Ist Tetris NP - Vollständig?

Transkript

1 Ist Tetris NP - Vollständig? Michael König 30. April 2015

2 Tetris Allgemeines Geschichte

3 Tetris Allgemeines Geschichte russischer Entwickler: Alexei Paschitnow

4 Tetris Allgemeines Geschichte russischer Entwickler: Alexei Paschitnow erste Version: Juni 1984

5 Tetris Allgemeines Geschichte russischer Entwickler: Alexei Paschitnow erste Version: Juni 1984 Verkauf: über 100 Millionen Stück

6 Tetris Allgemeines Geschichte russischer Entwickler: Alexei Paschitnow erste Version: Juni 1984 Verkauf: über 100 Millionen Stück puzzel artiges Computerspiel

7 Tetris Allgemeines Geschichte russischer Entwickler: Alexei Paschitnow erste Version: Juni 1984 Verkauf: über 100 Millionen Stück puzzel artiges Computerspiel Spiel kann nie gewonnen werden

8 Tetris Allgemeines Das Spiel Spielfeld B: rechteckiges Gitter - Game Boy 1989: H18 B10

9 Tetris Allgemeines Das Spiel Spielfeld B: rechteckiges Gitter - Game Boy 1989: H18 B10 Spielsteine - Tetrominos

10 Tetris Allgemeines Das Spiel Spielfeld B: rechteckiges Gitter - Game Boy 1989: H18 B10 Spielsteine - Tetrominos (i) Typ t {SQ, LG, RG, LS, RS, I, T }

11 Tetris Allgemeines Das Spiel Spielfeld B: rechteckiges Gitter - Game Boy 1989: H18 B10 Spielsteine - Tetrominos (i) Typ t {SQ, LG, RG, LS, RS, I, T } (ii) Orientierung o {0, 90, 180, 270 }

12 Tetris Allgemeines Das Spiel Spielfeld B: rechteckiges Gitter - Game Boy 1989: H18 B10 Spielsteine - Tetrominos (i) Typ t {SQ, LG, RG, LS, RS, I, T } (ii) Orientierung o {0, 90, 180, 270 } (iii) Position < i, j > {1,..., m} {1,..., n}

13 Tetris Allgemeines Das Spiel Spielfeld B: rechteckiges Gitter - Game Boy 1989: H18 B10 Spielsteine - Tetrominos (i) Typ t {SQ, LG, RG, LS, RS, I, T } (ii) Orientierung o {0, 90, 180, 270 } (iii) Position < i, j > {1,..., m} {1,..., n} (iv) Wert f {fixed, unfixed}

14 Tetris Allgemeines Das Spiel Spielfeld B: rechteckiges Gitter - Game Boy 1989: H18 B10 Spielsteine - Tetrominos (i) Typ t {SQ, LG, RG, LS, RS, I, T } (ii) Orientierung o {0, 90, 180, 270 } (iii) Position < i, j > {1,..., m} {1,..., n} (iv) Wert f {fixed, unfixed} Zustand eines Spielsteins: Z =< t, o, < i, j >, f >

15 Tetris Allgemeines Ein Spielzug unfixierte Spielsteine können ihren Zustand Z =< t, o, < i, j >, f > ändern:

16 Tetris Allgemeines Ein Spielzug unfixierte Spielsteine können ihren Zustand Z =< t, o, < i, j >, f > ändern: (i) eine Rotation: ±90

17 Tetris Allgemeines Ein Spielzug unfixierte Spielsteine können ihren Zustand Z =< t, o, < i, j >, f > ändern: (i) eine Rotation: ±90 (ii) eine Translation: Z Z =< t, o, < i, j ± 1 >, unfixed >

18 Tetris Allgemeines Ein Spielzug unfixierte Spielsteine können ihren Zustand Z =< t, o, < i, j >, f > ändern: (i) eine Rotation: ±90 (ii) eine Translation: Z Z =< t, o, < i, j ± 1 >, unfixed > (iii) hinunter fallen um eine Zeile: Z Z =< t, o, , unfixed >

