lso wie gewünscht die Beziehung f(x)dx = b f(x)dx f(x)dx + b f(x)dx = f(x)dx = Der Stz 3 besgt gerde, dss die Integrlfunktion F(x) eine Stmmfunktion zu f(x) ist Wir wissen us Stz 3 dss sich jede ndere Stmmfunktion von F nur durch eine Konstnte unterscheidet Angenommen, wir können eine Stmmfunktion F von f errten Dnn wissen wir lso, dss für die Integrlfunktion gilt F(x) = x f(t) dt = F (x) + c

12 Mit Hilfe von Definition 4 können wir nun ber c bestimmen! Es gilt nämlich Also gilt für jede beliebige Stmmfunktion F f(x) dx = F () + c =, lso c = F () x f(t) dt = F (x) F () (6) Diese Aussge ist ls Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung beknnt Stz 5 Es sei f : [, b] R stetig, und F eine beliebige Stmmfunktion zu f Dnn gilt f(x) dx = F(b) F() Dmit können wir uns die komplizierte Berechnung von bestimmten Integrlen über die Berechnung des Grenzwertes von Ober- und Untersummen erspren, und durch die Bestimmung von Stmmfunktionen ersetzen Ausserdem rechtfertigt dieser Stz im Nchhinein die Verwendung des gleichen Symbolik ( zw ) Konvention: Mn benützt oft folgende Schreibweisen bei der Berechnung von bestimmten Integrlen mittels Stmmfunktionen: f(x) dx = F(x) b = [ ] b F(x) = F(b) F() Beispiel 6 ) Wir wiederholen die Berechnung von xdx mit Hilfe des Huptstzes der Differenzil- und Integrlrechnung Eine Stmmfunktion von f(x) = x ist gegeben durch F(x) = x / + c mit einer beliebigen Konstnte c Aus Stz 5 folgt dmit ( ) x dx = F(b) F() = b + c + c = b Aus der komplizierten Rechnung mit Hilfe der Grenzwerte von Ober- und Untersummen wird lso ein einfcher Einzeiler, und wie mn m Beispiel noch ml sieht, spielt die Whl der Konstnte c keine Rolle b) Wir berechnen den Flächeninhlt zwischen der Funktion f(x) = x, der x-achse, und den Gerden x = und x = 4: 4 4 x dx = x / dx = 4 3 x3/ = 3 43/ 3 3/ = 4 3 Zur Berechnung von Flächeninhlten negtiver Funktionen f < benutzt mn die Ttsche, dss die Fläche zwischen der x-achse und der Funktion f die gleiche ist wie die Fläche zwischen der positiven Funktion f und der x-achse Deshlb ist der Flächeninhlt A zwischen der x-achse, der negtiven Funktion f und den Gerden x = und x = b gegeben durch A = f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx

13 Will mn den Flächeninhlt der Fläche zwischen der x-achse und einer Funktion f mit Vorzeichenwechseln uf [, b] berechnen, so muss mn bechten, dss dies nicht mehr ls einfches bestimmtes Integrl berechnet werden knn So gilt zum Beispiel 3 (x 3) dx = 3 x3 3x 3 = 7 9 =, 3 obwohl die Fläche offensichtlich von Null verschieden ist Bei der Bestimmung des bestimmten Integrls werden die Flächen oberhlb der x-achse positiv und unterhlb der x-achse negtiv gezählt, und in diesem Beispiel sind die zufällig gerde gleich gross, weshlb ds bestimmte Integrl verschwindet Zur Bestimmung der Fläche muss mn lso erst die Nullstellen der Funktion im Intervll [, b] bestimmen Seien diese gegeben durch < x < < x n < b Dnn ist der gesuchte Flächeninhlt A gegeben durch x x A = f(x) dx + b f(x) dx + + f(x) dx x n x Im Flle der Funktion f(x) = x 3 erhlten wir im Intervll [, 3] die Nullstelle x = 3 und somit 3 A = (x 3) dx + 3 (x 3) dx 3 = ] [ 3 [ 3 x3 3x x3 3x] 3 = ( 3 3 3) = 4 3 Den Flächeninhlt zwischen zwei sich nicht schneidenden Funktionen f und g knn mn ls Differenz der beiden unter den Grphen liegenden Flächenstücke uffssen Im Flle f(x) g(x) uf [, b] erhlten wir deshlb A = = f(x) dx (f(x) g(x)) dx 3 Spezielle Integrtionstechniken g(x) dx Für Integrle gibt es leider keine einfche Produktregel und uch keine einfche Kettenregel So lssen sich zwr leicht Stmmfunktionen für die Funktionen f(x) = e x und g(x) = x 3

14 finden, für die verkettete Funktion f(g(x)) = e x ist es dgegen unmöglich, eine geschlossene Formel für ds Integrl nzugeben Trotzdem lssen sich us den entsprechenden Regeln für die Differenzition Tricks für die Integrtion von Produkten und verketteten Funktionen bleiten Wir betrchten zunächst den Fll von Produktintegrtion Hier gilt folgende Regel, die mn uch prtielle Integrtion nennt Stz 7 Es seien f, f, g, g stetige Funktionen Dnn gilt f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx (7) Beweis Wir zeigen, dss beide Seiten der Gleichung (7) die gleiche Ableitung besitzen Für die Ableitung der linken Seite gilt nch der Definition des unbestimmten Integrls d f(x)g (x) dx = f(x)g (x) dx und für die rechte Seite gilt nch der Produktregel der Differenzition ( ) d f(x)g(x) f (x)g(x) dx = (f (x)g(x) + f(x)g (x)) f (x)g(x) = f(x)g (x) dx Also stimmen die beiden Seiten der Gleichung überein Dieses Verfhren der prtiellen Integrtion empfiehlt sich, wenn folgende zwei Vorussetzungen erfüllt sind: Der Integrnd knn ls Produkt ufgefsst werden, dessen einer Fktor (nämlich g (x)) leicht integriert werden knn (zu g(x)) Ds uf der rechten Seite von (7) stehende Integrl f (x)g(x) dx ist einfcher zu lösen ls ds ursprüngliche Integrl f(x)g (x) dx Beispiel 8 Gesucht ist x ln(x) dx (für x > ) Der zweite Fktor ln(x) ist nicht ohne weiteres integrierbr, wohl ber der erste (= x) Also setzen wir g (x) = x und f(x) = ln(x) Dnn ist g(x) = x / eine Stmmfunktion von g (x) und f (x) = /x Somit erhlten wir x ln(x) dx = x x ln(x) x dx = x ln(x) x 4 + c Für ds zugehörige bestimmte Integrl gilt ntürlich die nloge Regel f(x)g (x) dx = [ ] b f(x)g(x) f (x)g(x) dx (8) 4

