Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

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1 Mthemtik für Wirtschftsinformtik Wintersemester 202/3 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg

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5 Existenz von bestimmten Integrlen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Gegeben: Reelle Funktion f : [, b] R. Dnn gilt: ) f stetig in [, b] f(x) dx existiert b) f monoton in [, b] f(x) dx existiert 8. Finnzmthemtik Beispiele: Gesucht: + f i(x) dx für { 2 für x < 0 f (x) = und für x 0 f 2 (x) = x 2. Integrtion. Unbestimmte Integrle 2. Bestimmte Integrle 3. Uneigentliche Integrle 4. Mehrdimensionle Integrle f (x) f 2 (x) 2 x x 235

6 Sätze zu bestimmten Integrlen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Gegeben: Integrierbre Funktionen f, g : [, b] R. Dnn gilt: ) cf(x) dx = c f(x) dx b) f(x) g(x) für lle x [, b] für lle c R f(x) dx g(x) dx 8. Finnzmthemtik 2. Integrtion. Unbestimmte Integrle c) f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx für lle c (, b) 2. Bestimmte Integrle 3. Uneigentliche Integrle 4. Mehrdimensionle Integrle Definiert wird ußerdem: f(x) dx = 0, f(x) dx = b f(x) dx 236

7 Zusmmenhng bestimmtes und unbestimmtes Integrl Mthemtik 2 Stefn Etschberger Zusmmenhng Gegeben f : D R, D R eine in D stetige Funktion. Dnn existiert eine Stmmfunktion F von f mit F (x) = f(x) 8. Finnzmthemtik sowie ds unbestimmte Integrl f(x)dx = F(x) + c 2. Integrtion. Unbestimmte Integrle und ds bestimmte Integrl f(x) dx = F(b) F() 2. Bestimmte Integrle 3. Uneigentliche Integrle 4. Mehrdimensionle Integrle Unterschiede Bestimmtes Integrl entspricht einer reellen Zhl Unbestimmtes Integrl entspricht Schr von Funktionen 237

8 Integrtionsregeln Mthemtik 2 Stefn Etschberger ) Für integrierbre Funktionen f, g : [, b] R gilt die Additionsregel (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. b) Für stetig differenzierbre Funktionen f, g : [, b] R gilt die Regel der prtiellen Integrtion f(x)g (x) dx = f(x)g(x) b f (x)g(x) dx 8. Finnzmthemtik 2. Integrtion. Unbestimmte Integrle 2. Bestimmte Integrle 3. Uneigentliche Integrle 4. Mehrdimensionle Integrle c) Ist f : [α, β] R integrierbr mit der Stmmfunktion F und g : [, b] R mit g[, b] [α, β] stetig differenzierbr, so gilt die Substitutionsregel f(g(x)) g (x) dx = F(g(x)) b = F(g(b)) F(g()) = g(b) g() f(y) dy. 238

9 Grenzen bei ± Mthemtik 2 Stefn Etschberger Die reelle Funktion f sei für lle x R definiert und integrierbr. Dnn heißt der Grenzwert lim f(x) dx, flls er existiert, ds konvergente b uneigentliche Integrl von f im Intervll [, ), und mn schreibt lim f(x) dx = f(x) dx. b Andernflls spricht mn von einem divergenten uneigentlichen Integrl. Entsprechend definiert mn ds konvergente uneigentliche Integrl von f im Intervll (, b], flls folgender Grenzwert existiert: lim f(x) dx = f(x) dx 8. Finnzmthemtik 2. Integrtion. Unbestimmte Integrle 2. Bestimmte Integrle 3. Uneigentliche Integrle 4. Mehrdimensionle Integrle Sind beide Integrle f(x) dx und f(x) dx konvergent, so existiert uch f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. 239