19 Tetris Allgemeines Ein Spielzug unfixierte Spielsteine können ihren Zustand Z =< t, o, < i, j >, f > ändern: (i) eine Rotation: ±90 (ii) eine Translation: Z Z =< t, o, < i, j ± 1 >, unfixed > (iii) hinunter fallen um eine Zeile: Z Z =< t, o, , unfixed > (iv) fixiert werden: Z Z =< t, o, < i, j >, fixed >

20 Tetris Allgemeines Ein Spielzug unfixierte Spielsteine können ihren Zustand Z =< t, o, < i, j >, f > ändern: (i) eine Rotation: ±90 (ii) eine Translation: Z Z =< t, o, < i, j ± 1 >, unfixed > (iii) hinunter fallen um eine Zeile: Z Z =< t, o, , unfixed > (iv) fixiert werden: Z Z =< t, o, < i, j >, fixed > Eine Sequenz von gültigen Zügen bildet eine Trajektorie.

21 Tetris Allgemeines Ein Spielzug unfixierte Spielsteine können ihren Zustand Z =< t, o, < i, j >, f > ändern: (i) eine Rotation: ±90 (ii) eine Translation: Z Z =< t, o, < i, j ± 1 >, unfixed > (iii) hinunter fallen um eine Zeile: Z Z =< t, o, , unfixed > (iv) fixiert werden: Z Z =< t, o, < i, j >, fixed > Eine Sequenz von gültigen Zügen bildet eine Trajektorie. Ein Spiel G =< B, Z 1, Z 2,..., Z p > entsteht durch eine Abfolge von Trajektorien.

22 Tetris Allgemeines Das Tetris Problem (Offline Tetris)

23 Tetris Allgemeines Das Tetris Problem (Offline Tetris) Gegeben sei: ein Spielfeld und eine endliche Folge von (n-stück) Tetrominos.

24 Tetris Allgemeines Das Tetris Problem (Offline Tetris) Gegeben sei: ein Spielfeld und eine endliche Folge von (n-stück) Tetrominos. Frage: Kann das komplette Spielfeld gelöscht werden?

25 Tetris Allgemeines Das Tetris Problem (Offline Tetris) Gegeben sei: ein Spielfeld und eine endliche Folge von (n-stück) Tetrominos. Frage: Kann das komplette Spielfeld gelöscht werden? Behauptung: Dieses Problem ist NP-Vollständig!

26 NP-Vollständigkeit Komplexitätsklassen Klasse P: Alle Probleme, die von einer deterministischen Turing-Maschine in Polynomialzeit berechnet werden können.

27 NP-Vollständigkeit Komplexitätsklassen Klasse P: Alle Probleme, die von einer deterministischen Turing-Maschine in Polynomialzeit berechnet werden können. Klasse NP: Alle Probleme, die von einer nichtdeterministischen Turing-Maschine in Polynomialzeit berechnet werden können.

28 NP-Vollständigkeit Komplexitätsklassen Klasse P: Alle Probleme, die von einer deterministischen Turing-Maschine in Polynomialzeit berechnet werden können. Klasse NP: Alle Probleme, die von einer nichtdeterministischen Turing-Maschine in Polynomialzeit berechnet werden können. Wenn es für ein Problem sehr, sehr unwahrscheinlich ist, dass es in P liegt nennt man es NP-Vollständig.

29 NP-Vollständigkeit Beispiele für NP-Vollständige Probleme Knapsack-Problem kann man Gegenstände von einem Wert größer als w in einen Rucksack packen ohne das Gewicht g zu überschreiten?

30 NP-Vollständigkeit Beispiele für NP-Vollständige Probleme Knapsack-Problem kann man Gegenstände von einem Wert größer als w in einen Rucksack packen ohne das Gewicht g zu überschreiten? n-puzzle

31 NP-Vollständigkeit Beispiele für NP-Vollständige Probleme Knapsack-Problem kann man Gegenstände von einem Wert größer als w in einen Rucksack packen ohne das Gewicht g zu überschreiten? n-puzzle Traveling salesman-problem Gegeben: Städte, Kapital, Reisekosten. Kann man alle Städte bereisen ohne dabei das Kapital zu überschreiten?