15 Also erhält mn zb 3 [ x x ln(x) dx = ln(x) [ x = ] 3 ln(x) x 4 3 ] 3 x x dx 375 Aus der Kettenregel der Differenzition knn mn folgende Substitutionsregel herleiten, indem mn im Integrl f(x)dx die Vrible x durch eine Funktion x = h(t) ersetzt Stz 9 Es sei f stetig, und h stetig differenzierbr und umkehrbr mit Umkehrfunktion h Dnn gilt f(x) dx = f(h(t)) h (t) dt (9) Beweis Wir zeigen, dss die Ableitungen der beiden Seiten von Gleichung (9) nch t übereinstimmen Wegen x = h(t) ist dx/dt = h (t) und somit d f(x) dx = d ( ) dx f(x) dx dt dx dt = f(x)h (t) = f(h(t))h (t) = d f(h(t)) h (t) dt dt Bemerkungen: Häufig liest mn Stz 9 in folgender Weise: f(h(x)) h (x) dx = f(t) dt mit h(x) = t bzw x = h (t) Bei diesem Stz wird spätestens deutlich, wrum es sinnvoll ist, ds Differentil dx immer mit nzugeben bei der Schreibweise f(x)dx Der Stz besgt nämlich, dss wenn mn im Integrnden f(x) die Vrible x durch x = h(t) substituiert, dss mn dnn uch ds Differentil dx substituieren muss durch dx = h (t)dt, weil eben für die Ableitung von x = h(t) gilt: dx/dt = h (t) Beispiel ) Gesucht ist x x dx Wir vereinfchen ds Integrl durch Substitution x = t Dnn gilt dt = xdx Deshlb erhält mn x x dx = x ( x)dx = tdt = 3 t3/ + c = 3 ( x ) 3/ + c = 3 ( x ) 3 + c 5

16 b) Gesucht ist x 3 +x x 4 +x dx D der Zähler fst übereinstimmt mit der Ableitung vom Nenner, substituieren wir t = x 4 + x Dnn gilt dt = (4x 3 + 4x)dx und deshlb x 3 + x x 4 + x dx = (4x 3 + 4x)dx = 4 x 4 + x 4 t dt = 4 ln(t) + c = 4 ln(x4 + x ) + c Für ds bestimmte Integrl erhlten wir die folgende zu Stz 9 nloge Regel: Stz Es sei f stetig, und h stetig differenzierbr und umkehrbr mit Umkehrfunktion h Dnn gilt f(x) dx = mit x = h(t), = h(u), b = h(v), lso u = h (), v = h (b) v Die Gleichung () lässt sich wieder umschreiben in f(h(x)) h (x) dx = u f(h(t)) h (t) dt () h(b) h() f(t) dt Hier ist lso zu bechten, dss uch die Integrtionsgrenzen entsprechend der Substitutionsfunktion zu trnsformieren sind Beispiel Gesucht ist x3 x 4 dx Wir substituieren t = h(x) = x 4 dt = 4x 3 dx Die Integrtionsgrenzen x = und x = müssen entsprechend trnsformiert werden: t = h(x ) = 4 =, t = h(x ) = 4 = 5 Also ist x 3 x 4 dx = 4 5 [ ] 5 t dt = 6 t3/ 9685 Alterntiv könnte mn die Stmmfunktion durch Resubstitution gewinnen, und dnn die ursprünglichen Integrtionsgrenzen verwenden: x 3 x 4 dx = t dt = 4 6 (x4 ) 3/ + c Drus folgt für ds bestimmte Integrl x 3 x 4 dx = [ ] 6 (x4 ) 3/

17 4 Uneigentliche Integrle Mnchml interessiert mn sich für Integrle über unendliche Intervlle Definition 3 Flls für eine integrierbre Funktion f : R R der Grenzwert lim b f(x) dx existiert, so schreibt mn f(x) dx = lim b f(x) dx Mn sgt dnn, dss ds uneigentliche Integrl f(x) dx konvergiert Flls der Grenzwert nicht existiert, sgt mn, dss ds Integrl divergiert Anlog definiert mn im Flle der Existenz der Grenzwerte und f(x) dx = lim f(x) dx f(x) dx = lim f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx Solche uneigentlichen Integrle spielen beispielsweise in der Sttistik eine wichtige Rolle Dort nennt mn eine nichtnegtive Funktion f : R [, ) Dichte, flls f(x) dx = Ein Beispiel für eine solche Dichte ist die Dichte der sogennnten Exponentilverteilung, welche gegeben ist durch { αe αx, x >, f(x) =, x <, mit einem positiven Prmeter α > Eine wichtige Größe in der Whrscheinlichkeitsrechnung ist die sogennnte Verteilungsfunktion F(x) = x f(t) dt, x R Dies ist dnn eine monoton wchsende Funktion mit lim F(x) = x und lim F(x) = x Im Flle der obigen Exponentilverteilung erhlten wir für x > x x F(x) = f(t) dt = dt + αe αt dt [ ] x = e αt = e αx ( e α ) = e αx 7

18 Für x < gilt F(x) =, und wir sehen, dss ttsächlich gilt: f(t) dt = lim x F(x) = lim x ( e αx ) = Beispiel 4 Wir betrchten ds Integrl x dx Im Flle > erhlten wir für b > b [ x x dx = x dx = Dmit ergibt sich für > dx = lim x b ] b = (b ) () (b ) = Im Fll = erhlten wir x dx = ln(b) ln() = ln(b) für b, und somit divergiert ds Integrl Ebenso divergiert ds Integrl für <, d die rechte Seite in Gleichung () gegen unendlich geht Anlog zu Integrlen über unbeschränkte Intervlle definiert mn Integrle für unbeschränkte Funktionen, die Pole besitzen Als Beispiel betrchte mn die Funktion f(x) = / x D knn mn frgen, ob die Fläche unter dieser Funktion im Intervll (, ) endlich ist, und flls j, welchen Wert sie ht D f() nicht definiert ist, und lim h f(h) = gilt, behilft mn sich wieder mit dem entsprechenden Grenzwert Allgemein definiert mn für den Fll, dss f(x) n der Stelle x = nicht definiert ist, ds uneigentliche Integrl f(x) dx = lim h + +h f(x) dx, flls der Grenzwert uf der rechten Seite existiert, und nlog, flls f(x) n der Stelle x = b nicht definiert ist, ds uneigentliche Integrl Mit dieser Definition erhlten wir f(x) dx = lim h + x dx = lim h + h [ = lim x h + = h x dx ] h f(x) dx = lim h + ( h) 8