10 Beliebige Grenzen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Geg.: Reelle Funktion f : [, b) R, die für lle x [, b ɛ] mit ɛ (0, b ) integrierbr. Dnn heißt Grenzwert lim b ɛ ɛ 0 f(x) dx (flls er existiert) konvergentes uneigentliches Integrl von f im Intervll [, b]. Schreibweise: ɛ lim f(x) dx = f(x) dx. ɛ 0 Andernflls: Divergentes uneigentliches Integrl Anlog für lle x [ + ɛ, b] mit ɛ (0, b ), konvergentes uneigentliches Integrl von f in [, b], mit lim f(x) dx = ɛ 0 +ɛ f(x) dx. 8. Finnzmthemtik 2. Integrtion. Unbestimmte Integrle 2. Bestimmte Integrle 3. Uneigentliche Integrle 4. Mehrdimensionle Integrle Ist f in (, b) definiert und sind für c (, b) die uneigentlichen Integrle c f(x) dx und c f(x) dx konvergent, dnn ist uch folgendes Integrl konvergent: c f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx c 240

11 Prmeterintegrl: Stz Mthemtik 2 Stefn Etschberger f(x, x 2 ) f(x, b 2 ) f(b, x 2 ) 8. Finnzmthemtik 0 F x (b 2 ) F 2 (b ) 2 b x 2 b Ist die Funktion f : [, b ] [ 2, b 2 ] R stetig, so ist uch 2. Integrtion. Unbestimmte Integrle 2. Bestimmte Integrle 3. Uneigentliche Integrle 4. Mehrdimensionle Integrle F : [ 2, b 2 ] R mit F (x 2 ) = f(x, x 2 ) dx und F 2 : [, b ] R mit F 2 (x ) = 2 2 f(x, x 2 ) dx 2 stetig. 24

12 Vertuschung: Intergrtion und Differentition Mthemtik 2 Stefn Etschberger Gegeben: stetige Funktion f : [, b ] [ 2, b 2 ] R und f ist nch beiden Vriblen stetig prtiell differenzierbr. Dnn sind die Funktionen F, F 2 mit F (x 2 ) = f(x, x 2 ) dx und F 2 (x ) = stetig differenzierbr, und es gilt: df = d f(x, x 2 ) dx = dx 2 dx 2 df 2 = d dx dx 2 2 f(x, x 2 ) dx 2 = 2 2 f(x, x 2 ) dx 2 f(x, x 2 ) dx x f(x, x 2 ) x dx 2 8. Finnzmthemtik 2. Integrtion. Unbestimmte Integrle 2. Bestimmte Integrle 3. Uneigentliche Integrle 4. Mehrdimensionle Integrle Also: Differentition und Integrtion können vertuscht werden. 242

13 Stz von Fubini Mthemtik 2 Stefn Etschberger Die stetige Funktion f : [, b ] [ 2, b 2 ] R sei nch beiden Vriblen stetig prtiell differenzierbr. Dnn gilt: 2 2 f(x, x 2 ) dx dx 2 = 2 2 f(x, x 2 ) dx 2 dx 8. Finnzmthemtik 2. Integrtion. Unbestimmte Integrle 2. Bestimmte Integrle 3. Uneigentliche Integrle 4. Mehrdimensionle Integrle 243

14 Interprettion über Riemnnsche Summen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Existieren die Grenzwerte der unteren und oberen Schrnke von I nlog dem eindimensionlen Fll für n und sind sie identisch, so heißt die Funktion f : [, b ] [ 2, b 2 ] R in ihrem Definitionsbereich integrierbr. Ist f stetig und stetig prtiell differenzierbr, so gilt I = 2 2 f(x, x 2 ) dx dx 2 = 2 2 f(x, x 2 ) dx 2 dx. 8. Finnzmthemtik 2. Integrtion. Unbestimmte Integrle 2. Bestimmte Integrle 3. Uneigentliche Integrle 4. Mehrdimensionle Integrle Mn bezeichnet ds Doppelintegrl I ls ds bestimmte Integrl von f im Bereich [, b ] [ 2, b 2 ], ferner x, x 2 ls Integrtionsvrible, f(x, x 2 ) ls Integrnd und, b, 2, b 2 ls Integrtionsgrenzen 244