32 NP-Vollständigkeit Beispiele für NP-Vollständige Probleme Knapsack-Problem kann man Gegenstände von einem Wert größer als w in einen Rucksack packen ohne das Gewicht g zu überschreiten? n-puzzle Traveling salesman-problem Gegeben: Städte, Kapital, Reisekosten. Kann man alle Städte bereisen ohne dabei das Kapital zu überschreiten? 3-Partitionen-Partition

33 NP-Vollständigkeit Was ist zu zeigen für NP-Vollständigkeit Ein Problem X nennt man NP-Vollständig, genau dann wenn: (i) das Problem in NP liegt und (ii) jedes Problem aus NP in Polynomialzeit auf X reduziert werden kann.

34 NP-Vollständigkeit Tetris NP Behauptung: Tetris NP Beweis: Gegeben sei ein Spiel G =. Es lässt sich in polynomieller Zeit prüfen, ob das Spielfeld geleert werden kann. Es werden die auftretenden Bewegungen überprüft. Die Anzahl der möglichen Zustände ist endlich in polynomieller Zeit überprüfbar Tetris NP.

35 Das 3-Partitionen-Problem Das 3-Partitionen-Problem (Definition) Sei A := {a i a i N \ {0}} mit i {1,...3s} und T, s N \ {0}, so dass: T 4 < a i < T 2, 1 i 3s 3s i=1 a i = st Frage: Kann A in s disjunkte Teilmengen B 1,..., B s unterteilt werden, so dass: a i B j a i = T, 1 i 3s, j {1,..., s} gilt?

36 Das 3-Partitionen-Problem Das 3-Partitionen-Problem (Beispiel) 1. Gegeben sei die Menge A 1 = {6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8}, sowie die Zahl T 1 = 20

37 Das 3-Partitionen-Problem Das 3-Partitionen-Problem (Beispiel) 1. Gegeben sei die Menge A 1 = {6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8}, sowie die Zahl T 1 = Gegeben sei die Menge A 2 = {6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9}, sowie die Zahl T 2 = 20

38 Das 3-Partitionen-Problem Das 3-Partitionen-Problem (Besonderheit) B j = 3, j

39 Das 3-Partitionen-Problem Das 3-Partitionen-Problem (Besonderheit) B j = 3, j Sei A := {a i a i N \ {0}} mit i {1,...3s} und T, s N \ {0}, so dass: T 4 < a i < T 2, 1 i 3s 3s i=1 a i = st Frage: Kann A in s disjunkte Teilmengen B 1,..., B s unterteilt werden, so dass: a i B j a i = T, 1 i 3s, j {1,..., s} gilt?

40 Die Reduktion Reduktion eines Problems

41 Die Reduktion Reduktion eines Problems Seien Γ und Ω Alphabete, P Γ das 3-Partitionen-Problem und Q Ω das Tetris Problem. Es gilt P P Q genau dann, wenn es eine totale und in polynomieller Zeit berechenbare Abbildung f : Γ Ω gibt, so dass a P f (a) Q.

42 Die Reduktion Reduktion eines Problems Seien Γ und Ω Alphabete, P Γ das 3-Partitionen-Problem und Q Ω das Tetris Problem. Es gilt P P Q genau dann, wenn es eine totale und in polynomieller Zeit berechenbare Abbildung f : Γ Ω gibt, so dass a P f (a) Q. lösbares 3-Partitionen-Problem f Spielfeld kann geleert werden unlösbares 3-Partitionen-Problem f Spielfeld kann nicht geleert werden

43 Die Reduktion Das Spielfeld

44 Lösbare Instanz Lösbare Instanz Für jedes bucket (s-mal) wird folgende Sequenz benötigt

45 Lösbare Instanz Lösbare Instanz Für jedes bucket (s-mal) wird folgende Sequenz benötigt Anfang: RG

46 Lösbare Instanz Lösbare Instanz Für jedes bucket (s-mal) wird folgende Sequenz benötigt Anfang: RG Mitte (i-mal): SQ, LG, SQ