19 5 Integrtion von Funktionen mehrerer Veränderlicher Ähnlich wie mn Flächen unter dem Grphen von Funktionen f : R R mit Hilfe der Integrlrechnung berechnen knn, so knn mn uch ds Volumen unter dem Gebirge eines Grphen einer Funktion f : R R mit Hilfe der Integrlrechnung bestimmen Ein Quder mit Kntenlängen x, y und z ht beknntlich ds Volumen V = x y z Betrchtet mn eine konstnte Funktion von zwei Veränderlichen f(x, y) = M > uf einem Rechteck [, b] [c, d], so erhält mn ls Volumen unter dem Grphen V = M (b ) (d c) Dies erhält mn uch, indem mn die Funktion f(x, y) erst bezüglich x integriert über [, b] und dnn bezüglich y über [c, d] V = = d c d c ( ) f(x, y) dx dy = d c ( ) M dx (M (b )) dy = M (b ) (d c) dy Ähnlich wie bei der Bestimmung von Flächeninhlten bei Funktionen einer Veränderlichen knn mn nun zeigen, dss llgemein gilt, dss für eine nichtnegtive stetige Funktion f : R R ds Volumen zwischen dem Grphen und dem Rechteck [, b] [c, d] gegeben ist durch ds Doppelintegrl d ( ) V = f(x, y) dx dy c Mn knn zeigen, dss bei diesem Doppelintegrl die Reihenfolge der Integrtion keine Rolle spielt Dies ist ls Stz von Fubini beknnt Stz 5 Sei f : R R stetig Dnn gilt d ( ) f(x, y) dx dy = Beispiel 6 Wir berechnen c ( d c ) f(x, y) dy ( 3 ) (x y + xy + x dy dx Dzu betrchten wir zunächst x ls Konstnte und berechnen ds Integrl bezüglich y 3 [ (x y + xy + x) dy = x y + ] y=3 3 xy3 + xy y= = 4x x dx 9

20 Nun integrieren wir ein zweites Ml bezüglich x und erhlten ( 3 ) (x y + xy + x) dy dx = (4x + 53 ) x [ 4 = 3 x3 + 6 ] x= 3 x x= dx = Hätten wir ds Integrl in umgekehrter Reihenfolge berechnet, so hätten wir nch Stz 5 ds gleiche Resultt erhlten müssen Ttsächlich erhlten wir uch wenn wir erst bezüglich x integrieren zunächst [ (x y + xy + x) dx = 3 x3 y + ] x= x y + x = 3 y + y +, x= und dmit 3 ( ) (x y + xy + x) dx dy = 3 ( 3 y + ) y + dy = Sttt über ein Rechteck der Form A = [, b] [c, d] zu integrieren, um ds Volumen zwischen der Fläche A und dem Grphen der Funktion zu berechnen, knn mn uch ds Volumen über komplizierteren Grundflächen berechnen mit Hilfe von Integrlen Insbesondere knn mn Grundflächen der Form A = {(x, y) : u(x) y v(x), x b} mit integrierbren Funktionen u(x) v(x) uf [, b] betrchten Dnn erhält mn für ds Volumen ( b ) v(x) V = f(x, y) dy dx u(x) Als Beispiel betrchten wir für A die Dreiecksfläche A = {(x, y) : y x, x } Wir berechnen drüber ds Integrl der Funktion f(x, y) = x und erhlten ( x ) V = x dy dx = [ xy ] y= x y= [ = x ] 3 x3 dx = x( x) dx = 3 = 6 Die geometrische Interprettion dieser Integrlberechnung ist die Berechnung einer Pyrmide mit einer Grundfläche / und einer Höhe

21 Linere Algebr In der lineren Algebr spielen Vektoren und Mtrizen eine wichtige Rolle Wir wiederholen deshlb zunächst die grundlegenden Begriffe und Nottionen Wir verwenden im Folgenden fette Buchstben wie A,x, für Mtrizen und Vektoren, und zwr in der Regel grosse Fettbuchstben für Mtrizen, und kleine Fettbuchstben für Vektoren Ein rechteckiges Zhlenschem us m Zeilen und n Splten heisst m n-mtrix n n A = m m mn Die ij R heissen Elemente der Mtrix Der erste Index i beschreibt die Zeile und der zweite Index j die Splte Wir benutzen uch folgende Kurzschreibweisen: A = ( ij ) m n = ( ij ) Durch Vertuschung von Zeilen und Splten erhält mn die trnsponierte Mtrix A T = ( ji ) Eine Mtrix mit m = n heisst qudrtische Mtrix Die Elemente,, nn heissen dnn Digonlelemente Die qudrtische Mtrix I = mit ij = {, i = j,, i j, heißt Einheitsmtrix (Identitätsmtrix) Eine Mtrix mit nur einer Zeile oder Splte heisst Vektor und wird mit kleinen fetten Buchstben beschrieben Eine n -Mtrix mit nur einer Splte heisst Spltenvektor: x x x = Eine n-mtrix mit nur einer Zeile heisst Zeilenvektor: x n x = ( x x x n ) Bei Zeilenvektoren trennt mn die Zhlen oft durch Kommt: x = (x, x,,x n )

22 D mn durch Trnsponieren eines Zeilenvektors einen Spltenvektor erhält, schreibt mn dnn oft Spltenvektoren pltzsprend in der Form x T = (x, x,,x n ) T Wir setzen oft stillschweigend vorus, dss es sich bei einem Vektor um einen Spltenvektor hndelt, insbesondere wenn wir eine Mtrix A mit einem Vektor x multiplizieren, so verstehen wir drunter ds Produkt us der Mtrix A mit dem Spltenvektor x: n x n x Ax = = m m mn x n x + + n x n x + + n x n m x + + mn x n Definition von Eigenwerten Wir beginnen mit der Definition eines Eigenwertes Definition Sei A eine n n-mtrix Gilt für einen Vektor x Ax = λx für eine relle Zhl λ, so nennt mn x einen Eigenvektor von A zum Eigenwert λ Wegen ( ) ( ) 4 ht lso zum Beispiel die Mtrix = A = ( ) 5 ( ) 4 = 5 ( ) den Eigenvektor x = (, ) T zum Eigenwert λ = 5 Wegen ( ) ( ) ( ) ( ) = = 4 ht die gleiche Mtrix A uch den Eigenvektor x = (, ) T zum Eigenwert λ = Bevor wir uns im Detil dmit beschäftigen, wie mn Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen knn, wollen wir n einem Beispiel deutlich mchen, wrum diese sehr nützlich sind Beispiel Wir betrchten die beknnte Fiboncci-Folge,,,, 3, 5, 8, 3,, 34,, bei welcher ds nächste Folgenglied immer ls die Summe der beiden dvor liegenden gebildet wird, lso x n+ = x n + x n für lle n mit y =, y = Mit Hilfe von Vektoren und Mtrizen lässt sich ds schreiben in der Form ( ) ( ) ( ) xn+ xn x n+ = = Ax n = x n+ x n+

23 Folglich erhlten wir durch Induktion x n = A n x wobei A n ds n-fche Mtrizenprodukt von A sein soll, ds mn erhält, wenn mn A n-ml mit sich selbst multipliziert Ist nun x ein Eigenwert von A zum Eigenwert λ, so gilt und llgemeiner A x = A(Ax) = A(λx) = λ(ax) = λ(λx) = λ x, A n x = λ n x Im Fll der hier gegebenen -Mtrix A findet mn zwei verschiedene Eigenvektoren z und z mit zugehörigen Eigenwerten λ und λ Wir werden später sehen, wie mn diese berechnet Wenn wir nun noch den Strtvektor x = (, ) T drstellen ls Linerkombintion dieser Eigenvektoren in der Form x = αz + βz, ws mn leicht mchen knn durch Lösung des zugehörigen lineren Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbeknnten, so knn mn schliessen dss gilt x n = A n x = A n (αz + βz ) = αa n z + βa n z = αλ n z + βλ n z Wir werden uns in nächster Zeit dmit beschäftigen, wie mn die konkreten Werte von λ, λ,z,z, α und β berechnet Hier sei ber schon ml ds Ergebnis verrten, ds mn für die Fiboncci-Zhlen bekommt Mn erhält uf diese Weise für die n-te Fiboncci-Zhl x n die Drstellung x n = 5 ( + ) n ( 5 5 ) n 5 D Fiboncci-Zhlen gnzzhlig sind, und für den zweiten Term ( ) n 5 5 < für lle n N gilt, erhält mn ds interessnte Ergebnis, dss mn die n-te Fiboncci-Zhl ddurch erhält, dss mn ( + ) n 5 5 uf die nächste gnze Zhl rundet Der dbei vorkommende Bruch ( + 5)/ ist übrigens ls der berühmte goldene Schnitt beknnt 3

24 Durch Umformulierung der Definition eines Eigenwertes erhält mn die Aussge, dss eine Zhl λ ein Eigenwert einer Mtrix A ist, wenn die Gleichung (A λi)x = () eine nichttrivile Lösung x ht, wobei I die Identitätsmtrix drstellt Mn bechte, dss ein homogenes Gleichungssystem der Form Ax = immer die trivile Lösung x = besitzt Gesucht ist lso eine weitere nichttrivile Lösung von Gleichung (6) Determinnten Die Frge, ob ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung ht, löst mn oft mit Hilfe sogennnter Determinnten Wir betrchten zunächst den Fll von Dimension n = Gegeben sei lso ein beliebiges Gleichungssystem mit zwei Vriblen und zwei Unbeknnten der Form Ax = b, lso x + x = b, x + x = b Löst mn dieses in der üblichen Weise mit dem Guß-Algorithmus, so erhält mn ls eindeutige Lösung x = b b, x = b b, flls der gemeinsme Nenner von Null verschieden ist Dieser gemeinsme Nenner entscheidet lso, ob ds Gleichungssystem eine eindeutige Lösung ht, oder nicht Mn bechte, dss er durch die Einträge der Mtrix A bestimmt wird, und unbhängig vom Vektor b ist Mn nennt ihn die Determinnte der Mtrix A Definition 3 Sei A eine -Mtrix Dnn schreiben wir det(a) = A = = und nennen diesen Ausdruck die Determinnte der Mtrix A Wir können dmit folgenden Stz formulieren, mit Hilfe dessen sich prüfen lässt, ob ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt Stz 4 Ds Gleichungssystem Ax = b ht eine eindeutige Lösung genu dnn, wenn A Wir wollen dies nun zunächst uf den Fll von Dimension n = 3 übertrgen, und dnn uf den Fll einer beliebigen Dimension n verllgemeinern 4

25 Löst mn ein llgemeines lineres Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Vriblen der Form x + x + 3 x 3 = b, x + x + 3 x 3 = b, 3 x + 3 x + 33 x 3 = b 3, so erhält mn nch längerer Rechnung in der Lösung bei llen drei Vriblen im Nenner den Ausdruck () Den Ausdruck in () nennt mn wieder die Determinnte der zugehörigen Mtrix A Der Ausdruck sieht zwr sehr chotisch us, ber es lässt sich bei genuerem Hinsehen ein Entwicklungsgesetz bleiten Zunächst knn mn feststellen, dss die drei Elemente, und 3 der ersten Zeile der Mtrix jeweils genu zweiml vorkommen Ordnet mn die Terme nch diesen Ausdrücken, so erhält mn A = ( ) ( ) + 3 ( 3 3 ) Nun sieht mn, dss die Ausdrücke in Klmmern jeweils Determinnten der Ordnung sind: A = (3) Mn erkennt, dss bei k jeweils die Determinnte der -Mtrix steht, welche mn erhält, wenn mn in der 3 3-Mtrix A die erste Zeile und die k-te Splte streicht (k =,, 3) Dieses Entwicklungsgesetz wollen wir nun benutzen, um llgemein eine Determinnte n-ter Ordnung für eine n n-mtrix zu definieren Dzu bezeichnen wir für eine beliebige n n- Mtrix A mit A ij die (n ) (n )-Mtrix, welche mn erhält, wenn mn in A die i-te Zeile und die j-te Splte streicht Mn nennt A ij einen Co-Fktor Mit Hilfe solcher Co-Fktoren lässt sich die Determinnte einer 3 3-Mtrix in (3) schreiben ls A = A A + 3 A 3 (4) Dies lässt sich nun verllgemeinern, um für eine Mtrix beliebiger Dimension eine Determinnte zu definieren Definition 5 Sei A eine beliebige n n-mtrix Für n = ist die Determinnte von A definiert durch A = Für n > ist die Determinnte rekursiv definiert durch A = A A + + ( ) n+ n A n n = ( ) j+ j A j j= 5