47 Lösbare Instanz Lösbare Instanz Für jedes bucket (s-mal) wird folgende Sequenz benötigt Anfang: RG Mitte (i-mal): SQ, LG, SQ Ende: SQ, I

48 Lösbare Instanz Lösbare Instanz Für jedes bucket (s-mal) wird folgende Sequenz benötigt Anfang: RG Mitte (i-mal): SQ, LG, SQ Ende: SQ, I Abschluss: RG

49 Lösbare Instanz Lösbare Instanz Für jedes bucket (s-mal) wird folgende Sequenz benötigt Anfang: RG Mitte (i-mal): SQ, LG, SQ Ende: SQ, I Abschluss: RG lock (1-mal): T

50 Lösbare Instanz Lösbare Instanz Für jedes bucket (s-mal) wird folgende Sequenz benötigt Anfang: RG Mitte (i-mal): SQ, LG, SQ Ende: SQ, I Abschluss: RG lock (1-mal): T fill area ((5T+16)/4 - mal): I

51 Unlösbare Instanz Unlösbare Instanz

52 Unlösbare Instanz Unlösbare Instanz 1. Wenn ein Stein über der 5T+18 Zeile platziert wird, kann das Spielfeld nicht gelöscht werden.

53 Unlösbare Instanz Unlösbare Instanz 1. Wenn ein Stein über der 5T+18 Zeile platziert wird, kann das Spielfeld nicht gelöscht werden. 2. Um das Spielfeld zu löschen, darf kein anderer Stein als der dafür vorgesehene den Platz bei lock füllen.

54 Unlösbare Instanz Unlösbare Instanz 1. Wenn ein Stein über der 5T+18 Zeile platziert wird, kann das Spielfeld nicht gelöscht werden. 2. Um das Spielfeld zu löschen, darf kein anderer Stein als der dafür vorgesehene den Platz bei lock füllen. 3. Wenn das Platzieren eines Steins, außer dem für lock eine Lücke hinterlässt, die kein anderer Stein durch Translation oder Rotation erreichen kann, kann das Spielfeld nicht gelöscht werden.

55 Unlösbare Instanz Unlösbare Instanz 4. Wenn zwei Steine einer Sequenz von Mitte oder Ende in verschiedene buckets plaziert werden, kann das Spielfeld nicht gelöscht werden.

56 Unlösbare Instanz Unlösbare Instanz 4. Wenn zwei Steine einer Sequenz von Mitte oder Ende in verschiedene buckets plaziert werden, kann das Spielfeld nicht gelöscht werden. 5. Um das Spielfeld zu löschen, müssen die Steine einer Sequenz genauso in einem bucket untergebracht werden, wie es bereits beschrieben wurde.

57 Unlösbare Instanz Unlösbare Instanz 4. Wenn zwei Steine einer Sequenz von Mitte oder Ende in verschiedene buckets plaziert werden, kann das Spielfeld nicht gelöscht werden. 5. Um das Spielfeld zu löschen, müssen die Steine einer Sequenz genauso in einem bucket untergebracht werden, wie es bereits beschrieben wurde. 6. Um das Spielfeld zu löschen, muss ein bucket genau drei Werte a i enthalten und die Summe dieser Werte muss T betragen.

58 Schlussfolgerung Schlussfolgerung Somit lässt sich das 3-Partitionen Problem in Polynomialzeit auf das Tetris Problem zurückführen

59 Schlussfolgerung Schlussfolgerung Somit lässt sich das 3-Partitionen Problem in Polynomialzeit auf das Tetris Problem zurückführen Tetris ist NP-Vollständig

60 Quellen Quellen Algorithmen-Komplexitaet/Tetris.pdf SS14/FGI1/Lesestoff/Lesestoff5 KT.pdf ss2006/spiele/ausarbeitungen/tetris.pdf

61 Quellen Ist Tetris NP - Vollständig? Michael König 30. April 2015