26 Diese Definition ist konsistent mit den bereits ngegebenen Formeln im Fll n = und n = 3: = und = ( ) ( ) + 3 ( 3 3 ) Zur konkreten Berechnung benutzt mn im Fll n = 3 oft die sogennnte Srrus sche Regel Dzu schreibt mn rechts neben die Mtrix zusätzlich noch einml die ersten beiden Splten, und bildet für jede der insgesmt sechs Digonlen (drei von links unten nch rechts oben, und drei von rechts oben nch links unten) ds Produkt der Digonlelemente Dnn ddiert mn die Produkte der von links oben nch rechts unten bwärts verlufenden Digonlen, und subtrhiert die Produkte der drei von links unten nch rechts oben ufwärts verlufenden Digonlen Dmit erhält mn die Formel der Determinnte wie oben A = Beispiel 6 Wir suchen die Determinnte 5 A = 7 3 Wir erhlten für die Regel von Srrus folgendes Schem: und dmit A = ( ) + 5 ( ) = = Eine vergleichbre Regel von Srrus für Dimension n 4 gilt nicht! Für Dimension n 4 benutzt mn Rechenregeln für Determinnten, mit denen wir uns ls nächstes beschäftigen werden 6

27 Zunächst bemerken wir, dss durch Trnsponieren einer Mtrix sich die Determinnte nicht ändert Stz 7 Für jede qudrtische Mtrix A gilt det(a) = det(a T ) Bei elementren Umformungen von Mtrizen gelten folgende Rechenregeln für Determinnten Stz 8 ) Entsteht à us A durch Vertuschen zweier Zeilen oder Splten, so gilt det(ã) = det(a), b) Entsteht à us A durch Addition des λ-fchen einer Zeile oder Splte (λ R), so gilt det(ã) = det(a), c) Entsteht à us A durch Multipliktion einer Zeile oder Splte mit λ R, so gilt det(ã) = λ det(a) Mit Hilfe solcher elementren Umformungen knn mn ähnlich wie beim Guß-Algorithmus eine Mtrix in eine obere Dreiecksmtrix umwndeln Für letztere lässt sich ber die Determinnte sehr einfch ngeben Stz 9 Sei A eine obere Dreiecksmtrix (lso ij = für i > j) Dnn ist die Determinnte ds Produkt der Digonlelemente det(a) = n ii = nn i= Mit Hilfe der Sätze 8 und 9 lssen sich Determinnten von Mtrizen beliebiger Dimension ähnlich wie beim Guß-Algorithmus berechnen Beispiel = = = = =

28 Nch Stz 8 ) ändert sich beim Vertuschen von Zeilen höchstens ds Vorzeichen einer Determinnte D nch Stz 7 sich beim trnsponieren einer Mtrix die Determinnte nicht ändert, gilt ds gleiche lso uch für Splten Dies bedeutet ber, dss mn in der Definition der Determinnte die Entwicklung nch der ersten Zeile uch ersetzen knn durch die Entwicklung nch einer beliebigen Zeile oder Splte Stz ) Sei A eine n n-mtrix und i n Dnn gilt det(a) = n ( ) i+j ij det(a ij ) j= b) Sei A eine n n-mtrix und j n Dnn gilt det(a) = n ( ) i+j ij det(a ij ) i= Dieser Stz lässt sich oft vorteilhft nwenden, indem mn die Zeile oder Splte, nch der mn entwickelt, so wählt, dss sie möglichst viele Nullen enthält Beispiel Für A = entwickeln wir zuerst nch der ersten Zeile und erhlten 4 det(a) = 5 5 = Nun entwickeln wir die beiden 3 3-Mtrizen jeweils nch der dritten Zeile 5 = ( ) 5 = ( ) ( 5) = 8, bzw 5 5 = 5 5 = 5 ( 5) = 45 Dmit erhält mn det(a) = = 7 8

29 Des weiteren gelten folgende Rechenregeln Stz 3 Seien A,B zwei n n-mtrizen und λ eine reelle Zhl Dnn gilt ) det(λa) = λ n det(a), b) det(a B) = det(a) det(b) Wir wollen nun noch eine geometrische Interprettion eine Determinnte erwähnen Gegeben seien Vektoren = (, ) T und b = (b, b ) T Wir betrchten ds Prllelogrmm, ds von diesen beiden Vektoren ufgespnnt wird Forml ist ds die Menge der Punkte F = {α + βb : α, β } Dnn ist die Fläche des Prllelogrmms F gerde der Betrg der Determinnte der Mtrix ( ) b A = (,b) = b Bild Entsprechend gilt ein ähnlicher Schverhlt im dreidimensionlen Rum Gegeben seien Vektoren = (,, 3 ) T, b = (b, b, b 3 ) T und c = (c, c, c 3 ) T Wir betrchten ds Prllelotop, ds von diesen drei Vektoren ufgespnnt wird Dies ist die Menge der Punkte V = {α + βb + γc : α, β, γ } Dnn ist ds Volumen des Prllelotops V gerde der Betrg der Determinnte der Mtrix b c A = (,b,c) = b c 3 b 3 c 3 Bild Der wichtigste Grund für die Einführung von Determinnten wr ber Stz 4, der nun mit der llgemeinen Definition einer Determinnte in beliebiger Dimension gilt 9

30 Stz 4 Ds Gleichungssystem Ax = b ht eine eindeutige Lösung genu dnn, wenn det(a) 3 Linere Unbhängigkeit, Bsis und Dimension Insbesondere besitzt lso ein homogenes lineres Gleichungssystems Ax = nur die trivile Lösung x =, flls det(a) Wir beschäftigen uns nun im llgemeinen Fll mit der Struktur der Lösungsmenge L = {x : Ax = } Mn sieht sofort, dss L die beiden folgenden Eigenschften ht Sind x und y in L, so ist uch x + y L Ist x L, so ist uch λx L für jedes λ R Die erste Eigenschft folgt, weil us Ax = und Ay = uch A(x + y) = Ax + Ay = + = folgt, und die zweite Behuptung folgt, weil us Ax = uch A(λx) = λ(ax) = λ = folgt Mn nennt L deshlb einen lineren Unterrum des R n, weil er diese beiden Eigenschften ht Definition 5 Eine Teilmenge U R n heißt linerer Unterrum, flls folgende beiden Eigenschften gelten: Aus x U und y U folgt x + y U Ist x U, so ist uch λx U für jedes λ R Definition 6 ) Für Vektoren x,,x m nennen wir eine Summe λ x + + λ m x m mit λ,,λ m R eine Linerkombintion dieser Vektoren Für eine beliebige endliche Menge {x,,x m } von Vektoren gleicher Dimension nennen wir die Menge ller Linerkombintionen die linere Hülle von {x,,x m } [x,,x m ] := {λ x + + λ m x m : λ,, λ m R} m = { λ i x i : λ,, λ m R} i= 3

31 Es ist sofort einzusehen, dss die linere Hülle einer beliebigen Menge von Vektoren ein Unterrum ist, denn sind x = λ x + + λ m x m und y = µ x + + µ m x m Linerkombintionen, so ist uch x + y = (λ + µ )x + + (λ m + µ m )x m eine Linerkombintion, und λx = λλ x + + λλ m x m ebenflls Gibt es für einen lineren Unterrum U R n eine Menge {x,,x m }, deren linere Hülle gerde U ist, lso [x,,x m ] = U, so nennt mn die Menge {x,,x m } Erzeugendensystem von U Mn ist n möglichst kleinen Erzeugendensystemen interessiert Betrchten wir zum Beispiel im R 3 den von den beiden ersten Einheitsvektoren e = (,, ) T und e = (,, ) T erzeugten Unterrum U = [e,e ] = λ λ : λ, λ R, so erhlten wir den Unterrum bestehend us der Ebene der Punkte, deren dritten Koordinte verschwindet Nehmen wir in ds Erzeugendensystem zusätzlich den Vektor x = (,, ) T hinzu, so erhlten wir ls linere Hülle den gleichen Unterrum U = [e,e,x] = λ + λ 3 λ + λ 3 : λ, λ, λ 3 R = λ λ : λ, λ R Wir können lso uf x verzichten, wenn wir ein kleines Erzeugendensystem suchen Der Grund dfür ist, dss sich x = e + e ls Linerkombintion der beiden nderen Vektoren schreiben lässt Wir sprechen von liner unbhängigen Vektoren, wenn sie sich nicht ls Linerkombintion voneinnder schreiben lssen Definition 7 Eine Menge von Vektoren {x,,x m } heißt liner unbhängig, flls die Gleichung λ x + + λ m x m = nur für λ = = λ m = erfüllt ist Die Menge heißt liner bhängig, flls dies nicht gilt Die obige Menge {e,e,x} ist liner bhängig, weil x = e +e gilt und somit die Gleichung λ e + λ e + λ 3 x = uch die Lösung λ =, λ =, λ 3 = besitzt Allgemein gilt: Sind {x,,x m } liner bhängig, so gibt es lso Zhlen λ,,λ m, die nicht lle Null sind, so dss λ x + + λ m x m = Ist lso zb λ, so knn mn die Gleichung nch x uflösen, und erhält x = λ λ x λ m λ x m, lso ist x eine Linerkombintion von x,,x m Genuso knn mn x k ls Linerkombintion der nderen Vektoren drstellen, flls λ k Bei liner bhängigen Vektoren ist lso mindestens einer ls Linerkombintion der nderen drstellbr 3

32 Beispiel 8 Gegeben seien die Vektoren x =, y =, z = und u = Die Menge {x,y,z,u} ist liner bhängig, d 3x + ( )y + ( )z + u = (5) Die Menge {x, y, z} ist ebenflls liner bhängig, d mn in Gleichung (5) den Ausdruck +u ntürlich uch weglssen knn Die Menge {x,y,u} ist liner unbhängig Es ist nämlich λ x + λ y + λ 3 z =, flls λ + λ + λ 3 = λ + λ + λ 3 = λ 3 = Subtrktion der ersten Gleichung von der zweiten ergibt λ =, und dmit folgt dnn us der ersten Gleichung uch λ = Also ist λ = λ = λ 3 = die einzige Lösung der Gleichung Eine Menge von liner unbhängigen Vektoren heißt Bsis des von ihr ufgespnnten Unterrums Definition 9 Sei U ein Unterrum des R n Eine Menge {x,,x m } von Vektoren heißt Bsis von U, wenn folgende zwei Eigenschften gelten: x,,x m sind liner unbhängig; [x,,x m ] = U Für die Existenz von Bsen gilt folgender Stz Stz Jeder Unterrum U des R n besitzt eine Bsis Ferner hben lle Bsen von U die gleiche Anzhl n Vektoren Dies gibt Anlss zu folgender Begriffsbildung Definition Sei U ein Unterrum des R n Dnn heißt die Anzhl k der Elemente einer Bsis Dimension des Unterrums Mn schreibt dim(u) = k Beispiel In der Regel ht ein Unterrum U viele verschiedene Bsen So ht zb U = R 3 offensichtlich die (sogennnte knonische Bsis) bestehend us den drei Einheitsvektoren e,e,e 3 Eine weitere Bsis ist ber uch gegeben durch die Vektoren {x,y,u} us Beispiel 8 Um dies nchzuweisen, müssen wir zeigen, dss jeder beliebige Vektor = (,, 3 ) T sich ls Linerkombintion λ x + λ y + λ 3 u = 3

33 drstellen lässt Dies führt uf die Lösung eines lineren Gleichungssystems λ + λ + λ 3 = λ + λ + λ 3 = λ 3 = 3 Aus der dritten Gleichung folgt unmittelbr λ 3 = 3 Subtrktion der ersten Gleichung von der zweiten liefert λ =, und dmit folgt dnn λ = 3 Also ist ( 3 )x + ( )y + 3 u =, dh [x,y,u] = R 3 D wir schon gesehen hben, dss diese drei Vektoren liner unbhängig sind, bilden sie lso eine Bsis des R 3 Wir fssen die wichtigsten Aussgen über die Dimension von Unterräumen in einem Stz zusmmen Stz 3 ) Sind U, U Unterräume mit U U, so ist dim(u ) dim(u ) b) Sind U, U Unterräume mit U U und ist dim(u ) = dim(u ), so ist U = U c) Sind U, U Unterräume mit U U und ist dim(u ) < dim(u ), so ist U U d) Ist U Unterrum von R n, so ist dim(u) n e) Für beliebige x,,x m R n gilt dim([x,,x m ]) m f) Es gilt dim([x,,x m ]) = m genu dnn, wenn x,,x m liner unbhängig sind g) Ist k > dim(u), so sind k Vektoren us U immer liner bhängig h) Ist dim(u) = k, so sind k liner unbhängige Vektoren us U immer eine Bsis von U 4 Rng einer Mtrix Nch den Resultten des vorigen Abschnittes entspricht die Dimension einer lineren Hülle [x,,x m ] der mximlen Anzhl liner unbhängiger Vektoren in {x,,x m } Ähnlich definiert mn den Rng einer Mtrix Definition 4 Sei A eine m n-mtrix Wir betrchten A ls Zusmmenfssung von Spltenvektoren A = (,, n ), wobei i die i-te Splte von A bezeichnet Der Rng von A (ls rg(a) bezeichnet) ist die mximle Anzhl liner unbhängiger Splten von A Beispiel 5 ) Gegeben sei die Mtrix A = ( ) 4 Dnn sind die drei Spltenvektoren von A liner bhängig, d es sich um drei Vektoren in R hndelt Es gilt ( ) ( ) ( ) 4 + = 33

34 D die ersten beiden Splten liner unbhängig sind, ist rg(a) = b) Der Rng einer n n-einheitsmtrix I n ist rg(i n ) = n Offensichtlich gilt folgender Zusmmenhng Stz 6 Sei A = (,, n ) eine m n-mtrix Dnn gilt rg(a) = dim([,, n ]) Mn knn sich ntürlich uch nch der mximlen Anzhl liner unbhängiger Zeilen frgen D die Zeilen die Splten der trnsponierten Mtrix sind, ist dies äquivlent zur Frge nch dem Rng der trnsponierten Mtrix Dfür gilt folgender Stz Stz 7 Sei A eine m n-mtrix Dnn gilt rg(a) = rg(a T ) Die mximle Anzhl liner unbhängiger Zeilen ist lso gleich der mximlen Anzhl liner unbhängiger Splten Deshlb knn der Rng weder größer ls die Spltenzhl noch größer ls die Zeilenzhl sein Für eine m n-mtrix gilt lso rg(a) min{m, n} Gilt rg(a) = min{m, n}, so sgt mn, die Mtrix hbe vollen Rng Die Bestimmung des Rnges einer Mtrix ist mit dem Guß-Algorithmus möglich, d die dbei verwendeten Zeilenumformungen den Rng nicht ändern Wenn mn nch Durchführung des Guß-Algorithmus us der Mtrix A eine Mtrix à der Form erhält, dnn ist rg(a) = l l n l n à = ll ln Beispiel 8 Gegeben sei die Mtrix 4 8 A = Der Guß-Algorithmus liefert folgende Umformungen Wir ziehen die erste Zeile dreiml von der zweiten und einml von der dritten b und erhlten dmit 4 8 A =

35 Ziehen wir nun noch die zweite Zeile dreiml von der dritten b, so erhlten wir 4 8 A = Dmit sind die ersten beiden Zeilen liner unbhängig, und d die dritte Zeile eine Nullzeile ist, ergibt sich rg(a ) = rg(a) = Mit dem Guß-Algorithmus knn mn uch leicht überprüfen, ob Vektoren liner unbhängig sind Es gilt offensichtlich folgender Zusmmenhng Stz 9 Die Vektoren,, n sind liner unbhängig, flls rg((,, n )) = n 5 Lösungsmengen linerer Gleichungssysteme Wir hben bereits gesehen, dss die Menge L = L(A,) = {x : Ax = } ein Unterrum des R n ist Für die Dimension dieses Unterrums gilt folgende Dimensionsformel Stz 3 Sei A eine m n-mtrix Dnn gilt rg(a) + dim(l(a,)) = n Die Dimension der Lösungsmenge ist lso dim(l(a, )) = n rg(a) Die Lösung ist eindeutig (gleich dem Nullvektor), flls die Dimension des Lösungsrums Null ist, lso flls rg(a) = n Wir erhlten somit folgende äquivlente Bedingungen für die eindeutige Lösbrkeit Stz 3 Für eine m n-mtrix A sind folgende Aussgen äquivlent: (i) Die Lösung des homogenen lineren Gleichungssystems Ax = ist eindeutig; (ii) rg(a) = n; (iii) die Splten von A sind liner unbhängig Im Fll m = n ist dies nch Stz 4 ußerdem äquivlent zur Aussge, dss det(a) ist Erhält mn durch die Umformungen beim Guß-Algorithmus eine obere Dreiecksmtrix der Form,l+ n,l+ n à = l,l+ ln 35

36 so ist lso rg(a) = l und dmit die Dimension des Lösungsrums dim(l(a,)) = n l Eine Bsis von L(A,) ist gegeben durch x =,l+,l+ l,l+, x =,l+,l+ l,l+,, x n l = Mn erhält lso die Bsis, indem mn im Endtbleu rechts unten ds Negtive einer Einheitsmtrix nfügt Beispiel 3 Sei die obere Dreiecksdrstellung nch Durchführung des Guß-Algorithmus gegeben durch à = Dnn erhält mn lso ls Bsis des Lösungsrums die Vektoren Also ist x = L(A,) = [x,x ] = λ, x = + µ,n,n l,n : λ, µ R Wir betrchten nun die Lösungsmenge L(A, b) eines inhomogenen lineren Gleichungssystems Ax = b mit b Angenommen, wir kennen eine spezielle Lösung x mit Ax = b, und es sei y eine beliebige weitere Lösung Dnn gilt für z = y x dss Az = Ay Ax = b b = Also ist z L(A,) Ist umgekehrt x eine spezielle Lösung von Ax = b und z L(A,) eine beliebige Lösung von Ax =, dnn gilt für y = x + z die Gleichung Ay = Ax + Az = b + = b Also ist y L(A,b) Wir hben dmit ds folgende Resultt gezeigt 36

37 Stz 33 Sei A eine m n-mtrix, b, und x L(A,b) eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems Ax = b Dnn ist die Lösungsmenge des inhomogenen Systems gegeben durch L(A,b) = {x + z : z L(A,)} Wir wollen uns nun noch mit der Frge beschäftigen, unter welchen Bedingungen ds linere Gleichungssystem Ax = b überhupt eine Lösung x R n besitzt, und unter welchen Bedingungen diese Lösung eindeutig ist Betrchtet mn die Mtrix A ls Aneinnderreihung von Spltenvektoren A = (,, n ), so knn mn die linke Seite der Gleichung schreiben ls Ax = x + + x n n Somit existiert eine Lösung genu dnn, wenn reelle Zhlen x,, x n existieren mit x + + x n n = b Dies bedeutet, dss sich b ls Linerkombintion von,, n schreiben lässt Ds bedeutet ber nichts nderes ls dss die linere Hülle [,, n ] den Vektor b enthält, lso dss [,, n ] = [,, n,b] Aus Stz 6 und Stz 3 b) und c) folgt ber, dss dies genu dnn gilt, flls rg(a) = rg(a b ), wobei mit A b die um den Vektor b ergänzte Mtrix A bezeichnet werde: n b n b A b = m m mn b m Wir erhlten lso folgendes Resultt über die Existenz von Lösungen Stz 34 Sei A eine m n-mtrix und b R m Ds linere Gleichungssystem Ax = b besitzt genu dnn mindestens eine Lösung, flls rg(a) = rg(a b ) Die Anzhl der Lösungen von Ax = b ist nch Stz 33 gleich der Anzhl der Lösungen von Ax = Letztere ist nch Stz 3 eindeutig, flls rg(a) = n Also gilt folgendes Resultt Stz 35 Sei A eine m n-mtrix und b R m Ds linere Gleichungssystem Ax = b besitzt genu dnn eine eindeutige Lösung, flls rg(a) = rg(a b ) = n 37

38 6 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Wir kommen nun zurück zum Problem der Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Dzu sei drn erinnert, dss ein Eigenwert einer Mtrix A eine reelle Zhl λ ist mit der Eigenschft, dss es einen Vektor x gibt mit Ax = λx Ein solcher zugehöriger Vektor x heißt dnn Eigenvektor Durch Umformulierung der Definition eines Eigenwertes erhält mn die Aussge, dss eine Zhl λ ein Eigenwert einer Mtrix A ist, wenn die Gleichung (A λi)x = (6) eine nichttrivile Lösung x ht, wobei I die Identitätsmtrix drstellt Aus Stz 4 folgt somit, dss eine reelle Zhl λ genu dnn ein Eigenwert der Mtrix A ist, flls det(a λi) = Wir fssen ds zentrle Ergebnis im folgenden Stz zusmmen Stz 36 Sei A eine n n-mtrix Dnn ist det(a λi) ein Polynom n-ten Grdes in λ R Es heißt chrkteristisches Polynom von A Die Lösungen λ i der so gennnten chrkteristischen Gleichung det(a λi) = sind die Eigenwerte von A Die Vektoren us der Lösungsmenge L(A λ i I,) des zugehörigen homogenenen Gleichungssystems (A λ i I)x = mit x sind die zugehörigen Eigenvektoren Den Unterrum L(A λ i I,), bestehend us den Eigenvektoren zum Eigenwert λ i und dem Nullvektor, nennt mn uch den Eigenrum von λ i Beispiel 37 Es seien die Eigenwerte und Eigenvektoren der Mtrix ( ) A = 4 gesucht Dnn ist det(a λi) = λ 4 λ = ( λ) (4 λ) ( ) = λ 5λ + 6 Die chrkteristische Gleichung ist lso λ 5λ + 6 = Sie ht die Lösungen λ, = 5 5 ± 4 6 = 5 ± 4 = 5 ±, lso gibt es die beiden Eigenwerte λ = 3 und λ = 38

39 Um die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = 3 zu bestimmen, suchen wir die Lösungen der Gleichung (A 3I)x = Dies führt uf ds Gleichungssystem x x =, x +x = Offensichtlich sind die beiden Gleichungen identisch Setzt mn x = α mit α R beliebig, so erhält mn x = α Der zugehörige Lösungsrum und dmit der Eigenrum zum Eigenwert λ = 3 ist lso der -dimensionle Unterrum L(A 3I,) = Die Menge der Eigenvektoren ist lso L(A 3I,)/{} = { α { α ( ) } : α R ( ) } : α R/{} Anlog erhält mn die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = ls Lösungen der Gleichung (A I)x = Dies führt uf ds Gleichungssystem x x =, x +x = Offensichtlich sind uch diese beiden Gleichungen identisch Setzt mn x = α mit α R beliebig, so erhält mn x = α Der zugehörige Eigenrum zum Eigenwert λ = ist lso der -dimensionle Unterrum und die Menge der Eigenwerte ist L(A I,) = L(A I,)/{} = { α { α ( ) } : α R ( ) } : α R/{} Die beiden die Eigenräume ufspnnenden Vektoren (, ) T und (, ) T sind liner unbhängig und bilden deshlb zusmmen eine Bsis des R Es lässt sich lso jeder Vektor im R ls Linerkombintion dieser beiden Eigenvektoren drstellen Mn interessiert sich ntürlich für die Anzhl der Eigenwerte und die Dimensionen der Eigenräume einer Mtrix Hierüber gibt folgender Stz über Polynome Auskunft Stz 38 Jedes Polynom n-ten Grdes ht höchstens n verschiedene Nullstellen Ist n ungerde, so gibt es mindestens eine Nullstelle 39

40 Eine Rolle spielt uch noch die so gennnte Vielfchheit einer Nullstelle Ist λ eine Nullstelle des Polynoms p n (x), so erhält mn durch Polynom-Division durch (x λ) ein Polynom p n (x) mit p n (x) = (x λ)p n (x) Ist λ nun uch noch eine Nullstelle von p n (x), so spricht mn von einer mehrfchen Nullstelle, d dnn p n (x) = (x λ) p n (x) Genuer spricht mn von einer k-fchen Nullstelle, flls p n (x) = (x λ) k p n k (x) mit p n k (λ) Für Eigenwerte und Eigenvektoren erhält mn dmit folgendes Resultt Stz 39 Sei A eine n n-mtrix Dnn gelten folgende Aussgen ) A besitzt höchstens n verschiedene Eigenwerte b) Ist der Eigenwert λ eine k-fche Nullstelle des chrkteristischen Polynoms, so ist die Dimension des zugehörigen Eigenrumes höchstens k c) Sind λ,,λ m die verschiedenen Eigenwerte von A und v,,v m zugehörige Eigenvektoren, so sind v,,v m liner unbhängig Die Dimension des Eigenrumes muss nicht immer gleich der Vielfchheit des zugehörigen Eigenwertes sein Wir illustrieren dies n einem einfchen Beispiel, und es gibt Mtrizen, die gr keine reellen Eigenwerte hben Beispiel 4 ) Die Mtrix A = ( ) ht ds chrkteristische Polynom λ +, welches keine Nullstelle ht Dmit besitzt die Mtrix keine Eigenwerte b) Die Mtrix ( ) 4 A = 4 ht ds chrkteristische Polynom (4 λ), lso ist λ = 4 zweifche Nullstelle Für λ = 4 ist ( ) A λi = Dmit (A λi)x = gilt, knn lso x beliebig sein, während x = sein muss Also ist der Eigenrum { ( ) } L(A 4I,) = α : α R, welcher offensichtlich nur Dimension ht 4